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专题 05 平面解析几何
1．（2021·全国高考真题（文））设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】设点 ，由依题意可知， ， ，再根据两点间的距离公式得到 ，
然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点 ，因为 ， ，所以
，
而 ，所以当 时， 的最大值为 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数
的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的
长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量
的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
2．（2021·全国高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值.【详解】抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.
3．（2021·北京高考真题）双曲线 过点 ，且离心率为 ，则该双曲线的标准方程
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可得 ，再将点 代入双曲线的方程，求出 的值，即可得出双曲线的标准方
程.
【详解】 ，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
因此，双曲线的方程为 .
故选：A.
4．（2021·北京高考真题）已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的
最小值为2，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出【详解】由题可得圆心为 ，半径为2，
则圆心到直线的距离 ，
则弦长为 ，
则当 时，弦长取得最小值为 ，解得 .
故选：C.
5．（2021·全国高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式
即可得到答案．
【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，
或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.
6．（2021·全国高考真题（文））点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.
7．（2021·天津高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的
焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．
则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为 ，进而可得准线为 ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可
得 ，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.
8．（2021·全国高三其他模拟（文））已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，点 ，
则 的平分线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先依题意判断 ，设 的平分线交x轴于M，设 ，计算
，求得 ，即得角平分线所在直线 的斜率，再根据点斜式写直线方
程即可.
【详解】如图，依题意知 ， ，而 点 在双曲线上，故 ，
， .设 的平分线交x轴于M，设 ，则 ，
有 ，即 ， ，
化简解得 ，故 的平分线所在直线 的斜率 ，
所以 的平分线的方程为 ，即 .
故选：A.
9．（2021·全国高考真题）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为 的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的
位置关系即可得解.
【详解】圆心 到直线l的距离 ，
若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 在圆C内，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 在圆C外，则 ，所以 ，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，
所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
10．（2021·全国高考真题）已知点 在圆 上，点 、 ，则（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正
误；分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错
误；
如下图所示：当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选
项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线 与半径为 的圆 相离，圆心 到直线 的距离为 ，则圆 上一点 到直
线 的距离的取值范围是 .
11．（2021·天津高考真题）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，
则 ____________．
【答案】
【分析】设直线 的方程为 ，则点 ，利用直线 与圆 相切求出
的值，求出 ，利用勾股定理可求得 .
【详解】设直线 的方程为 ，则点 ，
由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得 或 ，所以 ，因为 ，故 .
故答案为： .
12．（2021·全国高考真题）已知函数 ，函数 的图象在点
和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是_______．
【答案】
【分析】结合导数的几何意义可得 ，结合直线方程及两点间距离公式可得 ，
，化简即可得解.
【详解】由题意， ，则 ，
所以点 和点 ， ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
同理 ,
所以 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件 ，消去一个变量后，运算即可得解.13．（2021·北京高考真题）已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，
则 的横坐标是_______；作 轴于 ，则 _______．
【答案】5
【分析】根据焦半径公式可求 的横坐标，求出纵坐标后可求 .
【详解】因为抛物线的方程为 ，故 且 .
因为 ， ，解得 ，故 ，
所以 ，
故答案为：5， .
14．（2021·全国高考真题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一
点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______.
【答案】
【分析】先用坐标表示 ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 ，即得结果.
【详解】抛物线 ： ( )的焦点 ,
∵P为 上一点， 与 轴垂直，
所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 ,
不妨设 ,因为Q为 轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧，
又 ，
因为 ，所以 ,
，
所以 的准线方程为
故答案为： .
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
15．（2021·全国高考真题（文））已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐
标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________．
【答案】
【分析】根据已知可得 ，设 ，利用勾股定理结合 ，求出 ，四
边形 面积等于 ，即可求解.
【详解】因为 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
所以 ，，即四边形 面积等于 .
故答案为： .
16．（2021·全国高考真题（文））双曲线 的右焦点到直线 的距离为________．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知， ，所以双曲线的右焦点为 ，
所以右焦点 到直线 的距离为 .
故答案为：
17．（2021·全国高考真题）已知双曲线 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方
程为_______________
【答案】
【分析】由双曲线离心率公式可得 ，再由渐近线方程即可得解.
【详解】因为双曲线 的离心率为2，
所以 ，所以 ，
所以该双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.18．（2021·浙江高考真题）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过
的直线和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是
___________，椭圆的离心率是___________.
【答案】
【分析】不妨假设 ，根据图形可知， ，再根据同角三角函数基本关系即可求出
；再根据椭圆的定义求出 ，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设 ，设切点为 ，
，
所以 , 由 ，所以 ， ，于是
，即 ，所以 ．故答案为： ； ．
19．（2021·天津高考真题）已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为
，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于
点 ．若 ，求直线 的方程．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）求出 的值，结合 的值可得出 的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）设点 ，分析出直线 的方程为 ，求出点 的坐标，根据 可得出
，求出 、 的值，即可得出直线 的方程.
【详解】（1）易知点 、 ，故 ，
因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，
因此，椭圆的方程为 ；
（2）设点 为椭圆 上一点，
先证明直线 的方程为 ，联立 ，消去 并整理得 ， ，
因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .
在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，
所以， ，因为 ， ，故 ， ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为 与椭圆方程联立，由 进行求解；（2）椭圆 在其上一点 的切线方程为 ，再应用此方程时，首先应证明直
线 与椭圆 相切.
20．（2021·全国高考真题）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率
为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线
的充要条件是 ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）由离心率公式可得 ，进而可得 ，即可得解；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证 ；
充分性：设直线 ，由直线与圆相切得 ，联立直线与椭圆方程结合弦长
公式可得 ，进而可得 ，即可得解.
【详解】（1）由题意，椭圆半焦距 且 ，所以 ，
又 ，所以椭圆方程为 ；（2）由（1）得，曲线为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，所以 ，
所以 ,
所以必要性成立；
充分性：设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ，
联立 可得 ，
所以 ，
所以
，
化简得 ，所以 ，所以 或 ，所以直线 或 ，
所以直线 过点 ，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.
21．（2021·北京高考真题）已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形
面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直
线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求 ，从而可求椭圆的标准方程.
（2）设 ，求出直线 的方程后可得 的横坐标，从而可得 ，
联立直线 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简 ，从而可求 的范围，注意判别式的
要求.
【详解】（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .
直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
综上， 或 .22．（2021·全国高考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且
，求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹 是以点 、 为左、右焦点双曲线的右支，求出 、 的值，
即可得出轨迹 的方程；
（2）设点 ，设直线 的方程为 ，设点 、 ，联立直线
与曲线 的方程，列出韦达定理，求出 的表达式，设直线 的斜率为 ，同理可得出
的表达式，由 化简可得 的值.
【详解】因为 ，
所以，轨迹 是以点 、 为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹 的方程为 ，则 ，可得 ， ，
所以，轨迹 的方程为 ；（2）设点 ，若过点 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 无公共点，
不妨直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，消去 并整理可得 ，
设点 、 ，则 且 .
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
设直线 的斜率为 ，同理可得 ，
因为 ，即 ，整理可得 ，
即 ，显然 ，故 .
因此，直线 与直线 的斜率之和为 .
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
23．（2021·全国高考真题（文））已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.【答案】（1） ；（2）最大值为 .
【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设 ，由平面向量的知识可得 ，进而可得 ，再由斜率公式
及基本不等式即可得解.
【详解】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点 坐标的关系，在求斜率的最值时要
注意对 取值范围的讨论.
24．（2021·全国高考真题（文））抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于
P，Q两点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，
并说明理由．
【答案】（1）抛物线 ， 方程为 ；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与 相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出
坐标，由 ，即可求出 ；由圆 与直线 相切，求出半径，即可得出结论；
（2）先考虑 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若 斜率存在，由
三点在抛物线上，将直线 斜率分别用纵坐标表示，再由 与圆 相切，得出
与 的关系，最后求出 点到直线 的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线 ，
，所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化
为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用 的对称性，抽象出 与 关系，
把 的关系转化为用 表示.
25．（2021·浙江高考真题）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 ，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，
Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）求出 的值后可求抛物线的方程.
（2）设 ， ， ，联立直线 的方程和抛物线的方程后可得
，求出直线 的方程，联立各直线方程可求出 ，根据题设条件可
得 ，从而可求 的范围.
【详解】（1）因为 ，故 ，故抛物线的方程为： .
（2）设 ， ， ，所以直线 ，由题设可得 且 .
由 可得 ，故 ，
因为 ，故 ，故 .
又 ，由 可得 ，
同理 ，
由 可得 ，
所以 ，
整理得到 ，
故 ，令 ，则 且 ，
故 ，
故 即 ，
解得 或 或 .
故直线 在 轴上的截距的范围为 或 或 .
【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方
程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题
转化为常见函数的范围问题.
1．（2021·贵州省瓮安中学高三其他模拟（文））已知抛物线 的焦点为F，直线l为准线，
点E在拋物线上.若点E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限， ，则直线 的斜率为（
）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据题意先确定出 点所在象限，然后作出图示，根据 的长度以及抛物线的定义确定出
点坐标，由此可求直线 的斜率.
【详解】因为 在 上的射影点 在第四象限，所以 在第一象限，设 与 轴的交点为 点，如下图所
示：因为 ， ，所以 ，所以 ，
又因为 轴，所以 ，
又因为 ，所以 为等边三角形，所以 ,
所以 ，所以直线 的斜率为 ，
故选：A.
2．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，
过点 作斜率为 的直线 与双曲线的左，右两支分别交于 ， 两点，以 为圆心的圆过 ， ，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】取MN中点A，连AF，令 ，由双曲线定义及所给条件可得
2，再借助直线斜率为 即可作答.
【详解】取MN中点A，连AF，由已知令 ，则 ，如图：
2
因点M，N为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得 ，
，
则 ，令双曲线半焦距为c，
中， ， 中， ，
则有 ，即 ，
因直线 的斜率为 ，即 ，而 ，即 ，
，于是有 ， ， ，
所以双曲线 的离心率为 .
故选：B
3．（2021·湖南高三其他模拟）平行直线l： x﹣y﹣1＝0和l： x﹣y+2＝0与圆E：x²+y²﹣4y＝0分
1 2
别相交于A、B和C、D四点，则四边形ABDC的对角线AD的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B【分析】先求出圆心到直线 的距离和两直线之间的距离相等且为 ， 弦长为 ，然后利用勾股定理
来求对角线AD的长度.
【详解】由 ，得 ，所以圆心坐标为 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，所以 ，
过点 作 于点 ，则 ，又 过圆心 ，所以
所以 ，即 .
故选： .
4．（2021·全国高三其他模拟（文））已知直线 与直线 垂直，
则a＝（ ）
A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣1
【答案】D
【分析】根据 ，得出关于 的方程，即可求解实数 的值.
【详解】直线 与直线 垂直，
所以 ，解得 或 .
故选：D.
5．（2021·全国高三其他模拟（文））已知直线 ： 与圆 ： ( )相离，过直
线 上的动点 做圆 的一条切线，切点为 ，若 面积的最小值是 ，则 （ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【答案】A【分析】求出圆心到直线的距离，即可得切线长的最小值，从而得面积最小值，由此可得半径．
【详解】因为 ，所以 ，当 最小时， 最小．
的最小值为 ，所以 ，解得 或 ，
又直线与圆相离，所以 ，所以 ．
故选：A．
6．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））已知直线 与圆 ：
交于 两点，若 为等腰直角三角形，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出圆的圆心和半径 ，根据已知条件可得圆心到直线 的距离等于 ，即可求解.
【详解】由 可得： ，
所以圆心 ，半径 ，
由 为等腰直角三角形知，
圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，解得 ，
故选：D.
7．（2021·全国高三其他模拟（文））若圆 上有且仅有两个点到直线的距离等于2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求圆心到直线的距离，再求半径的范围.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为3．
圆心到直线的距离为：
，
又圆 上有且仅有两个点到直线 的距离等于2，所以
，
解得 或 ．
故选：D．
8．（2021·江苏高三其他模拟）在求球的体积时，我国南北朝时期的数学家祖暅使用了一个原理：“幂势
既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所
截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.类似的，如果与一条固定直线平行
的直线被甲､乙两个封闭图形所截得的线段的长度之比都为 ，那么甲的面积是乙的面积的 倍，据此，椭
圆 的面积是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】令直线 ，求出直线 截椭圆所得的线段长，以及直线 截圆所得的线段长，由题意可得椭
圆的面积与圆的面积之比，进而得解．
【详解】令直线 ，则直线 截椭圆 所得的线段为 ，
直线 截圆 所得的线段为 ，
所以 ，
依题意，椭圆 的面积与圆 的面积之比为 ，
所以椭圆 的面积是 ．
故选： ．
9．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）在直角坐标系 中，已知直线 ，当
变化时，动直线始终没有经过点 ．定点 的坐标 ，则 的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据原点到直线 的距离为1，结合题意可得点 在单位圆内，即可求解.
【详解】因为原点到直线 的距离为 ，
所以动直线 所围成的图形为单位圆，
又动直线始终没有经过点 ，所以点 在该单位圆内，
， ，即 的取值范围为 .
故选：D．
10．（2021·四川德阳市·高三二模（文））对圆 上任意一点 ，若
的值都与 ， 无关，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】A
【分析】将 转化为 ，然后根据几何意义进行解
题即可.
【详解】 等价于圆 上任意一点
到直线 和直线 的距离的差的5倍，而距离之差与 ， 无关，则
直线 与圆相切或相离，且与直线 位于圆的同侧，所以 ，即 或
，由于直线 与直线 位于圆 的同侧，所以
故选：A.
11．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（文））直线 与圆 相交于 ，
两点，若 ，则 的值是（ ）
A． B．0 C．0或 D．【答案】C
【分析】利用垂径定理求弦长，列方程，求出k即可.
【详解】由题意，知 ，圆心为(3，2).设圆的半径为 ，则 ，
所以圆心到直线的距离 .
由点到直线的距高公式，得 ，解得 或 .
故选：C.
12．（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（文））从直线 上的动点 作圆 的两条
切线，切点分别为 、 ，则 最大时，四边形 （ 为坐标原点）面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知当 时， 最大，计算出 、 ，进而可计算得出四边形 （
为坐标原点）面积.
【详解】圆 的圆心为坐标原点 ，连接 、 、 ，则 ，设 ，则 ， ，则 ，
当 取最小值时， ，此时 ，
， ， ，故 ，
此时， .
故选：B.
13．（2021·江苏泰州市·高三其他模拟）已知曲线 与曲线
恰有三个不同的公共点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆的圆心坐标及半径，将有三个公共点转化为两条直线与
圆的交点问题，即可求出结果.
【详解】 ，
， 或 ，
圆心（2,3）到 的距离 ，所以 与 相切于点（2,4），
与 交于不同的三点，即要求 与 有2个交点，且不交于（2,4），
记 为圆心（2,3）到 的距离
又因为不经过（2,4）故选：D
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是转化，将其转化为直线与圆的位置关系，即可得到结果，需要注
意特殊点的考虑.
14．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））已知圆 和点 ，若圆
上存在两点 使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过将圆与两条切线的夹角转化成直角三角形中的边角关系进行求解，数形结合加以求解．
【详解】当 是圆 的切线时， 取得最大值．
若圆 上存在两点 使得 ，则 是圆 的切线时，
，且 ，所以
则 ，所以 ，所以 ．
故选：C
【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是将问题转化为直线与圆相切，从而转化
成直角三角形中的计算问题．
15．（2021·全国高三其他模拟（文））已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，
则 的横坐标为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义转化为到准线的距离，即可求得.
【详解】抛物线的焦点坐标为 ,准线方程为 , ,∴ ，
故选：C.
16．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））已知双曲线 的右焦点为 ，
，直线 与 轴交于点 ，点 为双曲线上一动点，且 ，直线 与以 为
直径的圆交于点 、 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可确定 点坐标，从而确定以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ；
方法一：连接 ，可将 转化为 ，进一步利用向量的线性运算得到
，由双曲线性质可确定结果；
方法二：利用相交弦定理得 ，转化为 ，由双曲线性质可确
定结果；
方法三：设 ，根据 ，由向量的坐标运算可将所求式子转化为关于 的二
次函数的形式，结合 的范围可确定最值.
【详解】由双曲线方程知：右焦点 ， 在双曲线上，
直线 方程为 ，令 ，解得： ， ；
以 为直径的圆的圆心为 ，且 ．
方法一：连接 ，
在以 为直径的圆上， ， ，
；
为双曲线上一点，且 ， ，
；
方法二：
连接 交圆于 两点，
由相交弦定理得： ，
为双曲线上一点，且 ， ，；
方法三：
，
设 ，
则 ，
为双曲线上一点，且 ， ，
当 时， 取得最大值 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中的最值问题的求解，解题关键是能够将所求式子进行转化，可采
用几何法转化为关于 的最值的求解，或利用坐标运算将问题转化为关于 点横坐标的函数的最值的求
解.
17．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））已知 为抛物线 ： 的焦点，过 的直
线 交抛物线 于 、 两点，准线 上有点 、 ，则直线 的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】先得出焦点坐标，设出直线 的方程，与抛物线方程联立，得出韦达定理，根据 ，列出
方程，从而解出答案.
【详解】抛物线 ： 的焦点 ,由题意设直线 的方程
设，得
则 ，由 ，所以
由 ，即
即
即
即 ，所以
故选：A
18．（2021·上海高三其他模拟）双曲线 的焦点到其渐近线的距离为___________.
【答案】1
【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论.
【详解】由题得：其焦点坐标为 ， .渐近线方程为
所以焦点到其渐近线的距离 .
故答案为：1.
19．（2021·全国高三其他模拟（文））在 中， ， ， ，点 在边
上，且 ，动点 满足 ，则 的最小值为___________.
【答案】1
【分析】以B为原点建立坐标系，结合 ，利用坐标运算求出动点 的轨迹，再结合圆的性质求得最小值即可.
【详解】建立如图直角坐标系，依题意知， ， ，设 ，
由 知， ，整理得 ，
所以动点 的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，
由圆的性质可知，当 时， 最小，为3-2=1.
故答案为：1.
20．（2021·全国高三其他模拟（文））已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x，y)在直线x﹣y+1=0上运动.若C
0 0
上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x 的取值范围是___________.
0
【答案】
【分析】首先根据题意画出图形，根据题意得到符合条件的点在以 为圆心， 为半径的圆与直线交
于 ， 两点之间，再联立方程组求解即可.
【详解】如图圆 ， 在直线 上，
若圆存在点 ，使得 ，
当 在直线 上运动，极端情况， 与圆 相切， .
在 中， ，所以 .
所以以 为圆心， 为半径的圆与直线交于 ， 两点.
符合条件的点在线段 之间.
所以 或 .
故 的取值范围为 .
故答案为：
21．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如
图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，
它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图②，在底面半径和高均为 的圆锥中， 、 是底面圆 的两条
互相垂直的直径， 是母线 的中点， 是线段 的中点，已知过 与 的平面与圆锥侧面的交线
是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为____________， 是该曲线上的两点且 ，
若 经过点 ，则 __________.【答案】抛物线
【分析】根据圆锥曲线的定义直接判断即可，再根据抛物线通径的性质直接得出答案即可.
【详解】由已知底面半径和高均为 ，得 ，
又 为 中点， ，且 ，
所以 平面 ，
根据圆锥曲线的定义可知截面与圆锥母线平行时，曲线为抛物线，
又 为 中点，故 ， ，
又 底面，故 ，
由 ， ，
故 平面 ， ，
又 ，故 为抛物线的通径，
.22．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了
体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何
体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线 的焦点在 轴上，离心率为 ，且过
点 ，则双曲线方程为___________；若直线 ， 在第一象限内与 及其渐近线围成如
图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕 轴旋转一周所得几何体的体积为___________
【答案】 .
【分析】由题意求得双曲线的方程，求出 在第一象限内与渐近线的交点 ，与双曲线第一象限内交
点 的坐标，求出 与 轴交点 ，由 ，根据祖晅原理，求出它绕 轴旋转一
圈所得几何体的体积．
【详解】 双曲线 的离心率 ， ；
，
；双曲线的方程为 ，过点 ，
即 ， ， ，
双曲线方程为 ，
则渐近线方程为
在第一象限内与渐近线 的交点 的坐标为 ，
与双曲线 在第一象限交点 的坐标为 ， ，
记 与 轴交于点 ，且 ,如图，
，
故根据祖暅原理，该图形绕 轴旋转一周所得几何体与底面半径为 高为1的圆柱“幂势相同”，故它
绕 轴旋转一圈所得几何体的体积为 ．故答案为： ； ．
23．（2021·全国高三三模）探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），
正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆
图，在平面直角坐标系中，抛物线 ，一条光线经过 ，与 轴平行射到抛物线 上，
经过两次反射后经过 射出，则 ________，光线从点 到 经过的总路程为________．
【答案】
【详解】如图，易得 ，因为 ，
所以直线 的方程为 ．
联立 消去 整理得 ，
可设 ，显然 和 是该方程的两个根，
则 ，所以 ．
（方法一）光线从点 到 经过的总路程为
．（方法二）设抛物线的准线为 ，则其方程为 ，分别过点 ， 做准线 的垂线，垂足分别为 ，
，则 ， ，所以 ，
故光线从点 到 经过的总路程为
．
24．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））已知椭圆 ： 的焦点为 、
，过 的直线交 于 ， 两点，线段 的最小值为 ，过 作与 轴垂直的直线交直线
于点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）试问直线 是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）直线 恒过定点 ．
【分析】（1）根据过焦点的弦通径最短，可知 ，而 ，可解得 ，即求出椭圆 的
标准方程；
（2）先根据特殊位置找到定点坐标，即当直线 垂直于 轴时以及直线 的斜率为0时，由这两处的直线 的方程联立可求出定点为 ，再证明当直线 的斜率不为0时，直线 恒过定点 即
可．
【详解】（1）因为椭圆 ： ，所以 ，
∴ ，椭圆 的标准方程为 ．
（2）直线 恒过定点 ，证明如下：
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ．
由 ，消去 并整理，得 ，易知 ，
设 ， ，
则 ， ，所以
由 ，直线 的斜率为 ，直线
的方程为： ，即 可知直线 恒过定点 ．
当直线 的斜率为0时，显然直线 恒过定点 ．综上，得证．
25．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））已知椭圆 ：
的离心率为 ，且椭圆上动点 到右焦点最小距离为 .（1）求椭圆 的标准方程；
（2）点 ， 是曲线 上的两点， 是坐标原点， ，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）最大值为 .
【分析】（1）根据题意列出 的方程组，从而求解；
（2）设出直线 的方程 ，根据弦长公式找出一个 的关系式；然后求原点到直线 的
距离，把求 面积的最大值转化为求原点到直线 距离的最大值.
【详解】（1）依题意， ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）①当 斜率不存在时，即直线 轴，不妨设 ，则 ，
；
②当直线 斜率存在时，设直线 方程为 ，
由 ，得 ，
则 ，
设 ， ，则 ， ，所以 ，
，
即 .
记原点 到直线 的距离为 ，
则
.
(当 ，即 时取等，验证满足题意)
所以 ，
又因为 ，所以 取最大值为 .
注：求 的最大值还可以这样处理，设 ，则
(当 ，即 时取等).
26．（2021·浙江高三其他模拟）如图所示，已知抛物线： ，F是抛物线的焦点，过F点
作直线AB交抛物线于A，B两点，记A点的坐标为（ ），B点的坐标为（ ），且存在某一情况满足 =| |=2．
（1）当 =| |=2，求AB直线的方程及p的值；
（2）设点P的坐标为（0，t），且|AF|＜|BF|，点C（不在原点上）在抛物线上，PC不平行于x轴，且PC
恰好与抛物线相切．若CA，CB分别与x轴相交于D，E，设△ADF，△BEF和△ABC的面积分别为 ，
， ，求 的最大值
【答案】（1）AB直线方程：x=1；p=2；（2）
【分析】（1）由题意知 关于x轴对称，即可求解；
（2）设C：（ ），直线AB方程为y=-t（x-1）（t＞0），分别计算 ，化简即可.
【详解】（1）由题意易得AB直线方程：x=
将y=2与x= 代入抛物线方程：4 ，得p=2-
故AB直线方程：x=1
（2）设C：（ ），直线AB方程为y=-t（x-1）（t＞0）将AB方程与抛物线联立，解得 ，
则 |AB| ，
设直线PC方程为y=kx+t，将PC方程与抛物线联立，得
由相切可得 ，化简得 ，将 代入，解得C：（ ，
故C到直线AB的距离 ，
由直线AC方程（ ）y=4x+ ，当y=0时，解得 ，
同理直线BC方程（ ）y=4x+ ，解得 ，
故 = - ）·（ ）= |=1+ ，
= ，故 ，
当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为 .
27．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三三模（文））已知抛物线C∶y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F
且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，三角形AOB(点O为坐标原点)的面积为2.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设不经过原点 的直线 与抛物线交于P，Q两点，设直线OP，OQ的倾斜角分别为α和β，证明：当 时，直线 恒过定点.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据题意结合抛物线的性质，得到焦点坐标 ， ，因此可得点 ， 的横坐标与焦点
相同，由 的面积即得 的值，从而确定抛物线方程．
（2）结合题意设出直线方程并联立抛物线方程组，消元、列出韦达定理，表示出 ， ，再
根据两角和的正切公式得到 ，即可得到直线过定点坐标．
【详解】（1）解：根据题意可得焦点 ， ，因此可得 ，
所以 ，
解之可得 ，
故可得抛物线的方程为： ．
（2）证明：根据题意，设 ， ， ， ，易知直线 的斜率存在，假设直线 的方程为
，
联立抛物线方程得， ，
由韦达定理可得， ，
则 ， ，，
，
又因为 ， ，
所以 ， ，
所以当 时， ，
解得 ，
所以直线 的方程即为： ，
即得直线 恒过定点 ．
28．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知点 在抛物线 ： 上，过点 作圆 ：
的两条切线，与抛物线 分别交于 ， 两点，切线 ， 与圆 分
别相切于点 ， .
（1）若点 到圆心 的距离与它到抛物线 的准线的距离相等，求点 的坐标；
（2）若点 的坐标为 ，且 时，求直线 的方程；
（3）若点 的坐标为 ，设线段 中点的纵坐标为 ，求 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2） ；（3） .
【分析】（1）设点 的坐标为 ，由点在抛物线上，及距离相等方程组，解之可得 坐标．
（2）求出切线长，得以点 为圆心， 为半径的圆的方程，此方程与已知圆方程相减即得公共弦 所
在直线方程．（3）设切线方程为 ，由圆心到切线距离等于半径得关于 的方程
，记切线 ， 的斜率分别为 ， ，利用韦达定理得 ，由切
线方程与抛物线方程联立方程组求得交点 坐标，求得 中点纵坐标 ，结合韦达定理的结论把纵坐
标表示为 的函数式，从而可得 所求范围．
【详解】解：（1）设点 的坐标为 ，
则 解得 或
即点 的坐标 或 .
（2）当点 的坐标为 ，且 时， ，
在直角三角形 中， ，
所以，以点 为圆心， 为半径的圆的方程为 ，①
圆 ： ，②
①-②： ，③
因为 在圆 上， 在圆 上，所以 点坐标满足③式，同理 点坐标满足③式，
所以③： 即为直线 方程.
（3）由题意知切线 ， 的斜率均存在且不为零，设切线方程为 ，
由 ，得 ，
记切线 ， 的斜率分别为 ， ，则由于切线 ， 的方程分别为 ， ，
联立 消去 ，得 ，
设 ， ，则 ，
故 ，同理， ，
于是 ，
即 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，直线与圆的位置关系等问题．直线与圆相切，一般都
是用圆心到切线的距离等于半径求解．直线与抛物线相交问题，由直线方程与抛物线方程联立方程组可解
得交点坐标（本题中由于一个交点 已知，因此可结合韦达定理求得另一交点坐标）．解题关键是设切线
方程 ，由圆心到直线的距离等于半径，列式化简应用韦达定理．
29．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））如图，椭圆 ： 的一个
顶点为 ，离心率为 ． ， 是过点 且互相垂直的两条直线，其中， 交圆 ：
于 ， 两点， 交椭圆 于另一点 ．（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若 面积为 ，求直线 的方程．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或 或 或
..
【分析】（I）根据下顶点坐标及离心率求得参数a，b，c，从而写出椭圆方程；
（II）根据题意设出直线 和 的方程，分别在圆和椭圆中求得弦长，由三角形面积
，代入求得斜率k，即可写出直线方程.
【详解】（Ⅰ）由已知得到 ，且 ，结合 ，有 ，
故椭圆的方程是 ；
（Ⅱ）因为直线 ，且都过点 ，且斜率存在且不为0，
所以设直线 ： ，直线 ： ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，直线 被圆 所截的弦
；由 ，所以 ，
∴ ，
所以
解之得， 或 ，所以，直线的方程为 或 或 或
.
【点睛】方法点睛：在圆中求弦长可以通过圆心三角形，利用点到直线距离间接求得，在椭圆中求弦长需
要联立方程，根据弦长公式求得.
