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微专题21 圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研
究
【秒杀总结】
1、基本思路
（1）探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知
条件进行推理论证.
（2）若导出矛盾，则否定先前假设（否定型）；若推出合理的结论，则说明假设正确（肯
定型），由此得出问题的结论.
（3）“假设一推证一定论”是解答此类问题的三个步骤.
2、技巧总结
（1）解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如
果推出矛盾就不存在，否则就存在.
（2）解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证
明.
（3）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得
出一元二次方程，利用判别式得出是否有解（存在）.
（4）解决是否存在最值问题时，可依据条件，得出函数解析式，依据解析式判定其最值是
否存在，然后得出结论.
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线，直线
1
l： ，且l 与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到直线l 和l
2 2 1 2
的距离之和的最小值等于2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M在直线l 上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，P，在平面内是
1 1 2
否存在定点N，使得MN⊥PP 恒成立？若存在，请求出定点N的坐标，若不存在，请说明
1 2
理由．
例2．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆E的方程为 （a＞1），点O为坐标原
点，点A，B的坐标分别为 ， ，点M在线段AB上，满足 ，直线
OM的斜率为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点 （t≠1），问是否存在实
数t使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求t的值，若不存在，说出理由．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左焦点坐标为
，直线 与双曲线 交于 两点，线段 中点为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)经过点 与 轴不重合的直线 与双曲线 交于两个不同点 ，点 ，直
线 与双曲线 分别交于另一点 .
①若直线 与直线 的斜率都存在，并分别设为 .是否存在实常数 ，使得 ？
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
②证明：直线 恒过定点.
例4．（2023·上海·高三专题练习）已知椭圆 是左、右焦点．设M是直
线l： 上的一个动点，连结 ，交椭圆Γ于N（ ）．直线l与x轴的交点
为P，且M不与P重合．
(1)若M的坐标为 ，求四边形 的面积；
(2)若PN与椭圆Γ相切于N且 ，求 的值；
(3)作N关于原点的对称点 ，是否存在直线 ，使得 上的任一点到 的距离为
，若存在，求出直线 的方程和N的坐标，若不存在，请说明理由．例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： ，长轴是短轴的3倍，
点 在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点 且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是
否存在点 ，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，
请说明理由.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： （ ）的左､右焦点
分别为 ， ，点 在椭圆 上，且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)是否存在过点 的直线 ，交椭圆 于 ， 两点，使得 ？若存
在，求直线 的方程，若不存在，请说明理由.
例7．（2023·全国·高三专题练习）圆 ： 与 轴的两个交点分别为 ，
，点 为圆 上一动点，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足
(1)求点 的轨迹方程；
(2)设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 ， 两点，直线 与 交于点 ，
试问：是否存在一个定点 ，当 变化时， 为等腰三角形
【过关测试】
1．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系 中，点P到点
的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；
(2)设过点F且不与x轴重合的直线l与C交于A，B两点，求证：在曲线C上存在点P，使
得直线 的斜率成等差数列.
2．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知双曲线 ： （ ， ）与双
曲线 的渐近线相同，点 在 上， 为 的右焦点．
(1)求 的方程；
(2)已知 是直线 ： 上的任意一点，是否存在这样的直线 ，使得过点 的直线与
相切于点 ，且以 为直径的圆过点 ？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明
理由．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 （ ， ）的渐近线方程
为 ，焦点到渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 ， 是双曲线 右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线 交AB于 ，点 的
横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆 ，使得 被圆 截得的弦长为定值，若存在，求
出圆 的方程；若不存在，请说明理由．
4．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知椭圆 ：
的长轴为4，离心率为(1)求椭圆 的方程；
(2)如图，过点 的直线 与 交于 ， ，过 ， 作直线 ： 的垂线，垂足分
别为 ， ，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，问：是否存在实数
，使得 为定值？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由
5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： （ ）的左右焦点为 ，
，上、下端点为 ， .若从 ， ， ， 中任选三点所构成的三角形均为面积等于
2的直角三角形.
(1)求椭圆 的方程；
(2)如图，过点 作两条不重合且，斜率之和为2的直线分别与椭圆交于 ， ， ，
四点，若线段 ， 的中点分别为 ， ，试问直线 是否过定点？如果是，求
出定点坐标，如果不是，请说明理由.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 过点 ，且离心率是.
(1)求椭圆 的方程和短轴长；
(2)已知点 ，直线 过点 且与椭圆 有两个不同的交点 ，问：是否存在直线
，使得 是以点 为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说
明理由.
7．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知圆 上的动点P在y轴上的投影为
Q，动点M满足 ．
(1)求动点M的轨迹方程C；
(2)动直线 与曲线C交于A，B两点，问：是否存在定点D，使得 为定值，
若存在，请求出点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
8．（2023秋·北京房山·高三统考期末）已知椭圆 ： 经过点 ，
且点 到两个焦点的距离之和为8.
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 ： 与椭圆 分别相交于 两点，直线 ， 分别与 轴交于点 ，
.试问是否存在直线 ，使得线段 的垂直平分线经过点 ，如果存在，写出一条满足
条件的直线 的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.
9．（2023秋·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末）已知 分别是椭圆
的左、右焦点，A是C的右顶点， ，P是椭圆C上一点，
M，N分别为线段 的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．(1)求椭圆C的标准方程
(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且 ，判断直线l是否过定点，
若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
10．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知椭圆 的左、右焦
点分别为 ， ，上顶点为A，钝角三角形 的面积为 ，斜率为 的直线 交椭圆C
于P，Q两点.当直线 经过 ，A两点时，点 到直线 的距离为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，当直线 的纵截距不为零时，试问是否存在实数k，使得
为定值?若存在，求出此时 面积的最大值；若不存在，请说明理由.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左､右焦点分别为
.
(1)以 为圆心的圆经过椭圆的左焦点 和上顶点 ，求椭圆 的离心率；
(2)已知 ，设点 是椭圆 上一点，且位于 轴的上方，若 是等腰三角形，
求点 的坐标；
(3)已知 ，过点 且倾斜角为 的直线与椭圆 在 轴上方的交点记作 ，若动
直线 也过点 且与椭圆 交于 两点（均不同于 ），是否存在定直线 ，使
得动直线 与 的交点 满足直线 的斜率总是成等差数列？若存在，求常数
的值；若不存在，请说明理由.
12．（2023·全国·高三专题练习）椭圆 的左右焦点分别为 ，右顶点为 为椭圆 上任意一点，且 的最大值的取值范围是 ，其中
(1)求椭圆 的离心率 的取值范围
(2)设双曲线 以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点， 是双曲线 在第一象限上任意一
点，当 取得最小值时，试问是否存在常数 ，使得 恒成立？若存
在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
13．（2023·高三课时练习）已知曲线 ，过点 作直线 和曲线 交于A、B
两点．
(1)求曲线 的焦点到它的渐近线之间的距离；
(2)若 ，点 在第一象限， 轴，垂足为 ，连结 ，求直线 倾斜角的取值
范围；
(3)过点 作另一条直线 ， 和曲线 交于 、 两点，问是否存在实数 ，使得
和 同时成立？如果存在，求出满足条件的实数 的取值集合，如果
不存在，请说明理由．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，点 满足 ，记点
的轨迹为 ，
(1)求轨迹 的方程；
(2)若直线 过点 且法向量为 ，直线与轨迹 交于 、 两点．
①过 、 作 轴的垂线 、 ，垂足分别为 、 ，记 ，试确定 的取值
范围；
②在 轴上是否存在定点 ，无论直线 绕点 怎样转动，使 恒成立？如果存
在，求出定点 ；如果不存在，请说明理由．15．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的焦距为4，以原点为圆心，实
半轴长为半径的圆和直线 相切．
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知点 为双曲线 的左焦点，试问在 轴上是否存在一定点 ，过点 任意作一条
直线 交双曲线 于 ， 两点，使 为定值？若存在，求出此定值和所有的定点
的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，其左、右
焦点分别为 ， ，短轴长为 ．点 在椭圆 上，且满足△ 的周长为6．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，试问在 轴上是否存在一个定点 ，
使得 恒为定值？若存在，求出该定值及点 的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2023·全国·高三专题练习）双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，
过点 且垂直于 轴的直线 与该双曲线 交于点 ， ，设直线 的斜率为 ，直
线 的斜率为 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)动点 ， 在曲线 上，已知点 ，直线 ， 分别与 轴相交的两点关于
原点对称，点 在直线 上， ，证明：存在定点 ，使得 为定值．
18．（2023·全国·高三专题练习）椭圆 经过两点 ， ，过点 的动直线
与椭圆相交于 ， 两点．(1)求椭圆 的方程；
(2)若椭圆 的右焦点是 ，其右准线与 轴交于点 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜
率为 ，求证： ；
(3)设点 是椭圆 的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点 不
同的定点 ，使得 恒成立？只需写出点 的坐标，无需证明．
19．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 内，椭圆 ，
离心率为 ，右焦点 到右准线的距离为2，直线 过右焦点 且与椭圆 交于 、 两
点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与 轴垂直， 为椭圆 上的动点，求 的取值范围；
(3)若动直线 与 轴不重合，在 轴上是否存在定点 ，使得 始终平分 ？若存在，
请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，
P是直线 上不同于原点O的一个动点，斜率为 的直线 与双曲线 交于A，
B两点，斜率为 的直线 与双曲线 交于C，D两点．
(1)求 的值；(2)若直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，问是否存在点P，满
足 ，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
