文档内容
专题15 直线与抛物线的位置关系
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知抛物线 ，过点 的直线l与抛物线C交于A，B两点，若 ，则直线l的斜
率是（ ）
A． B．3 C． D．6
【解析】设 ， ，因为 ，所以点P是线段AB的中点，则 .
因为A，B都是拋物线C上的点，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，则 .故选：A
2．已知抛物线C的方程为 ，过点 和点 的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】当 时，直线 ，与抛物线 有交点，所以 ，
设直线 的方程为 ，
联立直线与抛物线方程，得 ，消元整理，得 ，
由于直线与抛物线无公共点，即方程 无解，故有 ，解得 或 .故选：A
3．过抛物线 上定点 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于另外两点 、
，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，易知 轴，所以，直线 、 的斜率必然存在，
设过点 且与圆 相切的直线的方程为 ，即 ，
由题意可得 ，解得 ，设点 、 ，不妨设直线 、 的斜率分别为 、 ，
则 ，可得 ，同理 ，可得 ，
直线 的斜率为 ，易知点 的坐标为 ，
所以，直线 的方程为 ，即 .故选：B.
4．已知抛物线 的焦点为F，直线l过点F且与C交于M，N两点，若 ，则 的面
积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】已知抛物线 ，则 ， 焦点
由抛物线的定义可知 ， ， ，
，则直线 ，
联立 ，得 ， ， ，
，故选：C.
5．已知点 为抛物线 ： 的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线 于A，B两点，
若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【解析】由题意知 的方程为 ，代入 的方程，得 ，
设 ，则 ；因为 ，且 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，结合 ，解得 .故选：C
6．抛物线 上一点 到直线 距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设直线 与 相切，联立 与 得： ，由 ，得： ，则直线 为 ，
故 与 之间的距离即为 上一点 到直线 距离的最小值，
由两平行线间距离公式得： .故选：A
7．已知点 和抛物线 ，过抛物线 的焦点有斜率存在且不为0的直线与 交于 ， 两
点.若 ，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 得焦点坐标为 ，设直线方程为 ，
与抛物线方程联立 ，消去y得 ，
设 ，则 ，因为 ，
所以 ，即 ，即 ，解得 ，
所以直线方程为： ，故选：A
8．已知抛物线 ： 和圆 ： ，过 点作直线 与上述两曲线自左而右依次交于点 ，
， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【解析】由抛物线 ： 可知焦点为 ，设直线 的方程为 ，由 ，得 ，
设 ，则 ，由抛物线的定义可知
∴ ，∴ ，
当且仅当 时取等号.故选：D
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．若直线 与抛物线 只有一个公共点，则实数k的值可以为（ ）
A． B．0 C．8 D．-8
【解析】联立 与 得， ，
若 ，直线与抛物线只有一个交点，满足要求，
若 ，则 ，所以 ，综上可知 或 .故选：AB
10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与
C相交于 两点，则（ ）
A． B．
C． D． AOB的面积为
△
【解析】抛物线 的焦点坐标为 ，所以直线 ： ，则 ，消去 得 ，所以 ， ，
所以 ，故A错误，C正确；
，故B正确；
又 到直线 ： 的距离 ，所以 ，故D错误；
故选：BC
11．过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于 、 两点，它们的横坐标之和等于 ，则这样的
直线方程为（ ）
A． B．
C． D．不存在
【解析】抛物线 的焦点为 ，若直线 与 轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合
乎题意.设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，可得 ， ，
由韦达定理可得 ，则 ，解得 ，
所以，直线 的方程为 ，即 .故选：BC.
12．在平面直角坐标系 中，已知 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线上且位于
轴的两侧， ，则（ ）A． B．直线 过点
C． 的面积最小值是 D． 与 面积之和的最小值是
【解析】设 ： ， ，消 可得 .
，得 ， ，∴ ，则 或
∵ ，∴ ，∴ ， ，故A错；
： 过 ，故B对；
设定点 ，
，当且仅当 时，取等号，故C对；
又 ，
不妨设 ，又 ， ，当且仅当 时，
取等号，故D对.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知抛物线 的顶点为坐标原点，准线为 ，直线 与抛物线 交于 两点，若线段 的中
点为 ，则直线 的方程为 ．
【解析】因为抛物线 的顶点为坐标原点，准线为 ，
所以易得抛物线的方程为 ，设 ，
因为线段 的中点为 ，故 ，则 ，由 ，两式相减得 ，所以 ，
故直线 的方程为 ，即 ．
14．已知抛物线 上的两个不同的点 ， 的横坐标恰好是方程 的根，则直线 的方
程为 ．
【解析】由题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
因为点 ， 的横坐标恰好是方程 的根，
所以 ，联立 ，消 得 ，
则 ，所以 ，所以 ，经检验，符合题意，
所以直线 的方程为 .
15．已知O为坐标原点，A，B为抛物线 上异于点O的两个动点，且 ．若点O
到直线AB的距离的最大值为8，则p的值为 ．
【解析】由题意，直线 均有斜率且不为0.
设直线 的方程为 ，联立方程 ，解得点 ，
∵直线 的方程为 ，∴ ，∴直线 的方程为 ，即 ，
令 得， ，∴直线 必过定点 ，
∴当直线 垂直于 轴时，点 到直线 的距离的最大，∴ ，∴ ．
16．已知抛物线C： 的焦点为F，过F点倾斜角为 的直线与曲线C交于A、B两点（A在B的右
侧），则 ．
【解析】 抛物线C： ， 焦点坐标为 ，
过点 的直线的倾斜角为 ， ，
直线的参数方程为 （ 为参数），代入抛物线方程可得： ，
解得： ，则 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．点 为抛物线 上一点， 为其焦点，已知 ．
(1)求 与 的值；
(2)以 点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求 的面积．
【解析】（1）由抛物线的定义可知 ， 即 ，抛物线的方程为 .
又 在抛物线上，所以 ，故 ， ．
（2）设过M点的方程为 ，由 ，消去 得 ，即 ，
令 ，解得 ，所以切线方程为 .
令 ，得 ，即 ,又 ， ， .
18．已知直线 上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且 ，记点P
的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程．
(2)设直线l与x轴交于点A，且 ．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论．
【解析】（1）设P的坐标为 ，则点Q的坐标为 ．因为 ，
所以 .所以 ．∴点P的轨迹方程为 ．
（2）
直线PB与曲线C相切，设点P的坐标为 ，点A的坐标为 ．因为 ，所以 ．所以点B的坐标为 ．所以直线PB的斜率为 ．
因为 所以 ．所以直线PB的方程为 代入 ，得 .
因为 ，所以直线PB与曲线C相切．
19．已知点 在抛物线 ： 上
(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 与抛物线 交于 ， 两点， ，且 （其中 为坐标原点），
求 的最小值
【解析】（1）将点 代入抛物线 ： 中，可得 ，得 ，
∴抛物线 的方程为 .
（2）由（1）知，抛物线 的方程为 ，
显然直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ， ，
联立 ，整理可得 ，
则 ， ， ，故 .∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，∴ ， ，
解得 ，∴ ，
∴ ，当且仅当 时取等号.∴ 的最小值为8.
20．已知抛物线 上的点 到其焦点的距离为 ．
(1)求 和 的值；(2)若直线 交抛物线 于 、 两点，线段 的垂直平分线交抛物线 于 、 两点，求证：
、 、 、 四点共圆．
【解析】（1）抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
点 到其焦点的距离为 ，则 ，可得 ，故抛物线 的方程为 ．
将点 的坐标代入抛物线方程可得 ，解得 .
（2）解：由中垂线的性质可得 ， ， ， ，所以，
，
设 、 ，联立 消去 并整理，得 ，
则 ， ，且 ，即 ，
则 ．
设线段 的中点为 ，则点 的纵坐标为 ，
所以，点 的横坐标为 ，则 ．
直线 为线段 的垂直平分线，所以，直线 的方程为 ．
设 、 ，联立 ，
消去 并整理得 ， ，可得 ，
则 ， ，故 ．设线段 的中点为 ，则 ． ，
， ，
故 ，所以， ， ，
故 ，故 ，
所以，点 、 都在以 为直径的圆上，故 、 、 、 四点共圆．
21．已知点A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的动点，过点M（－1，2）的直线AM与抛物线交于另一点B．
(1)当A的坐标为（－2，1）时，求点B的坐标；
(2)已知点P（0，2），若M为线段AB的中点，求 面积的最大值．
【解析】（1）当 的坐标为 时，则 ，所以 ，所以抛物线的方程为： ，
由题意可得直线 的方程为： ，即 ，
代入抛物线的方程可得 解得 （舍）或6，
所以， 的坐标为
（2）法一：设直线 的方程： ，即 ，
设直线 与 轴的交点为 ， ， ，由
可得 ， ， ，
因为 为线段 的中点，所以
令 ， ，即 ，所以
则 的面积 ，
把 代入上式， ，当 时， ，所以 的面积的最大值为2．
（2）法二： 。可得 ， ， ，
因为 为线段 的中点，所以 ，设点 到直线 的距离为 ，则 ，
，把 代入上式， ，
所以，当 时， 的面积的最大值为2
22．在平面直角坐标系 中，动点 到点 的距离比到直线 的距离小2．
(1)求 的轨迹的方程；
(2)设动点 的轨迹为曲线 ，过点 作斜率为 ， 的两条直线分别交 于M，N两点和P，Q两点，其
中 ．设线段 和 的中点分别为A，B，过点 作 ，垂足为 ．试问：是否存在定
点 ，使得线段 的长度为定值．若存在，求出点 的坐标及定值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意可得动点 到点 的距离比到直线 的距离小2，
则动点 到点 的距离与到直线 的距离相等，
故G的轨迹是以 为焦点，以直线 为准线的抛物线，
设抛物线方程为 ，
则焦准距 ，故 的轨迹的方程为： ；
（2）由题意，直线MN的方程为 ，由题意可知 ，
由 ，消去y得： ， ，设 ，则 ，
故 ，同理可求得 ，所以直线AB的斜率 ，
故直线AB的方程为： ，
故直线AB过定点 ，设该点为 ,又因为 ，所以点D在以EF为直径的圆上，
由于 , ,故以EF为直径的圆的方程为 ，
故存在定点 ，使得线段 的长度为定值2.
