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专题17 抛物线中的最值问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知抛物线 的焦点为 ，若 ， 是抛物线上一动点，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
2．抛物线 上的点P到直线 距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 是抛物线 上三个动点，且 的重心为抛物线的焦点 ，若 ， 两点均在 轴
上方，则 的斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知 是抛物线 上的一个动点，则点 到直线 和 的距离之和的最小
值是（ ）
A．3 B．4 C． D．6
5．设抛物线 的准线为 ，定点 ，过准线 上任意一点 作抛物线的切线 ， 为切
点，过原点O作 ，垂足为H．则线段MH长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6． ， 是抛物线 上的两个动点， 为坐标原点，当 时， 的最小值为（ ）
A． B．4 C．8 D．64
7．已知过抛物线 焦点 的直线 交抛物线于M、N两点，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．6
8．直线 与抛物线： 交于 ， 两点， 为坐标原点，直线 ， 的斜率之积为-1，以线段
的中点为圆心， 为半径的圆与直线 交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．36
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知抛物线C： 的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．直线 与C相切
C．若 ，则 的最小值为4
D．若 ，则 的周长的最小值为11
10．已知抛物线C： 的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于
， 两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线C的准线l的方程为
B． 的最小值为4
C．若 ，点Q为抛物线C上的动点，则 的最小值为6
D． 的最小值
11．已知点 在抛物线C： 上，过P作圆 的两条切线，分别交C
于A，B两点，且直线AB的斜率为 ，若F为C的焦点， 为C上的动点，N是C的准线与坐标轴
的交点，则（ ）A． B．
C． 的最大值是 D． 的最大值是
12．已知 为坐标原点， 为抛物线 上一点，直线 与 交于 两点，过 作
的切线交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若点 为 ，且直线 与 倾斜角互补，则 或
C．点 在定直线 上
D．设 点为 ，则 的最小值为3
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点P满足：过点 作直线 的垂线，垂足为 ，且
，则 的最小值为 ．
14．已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线上的动点，且点 的坐标为 ，则 的最
大值是 .
15．已知点P在抛物线 上，P到 的距离是 ，P到 的距离是 ，
则 的最小值为 .
16．已知点 ，动点 在函数 的图像上，动点 在以 为圆心半径为2的圆上，则
的最小值为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 ，已知动点 到点 的距离等于点 到直线
的距离，设点 的轨迹为 .
(1)过点 且斜率为2的直线与曲线 交于两个不同的点 、 ，求线段 的长；
(2)求曲线 上的点到直线 的最短距离.
18．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于点 ，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作抛物线 的两条互相垂直的弦 ， ，设弦 ， 的中点分别为P，Q，求 的最小
值．
19．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 且垂直于 轴的直线交抛物线于 两点，
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 ， 是抛物线 上两动点，以 为直径的圆经过点 ，点 ， ， 三点都不重合，求
的最小值20．已知抛物线C： ，F为抛物线C的焦点， 是抛物线C上点，且 ；
(1)求抛物线C的方程；
(2)过平面上一动点 作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求 的最大
值.
21．如图，已知点 是焦点为F的抛物线 上一点，A，B是抛物线C上异于P的两
点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为 .(1)求抛物线方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；
(3)令焦点F到直线AB的距离d，求 的最大值.
22．如图，已知椭圆 和抛物线 ，斜率为正的直线 与 轴及椭圆 依次交于 、
、 三点，且线段 的中点 在抛物线 上．
(1)求点 的纵坐标的取值范围；
(2)设 是抛物线 上一点，且位于椭圆 的左上方，求点 的横坐标的取值范围，使得 的面积存
在最大值．
