文档内容
专题 11 抛物线中的切线问题
一、考情分析
对于抛物线特别是抛物线 ,可以化为函数 ,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使
得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.
二、解题秘籍
(一) 利用判别式求解抛物线中的切线问题
求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用 求解.
【例1】（2023届河南省新未来高三上学期联考）已知抛物线C： ,直线 , 都经过点
．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线 , 分别与抛物线C依次交于点E,F和G,H,直线EH,FG与抛物线准线分别交于点A,B,证明：
．
【解析】（1）设经过点 的直线为 ： ,由 消去y,得
, ,当直线 与抛物线 相切时, ,∵
,∴ ,所以 ,解得 ,∴切点为 ,又∵两切点间的距离为4,∴ ,
即 ,∴抛物线 的标准方程为 ；（2）设点 , , , ,设直线 ： ,直线 ： ,联立
消去 ,得 ,则 ,同理, ,故 , ,直线EH的方程为
,令 ,得 ,整理得 ,同理, ,所以
,∴ ．
(二) 利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题
求解抛物线 在其上一点 处的切线方程,可先把 化为 ,则 ,则抛物线
在点 处的切线斜率为 ,切线方程为 .
【例2】（2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考）在直角坐标系 中,已知抛物线
, 为直线 上的动点,过点 作抛物线 的两条切线,切点分别为 ,当 在 轴上
时, .
(1)求抛物线 的方程；
(2)求点 到直线 距离的最大值.
【解析】（1）当 在 轴上时,即 ,由题意不妨设 则 ,
设过点 的切线方程为 ,与 联立得 ,
由直线和抛物线相切可得 , ,所以由 得 ,∴ , ,
由 可得 ,解得 ,
∴抛物线 的方程为 ；
（2） ,∴ ,
设 , ,则 ,又 ,所以
即 ,同理可得 ,
又 为直线 上的动点,设 ,
则 , ,
由两点确定一条直线可得 的方程为 ,
即 ,∴直线 恒过定点 ,
∴点 到直线 距离的最大值为 .
(三) 抛物线中与切线有关的性质
过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,
则(1)切线交点在准线上
(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴
(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直
(4) 切线交点与焦点连线与焦点弦垂直
(5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
反之：
(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦
(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．【例3】已知抛物线 的焦点为F,过F的直线l与C相交于A,B两点, , 是C的两条切
线,A,B是切点．当 轴时, ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明： ．
【解析】（1）由题意, ,当 轴时,将 代入 有 ,解得 ,又 故
,解得 .
故抛物线C的方程为 .
（2）由（1）,设 ,直线 的方程为 ,联立抛物线方程有 ,故
.
又抛物线方程 ,故 ,故切线 的方程为 ,即 ,同理可得切线 的
方程为 ,联立 可得 ,解得 ,代入 有
,代入韦达定理可得 .故当 时有 ,当 时,因为 ,故 ,也满足 .故 恒成立.又
,故 .
所以 , ,故 ,故 ,故 ,即
,即得证.
【例4】已知直线 过原点 ,且与圆 交于 , 两点, ,圆 与直线 相切, 与直线 垂直,记
圆心 的轨迹为曲线 ．
（1）求 的方程；
（2）过直线 上任一点 作 的两条切线,切点分别为 , ,证明：
①直线 过定点；
② ．
【解析】（1）如图,设 ,
因为圆 与直线 相切,所以圆Ａ的半径为 ．
由圆的性质可得 ,即 ,化简得 ．
因为 与 不重合,所以 ,
所以 的方程为 ．
（2）证明：①由题意可知 , 与 不重合．如图,设 , ,则 ,
因为 ,所以切线 的斜率为 ,
故 ,整理得 ．
设 ,同理可得 ．
所以直线 的方程为 ,
所以直线 过定点 ．
②因为直线 的方程为 ,
由 消去 得 ,
所以 , ．
又
,所以 ．
三、跟踪检测
1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线 的焦点为F,斜率为 的直线l
与E相切于点A.
(1)当 , 时,求E的方程；
(2)若直线 与l平行, 与E交于B,C两点,且 ,设点F到 的距离为 ,到l的距离为 ,试问：
是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.
【解析】（1）由 得 ,则 ,
令 ,则 ,即 ,
则 ,所以 ,故抛物线E的方程为 .
（2）设 , , ,
则切线l的斜率 ,
则切线l的方程为： ,即 ,
.
直线 的方程为 ,化简得 ,
因为 ,所以 ,
由 得 ,
则 ,即 ,即 .
由 ,则 , ,
所以 .
故 是定值,定值为3.
2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在y轴的
正半轴上,直线l： 经过抛物线C的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C相交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C的切线,两条切线相交于点P,求△ABP面
积的最小值．
【解析】（1）由题意,设抛物线C的方程为 ,
因为直线 经过 ,即抛物线C的焦点 ,
所以 ,解得 ,
所以抛物线C的方程为 .
（2）设 ､ ,联立方程组 ,整理得 ,
因为 ,且 , , ,
所以 ,由 ,可得 ,则 ,
所以抛物线 经过点 的切线方程是 ,
将 代入上式整理得 ,
同理可得抛物线C经过点B的切线方程为 ,
联立方程组 ,解得 ,所以 ,
所以 到直线 的距离 ,
所以 的面积 ,
因为 ,所以 ,
即当 时, ,所以 面积的最小值为 .
3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线 的焦点是 ,如图,过点
作抛物线 的两条切线,切点分别是 和 ,线段 的中点为 ．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）求证：直线 轴；（3）以线段 为直径作圆,交直线 于 ,求 的取值范围．
【解析】（1）设抛物线的方程为 ,
由题意可得 ,所以 ,所以抛物线方程 .
（2）由（1） ,因为 ,设 ,
直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
联立上述两直线方程,得 点坐标 ,
又因为 点为线段 的中点,所以 点坐标 ,
因为 ,所以直线 轴：
（3）因为点 ,所以 ,则 ,圆心 ,
直线 的斜率为 ,直线 方程为 ,
,得 , , ,
圆心到直线 的距离为 ,半径 ,
,令 ,
在 时单调递减, ．
4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E： （ ）上一点 到其焦点F的距离为2．
（1）求实数 的值；
（2）若过焦点F的动直线 与抛物线交于A、B两点,过A、B分别作抛物线的切线 、 ,且 、 的交点为
Q, 、 与y轴的交点分别为M、N．求 面积的取值范围．
【解析】（1）因为点 到其焦点F的距离为2,由抛物线的定义知
解得
（2）由上问可知,抛物线方程E：
设 , ,（ , ）,
设l： ,联立 ,得 ,
判别式 ,故 R
,
设 ：
联立方程组 ,消x得 ,
所以
所以
则 ： ,即 ,令 ,得 ,同理 ： , ,
联立 ,得交点Q的横坐标为 ,
∴
∴ 面积的取值范围是 ．
5.（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C上任意一点到 , 距离之和为 ,抛
物线E： 的焦点是点 .
（1）求曲线C和抛物线E的方程；
（2）点 是曲线C上的任意一点,过点Q分别作抛物线E的两条切线,切点分别为M,N,求
的面积的取值范围．
【解析】（1）依题意,曲线C是以 , 为左右焦点,长轴长为 的椭圆,则短半轴长 有
,
曲线C的方程为： ,即 ,在 中, ,即 ,
所以曲线C的方程为： ,抛物线E的方程为： .
（2）显然,过点Q的抛物线E的切线斜率存在且不为0,设切线方程为： ,
由 消去x并整理得： ,依题意, ,设二切线斜率为 ,则 , ,
设斜率为 的切线所对切点 ,斜率为 的切线所对切点 ,
因此, , ,于是得 , , ,
直线MN上任意点 , ,由 得：
,化简整理得： ,
则直线MN的方程为： ,点Q到直线MN的距离 ,
,
则 的面积 ,
而点 在曲线C上,即 , ,
在 上单调递减,当 时, ,当 时,
,
于是有 ,则 ,有
所以 的面积的取值范围是 .6．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点 的动圆始终与直线 ： 相切.
（1）求动圆圆心的轨迹 的方程；
（2）动点 在直线 上,过点 作曲线 的两条切线分别交 轴于B,D两点,当 的面积是 时,求点
坐标.
【解析】（1）设动圆圆心坐标为 ,
因为过定点 的动圆始终与直线 ： 相切,
可得 ,化简得 ,
即动圆圆心的轨迹方程 ： .
（2）设动点 ,根据题意过点A作曲线C的切线斜率存在,
设为 ,所以切线方程为 ,
联立方程组 ,整理得 ,且 ,
因为 有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为 , ,
所以 , ,
切线 交 轴于点 ,
切线 交 轴于点 ,
所以 ,
即 ,解得 ,所以点 坐标为 或 .
7．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线 的焦点为 .且 与圆
上点的距离的最小值为 .
（1）求抛物线的方程；
（2）若点 在圆 上, , 是 的两条切线. , 是切点,求 面积的最大值.
【解析】（1）抛物线 的焦点为 , ,
所以, 与圆 上点的距离的最小值为 ,解得 ；
所以抛物线的方程为 .
（2）抛物线 的方程为 ,即 ,对该函数求导得 ,
设点 , , ,
直线 的方程为 ,即 ,即 ,
同理可知,直线 的方程为 ,
由于点 为这两条直线的公共点,则 ,
所以,点 、 的坐标满足方程 ,
所以,直线 的方程为 ,
联立 ,可得 ,
由韦达定理可得 , ,所以
点 到直线 的距离为 ,
所以, ,
,
由已知可得 ,所以,当 时, 的面积取最大值 .
8．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线 ： 的焦点为 ,准线与 轴交于
点,过点 的直线与抛物线 交于 , 两点,且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设 , 是抛物线 上的不同两点,且 轴,直线 与 轴交于 点,再在 轴上截取线段
,且点 介于点 点 之间,连接 ,过点 作直线 的平行线 ,证明 是抛物线 的切线.
【解析】（1）解：设过点 的直线方程为 , ,
联立 ,得 ,
则 ,
所以 ,
,因为 ,
所以 ,
化简得 ,所以 ,
当过点 的直线斜率不存在时,则 ,
故 ,
又因为 ,
则 ,所以 ,
综上所述, ,
所以 ；
（2）证明：不妨设点P在第一象限,
则 ,
设直线PQ的方程为 , ,
联立 ,消元整理得 ,
则 ,即 故 ,即 ,
当 时, ,则 ,
又因 ,且点 介于点 点 之间,则 为 的中点,所以 ,
则直线 的斜率为 ,
因为直线 平行直线 ,
所以直线 的斜率为 ,
故直线 的方程为 ,即 ,
联立 ,消元整理得 ,
,
所以直线l与抛物线只有一个交点,
有直线l斜率不为0,
所以 是抛物线 的切线.
9.已知抛物线 ,点 在抛物线C上,过点M作抛物线C的切线,交x轴于点P,点O为坐标原
点．
(1)求P点的坐标；
(2)点E的坐标为 ,经过点 的直线交抛物线于A,B两点,交线段OM于点Q,记EA,EB,EQ的斜率分别
为 , , ,是否存在常数 使得 ．若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由．
【解析】（1）因为 在抛物线C上,所以 ,所以
所以抛物线C的方程为 ,即 ,则 ,
所以切线的斜率为 ,所以过点M的切线方程为 ,即
联立 ,解得P点的坐标为
（2）由题意可知过点 的直线的斜率存在,设为 ,线段 所在的直线为 ,
联立 ,解得Q点坐标为 ,
所以
设 , ,联立 ,得 ,
所以 , ．
则
所以 ,即存在 满足条件．
10．如图,已知 为二次函数 的图像上异于顶点的两个点,曲线 在点
处的切线相交于点 .(1)利用抛物线的定义证明：曲线 上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和
准线方程；
(2)求证： 成等差数列, 成等比数列；
(3)设抛物线 焦点为 ,过 作 垂直准线 ,垂足为 ,求证： .
【解析】（1）证明：令 ,直线 ： ,曲线 上任意一点 ,又 ,
则点 到直线 的距离 ,
则
,
即曲线 上任意一点到点 的距离与到直线 ： 的距离相等,
且点 不在直线 ： 上,
所以曲线 上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为 ,焦点坐标为 ,准线方程为 ；
（2）解：对于 ,则 ,所以 , ,
即过点 、 的切线方程分别为 、 ,
又 , ,所以 、 ,
由 ,解得 ,即 ,
即 , ,又 ,
所以 、 、 成等差数列, 、 、 成等比数列；
（3）解：由（2）可知 , , ,所以 ,
如图,设 , , 与 轴分别交于点 、 、 ,
则 , , ,又 , ,
所以 ,
,
即 ,
所以 ；
11．已知抛物线 上的任意一点到 的距离比到x轴的距离大1．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点 的直线l与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q,求
重心G的轨迹方程．
【解析】（1）由抛物线的定义可得 ,∴抛物线的方程为 ；
（2）由题意可得直线 的斜率存在,设其为k,设 ,则直线 的方程为 ；代入
抛物线方程得 ,则有 ,
∵ ,∴ ,∴ ,即 ①
同理可得 ②,①-②有 ,得 ,∴．∴
又 ,设 ,则 ,
消k得 ,所以G的轨迹方程为 ．
12．已知抛物线 的焦点为F,点 为抛物线上一点,抛物线C在点P处的切线与y
轴相交于点Q,且 的面积为2．
(1)求抛物线的方程．
(2)若斜率不为0的直线l过焦点F,且交抛物线C于A,B两点,线段AB的中垂线与y轴交于点M,证明：
为定值．
【解析】（1）将 代入 得,
设抛物线的切线方程为 ,代入 整理得：
由题知 ,解得
又 ,所以
所以 ,解得
所以抛物线 的方程为
（2）记AB中点为N,设直线AB方程为 ,代入 整理得：
,
则
所以
因为N为AB中点,所以 ,
所以直线MN的方程为
则
所以
所以
13．（2022届新未来4月联考）已知直线 与抛物线 交于A,B两点,过
A,B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D,当直线 轴时, ．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求 的最小值．
【解析】（1）当直线 轴时, ,代入 解得 ,∴ ,得 ,∴抛物线C
的标准方程为 ；
（2）设 ．联立 得 ．∴
①,∵直线 恒过点 ,且与抛物线有两个交点,点 在抛物线上,∴ ,
当直线 和直线 斜率存在时,设直线 ,联立 ∴ ,
,
∴ ,∴ ,同理,设直线 ,则 ,联立 ∴
由①可知 ,∴ ,即 ,∴点D在直线 上．
当直线 或直线 斜率不存在时,即直线l过原点时, ,过原点的切线方程为 ,易知另外一点为
,
过点 的切线方程设为 ,联立 ,得 ,
,解得 ,即切线方程 ．此时交点D的坐标为 ,在直线
上,
故 的最小值为原点到直线 的距离,即 ．
14．过原点O的直线与拋物线C： （ ）交于点A,线段OA的中点为M,又点 ,
．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：
① ,② ；③ 的面积为 ．
（1）______,求拋物线C的方程；
（2）在（1）的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q（不与原点O重合）,过点B作直线l
与OQ垂直,求证：直线l过定点．
注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．
【解析】（1）由题意知直线OA的斜率存在且不为0,设其方程为 ,由 得 或 即 ,
所以线段OA的中点 ．
因为 ,所以直线PM的斜率存在, ．
所以 ,解得 ,
所以直线OA的方程为 , ．
若选①,不妨令 ,
由 ,得 ,解得 （舍去 ）,
所以抛物线C的方程为 ．
若选②,因为 , ,
所以点P到直线OA的距离为 ,即 ,
解得 （舍去 ）,所以抛物线C的方程为 ．
若选③,不妨令 ,
因为 ,
点P到直线OA的距离 ,
所以 ,解得 （舍去 ）,所以抛物线C的方程为 ．
（2）由题意可知切线BQ的斜率存在且不为0．
设 ,切线BQ的方程为 ,
由 得 ,（*）
所以 ,解得 ,
所以方程（*）的根为 ,
代入 得 ,所以切点 ,
于是 ,则 ,
所以直线l的方程为 ,即 ,
所以当b变化时,直线l恒过定点 ．
15．已知抛物线 ,其焦点为F,抛物线上有相异两点 , ．
（1）若 轴,且经过点A的抛物线的切线经过点 ,求抛物线方程；
（2）若 ,且 ,线段AB的中垂线交x轴于点C,求 面积的最大值．
【解析】（1）抛物线 ,焦点坐标为 ,因为 ,所以 ,所以 ,又 ,所以 ,所以过A点的切线的斜率 ,所以切线方程为 ,令 得 ,所以 ,所以
（2）若 ,则抛物线为 ,焦点为 ,准线方程为 ,因为 ,所以
,所以 ,设直线 的方程为 ,联立 得 ,
所以 , ,
所以 ,即 ,
所以 ,解得 ,
当 时,直线方程为 ,则 , ,所以 的中垂线恰为 轴,则 ,所以
,
当 ,且 时,
又 的中点坐标为 ,所以 的中垂线 的方程为 ,令 得 ,
所以 ,所以 到 的距离 ,又 ,
所以
令 ,则 , ,因为 ,所以当时 , 在 上单调递增,当 时 , 在 上单调递减,所以
所以
所以
16．设抛物线 ： （ ）的焦点为 ,点 （ ）在抛物线 上,且满足 ．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）过点 的直线 与抛物线 交于 , 两点,分别以 , 为切点的抛物线 的两条切线交于点 ,求
三角形 周长的最小值．
【解析】（1）由抛物线定义,得 ,得 ,
∴抛物线 的标准方程为 ；
（2）设 , ,直线 的方程为 ,
∴联立 ,消掉 ,得 , ,
∴ , ,
设 , 处的切线斜率分别为 , ,则 , ,
∴在点 的切线方程为 ,即 ①,
同理,在 的切线方程为 ②,
由①②得： ,代入①或②中可得： ,∴ ,即 在定直线 上,
设点 关于直线 的对称点为 ,则 ,由（1）知 ,
∵ ,即 三点共线时等号成立,
∴三角形 周长最小值为 ．
17．已知圆 与定直线 ,且动圆 与圆 外切并与直线 相切.
（1）求动圆圆心 的轨迹 的方程；
（2）已知点 是直线 上一个动点,过点 作轨迹 的两条切线,切点分别为 、 .
①求证：直线 过定点；
②求证： .
【解析】（1）依题意知： 到 的距离等于 到直线 的距离,
动点 的轨迹是以 为焦点,直线 为准线的抛物线,
设抛物线方程为 ,则 ,则 ,即抛物线的方程为 ,
故：动圆圆心 的轨迹 的方程为： ；
（2）①由 得： , ,
设 、 , ,其中 ,
则切线 的方程为 ,即 ,
同理,切线 的方程为 ,
由 ,解得 , ,即 ,、 ,
直线 的方程为 ,化简得 ,
即 ,
故直线 过定点 ；
②由①知：直线 的斜率为 ,
（i）当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为 , , ；
（ii）当直线 的斜率存在时, 、 ,
直线 的斜率 , ,
, .
综上所述： 得证.
18.设抛物线 ： ,其焦点为 ,准线为 ,点 为 上的一点,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,
且 , .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设点 为 外的一点且 点不在坐标轴上,过点 作抛物线 的两条切线,切点分别为 , ,过点 作
轴的垂线,垂足为 ,连接 , ,证明：直线 与直线 关于 轴对称.
【解析】（1） , 为等边三角形, ,
又 ,
设直线 交 轴于 点,则在 中 , , 的方程为
（2）设点 , , ,又 的方程为 可化为 ,所以过点 且与 相切的直线的斜率为 ,过点 且与 相切的直线的斜率为 ,所以直线 的方程为
,直线 的方程为 .
又直线 与 均过点 , , ,
又 , , , ,
所以直线 的方程为 ,
联立方程 和 得方程组
消去 得 ,
, , ,
,
又 ,
则直线 的斜率 ；直线 的斜率 , ,
,
,
所以直线 与直线 关于 轴对称.
