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专题 11 排列组合与二项式定理
1．（全国甲卷数学（文））甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（
）
A． B． C． D．
2．（新高考北京卷） 的二项展开式中 的系数为（ ）
A．15 B．6 C． D．
3．（新课标全国Ⅱ卷）在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共
有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
4．（全国甲卷数学（理）） 的展开式中，各项系数的最大值是 ．
5．（全国甲卷数学（理））有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3
次，每次取1个球.记 为前两次取出的球上数字的平均值， 为取出的三个球上数字的平均值，则 与
差的绝对值不超过 的概率是 ．
6．（新高考上海卷）在 的二项展开式中，若各项系数和为32，则 项的系数为 ．
7．（新高考上海卷）设集合 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，
求集合中元素个数的最大值 ．8．（新高考北京卷）在 的展开式中，常数项为 ．
一、单选题
1．（2024·陕西·三模）2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同
的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方
式共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
2．（2024·河南·模拟预测） 的展开式中x的系数为（ ）
A．30 B．40 C．70 D．80
3．（2024·北京·三模）在 展开式中，常数项的二项式系数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2024·福建厦门·三模）某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司
至多接收2名同学.若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种 B．30种 C．42种 D．60种
5．（2024·湖南衡阳·三模） 展开式中系数为无理数的项共有（ ）
A．2项 B．3项 C．4项 D．5项
6．（2024·浙江·模拟预测）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则数字3在五位数中位于
1和5之间（可以不相邻）的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·辽宁葫芦岛·二模）某校要派4名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个
社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（ ）
A．20种 B．14种 C．10种 D．7种
8．（2024·湖南衡阳·三模）对任意的实数 ，若 ，则 的值为（ ）
A．15 B．6 C．1 D．20
9．（2024·北京昌平·二模）在 的展开式中，常数项为（ ）
A． B．15 C．30 D．360
10．（2024·广东广州·二模）某学校安排4位教师在星期一至星期五值班，每天只安排1位教师，每位教
师至少值班1天，至多值班2天且这2天相连，则不同的安排方法共有（ ）
A．24种 B．48种 C．60种 D．96种
11．（2024·河北邯郸·二模）某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将
这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（
）
A．12 B．18 C．20 D．60．
12．（2024·辽宁·二模）有甲、乙、丙、丁四名同学参加亚运会志愿者服务工作，现需将四人随机分成三
组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·辽宁·模拟预测）某同学笔袋里有10支笔，其中8支黑色，2支红色.被甲同学借走2支.已知甲
借走的有一支是红色，则另一支也是红色的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·湖北黄石·三模）已知 ，则
（ ）
A．1 B．0 C． D．5
15．（2024·辽宁丹东·一模） 的展开式中常数项为（ ）
A．24 B．25 C．48 D．49
16．（2024·四川德阳·三模）在 的展开式中 的系数是（ ）
A．30 B．35 C．55 D．60
二、多选题17．（2024·山西临汾·三模）在 的展开式中（ ）
A．所有奇数项的二项式系数的和为128
B．二项式系数最大的项为第5项
C．有理项共有两项
D．所有项的系数的和为
18．（2024·山西·三模）已知函数 ，则（ ）
A． B． 展开式中，二项式系数的最大值为
C． D． 的个位数字是1
19．（23-24高三上·山西·期末）某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的
两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有（ ）
A．共有90种安排方法
B．甲连续两天值班的安排方法有30种
C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种
D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种
20．（2024·广东茂名·一模）从标有1，2，3，…，10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字
， ，记点 ， ， ，则（ ）
A． 是锐角的概率为 B． 是锐角的概率为
C． 是锐角三角形的概率为 D． 的面积不大于5的概率为
21．（2024·重庆·一模）已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
E．三、填空题
22．（2024·上海闵行·三模）3名男生和2名女生排成一排，则女生互不相邻的排法的概率为 .
23．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若 的展开式中 的系数为40，则实数 ．
24．（2024·河北衡水·三模） 的展开式中 的系数为 （用数字作答）
25．（2024·山东·模拟预测）已知 的展开式中常数项为 ，则实数 的值为 .
26．（2024·吉林·一模）若 ，则 ．
27．（2024·重庆·模拟预测） 的展开式中，含 的项的系数为 ．
28．（2024·上海·三模）用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇
数共有 个
29．（2024·江苏南通·模拟预测）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，
甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有 种．
30．（2024·辽宁大连·二模）第二十一届大连国际徒步大会即将召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、
小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两
项工作，其余三人均能从事这四项工作，若每个工作仅需要一人且每人只能从事一项工作，则不同的选派
方案共有 种.
31．（2024·江西景德镇·三模）若关于 ， 的三项式 的展开式中各项系数之和为
64，则 ；其中 项系数的最大值为 .
