文档内容
专题 14 新定义型问题
1．（新高考北京卷）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河流中的
生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数 没有
变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（新高考上海卷）定义一个集合 ，集合中的元素是空间内的点集，任取 ，存在不全为0
的实数 ，使得 ．已知 ，则 的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（新高考上海卷）已知函数 的定义域为R，定义集合 ，
在使得 的所有 中，下列成立的是（ ）
A．存在 是偶函数 B．存在 在 处取最大值
C．存在 是严格增函数 D．存在 在 处取到极小值
4．（新高考上海卷）无穷等比数列 满足首项 ，记 ，若对任意正整数 集合 是闭区间，则 的取值范围是 ．
5．（新课标全国Ⅰ卷）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项 和
后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列 是
可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中一次任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证
明： ．
6．（新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， ．按照
如下方式依次构造点 ，过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴
的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意的正整数 ， .
7．（新高考北京卷）设集合 ．对于给定
有穷数列 ，及序列 ， ，定义变换 ：将数列 的第
项加1，得到数列 ；将数列 的第 列加 ，得到数列 …；重复上述操作，得到数列 ，记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符
合条件的 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，证明：“存在序列 ，使得 为常数列”的
充要条件为“ ”．
8．（新高考上海卷）对于一个函数 和一个点 ，令 ，若
是 取到最小值的点，则称 是 在 的“最近点”．
(1)对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 在 的“最近点”；
(2)对于 ，请判断是否存在一个点 ，它是 在 的“最近点”，且直线 与
在点 处的切线垂直；
(3)已知 在定义域R上存在导函数 ，且函数 在定义域R上恒正，设点
， ．若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近
点”，试判断 的单调性．
一、单选题
1．（2024·湖南怀化·二模）给定整数 ，有 个实数元素的集合 ，定义其相伴数集，如果 ，则称集合 为一个 元规范数集．（注： 表示数集
中的最小数）．对于集合 ，则（ ）
A． 是规范数集， 不是规范数集 B． 是规范数集， 是规范数集
C． 不是规范数集， 是规范数集 D． 不是规范数集， 不是规范数集
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）一般地，任意给定一个角 ，它的终边 与单位圆的交点 的坐标，
无论是横坐标 还是纵坐标 ，都是唯一确定的，所以点 的横坐标 、纵坐标 都是关于角 的函数.下
面给出这些函数的定义：
①把点 的纵坐标 叫作 的正弦函数，记作 ，即 ；
②把点 的横坐标 叫作 的余弦函数，记作 ，即 ；
③把点 的纵坐标 的倒数叫作 的余割函数，记作 ，即 ；
④把点 的横坐标 的倒数叫作 的正割函数，记作 ，即 .
下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．函数 的定义域为
D．
3．（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义： ， ．若平面向量 满足 ，且 和 都在集合 中，则 （ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
4．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量 、 满足： ， ， .定义该平面上的向量集合
.给出如下两个结论：
①对任意 ，存在该平面的向量 ，满足
②对任意 ，存在该平面向量 ，满足
则下面判断正确的为（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，
②错误
5．（2024·甘肃兰州·一模）球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度
（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为 ，若甲地位于北纬 东经 ，乙地
位于北纬 西经 ，则甲、乙两地的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始
边，其终边经过点 ， ，定义 ， ，则（ ）
A． B．
C．若 ，则 D． 是周期函数
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 和实数 ， ，则下列说法正确的是（ ）A．定义在 上的函数 恒有 ，则当 时，函数的图象有对称轴
B．定义在 上的函数 恒有 ，则当 时，函数具有周期性
C．若 ， ， ，则 ， 恒成立
D．若 ， ， ，且 的4个不同的零点分别为 ，且
，则
8．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于任意的两点 ， ，定义 间的折线距离
，反折线距离 ， 表示坐标原点. 下列说法正确的是（ ）
A．
.
B．若 ，则 .
C．若 斜率为 ， .
D．若存在四个点 使得 ，且 ，则 的取值范围 .
三、填空题
9．（2024·湖南长沙·三模）已知函数 ，任取 ，定义集合 ，点
满足 . 设 分别表示集合 中元素的最大值和最小值，记
，试解答 以下问题:
（1）若函数 ，则 ;（2）若函数 ，则 的最小正周期为 .
10．（2024·四川成都·模拟预测）定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的
“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，
．分别以 各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和 构成平面区域D，则平面区域D的
“直径”的取值范围是 ．
11．（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建
设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周
运动，角速度大小为 ，圆上两点A，B始终满足 ，随着圆O的旋转，A，B两点的位置
关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运
动开始时刻，即 秒时，点A位于圆心正下方：则 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；
A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为 .
12．（2024·山东枣庄·模拟预测）设 为平面上两点，定义 、已
知点P为抛物线 上一动点，点 的最小值为2，则 ；若斜率为
的直线l过点Q，点M是直线l上一动点，则 的最小值为 ．13．（2024·福建厦门·模拟预测）在n维空间中（ ， ），以单位长度为边长的“立方体”的顶点
坐标可表示为n维坐标 ，其中 .则5维“立方体”的顶点个数是 ；
定义：在n维空间中两点 与 的曼哈顿距离为 .在5维
“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则 .
四、解答题
14．（2024·福建泉州·二模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，
就是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k进制的基数就是k．我们日常生活中
最熟悉、最常用的就是十进制．例如，数3721也可以表示为： 一般地，
如果k是大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为 ．其
中 ．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：
，如果不加下标就默认是十进制．
(1)令集合 ，将B中的元素按从大到小的顺序排列，
则第100个数为多少？
(2)若 ，记 为整数n的二进制表达式中0的个数，如 ，求 的值．
（用数字作答）
(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出
所有的k进制数；如果不能，请说明理由．
15．（2024·湖南长沙·二模）集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合 和 ，定义和集
，用符号 表示和集 内的元素个数.(1)已知集合 ， ， ，若 ，求 的值；
(2)记集合 ， ， ， 为 中所有元素之和， ，求
证： ；
(3)若 与 都是由 个整数构成的集合，且 ，证明：若按一定顺序排列，
集合 与 中的元素是两个公差相等的等差数列.
16．（2024·辽宁葫芦岛·二模）设数阵 ，其中 .设
，其中 ， 且 .定义变换 为“对于数阵的每一列，
若其中有t或 ，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t且没有 ，则这一列中每个数都乘以
”（ ）， 表示“将 经过 变换得到 ，再将 经过 变换得到 ，…，
以此类推，最后将 经过 变换得到 .记数阵 中四个数的和为 .
(1)若 ， ，写出 经过 变换后得到的数阵 ，并求 的值；
(2)若 ， ，求 的所有可能取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵 ，证明： 的所有可能取值的和不大于 .
17．（2024·浙江·三模）莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用
作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数 都可以被唯一表示为有限
个质数的乘积形式： （ 为 的质因数个数， 为质数， ， ），例如：，对应 ， ， ， ， ， ， .现对任意 ，定义莫比乌
斯函数 .
(1)求 ， ；
(2)已知 ，记 （ 为 的质因数个数， 为质数， ， ）的所有因数从小
到大依次为 ， ，…， .
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）求 的值（用 （ ）表示）.
18．（2024·山东济南·三模）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设 ， ，记
， ，并规定 ．记
，并规定 ．定义
(1)若 ，求 和 ；
(2)求 ；
(3)证明： ．19．（2024·湖北黄冈·二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会
展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品
外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线 上的曲线
段 ，其弧长为 ，当动点从 沿曲线段 运动到 点时， 点的切线 也随着转动到 点的切线 ，
记这两条切线之间的夹角为 （它等于 的倾斜角与 的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，
曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 为曲线段
的平均曲率；显然当 越接近 ，即 越小， 就越能精确刻画曲线 在点 处的弯曲程度，因此定义
（若极限存在）为曲线 在点 处的曲率.（其中 ， 分别表示 在点
处的一阶､二阶导数）
(1)已知抛物线 的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点 处的曲率是多少？
(2)若函数 ，不等式 对于 恒成立，求 的取值范围；
(3)若动点 的切线沿曲线 运动至点 处的切线，点 的切线与 轴的交点为
.若 ， ， 是数列 的前 项和，证明 .
20．（2024·重庆·模拟预测）对于数列 ，定义 ，满足，记 ，称 为由数列 生成的“ 函
数”．
(1)试写出“ 函数” ，并求 的值；
(2)若“ 函数” ，求n的最大值；
(3)记函数 ，其导函数为 ，证明：“ 函数”
．
21．（2024·福建厦门·三模）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，
在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数 在 处的 阶帕德近似定义为：
，且满足： ， ， ，…，
.其中 ， ，…， .已知
在 处的 阶帕德近似为 .
(1)求实数a，b的值；
(2)设 ，证明： ；
(3)已知 是方程 的三个不等实根，求实数 的取值范围，并证明： .
22．（2024·河北·二模）已知 为实数，用 表示不超过 的最大整数，例如 ，对于函数 ，若存在 ，使得 ，则称函数 是“ 函数”.
(1)判断函数 是否是“ 函数”；
(2)设函数 是定义在 上的周期函数，其最小正周期是 ，若 不是“ 函数”，求 的最小值；
(3)若函数 是“ 函数”，求 的取值范围.
23．（2024·河北秦皇岛·二模）定义：如果函数 和 的图象上分别存在点M和N关于x轴
对称，则称函数 和 具有 关系.
(1)判断函数 和 是否具有C关系；
(2)若函数 和 不具有C关系，求a的取值范围；
(3)若函数 和 在区间 上具有C关系，求m的取值范围.
24．（2024·山东泰安·模拟预测）定义：设 和 均为定义在 上的函数，它们的导函数分
别为 和 ，若不等式 对任意实数 恒成立，则称 和
为“相伴函数”.
(1)给出两组函数，① 和 ；② 和 ，分别判断这两组函数是否为
“相伴函数”；
(2)若 是定义在 上的可导函数， 是偶函数， 是奇函数，
，问是否存在 使得 和 为“相伴函数”？若存在
写出 的一个值，若不存在说明理由；
(3) ，写出“ 和 为相伴函数”的充要条件，证明你的结论.
25．（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列 是斐波那契数列，其数值为： .这一
数列以如下递推的方法定义： .数列 对于确定的正整数 ，若存在
正整数 使得 成立，则称数列 为“ 阶可分拆数列”.
(1)已知数列 满足 .判断是否对 ，总存在确定的正整数 ，使得数列
为“ 阶可分拆数列”，并说明理由.
(2)设数列 的前 项和为 ，
（i）若数列 为“ 阶可分拆数列”，求出符合条件的实数 的值；
（ii）在（i）问的前提下，若数列 满足 ， ，其前 项和为 .证明：当 且 时，
成立.
26．（2024·山东·模拟预测）设 ， .如果存在 使得 ，那么就说 可被 整除（或 整
除 ），记做 且称 是 的倍数， 是 的约数（也可称为除数、因数）． 不能被 整除就记做 ．
由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若 ， ，则 ；② ， 互质，若 ， ，
则 ；③若 ，则 ，其中 .
(1)若数列 满足， ，其前 项和为 ，证明： ；
(2)若 为奇数，求证： 能被 整除；
(3)对于整数 与 ， ，求证： 可整除 .
27．（2024·浙江温州·三模）现有 张形状相同的卡片，上而分别写有数字
，将这 张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次.
(1)若 ，求抽到的4个数字互不相同的概率；
(2)统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义 为随机变量 的 阶矩，其中1阶矩就
是 的期望 ，利用 阶矩进行估计的方法称为矩估计.
（ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量 ，计算随机变量 的1阶矩 和2阶矩 ；（参考公式：
）
（ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来
计算 的估计值 .（ 的计算结果通过四舍五入取整数）
28．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为上顶点，
离心率 为 ，直线 与圆 相切.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)椭圆方程 ，平面上有一点 . 定义直线方程 是椭圆 在
点 处的极线.
① 若 在椭圆 上，证明: 椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线;
② 若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ，割线交椭圆 于 两点，
过点 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 . 证明: 三点共线.
29．（2024·江西·二模）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标 表示，其中，而在 维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为
维坐标 ，其中 ．现有如下定义：在 维空间中两点间的曼哈顿距
离为两点 与 坐标差的绝对值之和，即为
．回答下列问题：
(1)求出 维“立方体”的顶点数；
(2)在 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量 为所取两点间的曼哈顿距离．
①求 的分布列与期望；
②求 的方差．
30．（2024·湖北·模拟预测）龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择
A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券
情况．
日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
销售量 千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4
经计算可得： .
(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，
已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程 结果中的数值用分数
表示 ；
(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 ，并且A套餐可以用一张优惠券，
B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为 ，求 ；
(3)记（2）中所得概率 的值构成数列 .①求 的最值；
②数列收敛的定义：已知数列 ，若对于任意给定的正数 ，总存在正整数 ，使得当 时，
，（ 是一个确定的实数），则称数列 收敛于 .根据数列收敛的定义证明数列 收敛．
参考公式： .
