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专题16 抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知抛物线 的焦点为 ，则过点 且斜率为 的直线 截抛物线 所得弦长为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 可得 ，准线方程为 ，直线 ，
联立 ，消去 并整理得 ， ，
设直线 与抛物线的两个交点为 ， ，则 ，
所以直线 截抛物线 所得弦长为 .故选：B
2．设 为抛物线 的焦点，过点 的直线 交 于 两点，若 ，则
（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【解析】由抛物线 可知 ，
由抛物线的定义可得 ，即 ，
又 在抛物线 上， ，
.故选：D.
3．过抛物线 的焦点 的直线 交 于 两点，若直线 过点 ，且 ，则
抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．【解析】因为直线 过点 ，所以直线 的方程为 .
由 得， .
设 ，则 .
因为
，整理得 ，解得 ，
所以抛物线 的准线方程是 .故选：D.
4．过点 作抛物线 的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
【解析】设 ， ，由题意可知 ，
则 ，两式相减，得 ，
因为 是弦AB的中点，所以 ， ，
所以 ，即 ，直线AB的斜率为2，所以弦AB所在直线的方程为 ，即 ，故选：C.
5．已知直线 与抛物线 ： 交于 ， 两点，过 ， 分别作 的切线交于点 ，
若 的面积为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【解析】由 得， ．
因为 ， ， ，故 ．
由 ，则 ，抛物线 经过点 的切线方程是 ，
将 代入上式整理得 ，同理得到抛物线 经过点 的切线方程是 ．
解方程组 得 ，所以 ．
所以 到直线 的距离 ，
的面积 ，
所以 ，故选：A
6．已知抛物线 ： 的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与 及抛物线 ： 的所有公
共点从右到左分别为点A，B，C，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解析】由题意可得 ，设直线 的方程为 ，
由题意可得直线 与抛物线 必有2个交点，与抛物线 相切，联立方程组 ，可得 ，
所以 ，解得 ，故直线 的方程为 ，
与抛物线 方程联立 ，得 ，
设 ， ，则 ，所以 .故选：C.
7．已知斜率为 的直线过抛物线C： 的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分
别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为 ， ，若 与 的面积之比为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为抛物线 的焦点 的坐标为 ，所以直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
方程 的判别式 ，
设点 、 ，由韦达定理可得 ， ，
由已知和抛物线定义知 ，所以 ，得 ，即
，故 ，解得 .故选：A.
8．已知抛物线 的焦点 与 的一个焦点重合，过焦点 的直线与 交于 ，
两不同点，抛物线 在 ， 两点处的切线相交于点 ，且 的横坐标为4，则弦长 （ ）
A．16 B．26 C．14 D．24
【解析】由题意可得， ，则 ，抛物线方程为 ，准线方程 ．
由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 ，
设 ，其中 ，由 ，得 ．
在点A处的切线方程为 ，化简得 ，①
同理可得在点B处的切线为 ，②
联立①②得 ，由M的横坐标为4，得 ，
将AB的方程代入抛物线方程，可得 ，
，得 ， ，
则 ．故选：A．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知 是抛物线 内一动点，直线 过点 且与抛物线 相交于 两点，则下列说法正确
的是（ ）
A． 时， 的最小值为
B． 的取值范围是
C．当点 是弦 的中点时，直线 的斜率为
D．当点 是弦 的中点时， 轴上存在一定点 ，都有
【解析】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
对于A，当 时，点 与 重合，设直线 的方程为 ， ，
由 消去x并整理得 ，则 ，
，当且仅当 时取等号，
所以当 时， 的最小值为 ，A正确；
对于B，显然点 在直线 上，由选项A知，当 时，可得 ，
由点 在抛物线 内，知 ，所以 的取值范围是 ，B正确；
对于C，当点 是弦 的中点时，设 ， ，若 ，直线 的斜率不存在，
若 ，则直线 的斜率 ，C错误；对于D，由选项C知，当 时，线段 的中垂线斜率为 ，方程为 ，
即 ，此直线过定点 ，当 时，线段 的中垂线为 ，过点 ，
所以线段 的中垂线恒过定点 ，即当点 是弦 的中点时， 轴上存在一定点 ，都有
，D正确.
故选：ABD
10．已知A，B是抛物线 ： 上两动点， 为抛物线 的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时， 最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为 时，
C．若AB中点M的横坐标为2，则 最大值为5
D．
【解析】对于A项，过点 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ，
过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，准线与 轴的交点为 ，
设直线 的倾斜角为 ，画图为：
根据抛物线的定义： ，从图可知 ， ，
，在 中， ，
所以 ，同理 ，则
，故当 时 ，
故 最小值为 ，此时 垂直于 轴，所以A不正确；
对于B项，由A可知， ，故B正确；
对于C项， ，
当且仅当直线 过焦点 时等号成立，所以 最大值为5，故C正确；
当直线 过焦点 时， ，
当直线 不过焦点 时， 不是定值，举例当 时，此时 ， ，
即 ， ， ，故D错误；
故选：BC.
11．过抛物线 上一点 作两条相互垂直的直线，与 的另外两个交点分别为 ，则
（ ）
A． 的准线方程是
B．过 的焦点的最短弦长为2
C．直线 过定点
D．若直线 过点 ，则 的面积为24
【解析】将 代入 中得 ，即 ，则抛物线 为 ，
所以 的准线方程是 ，故A正确；抛物线 的焦点为 ，可设过 的焦点的直线为 ，
联立 ，可得 ，设交点为 ，
则 ， ，
所以 ，即过C的焦点的最短弦长为4，故B不正确；
设 ， ，直线 为 ，联立 ，可得： ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，
因为 ， ，即 ，所以 ，
化简整理得 ，即 ，得 ，
所以直线 为 ，所以直线 过定点 ，故C正确；
若直线 过点 ，则 ，即 ， ，
所以 ， ，直线 为 ，即 ，
所以 ，
点 到直线 的距离为 ，
所以 ，故D不正确.
故选：AC.
12．已知 是抛物线 的焦点， ， 是抛物线 上的两点， 为坐标原点，则（ ）A．抛物线 的准线方程为
B．若 ，则 的面积为
C．若直线 过焦点 ，且 ，则 到直线 的距离为
D．若 ，则
【解析】对于A中，抛物线 可得其准线方程为 ，所以A错误；
对于B中，设 ，因为 ，可得 ，解得 ，可得 ，
所以 ，所以B正确；
对于C中，抛物线 ，可得其焦点坐标为 ，
当直线 的斜率不存在时，可得 ，不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，设 ，可得 ，
根据抛物线的定义，可得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，
不妨取 ，所以 到直线 的距离为 ，所以C错误；
对于D中，设直线 的方程为 （不妨设 ）
由 ，可得 ，则 ，
因为 ，此时直线 的方程为 ，可得 ，
所以 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，所以D正确.
故选：BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．抛物线 截直线 所得弦长等于 .
【解析】设直线与抛物线的交点为 、 ，
由抛物线的方程可得焦点 ，可得直线 过焦点 ，
联立 ，消去 ，得 ，可得 ，则 ，
由抛物线的性质可得 ．
14．若抛物线 的弦被点 平分，则此弦所在直线的斜率为 ．
【解析】设过点 的弦的端点为 、 ，
若直线 轴，则线段 的中点在 轴上，不合乎题意.
所以，直线 的斜率存在，则 ，两式作差可得 ，
因此，直线 的斜率为 .故答案为： .
15．已知斜率为 的直线过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 两点（ 在 的左
侧），又 为坐标原点，点 （异于 ）也为抛物线 上一点，且 ，则实数 的
值为 .
【解析】由于直线斜率为 且过焦点 ，则其方程为 ，
将直线方程与抛物线方程联立，消去 可得 ①设 ∴ ∴ ，∵
∴ 即 ， ∴①式变为 ， 解得
∴ ， ∴ ， 设
则有 ， 解得 或
16．已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，过点 的直线与抛物线交于点
， ， ， 且 ，则 .
【解析】由题意知 ，则可设直线 的方程为 ，
由 ，可得 ①，
所以 ， ，
所以 .
因为 ， ， ，所以在 中，由余弦定理得
，
因此 ，得 ，代入①式得 ，得 因此
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 交于 两点，与 轴交点为P.
(1)若 ，求 的方程；
(2)若 ，求 .
【解析】（1）由题意，直线 的方程设为 ，
联立直线与抛物线方程 ，可得 ， ，可得 ，
设 , ， , ， ， ，
因为 ，所以 ，可得 ，可得 ，
所以直线 的方程为： ．即 ．
（2）直线 的方程设为 ，
令 ，可得 ，所以 ，所以 , ， , ，
因为 ，所以： , , ，所以， ，
， ， ，
化简可得 ， ， ，可得 ， ， ，．
18．已知直线 与抛物线 相交于 、 两点.
(1)若直线 过点 ，且倾斜角为 ，求 的值；
(2)若直线 过点 ，且弦 恰被 平分，求 所在直线的方程.
【解析】（1）因直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率 ，
又因直线 过点 ，所以直线 的方程为： ，即 ，
联立 得 ，设 ， ，所以 ， ，
所以
（2）因 、 在抛物线 上，所以 ， ，
两式相减得： ，得 ，故直线 的斜率为4，
所以直线 的方程为： ，即
19．已知直线 轴，垂足为x轴负半轴上的点E，点E关于原点O的对称点为F，且 ，直线
，垂足为A，线段AF的垂直平分线与直线 交于点B，记点B的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点 ，不过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恒过点P，点P关
于x轴的对称点为Q，若 的面积是 ，求直线 的斜率.
【解析】（1）由线段 的垂直平分线与直线 交于点 ，可得 ，即点 到点 的距离等于点 到直线 的距离，又因为 ， 的方程为 ，所以 ，
所以点 的轨迹 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
所以点 的轨迹 的方程为 .
（2）解：根据题意，直线的斜率不为 ，设直线 ，且 ，
联立方程组 ，可得 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
又点 ，点 到直线 的距离为 ，
所以 ，
又以线段 为直径的圆恒过点 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 或 ，又直线 不经过点 ，所以 ，所以 ，此时满足 ，
所以 ，
解得 或 ，所以直线 的斜率为 或 .20．设抛物线C： 的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过点
P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q.
(1)若AB过焦点F，且 ，求直线AB的倾斜角；
(2)求 的值.
【解析】（1）设 ， ， ， ，
因为直线AB的斜率不为0，所以设AB直线的方程为 ，
联立方程 ，消去y，得 ，
所以 ， ， 所以 ， ，
所以直线的倾斜角为 或 .
（2）设过A点且与抛物线C相切的直线方程为 ，（k存在，A不为原点），
联立方程 ，消去x得， ，
，即 ，所以 ，即 ，
所以直线PA的方程为 ，即 ，同理可得，直线PB方程为： ，因为点 在直线PA，PB上，所以 ， ，
所以直线AB的方程为： 设直线PD的方程为 ，
联立方程 ，消去x，得 ，
得 ， ，联立方程 ，消去x，得 ，
由于点P在抛物线的外部，点Q在抛物线的内部，
所以 .
21．已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线 于 两点，当 平行于 轴
时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 为坐标原点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线与抛物线 的另一
交点为 的中点为 ，证明： 三点共线.
【解析】（1）抛物线 的焦点为 ，
当 平行于 轴时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，，解得 ，所以，抛物线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，由韦达定理可得 ， ，
又因为直线 的方程为 ，
将 代入直线 的方程可得 ，可得 ，即点 ，
所以， ，因为 ，则 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，则 ，
故 ，则 ，
由 的中点为 ，可得 ，故 、 、 三点共线．
22．已知抛物线 ： 上一点 到焦点的距离为2.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线交抛物线 于 ， 两点，点 ，连接 交抛物线 于另一点 ，连接 交抛物线 于另一点 ，且 与 的面积之比为 ，求直线 的方程.
【解析】（1）由题可知焦点的坐标为 ，所以由抛物线的定义可知 ，
即 ，所以抛物线 的方程为 .
（2）易知直线 的斜率存在且不为零，设直线 的方程为 ，
， ，由 ，得 ，
则 ，即 或 ， .因为 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，由 ，得 ，
设 ，则 ，得 ，设 ，同理可得 ，
则
，得 ， ，
故直线 的方程为 或 .
