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重难点突破13 切线与切点弦问题
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1、点 在圆 上，过点 作圆的切线方程为 ．
2、点 在圆 外，过点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则切点弦 的
直线方程为 ．
3、点 在圆 内，过点 作圆的弦 （不过圆心），分别过 作圆的切线，
则两条切线的交点 的轨迹方程为直线 ．
4 、 点 在 圆 上 ， 过 点 作 圆 的 切 线 方 程 为
．
5、点 在圆 外，过点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则切点
弦 的直线方程为 ．
6、点 在圆 内，过点 作圆的弦 （不过圆心），分别过 作
圆的切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为 ．
7、点 在椭圆 上，过点 作椭圆的切线方程为 ．8、点 在椭圆 外，过点 作椭圆的两条切线，切点分别为 ，则
切点弦 的直线方程为 ．
9、点 在椭圆 内，过点 作椭圆的弦 （不过椭圆中心），分别过
作椭圆的切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为直线 ．
10、点 在双曲线 上，过点 作双曲线的切线方程为 ．
11、点 在双曲线 外，过点 作双曲线的两条切线，切点分别为
，则切点弦 的直线方程为 ．
12、点 在双曲线 内，过点 作双曲线的弦 （不过双曲线中
心），分别过 作双曲线的切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为直线 ．
13、点 在抛物线 上，过点 作抛物线的切线方程为 ．
14、点 在抛物线 外，过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 ，
则切点弦 的直线方程为 ．
15、点 在抛物线 内，过点 作抛物线的弦 ，分别过 作抛物线的
切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为直线 ．
题型一：切线问题
例1．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知抛物线 ，焦点为
.过抛物线外一点 （不在 轴上）作抛物线 的切线 ，其中 为切点，两切线分别交 轴于点
.
(1)求 的值；
(2)证明：
① 是 与 的等比中项；
② 平分 .【解析】（1）抛物线 焦点 ，设点 ，
设抛物线 的切线 的方程分别为：
由 整理得， ，
由 ，
可得 ，同理 ，
则抛物线 的切线 的方程分别为：
则 ， ，
则 ，
（2）①由（1）可得
， ，
则 ，
，
则 ，故 是 与 的等比中项；
②，
则 ,又 ，则
故 平分 .
例2．（2023·江西·高三校联考开学考试）已知抛物线 ，F为C的焦点，过点F的直线 与C交于
H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T．
(1)当 的斜率为 时，求 ；
(2)证明： ．
【解析】（1）依题意，抛物线 的焦点 ，准线方程 ，当l的斜率为 时，l的方程为
，
由 ，得 ，设 ， ，则 ，
所以 .
（2）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ，由 消去y得 ，由（1） ， ，
， ，对 求导，得 ，
切线 的方程为 ，切线 的方程为 ，
由 ，解得 ，即 ，
当 时， ，显然 ；当 时，直线 的斜率为 ，因此 ，
所以 .
例3．（2023·湖北·高三校联考开学考试）已知抛物线 的焦点为 ，过 作斜率为
的直线 与 交于 两点，当 时， .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设线段 的中垂线与 轴交于点 ，抛物线 在 两点处的切线相交于点 ，设 两点到直线 的
距离分别为 ，求 的值.
【解析】（1）当 时，直线 的方程为 ，
设 ，
联立方程组 ,消去 得 ，
所以 恒成立，
， ，
所以 ，
解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）由（1）知 ，则 ，
设 ，显然 ， ，线段 的中点为 ，联立方程组 消去 得 ，
恒成立，
所以 ，
所以 ，
所以 ，则 的中垂线方程为 ，
令 ，得 ，所以 ，
所以 .
由 得 ，则 ，
不妨设 ， ，则切线 的斜率为 ，切线 的斜率为 ，
则切线 ： ，即 ，
切线 ，即 ，
联立方程组 ，解得 ，
由 ， ，
得 ，得 ，
得 ，得 ，
因为 ，所以 ，而 ，所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以点 到直线 的距离 .
故 .
变式1．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与
E交于A，B两点，且 ．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设 为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN
的斜率分别为 和 ．求证： 为定值．
【解析】（1）由题意， ，直线l的方程为 ，代入 ，得 ．于是
，∴焦点弦 ，解得p＝2．故抛物线E的方程为 ．
（2）因 在E上，∴m＝2．设E在P处的切线方程为 ，代入 ，得
．由 ，解得t＝1，∴P处的切线方程为y＝x＋1，从而得
．
易知直线MN的斜率存在，设其方程为 ，设 ， ．
将 代入 ，得 ．于是 ， ，且 ，
．∴
．
故 为定值2．
变式2．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）已知椭圆 的两焦点分
别为 ，A是椭圆 上一点，当 时， 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 ，过 作垂直 轴的直线
在第二象限交椭圆 于点S，过S作椭圆 的切线 ， 的斜率为 ，求 的取值范围.
【解析】（1）由题意得 ，
由椭圆定义可得 ，又 ，
由余弦定理可得：
，
所以 ，又 ，解得 ，
所以 ，故椭圆 的方程为 .
（2）直线 ，设 ，联立 与 得 ，所以 ，
恒成立，
所以 ，
故 ，
设直线 为 ， ，
联立 ，所以 ，
由 可得 ，
所以 ，则 ，所以得 ，所以 ，
则 ，
由于函数 在 上为减函数，所以函数 在 上为增函数，
所以函数 在 上为减函数，所以 ，
所以 .
变式3．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知椭圆 经过点 ，且
离心率为 ， 为椭圆 的左焦点，点 为直线 上的一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分
别为 ， ，连接 ， ， ．
(1)证明：直线 经过定点 ；
(2)若记 、 的面积分别为 和 ，当 取最大值时，求直线 的方程．
参考结论： 为椭圆 上一点，则过点 的椭圆的切线方程为 ．【解析】（1）由题意可得 ，即 ， ，
故椭圆 的方程为 ，
设 ， ， ，
由参考结论知过点 在 处的椭圆 的切线方程为 ，
同理，过点 在 处的椭圆 的切线方程为 ，
点 在直线 ， 上， ，
直线 的方程为 ，即 ，
可得 ，则直线 过定点 ；
（2）由（1）知， ， ，
设直线 的方程为 ，联立 ，
得 ，故 ， ，
为 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，此时直线 的方程为 ，
即 或 ．题型二：切点弦过定点问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线，直线l：
1 2
，且l 与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到直线l 和l 的距离之和的最小值
2 1 2
等于2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M在直线l 上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，P，在平面内是否存在定点N，
1 1 2
使得MN⊥PP 恒成立？若存在，请求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．
1 2
【解析】（1）作PA，PB分别垂直l 和l，垂足为A，B，抛物线C的焦点为 ，
1 2
由抛物线定义知|PA|＝|PF|，所以d+d＝|PA|+|PB|＝|PF|+|PB|，
1 2
显见d+d 的最小值即为点F到直线l 的距离，
1 2 2
故 ，解之得 或 （舍）
所以抛物线C的方程为x2＝4y．
（2）由（1）知直线l 的方程为 ，当点M在特殊位置 时，
1
显见两个切点P，P 关于y轴对称，故要使得MN⊥PP，点N必须在y轴上．
1 2 1 2
故设M ，N ， ， ，
抛物线C的方程为 ，求导得 ，所以切线MP 的斜率 ，
1
直线MP 的方程为 ，又点M在直线MP 上，
1 1
所以 ，整理得 ，
同理可得 ，故x 和x 是一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的根，
1 2
由韦达定理得 ，
，
可见n＝1时， 恒成立，
所以存在定点N ，使得MN⊥PP 恒成立．
1 2
例5．（2023·福建宁德·校考一模）双曲线 的离心率为 ，右焦点F到渐近线 的距离
为 ．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过直线 上任意一点P作双曲线C的两条切线，交渐近线 于A，B两点，证明：以AB为直径
的圆恒过右焦点F．
【解析】（1）设双曲线 的半焦距为 ，则右焦点 的坐标为 ，
由题意可得 ，解得 ．
故双曲线C的标准方程是 ．
（2）设 ，过点 的斜率不存在的直线的方程为 ，
直线 与双曲线 没有交点，不可能为双曲线的切线，
所以过点P的切线斜率存在，设此切线方程为 ，
联立 ，整理得 ．
由 ，得 ．
设直线PA，PB的斜率分别为 ， ，
则 ， ．联立 ，解得 ， ，则 ．
同理可得 ．
因为 ，所以 ， ，
则 ．
因为 ，
所以 ，即以AB为直径的圆恒过右焦点F．
例6．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知抛物线 的焦点到
准线的距离为1．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设点 是该抛物线上一定点，过点 作圆 （其中 ）的两条切线分别交抛
物线 于点 ，连接 ．探究：直线 是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说
明理由．
【解析】（1）因为抛物线 的焦点到准线的距离是1，所以 ，
所以抛物线 的标准方程为 ．
（2）当 时， ，所以 ，
设 ，则直线 为 ，
即 ．
因为直线 与圆 相切，所以 ，整理得 ．
同理，直线 与圆 相切，
可得 ．
所以可得 是方程 的两个根，
所以 ，
代入 ，化简得 ，
若直线过定点，则须满足 ，解得
所以直线 恒过定点 ．
变式4．（2023·陕西·校联考三模）已知直线l与抛物线 交于A，B两点，且 ，
，D为垂足，点D的坐标为 ．
(1)求C的方程；
(2)若点E是直线 上的动点，过点E作抛物线C的两条切线 ， ，其中P，Q为切点，试证明
直线 恒过一定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）设点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
因为 ，所以 ，则直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去y，整理得 ，
所以有 ， ，
又 ，得 ，
整理得 ，解得 ．
所以C的方程为 ．
（2）由 ，得 ，所以 ，设过点E作抛物线C的切线的切点为 ，
则相应的切线方程为 ，即 ，
设点 ，由切线经过点E，得 ，即 ，
设 ， ，则 ， 是 的两实数根，
可得 ， ．
设M是 的中点，则相应 ，
则 ，即 ，
又 ，
直线 的方程为 ，即 ，
所以直线 恒过定点 ．
变式5．（2023·贵州·校联考二模）抛物线 的焦点到准线的距离等于椭圆
的短轴长．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设 是抛物线 上位于第一象限的一点，过 作 （其中 ）的两条切线，
分别交抛物线 于点 , ,证明：直线 经过定点．
【解析】（1）由椭圆方程 可知短轴长为 ，
∴抛物线 的焦点到准线的距离 ，
故抛物线方程为 ．
（2）∵ 是抛物线 上位于第一象限的点，∴ 且 ，∴ ．
设 ， ，则直线 方程为 ，
即 ，
∵直线DM： 与圆E： 相切，∴ ，整理可得， ，①
同理，直线DN与圆E相切可得， ，②
由①②得a，b是方程 的两个实根，
∴ ， ，
代入 ，化简整理可得，
，
令 ，解得 ，
故直线MN恒过定点 ．
变式6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆 的焦距为2，圆 与椭圆
恰有两个公共点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知结论：若点 为椭圆 上一点，则椭圆在该点处的切线方程为 ．若椭圆
的短轴长小于4，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，求证：直线 过定点．
【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 ．当圆 在椭圆 的内部时， ，椭
圆 的方程为 ．
当圆 在椭圆 的外部时， ，
椭圆 的方程为 ．
（2）证明：设 ．
因为椭圆 的短轴长小于4，所以 的方程为 ．
则由已知可得，切线 的方程为 的方程为 ，
将 代入 的方程整理可得，
．
显然 的坐标都满足方程 ，
故直线 的方程为 ，令 ，可得 ，即直线 过定点 ．
变式7．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）如图所示，已知 在椭圆
上，圆 ，圆 在椭圆 内部.
(1)求 的取值范围；
(2)过 作圆 的两条切线分别交椭圆 于 点（ 不同于 ），直线 是否过定点？若 过定
点，求该定点坐标；若 不过定点，请说明理由.
【解析】（1）由题意 ，故椭圆方 ，
设 为椭圆上的一动点，由于圆在椭圆内部，则 恒成立，
即 对任意 恒成立，
令 ，
，
则 ，于是有 ；
（2）设 ， ，
， （由（1） 斜率都存在），
由于两直线均与圆C相切，则 ，
则 为方程 的两根，由韦达定理可知 ，设 ，
由韦达定理可知 ，
由 .则
.故 过定点 .
题型三：利用切点弦结论解决定值问题
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 的离
心率为 ，抛物线 的顶点为原点.
(1)求椭圆 和抛物线 的方程；
(2)设点 为抛物线 准线上的任意一点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 为切点.设直
线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
【解析】（1）设椭圆 和抛物线 的方程分别为 ， ， ，
椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，
，解得 ， ，
椭圆 的方程为 ，抛物线 的方程为 ．
（2）由题意知过点 与抛物线 相切的直线斜率存在且不为0，设 ，则切线方程为，
联立 ，消去 ，得 ，
由 ，得 ，
直线 ， 的斜率分别为 ， ， ，
为定值．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知F是抛物线C： 的焦点，以F为圆心，2p为半径的
圆F与抛物线C交于A，B两点，且 .
(1)求抛物线C和圆F的方程；
(2)若点P为圆F优弧AB上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，请问
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题意可得：抛物线C： 的焦点为 ，则圆F的方程为 ，
联立方程 ，消去x得 ，解得 或 （舍去），
将 代入 得A，B的坐标分别为 ， .
故 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ，圆F的方程为 .
（2）是，理由如下：
设 ，则 ，
因为抛物线的方程为 ，则 ，
所以切线PM的方程为 ，即 ，①
同理切线PN的方程为 ，②
则由①②过 ，则 ，
所以直线MN的方程为 ，联立方程 ，消去y得 ，
则 ， ，
所以
，
又 在圆F上，则 ，即 ，
故 为定值16.
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 引圆 ：
的一条切线，切点为 ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得 的面积为 ？
若存在，求点A的个数；否则，请说明理由.
【解析】（1）如图
已知抛物线 ： 的焦点为 ，
圆 ： 的圆心 ，半径 ，
则 ，
过点M作 轴，则 ， ，
在 中，满足 ，即 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）存在点A使得 的面积为 ，点A的个数为2，理由如下：
设 ， ， ，
由（1）可知抛物线 的方程为 ，
则 切点弦PQ的方程为 ，斜率 ，
联立 ，得 ，
所以 ， ，
，
点 到直线PQ的距离 ，
，
所以 ，
即点A的轨迹为抛物线 往左平移 个单位长度，
因为点A在圆M上，联立 ，得 ，显然 是一个根，因式分解得 ，
令 ， ，则 ，
若 ，由于 ，
则 恒成立，所以 为增函数，
， ，
根据零点存在定理函数 在 上存在一个零点，
所以存在两个点A使得 的面积为 .
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，圆 与
轴相切，且圆心 与抛物线 的焦点重合.
(1)求抛物线 和圆 的方程；
(2)设 为圆 外一点，过点 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于两个不同的点
和点 .且 ，证明：点 在一条定曲线上.
【解析】（1）由题设得 ，
所以抛物线 的方程为 .
因此，抛物线的焦点为 ，即圆 的圆心为
由圆 与 轴相切，所以圆 半径为 ，
所以圆 的方程为 .
（2）证明：由于 ，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则 .
故设过点 且与圆 相切的切线方程为 ，即 .
依题意得 ，整理得 ①；
设直线 的斜率分别为 ，则 是方程①的两个实根，
故 ， ②，
由 得 ③，
因为点 ，则 ④， ⑤
由②，④，⑤三式得：
，
即 ，
则 ，即 ，
所以点 在圆 .
变式9．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，P为抛物线上一动点，点P到
F的最小距离为1．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点 向C作两条切线AM，AN，切点分别为M，N，直线AF与直线MN交于点Q，求证：点
Q到直线FM的距离等于到直线FN的距离．
【解析】（1）设点P的坐标为 ，由抛物线定义可知，
故 ，得 ，所以抛物线C的标准方程为 ．
（2）解法一 ，设 ， ，由 ，得 ，
所以抛物线在点M处的切线方程为 ，
在点N处的切线方程为 ．
因为两条切线均过点 ，所以 ，
所以点M，N的坐标满足 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
不妨设 ， ，则 ， ．就易知 ，所以 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ．
因为FQ平分 ，所以点Q到直线FM的距离等于到直线FN的距离．
解法二 设切点为 ，由 ，得 ，
所以过点 的抛物线的切线方程为 ，
联立，得 ，消去y并整理得 ，
则 ，解得 或 ，
不妨设 ， ，则 ， ，
所以直线MN的方程为 ，易知 ，所以直线AF的方程为 ，
由 ，得 ，即 ．
易得直线FM的方程为 ，直线FN的方程为 ，
所以点Q到直线FM的距离 ，
点Q到直线FN的距离 ，所以 ，得证．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知点 在抛物线 上，且到抛物线 的焦
点 的距离为2.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过点 向抛物线 作两条切线 ，切点分别为 ，若直线 与直线 交于点 ，且
点 到直线 ､直线 的距离分别为 .求证： 为定值.【解析】（1）因为 ，由题意可得 ，
解得 ，所以抛物线 的标准方程为 ；
（2）方法一：设 ，由 ，得 ，
所以抛物线在点 处的切线方程为 ，
在点 处的切线方程为 ，
因为两条切线均过点 ，所以 ，
所以点 的坐标均满足 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
不妨设 ，则 ，
易知 ，所以 ，
所以 ，
，
所以 ，所以 ，所以 平分 ，
所以点 到直线 的距离 等于点 到直线 的距离 ，
所以 ，为定值，得证.
方法二：设切点为 ，由 ，得 ，
所以过点 的抛物线的切线方程为 ，
联立方程 ，消去 并整理得 ，
则 ，解得 或 ，不妨设 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，
易知 ，所以直线 的方程为 ，
由 ，得 ，即 ，
易得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
所以点 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 ，则 ，为定值，得证.
变式11．（2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考开学考试）在以 为圆心，6为半径的圆A内有
一点 ，点P为圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线 和半径AP交于点M．
(1)判断点M的轨迹是什么曲线，并求其方程；
(2)记点M的轨迹为曲线 ，过点B的直线与曲线 交于C、D两点，求 的最大值；
(3)在圆 上的任取一点Q，作曲线 的两条切线，切点分别为E、F，试判断QE与QF是否垂直，
并给出证明过程．
【解析】（1）由题意可知 ,
因为线段 的垂直平分线 和半径 交于点 ，
所以 ,
所以 ,
由椭圆的定义知，点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，
由 ，得 ，又 ，
所以 ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）当直线 斜率不存在时，直线方程为 ，则 ， ,所以 ，
此时 ，
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，则
，消去 ，得 ，
所以 ，
设 ， ,则 ，
所以
，
综上， 的最大值为 .
（3） 与 垂直,证明如下：设 ，则 ，
①当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与 轴垂直时，切线方程为 ，
即 ，得 ，
所以另一条切线方程为 ，即与 轴平行，所以两切线垂直.
当斜率存在时， ，设切线方程为 ，则
，消 ，得 ，
由于直线与椭圆相切，得 ，
化简得 ，
因为 ，所以 ，即两条切线相互垂直，
综上，过点 作的两条切线 与 垂直.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知拋物线 ， 为焦点，若圆
与拋物线 交于 两点，且
(1)求抛物线 的方程；(2)若点 为圆 上任意一点，且过点 可以作拋物线 的两条切线 ，切点分别为 .求证：
恒为定值.
【解析】（1）由题意可知 ，半径为 ，
由圆的圆心以及抛物线的焦点均在在坐标轴 轴，故由对称性可知： 轴于点 ，
在直角三角形 中， ,
因此 故 ，将其代入抛物线方程中得 ，
故抛物线方程为：
（2）令 ，
抛物线在点 处的切线方程为 ,
与 联立得 ①
由相切 得 ，
代入①得
故在点处的切线方程为 ，即为
同理：点 处的切线方程为 ，
而两切线交于点 ，所以有 ，
则直线 的方程为: ，
由 得 ,所以
于是
，
又点 在圆 上，
所以 ,即 .
变式13．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知抛物线 ，圆
是 上异于原点的一点.
(1)设 是 上的一点，求 的最小值；
(2)过点 作 的两条切线分别交 于 两点（异于 ）.若 ，求点 的坐标.
【解析】（1）设 ，圆心 ，半径为 ，
，
所以当 时， 有最小值 ，
所以 的最小值 ；
（2）由题设，切线斜率一定存在，设切线的斜率为 ，
所以切线的方程为： ，
由圆的切线性质可知：
，
设 ，
， 是方程 的两个不相等实根，
因此 ，即 ，且 ，
所以由圆的切线性质知： ，，
所以 的坐标为 或 .
变式14．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）如图，椭圆 ，圆
，椭圆C的左、右焦点分别为 ．
(1)过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若 ，求 的值；
(2)过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直．
【解析】（1）设 ，由于 ，
而 ，则 ，
所以 （其中 ），
．
（2）设 ，则 ，即 ，
设过点R的圆O的切线斜率都存在时的方程： ，代入椭圆方程得：
，整理得： ，
则 ，
即 ，
是上述关于k的方程的两个根，则 ，
即两条切线的斜率都存在时，有两条切线相互垂直；
而当过R的切线斜率不存在时，易知R点的坐标为 ，
此时显然两条切线相互垂直，
综上，过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，则两条切线相互垂直．
变式15．（2023·河南·校联考模拟预测）在椭圆 ： （ ）中，其所有外切矩形的顶
点在一个定圆 ： 上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆 过 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 的蒙日圆上一点 ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点 ，若 ， 存在，证明：
为定值.
【解析】（1）将 ， 代入到 ，
可得 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为： .
（2）由题意可知，蒙日圆方程为： .
（ⅰ）若直线 斜率不存在，则直线 的方程为： 或 .
不妨取 ，易得 ， ， ， ，
.
（ⅱ）若直线 斜率存在，设直线 的方程为： .
联立 ，化简整理得： ，据题意有 ，于是有： .
设 （ ）， （ ）.
化简整理得： ，
，
， .
则
，
，所以 .
综上可知， 为定值 .
题型四：利用切点弦结论解决最值问题
例10．（2023·福建泉州·高三校联考阶段练习）已知F为抛物线C： 的焦点， 是
C上一点，M位于F的上方且 .
(1)求p；
(2)若点P在直线 上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 的最小值.
【解析】（1）设点 到抛物线准线的距离为 ，则 ，即 ，
由 是抛物线 上的点，则 ，
联立可得 ，消去 可得 ，分解因式可得 ，解得 或 ，
当 时， 满足题意，当 时， 不合题意，
所以 ；
（2）任意取点 位于抛物线 上，设点 ，则 ，即 ，
由抛物线方程 ，可得函数 ，求导可得 ，
令 ，整理可得 ，
设 ， ，则 ， ，
由抛物线的定义，可得 ， ，
则 ，
其中 ，
，
所以 ，
当 时， .
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为 .
(1)求抛物线 的方程及焦点 的坐标；
(2)如图，过抛物线 上一动点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，求四边形 面
积的最小值.
【解析】（1）由题知， ，
抛物线 的方程为 ，焦点 的坐标为 .
（2）由圆的标准方程可知， ，设点 ，则 ，
在 中， ，
当 时， 取得最小值 ，
由圆的切线性质知， ，
四边形 的面积 ，
故四边形 面积的最小值为 .
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，左顶
点为 ，离心率为 ，经过 的直线交椭圆于 两点， 的周长为8．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过直线 上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为 ，
①证明：直线 过定点；
②求 的最大值．
备注：若点 在椭圆C： 上，则椭圆C在点 处的切线方程为 ．
【解析】（1）因为经过 的直线交椭圆于A，B两点， 的周长为 ，
由椭圆的定义，可得 ，可得 ，
又由离心率为 ，可得 ，所以 ，
则 ，所以椭圆C的方程为 .
（2）①证明：由（1）知 ， ，设 ， ， ，
根据题意，可得以M为切点的椭圆C的切线方程为 ，
以N为切点的椭圆C的切线方程为 ，
又两切线均过点P，故 ，且 ，
整理化简得 ，且 ，
所以点 ， ，均在直线 上，所以直线MN的方程为 ，且直线MN过定点 .
②由题意，直线 的斜率不为 ，设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 得 ，
可得 ，且 ，
可得
，
令 ，设 ，则函数 在 单调递增，
所以当 时，即 时， 有最小值 ，
即 的最大值为 ，
又由 ，
所以 的最大值为 ，此时直线 的方程为 .
变式16．（2023·贵州·高三校联考阶段练习）已知抛物线 上的点 到其焦点 的距
离为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 在直线 ： 上，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，直线 与直线 交于
点 ，过抛物线 的焦点 作直线 的垂线交直线 于点 ，当 最小时，求 的值.
【解析】（1）因为点 在抛物线 上，可得 ，又因为点 到其焦点 的距离为 ，
由抛物线的性质可得 ，解得 ，即抛物线 的方程为 .
（2）由题意可设 ，且 ， ，
因为 ，所以 ，可得 ，所以 ，整理得 ，
设点 ，同理可得 ，
则直线 方程为 ，
令 ，可得 ，即点 ，
因为直线 与直线 垂直，所以直线 方程为 ，
令 ，可得 ，即点 ，
所以 ，当且仅当 时，即 时上式等号成立，
即 的最小值为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
所以 ，
则
所以 .
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
为C上一动点， 的最大值为 ，且长轴长和短轴长之比为2 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ，过P作圆 的两条切线 ， ，设 ， 与x轴分别交于M，N两点，求
面积的最小值.
【解析】（1）由题意得 ， ，
所以 ，所以 ，
解得 ， ，
则椭圆 的标准方程为 .
（2）如图所示：
当过P的切线斜率存在，即 ， 时，
设其方程为 ，即 ，
令 ，得切线与 轴的交点坐标为 .
因为切线和圆O相切，所以
化简得 ，
则有 ， .
设切线 ， 的斜率分别为 ， ，则 ， ，
所以
因为P在椭圆C上，所以有 ，代入上式化简可得 .
令 ，得 ， ，则 .
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增， ，即 .
当过P的切线斜率不存在时，此时 或 .
若P点的坐标为 ，由对称性可得 ，
因为 ，所以 面积的最小值为 .
变式18．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知直线 与抛物线C： 交于A，B两点，
分别过A，B两点作C的切线，两条切线的交点为 .
(1)证明点D在一条定直线上；
(2)过点D作y轴的平行线交C于点E，线段 的中点为 ，
①证明： 为 的中点；
②求 面积的最小值.
【解析】（1）设 ， ， ，由 得 ，
C在点A处的切线方程为 ，
将 代入上式得 ，故 ，
同理 ，
A，B两点两点都在直线 上，
所以直线 与直线 是同一直线，故 ， ，
即点D在定直线 上.（2）① ，即 为 ， 为 ，
将 与 联立得 ， ，
故 ，
线段 的中点为 ，故 三点共线，
， ，故 为 的中点.
② ， ，
点 到直线 的距离为：
，
（当 时取等），
面积的最小值为 .
变式19．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为3.
(1)求 ；
(2)若点 在圆 上， ， 是抛物线 的两条切线， 是切点，求三角形 面积的最大值.
【解析】（1）圆 的圆心 ，半径 ，
由点 到圆 上的点的距离的最小值为 ，解得 ；
（2）由（1）知，抛物线的方程为 ，即 ，则 ，
设切点 ， ，则 ，
则 ，
则直线 ，直线 ，
联立 ，解得 ，
从而得到 ，设直线 ，联立抛物线方程，消去 并整理，得 ，
则 ，即 ，
且 ， ，故 ，
因为 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 ，①
又点 在圆 上，
故 ，代入①得 ，
而 ，故当 时， .
变式20．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知抛物线的顶点在原点，焦点在 轴上，其
上一点 到焦点的距离为2.
(1)求抛物线方程；
(2)圆 ： ，过抛物线上一点 作圆 的两条切线与 轴交于 、 两点，
求 的最小值.
【解析】（1）设焦点 ， ， ，
∴方程为 ；
（2）设切线 ： ， ： ①， ： ②.
∵ ，∴ ，∴ ，
整理得： .∵ ，
∴ ，
由韦达定理： ， ，
∴ .
在①中令 ， ，同理 ，
∴ ，
，∴ ，
∵ ，∴ ，
令 ， ，则 ，
令 ， ，
，∴ 在 上单调递增，
∴ ，∴ .
变式21．（2023·广东茂名·高三校考阶段练习）已知平面内动点 ，P到定点 的距离与P到
定直线 的距离之比为 ，
(1)记动点P的轨迹为曲线C ，求C的标准方程．
(2)已知点 是圆 上任意一点，过点 作做曲线C的两条切线，切点分别是 ，求 面
积的最大值，并确定此时点 的坐标.
注：椭圆： 上任意一点 处的切线方程是： .
【解析】（1）设d是点P到直线 的距离，根据题意，动点P的轨迹就是集合 ．
由此得 ．将上式两边平方，并化简，得 .
（2）设 ，则 ，
切线 方程： ，切线 方程： ，
因为两直线都经过点 ，
所以，得 ， ，
从而直线 的方程是： ，
由 ，得 ，
由韦达定理，得 ，
，
点 到直线 的距离 ，
，其中 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上递增，
，即 时， 的面积取到最大值 ，此时点 .
变式22．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）已知椭圆 经过点 ，过
原点的直线与椭圆交于 ， 两点，点 在椭圆上（异于 ， ），且 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点 为直线 上的动点，过点 作椭圆的两条切线，切点分别为 ， ，求 的最大值．
【解析】（1）设 ，则 ，
可得 ，
因为点 在椭圆上，则 ，两式相减得 ，
整理得 ，即 ，可得 ，
又因为点 在椭圆上，则 ，
由 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）由题意可知：切线 的斜率存在，设为 ，
设点 ，过点 的直线为 ，
联立方程 ，消去y得 ，则 ，
整理得 ，则 ，
即过直线 上任一点 均可作椭圆的两条切线，且 ，
可得 ，
因为 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立
则 ，可得 ，
所以 ，
故当 时， 取到最大值 .
变式23．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知抛物线C： 的准线为l，圆O： .
(1)当 时，圆O与抛物线C和准线l分别交于点A，B和点M，N，且 ，求抛物线C的方程；
(2)当 时，点 是（1）中所求抛物线C上的动点.过P作圆O的两条切线分别与抛物线C
的准线l交于D，E两点，求 面积的最小值.
【解析】（1）因为 ，所以点O到AB的距离等于点O到MN的距离，该距离等于 ，
由对称性可得直线 的方程为 ，
由 取 可得 ，
所以 .由 解得 ，
所以抛物线C的方程为 .
（2）由（1）可知准线l的方程为 ，设点 ， ， ，
则直线PD的方程为 ，
整理得 .
因为直线PD和圆O相切，所以点O到直线PD的距离等于1，
即 ，
整理得 ，
同理有 ，
因为 ，所以m，n是一元二次方程 的两个根，
则 ， ，
故 ，
又因为 ，
所以 .
因为点P到准线l的距离为 ，
所以
令 ，则令 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
则 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
综上， 面积的最小值为 .
题型五：利用切点弦结论解决范围问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，且直线
被椭圆 截得的弦长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)以椭圆 的长轴为直径作圆 ，过直线 上的动点 作圆 的两条切线，设切点为 ，若直
线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，求 的取值范围．
【解析】（1）直线 ，经过点 ， ，被椭圆 截得的弦长为 ，可得 ．
又 ， ，解得： ， ， ，
椭圆 的方程为 ．
（2）由（1）可得：圆 的方程为： ．
设 ，则以 为直径的圆的方程为： ，
与 相减可得：直线 的方程为： ，
设 ， ， ， ，联立 ，化为： ，
，则 ， ，故 ．
又圆心 到直线 的距离 ，
，
，
令 ，则 ，
，可得 ，可得： ．
例14．（2023·海南·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 是直线
上一动点，直线 与直线 交于点 ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作抛物线 的两条切线 ，切点为 ，且 ，求 面积的取值范围.
【解析】（1）直线 ，当 时， ，即 ， ，
则 ，解得 或 （舍去），
故抛物线 的方程为 .
（2）设 ， ， ， ， ，
的直线方程为： ，整理得到 ，
同理可得： 方程为 ，
故 ，故 的直线方程为 ，
，整理得到 ， ，
，
，解得 ，设 到 的距离为 ，
，
，故 ，
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，离心
率为 ，M为椭圆上异于左右顶点的动点， 的周长为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M作圆 的两条切线，切点分别为 ，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求 的
面积的取值范围.
【解析】（1）设椭圆焦距为2c，根据椭圆定义可知，
的周长为 ，离心率
联立 ，解得 ， ，
所以 ，
即椭圆C的标准方程 .
（2）设点 ，又 为切点，可知 ，
所以 四点共圆，即 在以OM为直径的圆上，
则以OM为直径的圆的方程为 ，
又 在圆 上，
两式相减得直线AB的方程为 ，如下图所示：设 ， ，由 ，
消去y整理后得 ，
， ，
所以
，
又点O到直线PQ的距离 ，
设 的面积为S，则
，
其中 ，令 ，则 ，
设 ， ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，从而得 ，
于是可得 ，
即 的面积的取值范围为 .
变式24．（2023·辽宁沈阳·校联考二模）从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物
线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这
一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线 ，从点 发出的平行于y轴的光
线照射到抛物线上的D点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点 ．(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆 ，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别
为A、B，求 的取值范围．
【解析】（1）由题设，令 ， ，根据抛物线性质知：直线 必过焦点 ，
所以 ，则 ，整理得 ， ，则 ，
所以抛物线C的方程为 .
（2）由题意， ，且 ， ， ，
所以 ，
而 ，
令 ，则 ，
所以 ， ，
综上， ，
又 ， ，若 ，则 ，
由 ，当 ，即 时 ，无最大值，所以 ，即 ，故 ， ，
令 ，则 ，
令 ， 在 上恒成立，即 递减，所以 .
变式25．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）直线 过双曲线
的一个焦点，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 作一条斜率为k的直线 ，若直线 上存在点P，使得过点P总能作C的两条切线互相垂
直，求直线k的取值范围.
【解析】（1）依题意，直线 交x轴于点 ，则双曲线 的半焦距 ，
直线 的斜率为 ，因此双曲线 的一条渐近线斜率为 ，则 ，而 ，解得 ，
，
所以双曲线 的方程为 .
（2）当过点 的两条切线斜率都存在时，设此切线 的方程为： ，
由 消去y并整理得： ，显然 ，
则有 ，整理得 ，
由于点 在直线 上，即 ，因此 ，
设两条切线的斜率分别为 ， ，即有 ，化简得 ，
过点 的其中一条切线斜率不存在时，也满足 ，
即点P一定在圆 上，而过点 的直线 方程为： ，
于是 ，解得 ，
所以 .
