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专题 11 抛物线中的切线问题
一、考情分析
对于抛物线特别是抛物线 ,可以化为函数 ,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使
得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.
二、解题秘籍
(一) 利用判别式求解抛物线中的切线问题
求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用 求解.
【例1】（2023届河南省新未来高三上学期联考）已知抛物线C： ,直线 , 都经过点
．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线 , 分别与抛物线C依次交于点E,F和G,H,直线EH,FG与抛物线准线分别交于点A,B,证明：
．
【解析】（1）设经过点 的直线为 ： ,由 消去y,得
, ,当直线 与抛物线 相切时, ,∵
,∴ ,所以 ,解得 ,∴切点为 ,又∵两切点间的距离为4,∴ ,
即 ,∴抛物线 的标准方程为 ；（2）设点 , , , ,设直线 ： ,直线 ： ,联立
消去 ,得 ,则 ,同理, ,故 , ,直线EH的方程为
,令 ,得 ,整理得 ,同理, ,所以
,∴ ．
(二) 利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题
求解抛物线 在其上一点 处的切线方程,可先把 化为 ,则 ,则抛物线
在点 处的切线斜率为 ,切线方程为 .
【例2】（2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考）在直角坐标系 中,已知抛物线
, 为直线 上的动点,过点 作抛物线 的两条切线,切点分别为 ,当 在 轴上
时, .
(1)求抛物线 的方程；
(2)求点 到直线 距离的最大值.
【解析】（1）当 在 轴上时,即 ,由题意不妨设 则 ,
设过点 的切线方程为 ,与 联立得 ,
由直线和抛物线相切可得 , ,所以由 得 ,∴ , ,
由 可得 ,解得 ,
∴抛物线 的方程为 ；
（2） ,∴ ,
设 , ,则 ,又 ,所以
即 ,同理可得 ,
又 为直线 上的动点,设 ,
则 , ,
由两点确定一条直线可得 的方程为 ,
即 ,∴直线 恒过定点 ,
∴点 到直线 距离的最大值为 .
(三) 抛物线中与切线有关的性质
过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,
则(1)切线交点在准线上
(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴
(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直
(4) 切线交点与焦点连线与焦点弦垂直
(5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
反之：
(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦
(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．【例3】已知抛物线 的焦点为F,过F的直线l与C相交于A,B两点, , 是C的两条切
线,A,B是切点．当 轴时, ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明： ．
【解析】（1）由题意, ,当 轴时,将 代入 有 ,解得 ,又 故
,解得 .
故抛物线C的方程为 .
（2）由（1）,设 ,直线 的方程为 ,联立抛物线方程有 ,故
.
又抛物线方程 ,故 ,故切线 的方程为 ,即 ,同理可得切线 的
方程为 ,联立 可得 ,解得 ,代入 有
,代入韦达定理可得 .故当 时有 ,当 时,因为 ,故 ,也满足 .故 恒成立.又
,故 .
所以 , ,故 ,故 ,故 ,即
,即得证.
【例4】已知直线 过原点 ,且与圆 交于 , 两点, ,圆 与直线 相切, 与直线 垂直,记
圆心 的轨迹为曲线 ．
（1）求 的方程；
（2）过直线 上任一点 作 的两条切线,切点分别为 , ,证明：
①直线 过定点；
② ．
【解析】（1）如图,设 ,
因为圆 与直线 相切,所以圆Ａ的半径为 ．
由圆的性质可得 ,即 ,化简得 ．
因为 与 不重合,所以 ,
所以 的方程为 ．
（2）证明：①由题意可知 , 与 不重合．如图,设 , ,则 ,
因为 ,所以切线 的斜率为 ,
故 ,整理得 ．
设 ,同理可得 ．
所以直线 的方程为 ,
所以直线 过定点 ．
②因为直线 的方程为 ,
由 消去 得 ,
所以 , ．
又
,所以 ．
三、跟踪检测
1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线 的焦点为F,斜率为 的直线l
与E相切于点A.
(1)当 , 时,求E的方程；
(2)若直线 与l平行, 与E交于B,C两点,且 ,设点F到 的距离为 ,到l的距离为 ,试问：
是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.
2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在y轴的
正半轴上,直线l： 经过抛物线C的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C相交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C的切线,两条切线相交于点P,求△ABP面
积的最小值．
3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线 的焦点是 ,如图,过点
作抛物线 的两条切线,切点分别是 和 ,线段 的中点为 ．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）求证：直线 轴；
（3）以线段 为直径作圆,交直线 于 ,求 的取值范围．4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E： （ ）上一点 到其焦点F
的距离为2．
（1）求实数 的值；
（2）若过焦点F的动直线 与抛物线交于A、B两点,过A、B分别作抛物线的切线 、 ,且 、 的交点为
Q, 、 与y轴的交点分别为M、N．求 面积的取值范围．
5.（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C上任意一点到 , 距离之和为 ,抛
物线E： 的焦点是点 .
（1）求曲线C和抛物线E的方程；
（2）点 是曲线C上的任意一点,过点Q分别作抛物线E的两条切线,切点分别为M,N,求
的面积的取值范围．
6．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点 的动圆始终与直线 ： 相切.
（1）求动圆圆心的轨迹 的方程；
（2）动点 在直线 上,过点 作曲线 的两条切线分别交 轴于B,D两点,当 的面积是 时,求点
坐标.
7．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线 的焦点为 .且 与圆
上点的距离的最小值为 .
（1）求抛物线的方程；
（2）若点 在圆 上, , 是 的两条切线. , 是切点,求 面积的最大值.
8．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线 ： 的焦点为 ,准线与 轴交于
点,过点 的直线与抛物线 交于 , 两点,且 .
（1）求抛物线 的方程；（2）设 , 是抛物线 上的不同两点,且 轴,直线 与 轴交于 点,再在 轴上截取线段
,且点 介于点 点 之间,连接 ,过点 作直线 的平行线 ,证明 是抛物线 的切线.
9.已知抛物线 ,点 在抛物线C上,过点M作抛物线C的切线,交x轴于点P,点O为坐标原
点．
(1)求P点的坐标；
(2)点E的坐标为 ,经过点 的直线交抛物线于A,B两点,交线段OM于点Q,记EA,EB,EQ的斜率分别
为 , , ,是否存在常数 使得 ．若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由．
10．如图,已知 为二次函数 的图像上异于顶点的两个点,曲线 在点
处的切线相交于点 .
(1)利用抛物线的定义证明：曲线 上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和
准线方程；
(2)求证： 成等差数列, 成等比数列；
(3)设抛物线 焦点为 ,过 作 垂直准线 ,垂足为 ,求证： .
11．已知抛物线 上的任意一点到 的距离比到x轴的距离大1．
(1)求抛物线的方程；(2)若过点 的直线l与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q,求
重心G的轨迹方程．
12．已知抛物线 的焦点为F,点 为抛物线上一点,抛物线C在点P处的切线与y
轴相交于点Q,且 的面积为2．
(1)求抛物线的方程．
(2)若斜率不为0的直线l过焦点F,且交抛物线C于A,B两点,线段AB的中垂线与y轴交于点M,证明：
为定值．
13．（2022届新未来4月联考）已知直线 与抛物线 交于A,B两点,过
A,B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D,当直线 轴时, ．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求 的最小值．
14．过原点O的直线与拋物线C： （ ）交于点A,线段OA的中点为M,又点 ,
．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：
① ,② ；③ 的面积为 ．
（1）______,求拋物线C的方程；
（2）在（1）的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q（不与原点O重合）,过点B作直线l
与OQ垂直,求证：直线l过定点．
注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．
15．已知抛物线 ,其焦点为F,抛物线上有相异两点 , ．（1）若 轴,且经过点A的抛物线的切线经过点 ,求抛物线方程；
（2）若 ,且 ,线段AB的中垂线交x轴于点C,求 面积的最大值．
16．设抛物线 ： （ ）的焦点为 ,点 （ ）在抛物线 上,且满足 ．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）过点 的直线 与抛物线 交于 , 两点,分别以 , 为切点的抛物线 的两条切线交于点 ,求
三角形 周长的最小值．
17．已知圆 与定直线 ,且动圆 与圆 外切并与直线 相切.
（1）求动圆圆心 的轨迹 的方程；
（2）已知点 是直线 上一个动点,过点 作轨迹 的两条切线,切点分别为 、 .
①求证：直线 过定点；
②求证： .
18.设抛物线 ： ,其焦点为 ,准线为 ,点 为 上的一点,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,
且 , .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设点 为 外的一点且 点不在坐标轴上,过点 作抛物线 的两条切线,切点分别为 , ,过点 作
轴的垂线,垂足为 ,连接 , ,证明：直线 与直线 关于 轴对称.
