文档内容
专题 03 导数及其应用
1．（2021·全国高考真题（文））设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图像与 轴没有公共点，求a的取值范围.
2．（2021·全国高考真题（文））已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
3．（2021·浙江高考真题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
(注： 是自然对数的底数)
1．（2021·山西高三三模（文））已知 ，设函数 的图象在点 处的切线为
l，则l过定点（ ）
A． B． C． D．2．（2021·广东高三其他模拟）已知函数 ，若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河南高三其他模拟（理））已知函数 ， ，其中e为自
然对数的底数，若存在实数 使得 成立，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河南高三其他模拟（文））函数 在 上的最小值为（ ）
A． B．-1 C．0 D．
5．（2021·福建高三三模）已知函数 ，实数 ， 满足不等式
，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数 在区间 内有唯一零点，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
7．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知 ，若关于 的不等式 恒
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））当 时， 恒成立则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）若函数 的所有零点之和为0，则实数a
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·浙江金华市·高三三模）已知函数 ， ，则当 时（ ）
A． |
B．
C．
D．
11．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数 ，若存在m，
n∈[2，4]，且m-n≥1，使得f(m)=f(n)，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
12．（2021·山东济南市·高三其他模拟）曲线 在x＝0处的切线方程是_________．
13．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））已知关于 的方程 有三个不相等
的实数根，则实数 的取值范围是______．
14．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知函数 ，点 为函数 图象上一动点，则
到直线 距离的最小值为___________.(注 )
15．（2021·安徽六安市·六安一中高三其他模拟（文））曲线 在 处的切线在 轴上的截
距为___________.
16．（2021·浙江宁波市·镇海中学高三其他模拟）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施
“以直代曲”的近似计算，用正 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率 的精度较高的近似值，这
是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的
切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设 ，则 ________，其在点 处的切
线方程为________．
17．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））函数 的递增区间为______；若
，则函数 零点的取值范围是______．
18．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）我国魏晋时期的数学家刘徽形容他创立的“割圆术”说：“割之
弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”即用正 边形进行内外夹逼，可
以求得圆周率 的精确度较高的近似值.借用这种“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线，再进行相关计算.若函数 ，则曲线 在点
处的切线方程为___________；用此结论计算： ___________.
19．（2021·浙江高三期末）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，
因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三
角形面积的 ．已知 为抛物线 上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为
_______；弦 与抛物线所围成的封闭图形的面积为_________．
20．（2021·玉林市育才中学高三三模（文））设函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时， 在 时取得极值，求 ；
（Ⅱ）当 时，若 在 上单调递增，求 的取值范围；
21．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）已知函数 ， .
（1）讨论 的零点个数；
（2）若 有两个极值点 ， ，且 ，证明： .
22．（2021·全国高三其他模拟（理））设函数 ， ．
（1）若 恒成立，求 的取值范围；
（2）已知函数 图象上任意两个点 ， ，（ ），设直线 的斜率
为 （其中 为函数 的导函数），证明： ．23．（2021·四川德阳市·高三二模（文））设函数 .
（1）当 时，求 的单调区间 是 的导数)；
（2）若 有两个极值点 ､ ，证明： .
24．（2021·山东高三其他模拟）已知函数 ， ．
（1）若函数 在 处取得极大值，求实数 的值；
（2）当 时，若对 ，不等式 恒成立，求实数 的值．
25．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知函数 ， ，其中 为自然对数
的底数， .
（1）若对任意的 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范围；
（2）若函数 的图象始终在函数 的图象上方，求 的取值范围.
26．（2021·浙江金华市·高三三模）已知函数 .
（1）求f(x)在点(-1，f(-1))处的切线方程；
（2）若方程f(x)=b有两个实根 ，且 ，证明； 时， .(注∶e为自然对数的
底数)27．（2021·河南高三其他模拟（文））已知函数 (其中 为实数).
（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求a，b的值；
（2）当 时，若 恒成立，求实数k的值.
28．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设函数 ，其中
为自然对数的底数，曲线 在 处切线的倾斜角的正切值为 ．
（1）求 的值；
（2）证明： ．
29．（2021·广东高三其他模拟）已知函数 .
（1）若 的图象在点 处的切线与直线 平行，求 的值；
（2）在（1）的条件下，证明：当 时， ；
（3）当 时，求 的零点个数.
30．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数
.
（1）讨论 的单调性；
（2）若函数 只有一个零点，求实数 的取值范围.
31．（2021·福建高三三模）已知函数 .
（1）当 时，讨论函数 的单调性：
（2）若函数 恰有两个极值点 ，且 ，求 的最大值.
