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专题 05 平面解析几何
1．（2021·全国高考真题（文））设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2
2．（2021·全国高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
3．（2021·北京高考真题）双曲线 过点 ，且离心率为 ，则该双曲线的标准方程
为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·北京高考真题）已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的
最小值为2，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
6．（2021·全国高考真题（文））点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）A． B． C． D．
7．（2021·天津高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的
焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．
则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．（2021·全国高三其他模拟（文））已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，点 ，
则 的平分线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·全国高考真题）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
10．（2021·全国高考真题）已知点 在圆 上，点 、 ，则（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
11．（2021·天津高考真题）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则 ____________．
12．（2021·全国高考真题）已知函数 ，函数 的图象在点
和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是_______．
13．（2021·北京高考真题）已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，
则 的横坐标是_______；作 轴于 ，则 _______．
14．（2021·全国高考真题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一
点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______.
15．（2021·全国高考真题（文））已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐
标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________．
16．（2021·全国高考真题（文））双曲线 的右焦点到直线 的距离为________．
17．（2021·全国高考真题）已知双曲线 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方
程为_______________
18．（2021·浙江高考真题）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过
的直线和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是
___________，椭圆的离心率是___________.19．（2021·天津高考真题）已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为
，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于
点 ．若 ，求直线 的方程．
20．（2021·全国高考真题）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率
为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线
的充要条件是 ．
21．（2021·北京高考真题）已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形
面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直
线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
22．（2021·全国高考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 、，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且
，求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
23．（2021·全国高考真题（文））已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
24．（2021·全国高考真题（文））抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于
P，Q两点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，
并说明理由．
25．（2021·浙江高考真题）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的
交点，且 ，（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，
Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
1．（2021·贵州省瓮安中学高三其他模拟（文））已知抛物线 的焦点为F，直线l为准线，
点E在拋物线上.若点E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限， ，则直线 的斜率为（
）
A． B． C． D．12．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，
过点 作斜率为 的直线 与双曲线的左，右两支分别交于 ， 两点，以 为圆心的圆过 ， ，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2021·湖南高三其他模拟）平行直线l： x﹣y﹣1＝0和l： x﹣y+2＝0与圆E：x²+y²﹣4y＝0分
1 2
别相交于A、B和C、D四点，则四边形ABDC的对角线AD的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2021·全国高三其他模拟（文））已知直线 ： 与圆 ： ( )相离，过直
线 上的动点 做圆 的一条切线，切点为 ，若 面积的最小值是 ，则 （ ）
A．1 B． C．1或 D．2
6．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））已知直线 与圆 ：
交于 两点，若 为等腰直角三角形，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国高三其他模拟（文））若圆 上有且仅有两个点到直线
的距离等于2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
8．（2021·江苏高三其他模拟）在求球的体积时，我国南北朝时期的数学家祖暅使用了一个原理：“幂势
既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所
截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.类似的，如果与一条固定直线平行
的直线被甲､乙两个封闭图形所截得的线段的长度之比都为 ，那么甲的面积是乙的面积的 倍，据此，椭
圆 的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）在直角坐标系 中，已知直线 ，当
变化时，动直线始终没有经过点 ．定点 的坐标 ，则 的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
10．（2021·四川德阳市·高三二模（文））对圆 上任意一点 ，若
的值都与 ， 无关，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
11．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（文））直线 与圆 相交于 ，
两点，若 ，则 的值是（ ）
A． B．0 C．0或 D．12．（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（文））从直线 上的动点 作圆 的两条
切线，切点分别为 、 ，则 最大时，四边形 （ 为坐标原点）面积是（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·江苏泰州市·高三其他模拟）已知曲线 与曲线
恰有三个不同的公共点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））已知圆 和点 ，若圆
上存在两点 使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·全国高三其他模拟（文））已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，
则 的横坐标为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
16．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））已知双曲线 的右焦点为 ，
，直线 与 轴交于点 ，点 为双曲线上一动点，且 ，直线 与以 为
直径的圆交于点 、 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））已知 为抛物线 ： 的焦点，过 的直线 交抛物线 于 、 两点，准线 上有点 、 ，则直线 的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
18．（2021·上海高三其他模拟）双曲线 的焦点到其渐近线的距离为___________.
19．（2021·全国高三其他模拟（文））在 中， ， ， ，点 在边
上，且 ，动点 满足 ，则 的最小值为___________.
20．（2021·全国高三其他模拟（文））已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x，y)在直线x﹣y+1=0上运动.若C
0 0
上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x 的取值范围是___________.
0
21．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如
图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，
它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图②，在底面半径和高均为 的圆锥中， 、 是底面圆 的两条
互相垂直的直径， 是母线 的中点， 是线段 的中点，已知过 与 的平面与圆锥侧面的交线
是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为____________， 是该曲线上的两点且 ，
若 经过点 ，则 __________.22．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了
体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何
体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线 的焦点在 轴上，离心率为 ，且过
点 ，则双曲线方程为___________；若直线 ， 在第一象限内与 及其渐近线围成如
图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕 轴旋转一周所得几何体的体积为___________
23．（2021·全国高三三模）探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），
正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线 ，一条光线经过 ，与 轴平行射到抛物线 上，
经过两次反射后经过 射出，则 ________，光线从点 到 经过的总路程为________．
24．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））已知椭圆 ： 的焦点为 、
，过 的直线交 于 ， 两点，线段 的最小值为 ，过 作与 轴垂直的直线交直线
于点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）试问直线 是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．
25．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））已知椭圆 ：
的离心率为 ，且椭圆上动点 到右焦点最小距离为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）点 ， 是曲线 上的两点， 是坐标原点， ，求 面积的最大值.
26．（2021·浙江高三其他模拟）如图所示，已知抛物线： ，F是抛物线的焦点，过F点作直线AB交抛物线于A，B两点，记A点的坐标为（ ），B点的坐标为（ ），且存在某一情
况满足 =| |=2．
（1）当 =| |=2，求AB直线的方程及p的值；
（2）设点P的坐标为（0，t），且|AF|＜|BF|，点C（不在原点上）在抛物线上，PC不平行于x轴，且PC
恰好与抛物线相切．若CA，CB分别与x轴相交于D，E，设△ADF，△BEF和△ABC的面积分别为 ，
， ，求 的最大值
27．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三三模（文））已知抛物线C∶y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F
且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，三角形AOB(点O为坐标原点)的面积为2.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设不经过原点 的直线 与抛物线交于P，Q两点，设直线OP，OQ的倾斜角分别为α和β，证明：
当 时，直线 恒过定点.
28．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知点 在抛物线 ： 上，过点 作圆 ：
的两条切线，与抛物线 分别交于 ， 两点，切线 ， 与圆 分别相切于点 ， .
（1）若点 到圆心 的距离与它到抛物线 的准线的距离相等，求点 的坐标；
（2）若点 的坐标为 ，且 时，求直线 的方程；
（3）若点 的坐标为 ，设线段 中点的纵坐标为 ，求 的取值范围.
29．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））如图，椭圆 ： 的一个
顶点为 ，离心率为 ． ， 是过点 且互相垂直的两条直线，其中， 交圆 ：
于 ， 两点， 交椭圆 于另一点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若 面积为 ，求直线 的方程．
