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专题 16 数列解答题分类练
一、方程思想求数列通项
1. （2024届山东省齐鲁名校高三上学期联合检测）记等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， ，
成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
2.（2023届天津市宁河区芦台第一中学高三上学期期末）已知数列 是公差为1的等差数列，且
，数列 是等比数列，且 ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)令 ，求证： ；
(3)记 其中 ，求数列 的前 项和 ．
二、等差数列与等比数列的证明
3. （2024届贵州省贵阳市高三上学期8月考试）设 为数列 的前 项和．已知 ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
4.（2024届湖南省常德市第一中学高三上学期第三次月考）已知正项数列 的前 项和为 ， .(1)记 ，证明：数列 的前 项和 ；
(2)若 ，求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式.
5.（2023届陕西省西安市大明宫中学高三高考综合测试）已知数列 的各项均为正数，且满足
．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
三、裂项求和
6. （2024届四川省眉山市东坡区高三上学期开学考）已知数列 的前 项和为 ，
， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ， 成等比数列， ，求 的值．
7.（2024届安徽省皖东名校联盟体高三上学期9月第二次质量检测）数列 各项均为正数， 的前n
项和记作 ，已知 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2023项和．
8.（2024届黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校高三上学期9月月考）已知数列 ， 是数列 的前
项和，满足 ；数列 是正项的等比数列， 是数列 的前 项和，满足 ， （）.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 对一切
恒成立，求 的取值范围．
9．（2024届湖北省黄冈市高三上学期9月调研）设等差数列 前 项和 ， ，满足
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，设数列 的前 项和为 ，求证 .
四、错位相减法求和
10. （2024届湖南省邵阳市邵东市高三上学期第二次月考）已知数列 满足
，数列 满足 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
11.（2024届广东省南粤名校高三上学期9月联考）已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，且
，
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．12.（2024届山西省晋城市第一中学校高三上学期9月月考）已知数列 满足 ，且有
.
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
13.（2024届湖南省天壹名校联盟高三上学期9月大联考）已知数列 满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求证： .
五、数列与不等式
14.（2024届湖北省荆州市沙市中学高三上学期9月月考） 已知正项数列 ，其前 项和 满足
，
(1)求 的通项公式.
(2)证明： .
15.（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知数列 ， 满足 ，
，记 为 的前n项和.(1)若 为等比数列，其公比 ，求 ；
(2)若 为等差数列，其公差 ，证明： .
16.（2023届海南省海口市高三下学期学生学科能力诊断）记 为数列 的前n项和，已知
.
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设k为实数，且对任意 ，总有 ，求k的最小值.
17.（2024届广东省高三上学期新高考联合质量测评9月联考）已知正项数列 的前n项和为 ，对一
切正整数n，点 都在函数 的图象上．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，且 ，若 恒成立，求实数λ的取值范围．
六、分段数列
18. （2024届天津市第四十七中学高三上学期第一次检测）已知等差数列 与等比数列 满足 ，
， ，且 既是 和 的等差中项，又是其等比中项．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，其中 ，求数列 的前 项和 ；
(3)记 ，其前n项和为 ，若 对 恒成立，求 的最小值．19.（2023届安徽省合肥市庐阳区合肥市第一中学高三上学期12月月考）已知数列 满足 ，
．
(1)求 ；
(2)设 ，求证：数列 是等比数列；
(3)求数列 的前n项和 ．
七、数列开放题
20. （2023届海南省高三全真模拟）在① 成等比数列，且 ；② ，数列
是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列 的前 项和为 ，且__________．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21.（20-23届广东省深圳市、珠海市、湛江市高三上学期11月期中联考）在①数列 为等比数列，且
， ；②数列 的前n项和 ， ；③数列 是首项为1，公差为1的
等差数列，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
已知数列 各项均为正数，且满足.
(1)求数列 的通项公式；(2)设 为非零的等差数列，其前n项和为 ， ，求数列 的前n项和 .
22.（2024届浙江省绍兴市上虞中学高三上学期开学考）从① ， ， 成等差数列；② ， ， 成
等比数列；③ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.
已知 为数列 的前 项和， ， ，且________.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
