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专题 07 平面向量
1．（2021·浙江高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】若 ，则 ，推不出 ；若 ，则 必成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
2．（2021·全国高考真题）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量
的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以，
同理 ，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
3．（2021·浙江高考真题）已知平面向量 满足 .记向量
在 方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】设 ，由平面向量的知识可得 ，再结合柯西不等式
即可得解.
【详解】由题意，设 ，
则 ，即 ，
又向量 在 方向上的投影分别为x，y，所以 ，
所以 在 方向上的投影 ，即 ,
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小
值.
4．（2021·全国高考真题（理））已知向量 ．若 ，则 ________．
【答案】 .
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量 的坐标，利用向量的数量积为零求得 的值
【详解】 ,
，解得 ,
故答案为： .
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积 .
5．（2021·全国高考真题）已知向量 ， ， ， _______．
【答案】
【分析】由已知可得 ，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得 ，
因此， .
故答案为： .
6．（2021·全国高考真题（理））已知向量 ，若 ，则 __________．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为 ，所以由 可得，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 ，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
7．（2021·北京高考真题） ， ， ，则 _______； _______．
【答案】0 3
【分析】根据坐标求出 ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】 ，
， ，
.
故答案为：0；3.
1．（2021·全国高三二模）已知向量 和 不共线，向量 ， ， ，
若 ､ ､ 三点共线，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【详解】∵ ､ ､ 三点共线，∴ ，解得 .故选A.
2．（2021·青海西宁市·高三三模（理））已知向量 满足 ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，
3．（2021·全国高三其他模拟（理））在 中， ，D是 上的点，若
，则实数x的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 得到 ，然后带入 ，进而得到 ，
然后根据B，D，E三点共线，即可求出结果.
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵B，D，E三点共线，∴ ，∴ ．
故选：D．
4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若单位向量 满足 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由已知条件求出 ，再由 即可求出答案.【详解】解：因为 为单位向量，
所以 ，所以 ,
所以 ，
故选：C.
5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知 ， 是两个夹角为 的单位向量， ，
，则 （ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【分析】直接利用数量积的定义和运算律求解即可
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：C.
6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））在直角梯形 中， ，
， ， 为 边上中点， 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题首先可根据题意得出 以及 ，然后根据 为 边上中点得出
，最后将 转化为 ，通过计算即可得出结果.
【详解】因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
因为 为 边上中点，所以 ，
则
，
故选：D.
7．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在 中， ， 是 上的一点，
，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为 ，所以 ，因为
，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故选B．
8．（2021·安徽安庆市·安庆一中高三三模（理）） 中， ， ， ，点 为
的外心，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在 中，利用余弦定理求出 ，再在 两边同时乘以向量 和
，利用投影的定义计算出 和 的值，代入方程中计算，解出 和 ，可得出答案．
【详解】 中， ， ， ，
则 ，
， ，
又 ，同理可得： ，代入上式，，解得： ，
故选：A.
9．（2021·河南高三其他模拟（理））已知圆 是 的外接圆，半径为1，且
，则 ___________.
【答案】
【分析】将 变形为 ，平方化简可得 ，故
，结合数量积公式求解即可
【详解】将 变形为 ，再两边平方，得 ，
所以
.
故答案为： .
10．（2021·岐山高级中学高三其他模拟（理））在四边形 中， ， ， ，
，点 在线段 的延长线上，且 ，则 _____________．
【答案】
【分析】利用 和 作为基底表示向量 和 ，然后计算数量积即可．【详解】解：∵ ， ， ，
∴在等腰三角形 中， ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴
又 ，
∴
故答案为： ．
11．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知向量 ， ，且 与 垂直，则
______．
【答案】
【分析】求得 坐标，根据垂直关系列出式子即可求解.
【详解】 ， ， ，
与 垂直， ，解得 .故答案为： .
12．（2021·安徽师范大学附属中学高三其他模拟（理））已知向量 ， ，若 ⊥ ，
则 ______．
【答案】1
【分析】解方程 即得解.
【详解】因为 ⊥ ，
所以 .
故答案为：1
13．（2021·河北保定市·高三二模）已知O为 角平分线AM上一点， ， ，且
，则 ___________； ___________.
【答案】
【分析】利用向量的加、减法运算以及向量数量积的几何意义即可求解.
【详解】如图，作 ，
由 是角平分线，可得 ， ，
由 可知 为 的中点，故 ，
,
设 ，则 ，解得 ，
故 ，
.
故答案为： ； .
