专题10计数原理（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023新高考一轮复习讲义+课件_赠2021年高考真题和模拟题数学（理）专项汇编

专题 10 计数原理 1．（2021·全国高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个 项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【分析】 先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求 得. 【详解】 根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2 人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置， 四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有 种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】 本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 2．（2021·天津高考真题）在 的展开式中， 的系数是__________． 【答案】160 【分析】 求出二项式的展开式通项，令 的指数为6即可求出. 【详解】 的展开式的通项为 ，令 ，解得 ， 所以 的系数是 . 故答案为：160. 3．（2021·北京高考真题） 展开式中常数项为__________． 【答案】 【详解】 试题分析： 的展开式的通项 令 得常数项为 . 考点：二项式定理. 4．（2021·浙江高考真题）已知多项式 ，则 ___________， ___________. 【答案】 ; . 【分析】 根据二项展开式定理，分别求出 的展开式，即可得出结论. 【详解】 ， ， 所以 ， ， 所以 .故答案为： . 9  1  x2  1．（2021·全国高三其他模拟（理））二项式  的展开式中的常数项为（ ）  2x 21 21 63 21 A．32 B．16 C．16 D． 8 【答案】B 【分析】 x 0 k 先写出展开式的通项，再令 的指数位置等于 可得 的值，即可求解. 【详解】 9 k k  1  1 1 x2  T Ckx29k  xk Ck x183k 二项式  2x   的展开式的通项为： k1 9  2   9  2   ， 183k 0 k 6 令 ，可得： ， 6 1 21 C6 x0  所以常数项为 9  2   16 ， 故选：B. n 1 x  2．（2021·全国高三其他模拟（理））若      nN* 的展开式中第5项与第6项的二项式系数相 x 2   n 等，则 （ ） 8 A．11 B．10 C．9 D． 【答案】C 【分析】 根据二项式展开式表示出第5项与第6项的二项式系数，结合组数的运算即可求出结果. 【详解】 C4 C5 因为第5项二项式系数为 n ，第6项的二项式系数为 n ，n! n!  由题意知C4 C5，所以4!n4! 5!54!， n n 1 1  即n4 5 ，所以n9， 故选：C. 3．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）四色定理(Fourcolortheorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难 1852 题之一.它是于 年由毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只 用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国 P ABCD 数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥 的各个面涂颜色时， 提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择， 那么不同的涂法有（ ） 36 72 48 24 A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】B 【分析】 ABCD PAB PBC PCD 先确定底面 的涂色种数，然后依次确定侧面 、平面 的涂色方法种数，对侧面 与侧 面PAB的所涂颜色是否相同进行分类讨论，确定侧面PAD的涂色方法种数，利用分步和分类计数原理可 得结果. 【详解】 如下图所示： ABCD 4 PAB 3 PBC 底面 的涂色有 种选择，侧面 有 种选择，侧面 有2种选择.PCD PAB PAD 2 ①若侧面 与侧面 所涂颜色相同，则侧面 有 种选择； PCD PAB PCD 1 PAD 1 ②若侧面 与侧面 所涂颜色不同，则侧面 有 种选择，侧面 有 种选择. 4322172 综上所述，不同的涂法种数为 种. 故选：B. 4．（2021·全国高三其他模拟（理））阳春三月，春暖花开，某学校开展“学雷锋践初心向建党百年献 礼”志愿活动．现有6名男同学和4名女同学，分派到4个“学雷锋志愿服务站”参加志愿活动，若每个 志愿服务站至少有男、女同学各1名，共有不同的分配方案数为（ ） A．65 B．1560 C．25920 D．37440 【答案】D 【分析】 A4 根据题意，分2步分析：先把女同学分到4个学雷锋志愿服务站有 4 种，然后把6个男同学分到4个学雷 C3A4 锋志愿服务站，每站至少一个，有2种分配方案，①每个志愿服务站男生数为1、1、1、2，有 6 4 种方 1 法，②每个志愿服务站男生数为1、1、2、2， C2C2A4 种方法，利用分类计数原理，分步计数原理 2 6 4 4 计算可得答案． 【详解】 A4 先把女同学分到4个学雷锋志愿服务站有 4种， 然后把6个男同学分到4个学雷锋志愿服务站，每站至少一个， C3A4 有2种分配方案，①每个志愿服务站男生数为1、1、1、2，有 6 4种方法， 1 C2C2A4 ②每个志愿服务站男生数为1、1、2、2，有2 6 4 4种方法，  1  A4 C3A4  C2C2A4 37440   则共有 4  6 4 2 6 4 4  种方案． 故选：D．6  1  ax 5．（2021·贵州省瓮安中学高三其他模拟（理））当 a 为常数时，  x2   展开式中常数项为 15 ，则 a （ ） A．2 B．1 C．1 D． 【答案】D 【分析】 先写出展开式的通项，然后根据 x 指数部分为0求解出r的值，根据r的值确定出常数项的表示，由此求 a 解出 的值. 【详解】 6r  1  Cr  axr arCrx3r12 因为展开式的通项为 6   x2   6 ， 令 3r120 ，所以 r 4 ，所以常数项为 a4C 6 4 15 ，所以 a4 1 ， a1 所以 ， 故选：D. n 2  x 6．（2021·河南高二三模（理））  展开式中的各二项式系数之和为1024，则 的系数是  x  x4 （ ） A．-210 B．-960 C．960 D．210 【答案】B 【分析】 2n 由二项式系数和等于 ，求得n的值，写出通项公式，计算可得. 【详解】 2n 1024 n10 由已知得： ,∴ , 10k 2 T Ck xk Ck 1k 210kx2k10 ∴展开式的通项公式为 k1 10   x   10 , 2k104,k 7 C7 17 2107 960 令 ,对应系数为： 10 ，故选：B. 2x2021 a a x1a x12  a x12021 7．（2021·河南高三其他模拟（理））已知 0 1 2  2021 ， a  a  a   a  则 0 1 2  2021 （ ） 24042 1 22021 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 3t2021 a ata t2  a t2021 令t  x1，可得xt1，可得出 0 1 2  2021 ，利用展开式通项可知当r 为奇数时， a r 0 ，当r为偶数时， a r 0 ，然后令 t 1 可得出 a 0  a 1  a 2    a 2021 的值. 【详解】 2t1 2021 3t2021 a ata t2  a t2021 令t  x1，可得xt1，则  0 1 2  2021 ， 3t2021 T Cr 32021r tr a Cr 32021r 1r 二项式 的展开式通项为 r1 2021 ，则 r 2021 . a 0 a 0 当 r 为奇数时， r ，当 r 为偶数时， r ， a  a  a   a a a a  a 312021 24042 因此， 0 1 2  2021 0 1 2  2021 . 故选：A. 【点睛】 f xa a xa x2 L a xn 结论点睛：一般地，若 0 1 2 n . a  f 0 （1） 0 ； f 1a a a  a （2）展开式各项系数和为 0 1 2  n； f 1 f 1 a a a L  （3）奇数项系数之和为 0 2 4 2 ； f 1 f 1 a a a L  （4）偶数项系数之和为 1 3 5 2 .5  m  4x2 8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知  x2   的展开式中所有项的系数和为 1 ，则 x4 的系数 为______． 960 【答案】 【分析】 x1 m4 采用赋值法，令 可构造方程求得 ；根据二项式定理可得展开式的通项公式，可进一步对 5r  4  4   x2   进行展开，通过分类讨论可分别求得 k,r 不同取值时 x4 的系数，加和可得最终结果. 【详解】 5 5  m   4   4x2  4x2 令 x1 ，则m35 1，解得： m4 ，   x2     x2   ， 5 5r  4 4x2  Cr  4 4   x2r   x2   展开式的通项公式为： 5   x2   ； 5r 5rk  4   4  4 Ck 4k   x2   展开式通项公式为 5r   x2   ，  k 1 r 3 320x4 k 3 r=2 640x4 当 ， 时，展开式中的项为 ；当 ， 时，展开式中的项为 ； x4 320640960 的系数为 . 960 故答案为： . (x1)21 a a xa x2  a x21 a a  9．（2011·安徽高考真题（理））设 0 1 2  21 ，则 10 11 . 【答案】0 【分析】 a ,a (x1)21 x10,x11 10 11就是 展开式中 的系数，利用通项公式求解即可. 【详解】(x1)21 T Cr x21r(1)r 展开式通项为 r1 21 ， a C11(1)11 C11 10 21 21 a C10(1)10 C10 C11 11 21 21 21 a a C11C11 0 所以 10 11 21 21 ， 故答案为0. 【点睛】 本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一， 关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 T Cranrbr r1 n ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数 和；（3）二项展开式定理的应用. (x1)6 a a (x1)a (x1)2  a (x1)6 a  10．（2021·辽宁高三其他模拟）设 0 1 2  6 ，那么 2 ________． 【答案】240 【分析】 x1 x1 x1 x1 题中等式左边为 ，右边为 ，需令x－1＝t，将 转化为 ， (t2)6 a ata t2  a t6 利用二项式定理求解.即 0 1 2  6 . 【详解】 (t2)6 a ata t2  a t6 a C224 240 设x－1＝t，则 0 1 2  6 ，故 2 6 . 故答案为：240 1mx1x5 a a xa x2 a x6 a 5 11．（2021·河北衡水中学高三三模）已知 0 1 2 6 .若 2 ，则 m ___________． 【答案】1 【分析】1x5 求出 展开式的通项，从而求得m； 【详解】 (1mx)(1x)5 a a xa x2 a x6 因为 0 1 2 6 1x5 T Crxr 其中 展开式的通项为 r1 5 ，令r 1， T C1x1 5x T C2x2 10x2 则 2 5 ，令 r=2 ，则 3 5 ， 所以 1+mx1x5 展开式中x2 项为10x2+mx5x5x2， 故m1， 故答案为：1 6  2  x  12．（2021·浙江高三期末）设二项式  展开中 的系数为 ，常数项为 ，则 ______，  x  x3 m n m n ______. 160 【答案】1 【分析】 6  2  x  先求得二项式  展开式的通项公式，再分别令x的次数为3和0求解.  x  【详解】 6 r  x  2  T Cr x 6r  2  Cr2r x3r 二项式  x   展开式的通项公式为 r1 6   x   6 ， 3r3 r 0 令 ，解得 ， mC020 1 所以 6 ， 3r 0 r 3 令 ，解得 ， nC323 160 所以 6 ， 故答案为：1，-160（2x4）5 a a xa x2 a x3a x4 a x5 a 13．（2021·浙江高三其他模拟）二项展开式 = 0 1 2 3 4 5 ，则 1 a a a =__________； 0 2 4=__________（可以采用指数的形式或数字的方式作答）． 65 25 【答案】2560 2 （或3904） 【分析】 a ,a ,a ,a 结合二项式展开式的通项计算出 1 0 2 4，即可得到结果. 【详解】 2x45 Cr2x5r 4r Cr 25r 4r x5r 因为 的展开式的通项为 5 5 a C42144 2560 令 r 4 ，则 1 5 ， r =5 a C52045 1024 令 ，则 0 5 ， r 3 a C32243 2560 令 ，则 2 5 ， a C12441 320 令 r 1 ，则 4 5 ， a a a 102425603203904 故 0 2 4 ， 故答案为：2560，3904. 14．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）有3个少数民族地区，每个地区需要一各支医医生 和两名支教教师，现将3名支医医生（1男2女）和6名支教教师（3男3女）分配到这3地区去工作， （1）要求每个地区至少有一名男性，则共有________种不同分配方案； （2）要求每个地区至少有一名女性，则共有________种不同分配方案． 【答案】324 432 【分析】 （1）使用间接法求解，先计算对立事件至少有一个地区全是女性的分配方案，再计算所有分配方案即可 求解问题； （2）使用间接法求解，先计算对立事件至少有一个地区全是男性的分配方案，再用总方案相减即可求解 结果．【详解】 （1）要求每个地区至少有一名男性的对立事件是至少有一个地区全是女性的分配方案有 C2C1 C1C2 4 2 A3 666216 2 3 A2 3 ， 2 A3C2C2C2 6156540 每个地区需要一各支医医生和两名支教教师的总分配方案有 3 6 4 2 540216324 所以要求每个地区至少有一名男性的分配方案有 ； C2C1 C1C2 4 2 A3 366108 （2）有一个地区全是男性的分配方案有 1 3 A2 3 2 540108432 所以要求每个地区至少有一名女性的分配方案有 ． 故答案为：324，432 【点睛】 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不 含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取； (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．