文档内容
专题 10 不等式、推理与证明、算法初步、复数
1．（2021·全国高考真题（文））若 满足约束条件 则 的最小值为（ ）
A．18 B．10 C．6 D．4
【答案】C
【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为 ，数形结合即可得解.
【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
由 可得点 ,
转换目标函数 为 ，
上下平移直线 ，数形结合可得当直线过点 时, 取最小值，
此时 .
故选：C.2．（2021·浙江高考真题）若实数x，y满足约束条件 ，则 的最小值是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为 ，求出过可行域点，且斜率为 的直线在 轴
上截距的最大值即可.
【详解】画出满足约束条件 的可行域，
如下图所示：
目标函数 化为 ，
由 ，解得 ，设 ，
当直线 过 点时，取得最小值为 .
故选：B.
3．（2021·江苏高考真题）已知奇函数 是定义在 上的单调函数，若正实数 ， 满足
则 的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】由奇函数 是定义在 上的单调函数， ，可得 ，即
，所以 ，化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】解：因为 ，所以 ，
因为奇函数 是定义在 上的单调函数，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值是 .
故选：B
4．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得
出 不符合题意， 符合题意．
【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A
不符合题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，
所以其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即
时取等号，所以其最小值为 ，C符合题意；对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ，
，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数
的性质即可解出．
5．（2021·江苏高考真题）若复数 满足 ，则 的虚部等于（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】C
【分析】利用复数的运算性质，化简得出 .
【详解】若复数 满足 ，则
，
所以 的虚部等于 .
故选：C.
6．（2021·浙江高考真题）已知 ， ，(i为虚数单位)，则 （ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数 的值.
【详解】 ，
利用复数相等的充分必要条件可得： .
故选：C.
7．（2021·全国高考真题）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置.
【详解】 ，所以该复数对应的点为 ，
该点在第一象限，
故选：A.
8．（2021·北京高考真题）在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得： .
故选：D.
9．（2021·全国高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为 ，故 ，故
故选：C.
10．（2021·全国高考真题（文））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由已知得 ，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】 ，
.
故选：B.
11．（2021·全国高考真题（文））设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】由题意可得： .
故选：C.
12．（2021·天津高考真题）若 ，则 的最小值为____________．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】 ，
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
13．（2021·江苏高考真题）下图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n值是___________.【答案】2
【分析】程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出结果.
【详解】初始值： ，
当 时， ，进入循环；
当 时， ，进入循环；
当 时， ，终止循环，输出 的值为 .
故答案为：2.
14．（2021·天津高考真题） 是虚数单位，复数 _____________．
【答案】
【分析】利用复数的除法化简可得结果.
【详解】 .
故答案为： .
15．（2021·江苏高考真题）某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个;
乙种规格原料每张2m2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个.问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的
用料面积最小?并求最小用料面积.
【答案】甲2块，乙1块，8 m2.
【分析】设需要甲种原料 张，乙种原料 张，则所用原料的总面积 ，由题意列出关于 ，
的不等式组，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入
目标函数得答案．
【详解】设需要甲种原料 张，乙种原料 张，
则 ，
所用原料的总面积 ．
由约束条件作出可行域如图，
联立 ，解得 ， ，即 ，
由 ，得 ，由图可知，当直线 过 时，
取得最小值为 ．
故需要甲种原料2张，乙种原料1张，才能使总的用料面积最小，为 m2．
16．（2021·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 万元与年产量 吨之间的函数关系可以近似地表示为 ，已知此生产线的年产量最小为60吨，
最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?
并求最大利润.
【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万
元.
【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；
（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.
【详解】（1） ，
当且仅当 时，即 取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又 ，∴当 时， .
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
17．（2021·江苏高考真题）已知函数 的定义域是 .
（1）求实数 的取值范围;
（2）解关于 的不等式 .
【答案】（1） ；（2） .【分析】（1）本题可根据对数函数的性质得出 恒成立，然后通过 即可得出结果；
（2）本题首先可根据 得出 ，然后通过计算即可得出结果.
【详解】（1）因为函数 的定义域是 ，
所以 恒成立，
则 ，解得 ， 的取值范围为 .
（2） ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，解得 ，
故不等式 的解集为 .
1．（2021·陕西高三其他模拟（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解出集合 、 ，利用交集的定义可求得集合 .
【详解】 ， ，
因此， .故选：A.
2．（2021·河南高三其他模拟（文））已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式组在直角坐标系上画出可行域，令 ，则直线 ，当直线在 轴上的
截距最大时， 最小；当直线在 轴上的截距最小时， 最大，从而得出 的取值范围.
【详解】根据题意画出可行域如图，令 ，则直线 ，
经过点 时， ；
直线 与半圆 相切时，切点为 ，
此时 ，
所以 .
故选：D.
3．（2021·浙江高三其他模拟）若实数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】构造函数 证得 ，从而得到 ，结合
均值不等式得到方程组，解之即可.
【详解】证明不等式 ，
令 ， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
，故 证明成立；
又因为 ≥ ，且仅当a= 时成立
又因为
故与题意联立，得
令t= ，故有 ，解得 时成立，综上联立： =1与a=
解得a= ，b= ，
故选：C.
【点睛】构造函数证明不等式，然后结合不等式的夹逼定理以及均值不等式得到方程组，需要较强的抽象
思维能力.
4．（2021·陕西高三其他模拟（文））已知实数 满足约束条件 ，则目标函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】作出实数 满足的约束条件表示的平面区域，再由目标函数 的几何意义借助几何图
形求解即得.
【详解】画出约束条件 表示的平面区域，如图中阴影区域，它是斜向上的一个开放性区
域，含边界，
目标函数 ，即 ，表示斜率为-3，纵截距为z的平行直线系，作出直线l： ，
0
平移直线l 使其过点A时的直线纵截距最小，z最小，
0
由 得 ，即点 ，于是得 ，
所以目标函数 的最小值为 .
故选：A
5．（2021·赤峰二中高三其他模拟（文））中国有句名言“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”取意于《孙子算经》中记载的算筹，古代用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进
行运算，算筹的摆放形式有纵､横两种形式(如图所示)，表示一个多位数时，把各个数位的数码从左到右排
列，但各位数码的筹式要纵横相间，个位､百位､万位数用纵式表示，十位､千位､十万位数用横式表示，依
此类推.例如：7239用算筹表示就是 ，则6728用算筹可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据算筹的定义表示数即可.
【详解】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万
位用横式表示，则6728用算筹可表示为
故选：D.
6．（2021·银川市第六中学高三其他模拟（文））下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（ ）
A．由 ，求出 ， ， ，…，推断：数列 的前 项和
B．由 满足 对 都成立，推断： 为奇函数
C．由半径为 的圆的面积 ，推断单位圆的面积
D．由 ， ， ，…，推断：对一切 ，
【答案】A
【分析】根据归纳推理是由特殊到一般，推导结论可得结果.
【详解】对于A，由 ，求出 ， ， ，…，推断：数列 的前 项和，是由特殊推导出一般性的结论，
且 ，故A正确；
B和C属于演绎推理，故不正确；
对于D，属于归纳推理，但 时，结论不正确，故D不正确.
故选：A.
7．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）
A．1002 B．1001 C．1000 D．999
【答案】B
【分析】根据框图，结合裂项相消相消法可知跳出循环结构时 的取值.
【详解】由程序框图知， ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
即当 时，满足 ，
此时由 知， ，
故输出 ，
故选：B
8．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简 ，再求 得解.
【详解】由题得 ，
所以 .
故选：B
9．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））已知复数 ， (其中i
是虚数单位， )，若 为实数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数代数形式的乘法运算法则化简 ，再根据复数为实数的充要条件即可得出．
【详解】解：因为 ，，
因为 为实数
，解得 .
故选：B
10．（2021·陕西高三其他模拟（文））复数 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数除法运算法则化简复数，然后根据共轭复数概念写出共轭复数.
【详解】 ，
故
故选：B
11．（2021·四川眉山市·仁寿一中高三其他模拟（文））复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 可化简得 ，再根据复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为 ，所以 ．
故选：C．
12．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（文））已知 是虚数单位，若 是纯虚数，则
实数 （ ）A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】首先根据复数的除法运算，可得 ，再根据 是纯虚数，所以 ，由
此即可求出结果.
【详解】
又 是纯虚数，所以 ，所以 .
故选：D.
13．（2021·疏勒县实验学校高二期末（文））在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由坐标形式写出复数，从而求得共轭复数.
【详解】由题知， ，
则
故选：A
14．（2021·四川德阳市·高三二模（文））设 是复数，若 ( 是虚数单位)，则下列说法正确
的是（ ）
A． 的虚部为 B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得 ，由此判断出正确选项.【详解】依题意 ，
，B错，
所以 的虚部为 ，A错，
，C错，
，D正确.
故选：D
15．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））已知复数 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的乘方法则化简复数 ，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】 ，则 ，则 ，故 .
故选：B.
16．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三三模（文））若实数x，y满足约束条件 ，
的最小值为_____．
【答案】 ．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐
标代入目标函数得答案．
【详解】解：由约束条件作出可行域如图，当 时， ，所以 ，
化 为 ，
由图可知，当直线 过A时，
直线在 轴上的截距最小， 有最小值为 ．
故答案为： ．
17．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（文））已知点 ， 在不等式组
表示的平面区域内，则 取值范围的集合为______．
【答案】
【分析】由约束条件作出可行域，求出直线 在可行域内的整点，则答案可求．
【详解】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得： ， ，
联立 ，解得 ，
可得直线 上有三个整点 、 、 在可行域内．
若点 ， 在不等式组 表示的平面区域内，
则a取值范围的集合为 2， ．
故答案为： 2， ．
【点睛】本题考查不等式组表示的区域问题，关键是数形结合思想的运用．
18．（2021·四川遂宁市·高三三模（文））若 则 的最小值是___________.
【答案】
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．
【详解】作出可行域如图所示：作出直线 经过 时， 取得最小值3.
故答案为：3
19．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（文））设 ， 满足约束条件 ，则
的最小值是___________.
【答案】
【分析】画出不等式表示的平面区域，数形结合即可求出.
【详解】解：由约束条件作出可行域如图，联立 ，解得 ，
由 ，得 ，
由图可知，当直线 过 时，直线在 轴上的截距最小，
有最小值为 .
故答案为： .
20．（2021·四川自贡市·高三三模（文））若变量x，y满足约束条件 ，则该约束条件组确定的
平面区域的面积为__．
【答案】4
【分析】作出不等式组表示的平面区域，进而可得面积.
【详解】不等式组 表示的平面区域如图：
阴影部分是三角形，其中A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），
所以，阴影部分的面积为： ×4×2＝4．
故答案为：4．
21．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））观察以下式子：；
；
；
按此规律归纳猜想第5个等式为__________.（不需要证明）
【答案】
【分析】利用归纳推理即可得出答案.
【详解】依题可知第5个的等式为 .
故答案为：
22．（2021·山西高三二模（文））某校团委为高三学生筹备十八岁成人礼策划了三种活动方案，分别记作
､ ､ ，为使活动开展得更加生动有意义，现随机调查甲､乙､丙三位同学对三种活动方案的喜欢程度.
甲说：“我不喜欢方案 ，但喜欢的活动方案比乙多.”乙说：“我不喜欢方案 .”丙说：“我们三人都喜
欢同一种方案.”由此可以判断乙喜欢的活动方案是___________.
【答案】
【分析】根据甲，乙，丙说话的内容，进行推理，判断.
【详解】因为甲不喜欢方案 ，但喜欢的方案比乙多，所以甲喜欢 ，且乙只喜欢一种方案，因为乙
不喜欢方案 ，丙说三人喜欢同一种方案，综上可知，乙喜欢的活动方案是 .
故答案为： ‘
23．（2021·内蒙古呼和浩特市·（文）） ，.通过观察上述两等式的共同规律，请你写出一个一般性的命题
___________.
【答案】 (答案不唯一)
【分析】分析已知条件中： ,我们发现等
式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以 为公差的等差数列，右边是常数，由此
不难得到结论
【详解】由已知中： ，
归纳推理的一般性的命题为：
证明如下：
左边
右边.
结论正确.
故答案为：
【点睛】归纳推理的一般步骤为：
（1）通过观察个别情况发现某些共同性质；
（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）；（3）（论证）.
24．（2021·青海西宁市·（文））执行如图所示的程序框图，若输入的 ， 分别是1，2048，则输出的
______．
【答案】6
【分析】根据程序框图计算即可得到答案.
【详解】第一次运算， ， ， ， ；
第二次运算， ， ， ， ；
第三次运算， ， ， ， ，停止运算．
所以输出 ．
故答案为：6
25．（2021·上海普陀区·高三其他模拟）下面是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果为
___________.【答案】14
【分析】根据程序框图的顺序结构及循环结构进行运算得到最后的结果.
【详解】解：由程序框图知：第一次循环n=1，S=﹣1+1=0；
第二次循环n=2，S=0+1+2=3；
第三次循环n=3，S=3﹣1+3=5；
第四次循环n=4，S=5+1+4=10；
第五次循环n=5，S=10﹣1+5=14，
满足条件S>13，跳出循环，输出S的值为14.
故答案为：14.
【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结
构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．
