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专题 12 不等式选讲
1．（2021·全国高考真题（文））已知函数 ．
（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将 向左平移可满足同角，求得 过 时
的值可求.
【详解】（1）可得 ，画出图像如下：，画出函数图像如下：
（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
1．（2021·江西高三其他模拟（文））已知不等式 的解集为
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2）最小值为4.
【分析】（1）用零点分区间法去绝对值后直接解不等式即可得到m、n；
（2）由（1）可得 把 转化为 ，利用基本不等式求最值.
【详解】解：（1）当 时，由 可得 ，解得 ，
所以当 时，由 可得 ，解得 ，所以
当 时，由 可得 ，解得 ，所以
综上所述，不等式 的解集为 ，则
（2）由（1）可得 所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立， 的最小值为4.
【点睛】（1）含绝对值的函数问题处理方法：通过对x的范围的讨论去绝对值符号，转化为分段函数；
（2）不等式的证明通常利用基本不等式、柯西不等式.
2．（2021·广西高三其他模拟（文））已知函数 ．
（1）解不等式： ；
（2）已知实数 满足：对 都有 ，若 ， ， 且 ，求
最小值．
【答案】（1） ；（2）12.
【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集；
（2）由已知可知， 是函数 的最小值，求出即可得到 ，再利用
柯西不等式求最小值，即可得到答案
【详解】（1）当 时，由 得 ，则 ；
当 时，由 得 ，则 ；
当 时，由 ，则 ；
综上，不等式 的解集： .
（2）已知对 都有 ，则 ，
，
则 在 上是减函数，在 上是增函数，
所以 ，
，即 ，
则
，
当且仅当 ，即 ， ， 时等号成立，
所以 .
【点睛】方法点睛：常见的应用不等式求最值题型：
“1”的代换：适用于已知两项的和为定值，求两项和的最小值；
二维不等式： ，当且仅当 时，等号成立；一般形式： ，当且仅当 时，等号成立.
3．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））已知函数 .
（1）求不等式 的解集 ；
（2）设 ， ， ， ，集合 中的最大元素为 ，且 ， ，求
的最小值.
【答案】（1） ；（2）最小值为 .
【分析】（1）用零点分段讨论求解即可；
（2）由（1）知 ，进而由柯西不等式求解即可.
【详解】（1）不等式 可化为
，或 ，或 ，
解得 ，或 ，或 ，
不等式 的解集 .
（2）易知 ，所以 ， ，由柯西不等式得
(当且仅当 时取等号)，
，即 ，
的最小值为 .
4．（2021·四川眉山市·仁寿一中高三其他模拟（文））已知函数 .
（1）求函数 的取值范围；
（2）若 的最小值为 ，且 ，求证：
.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）由绝对值不等式的性质可求得 的取值范围；
（2）由基本不等式求得 ， ， 即可证
明.
【详解】（1）
当且仅当 ，即 时取到等号，
∴g(x)的取值范围是
（2）由（1）问可知g(x)的最小值为1，∴ ，
因为 ，所以 ，
同理 ， ，三个不等式相加得
即 ，当且仅当 时等号成立.
5．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））已知函数 .
(1)解不等式 ；
(2)若方程 的解集为空集，求k的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】(1)把函数 化为分段函数形式，在各段上解不等式即可作答；
(2)化方程为 ，作出函数 图象，利用数形结合的思想即可得解.
【详解】(1) ，则不等式 化为：
或 或 ，解得 或 或 ，
即 ，所以不等式 的解集为 ；
(2) ，令
方程 解集为空集，即直线 与函数 图象无公共点，在同一坐标系内作出直
线 和函数 图象，如图：直线 是过原点的直线，当它过点A(4，2)时， ，当它与直线BC平行时， ，
观察图形知，当直线 在直线 和 所夹含x轴的对顶角区域(不包括直线 )内绕
原点旋转时与函数 图象无公共点，即 ，
所以k的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法：
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（文））已知函数
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）先根据绝对值的性质，将函数的解析表达式写成分段函数的形式，单后利用分区间讨论求
解方法求得不等式的解集;
（2）等价转化为 恒成立，利用绝对值不等式的性质求得 的最大值，进而利用不等式恒成立的意义求得.
【详解】（1）当 时， ，不等式 ，即 ，
当 时，由 ，解得 ；
当 时，由 ，解得 ，故不等式无解；
当 时，由 ，解得 ．
综上 的解集为 ．
（2） 等价于 .
，当 时，等号成立,
∴ 的最大值为 ，
∵ 恒成立,
∴ ，解得 .
7．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数 ， .
（1）解不等式 ；
（2）若 ，且 恒成立，求实数 的最小值.
【答案】（1） ；（2）最小值为2.
【分析】（1）利用零点分段法求得不等式的解集.
（2）先求得 的最大值，由此求得 的取值范围，进而求得 的最小值.【详解】（1） , ， ，
当 时，不等式转化为 ，无解.
当 时，不等式转化为 ，故 ，
当 时，不等式转化为 ，恒成立，故 .
所以不等式的解集为 .
（2） ， 当且仅当 时成立，
∴ ， ， 的最小值为2.
8．（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知f(x)＝|x+a|+|x﹣b|（a＞0，b＞0）．
（1）当a＝b＝1时，解不等式f(x)≥8﹣x2；
（2）若f(x)的最小值为2，求 的最小值．
【答案】（1）{x|x≤ 或x≥ }；（2） ．
【分析】（1）当 ， 时， ， 分类讨论即可得解；
（2）由绝对值三角不等式可得 ，
若 的最小值为2，则 ，所以 ，再利用基本不等式即可求最小值．
【详解】解：（1）a＝b＝1时，f(x)＝|x+1|+|x﹣1|，
当x＞1时，f(x)＝2x，问题转化为2x≥8﹣x2，解得：x≥2或x≤﹣4，
当﹣1≤x≤1时，f(x)＝2，问题转化为2≥8﹣x2，解得：x≥ 或x≤ ，当x＜﹣1时，f(x)＝﹣2x，问题转化为﹣2x≥8﹣x2，解得：x≥4或x≤﹣2，
综上，不等式的解集是{x|x≤ 或x≥ }；
（2）f(x)＝|x+a|+|x﹣b|≥|x+a﹣x+b|＝|a+b|＝a+b＝2，
故a+2+b＝4，即 [（a+2）+b]＝1，
故
＝
＝
≥
＝ ，
当且仅当a+2＝2b即a＝ ，b＝ 时“＝”成立，
故 的最小值是 ．
【点睛】绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
9．（2021·四川宜宾市·高三三模（文））已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）记函数f（x）的最小值为m.若a，b，c均为正实数，且a+b+2c＝2m，若成立，证明： 或 .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据绝对值的性质将函数 写成分段函数，接着分段求解不等式即可；
（2）由（1）值， 即 ，利用柯西不等式证明即可.
【详解】解：（1） ，
故 等价于 或 或 ，
解得 或 或 ，即 或 ，
∴所求不等式的解集为 .
（2）证明：由（1）值， ，
∴ ，则 ，
，
∴ ，
∴ ，解得 或 ，即得证.【点睛】绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
10．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数f(x)=|x+2a|x+|x+2|(x+2a).
（1）当a=2时，求不等式f(x)>0的解集；
（2）若当 时，f(x)>0，求实数a的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据零点分段法分类求解即可；
（2）按照 、 、 分类，结合题意运算即可得解.
【详解】（1）当 时， ，
不等式f(x)>0等价于 或 或 ，
解得 ，
所以不等式的解集为 ；
（2）当 即 时， ，
当 时， ，
此时 ，解得 ；
当 即 时， ，
当 时， ，不合题意；
当 时， ，不合题意；综上，实数a的取值范围为 .
【点睛】解决本题的关键是零点分段法的应用及对于 取值范围的分类，细心运算即可得解.
11．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））已知函数 ．
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）对于任意的正实数 ，且 ，若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）通过讨论 的取值范围，去掉绝对值然后求解不等式即可；
（2）先利用基本不等式求出 的最小值，即是 的最大值，然后由绝对值三角不等式可得
，最后将问题转化为求解 即可.
【详解】解：（1）当 时，原不等式为 ，
当 时，得 ，解得 ，所以 ；
当 时，得 ，即 恒成立，所以 ；
当 时，得 ，解得 ，所以 ．
综上，原不等式的解集为 ．
（2）因为 为正实数，
所以（当且仅当 时等号成立），所以 的最大值为 ，
又因为 （当 时取到等号），
所以要使 恒成立，只需 ，即 或 ，
所以实数 的取值范围是 ．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，利用“1”的灵活运用求出 的最小值以及利用绝对值三
角不等式求出 的最小值.
12．（2021·吉林白城市·白城一中高三其他模拟（文））已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）先由 ，得到 ；讨论 ， ， 三种情况，分别解不
等式，即可得出结果；
（2）先由 ，结合函数解析式，判断函数单调性，得出 最小值，进而可得出结果.
【详解】（1）当 时， ，
①当 时，则 ，∴ ，∴无解，
②当 时，则 ，∴ ，③当 时，则 ，∴ ，
∴不等式 的解集为 ．
（2）若 ，
①当 时，则 ，
②当 时， ，
③当 时， ，
∵ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
∵ 恒成立，∴ ，
即 ，解得 ，又∵ ，
∴ 的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：
解绝对值不等式的常用方法：
（1）基本性质法： 为正实数， ， 或 ；
（2）平方法：两边平方去掉绝对值，适用于 或 型的不等式的求解；
（3）分类讨论法(零点分区间法)：含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用分类讨论法去掉绝对值，将
其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式求解；
（4）几何法：利用绝对值不等式的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解；
（5）数形结合法：在直角坐标系中，作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.
13．（2021·天水市第一中学高三月考（文））设函数 .
（1）解不等式 ；
（2）已知 的最小值为 ，正实数 ､ 满足 ，求 的最小值，并指出此时 ､
的值.
【答案】（1） ；（2）最小值为 ， ， .
【分析】（1）将 写成分段函数形式,从而可解不等式 ；
（2）由（1）可得 的最小值为2,可得 ,即 ,则
，化简利用基本不等式求出最值，从而求出答案.
【详解】（1）
∵ ,
当 时， ， ，所以 ；
当 时， ， ，所以 ；
当 时， ， ，所以 ；
当 时， ， ，所以 ；∴不等式 的解集为 ；
（2）由（1）可知 的最小值为
所以 ,即
所以
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最小值为 ，此时 ， .
【点睛】本题考查利用基本不等式中“1”的特殊用法，解题时尤为注意等号成立的条件.
14．（2021·陕西高三其他模拟（文））已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若不等式 恒成立时，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）分类讨论去绝对值求解即可；
（2）由绝对值不等式可得 ，则由 可求解.
【详解】解：（1）当 时， ，所以当 时，令 ，解得 ，所以 ；
当 时， 恒成立，所以 ；
当 时，令 ，解得 ，所以 ．
综上所述，不等式 的解集为 ．
（2）因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
令 ，解得 或 ，所以实数 的取值范围是 ．
【点睛】关键点睛：本题考查含绝对值不等式的求解，解题的关键是分类讨论去绝对值.
15．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若函数 的最小值为8，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）零点分段法分类讨论，解出含绝对值的不等式的解集即可；
（2）利用绝对值三角不等式求出 的最小值，即得 ，解之即可.
【详解】解：（1）当 时， ，所以 ，
所以 ，或 ，或 ，
解得 或 或 .所以不等式的解集为 .
（2） ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
所以 ，解得 .
【点睛】零点分段法进行分类讨论是解含绝对值不等式的常用方法.
16．（2021·湖北武汉市·华中师大一附中高三其他模拟（文））已知
（1）若 ，解关于 的不等式 ；
（2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）当 时，分段讨论得函数 的解析式，再分别求解不等式可得答案；
（2）原不等式等价于 在 时恒成立．再令函数 ，由函数的单调性求得
最值，以及基本不等式可求得实数 的取值范围．
【详解】（1）当 时，
当 时，由 得，
当 时，由 得， ，解得一
当 时，由 得， ，不等式 解集为综上所述，不等式 的解集为 ．
（2）
由 得， ，即 ， ，
在 时恒成立，即 在 时恒成立．
由于 时， 是减函数，最大值为 ，等号在 时
成立，
所以，实数 的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）；
② 数形结合( 图象在 上方即可)；
③ 讨论最值 或 恒成立.
17．（2021·四川高三三模（文））已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）若正实数 ， 满足 ，试比较 与 的大小.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）分 ， 和 三种情况解不等式即可；（2）先利用作差法判断 与1的大小，然后利用函数的单调性可得答案
【详解】（1）由题
当 时， ，
得 ，此时不成立；
当 时， ，
得 ，此时取 ；
当 时， ，
得 ，此时取 .
综上，不等式的解集为 .
（2）
.
因为正实数 ， 满足 ，
即有 ，则 ，
所以 ，
由（1）已知函数 为 的增函数，所以 .
【点睛】关键点点睛：本小题主要考查含绝对值的不等式、基本不等式、不等式证明方法等基础知识；考
查运算求解、推理论证等数学能力；考查分类与整合、化归与转化等数学思想，解题的关键是比较
与1的大小，属于中档题
18．（2021·河南高三其他模拟（文））已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 对任意的 恒成立， ，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2）8.
【分析】（1）由 得到 ，然后分 ， ， 利用绝对值的几
何意义求解；
（2）由 对任意的 恒成立，转化为 ，求得t的范围，然后利用基本不等式求
解；
【详解】（1）当 时， .
当 时， 恒成立，所以 ；
当 时，由 ，得 ，所以 ；
当 时， 不成立.
所以不等式 的解集为 .
（2）因为 对任意的 恒成立，所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
，
当且仅当 ，即 时取等号.
所以 的最小值为8.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
19．（2021·河南郑州市·高三二模（文））已知函数 ．
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号解不等式可得；
（2）根据绝对值三角不等式及函数性质求得 的最小值，然后解不等式可得参数范围．【详解】解：（1）若 ，不等式
即为 ，
等价为 或 或 ，
解得 或 或 ，
所以原不等式的解集为 ：
（2）若 恒成立，
即为 ， ，
而 ，
当 时，上式取得等号，
所以 ，即 ，
解得 ，
即 的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：本题考查解绝对值不等式，及绝对值不等式恒成立问题．解含绝对值的不等式的常用
方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，分类讨论解不等式．在用不同的方法求最值时需要每个地方等号
成立的条件相同才可求得最值．
