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专题27 圆锥曲线中的面积问题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知 是抛物线 上一点， 为抛物线的焦点，点 ，若 ，则 的面积
为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点 是椭圆 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 、 ，且 ，则
的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
3．已知 是抛物线 的准线， 为 的焦点， 分别为 和 上的两点， 与 轴交于点
，且四边形 的面积为 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知双曲线 的左右焦点为 ，P为右支上除顶点外的任意一点，圆I为 的
内切圆，且与x轴切于A点，过 作 ，垂足为B，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．9 D．2
5．已知直线l： 与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线 ： 和 ：
交于点P，则 的面积的最小值为（ ）A． B． C． D．
6．已知过抛物线C： 的焦点 的直线与抛物线C交于A，B两点（A在第一象限），
以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若 ， 为坐标原点，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．4
7．已知抛物线C： ，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线OA，OB的斜率分别为 ， ，且
，直线AB与x轴的交点为P，则 的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，直线 过点 ，且与双曲线右支交于A， 两点，
为坐标原点， 、 的内切圆的圆心分别为 ， ，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知拋物线 的焦点为 ，准线 与 轴交于点 ，过点 的直线交抛物线
于 两点，则（ ）
A．
B．
C．以线段 为直径的圆一定与直线 相切
D． 的面积的最小值为410．设抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，直线 与C交于A，B两点，
以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则（ ）
A． B．
C． 是钝角 D． 的面积小于 的面积
11．已知椭圆 ， 为 的右焦点， 为 的左顶点， 为直线 与 的两
个交点，则（ ）
A． 的取值范围是 B． 周长的最小值为
C． 的面积的最大值为 D．直线 与 的斜率之积为
12．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，过点 垂直于x轴的直线交椭圆C于
A，B两点， ，若点P是椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B． 的面积的最大值为
C． 的取值范围为
D．C上有且只有4个点P，使得 是直角三角形
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设 ， 是双曲线 ： 的两个焦点， 为坐标原点，点P在 的右支上，且
，则 的面积为 .
14．已知抛物线 的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线 ， ，且直线 ， 分别与抛物线
C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是 .15．已知抛物线 ，圆 ，设 为坐标原点，过圆心 的直线与圆 交于点 ，
直线 分别交抛物线 于点 （点 不与点 重合）.记 的面积为 ， 的面积为
，则 的最大值 .
16．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一
些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线
，弦AB过焦点， 为其阿基米德三角形，则 的面积的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 的一个焦点为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值及此时直线 的方程.
18．椭圆 的左顶点为 ，右顶点为 ，满足 ，且椭圆 的离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 在椭圆 的内部，直线 和直线 分别与椭圆 交于另外的点 和点 ，若 的
面积为 ，求 的值．19．设椭圆 的左､右顶点分别为 ，且焦距为 .点 在椭圆上且异于 两点，
若直线 与 的斜率之积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作不与 轴重合的直线与椭圆 相交于 两点，直线 的方程为： ，过点 作
垂直于直线 ，交 于点 .求 面积的最大值.
20．已知 的两顶点坐标 ， ．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)不垂直于 轴的动直线 与轨迹 相交于 两点，定点 ，若直线 关于 轴对称，求
面积的取值范围．
21．设抛物线方程为 ，过点 的直线 分别与抛物线相切于 两点，且点 在 轴下方，点
在 轴上方.
(1)当点 的坐标为 时，求 ；(2)点 在抛物线上，且在 轴下方，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，且 .若
的重心在 轴上，求 的最大值.（注： 表示三角形的面积）
22．已知椭圆 的短轴长为 ，一个焦点为 ．
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)设直线 与椭圆 交于两点 ，点 在线段 上，点 关于点 的对称点为 ．当四
边形 的面积最大时，求 的值．
