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专题10 解析几何小题综合
一、单选题
1．（2023·浙江温州·统考三模）已知直线 ，若 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据给定的条件，利用两直线的垂直关系列式计算作答.
【详解】因为直线 ，且 ，则 ，
所以 .
故选：B
2．（2023·浙江金华·统考模拟预测）双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线方程，可直接写出渐近线方程.
【详解】双曲线 焦点在 轴上，
所以渐近线斜率为 ，
则其渐近线方程为： .
故选：C.
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）设抛物线 的焦点为 ，若点
在抛物线上，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C
【分析】由抛物线的定义求出p的值.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
点 在抛物线上，且 ，由抛物线的定义可知 ，则 .
故选：C
4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知圆 ，圆心为
的圆分别与圆 相切.圆 的公切线（倾斜角为钝角）交圆 于
两点，则线段 的长度为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【分析】判断圆 与 需外切，求出 的方程，进而求得圆 的公切线方
程，再根据弦长的几何求法，即可求得答案.
【详解】如图，由已知 的圆心为 ，半径为 ，
设 的半径为 ，
由题意知圆 与 需外切，否则圆 无公切线或公切线（倾斜角为钝角）与圆
无交点；由题意知 ，即 ；
，即 ，
故圆 ，圆 ，
设圆 的公切线方程为 ，
则 ，解得 ，即 ，
故 到 的距离为 ，
故 ，
故选：B
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）设抛物线 的焦点为 ，过点 作
直线与抛物线交于 两点且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】联立直线和抛物线求出两根积，结合抛物线定义得出焦半径，最后求值即得.
【详解】
.
故选：B.
6．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设过原点且倾斜角为 的直线
与双曲线C： 的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，
若三角形 的面积大于 ，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先得出直线 的方程，与双曲线方程联立得出点 和 的坐标，并得出不
等式关系 ，再表示出 ，根据 大于 列出不等式，求解即
可．
【详解】不妨设 是双曲线 的左焦点，由题可知，直线 的方程为 ，
由 ，得 ，且 ，
所以 ， ，
因为 ，且 大于
，所以 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，解得 ，
所以 ，
故选：D．
7．（2023·浙江·校联考二模）已知直线 和直线 ，拋物线
上一动点 到直线 直线 的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义可得 ，结合图象分析求解.
【详解】由题意可得：拋物线 的焦点 ，准线 ，
设动点 直线 的距离分别为 ，点 到直线 的距离分别为 ，
则 ，可得 ，
当且仅当点 在点 到直线 的垂线上且 在 与 之间时，等号成立，
动点 到直线 直线 的距离之和的最小值是3.
故选：B.
8．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知点 是双曲线 右支上一
点， 分别是 的左、右焦点，若 的角平分线与直线 交于
点 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合双曲线定义证明点 是 的内心，再借助三角形面
积公式求解作答.
【详解】作 的平分线交 的平分线于 ，过 作
轴，垂足分别为 ，如图，则点 为 的内心，有 ，设 ，
，则 ，
于是直线 与直线 重合，而 的角平分线与直线 交于点 ，即 与
重合，则点 为 的内心，
因此令 ，由 ，得
，
因此 ，即有 ，即 ，
所以双曲线 的离心率为 .
故选：B
9．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知椭圆 的右焦点为 ，
过右焦点作倾斜角为 的直线交椭圆于 两点，且 ，则椭圆的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与 构建出关于 、 、 的齐次方程，根据离心率公式即可解得.
【详解】设 ， ， ，过点 做倾斜角为 的直线斜率 ，
直线方程为 ，联立方程 ，
可得 ，
根据韦达定理： ， ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 ，联立 ，
可得 ， .
故选：C.
10．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知椭圆 为椭圆的右焦点，
曲线 交椭圆 于 两点，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直线 与椭圆的两个交点 且 ，其中 与 关于x轴对称，设直线为 代入椭圆，应用韦达定理结合
求参数a，即可求离心率.
【详解】由题设，椭圆右焦点 ，且曲线 恒过 ，不妨令 ，
对于直线 与椭圆的两个交点 ，其中 与 关于x轴对称，
所以 ，即 ，故 ，
令直线为 代入椭圆方程整理得： ，
则 ， ，而 ，
，则 ，可得 （负值
舍），
所以 .
故选：A二、多选题
11．（2023·浙江·高三专题练习）若直线 与圆C： 相交于A，
B两点，则 的长度可能等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】CD
【分析】首先找到直线所过定点 ，根据直线所截圆的弦长公式求出弦长 的
取值范围，进而求出 的长度可能的取值.
【详解】已知直线 恒过点 ，圆 的圆心坐标为 ，
半径 .
当直线经过圆心时，所得弦长 最大， ；
当直线与 所在直线垂直时，所得弦长 最小， ，
因此可得： ，故 的长度可能等于4或5.
故选：CD
12．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆 是直线 上一点，
过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则（ ）
A．直线 经过定点
B． 的最小值为
C．点 到直线 的距离的最大值为
D． 是锐角
【答案】AB
【分析】由两圆方程相减可得交点弦，即可可判断A，根据直线经过的定点即可求解
C,由勾股定理即可判断CD.
【详解】设 ，则以 为直径的圆的方程为，
化简得 ，与 联立，
可得 所在直线方程： ，即 ，
故可知恒过定点 A正确；
到过定点 的直线 距离的最大值为： ，
，故最小值为 .B正确，
当点 与定点 的连线与直线 垂直时，此时点 到直线
的距离最大，且最大值为 ，故C错误；
圆心 到 的距离为 ，
由于 ,在直角三角形 中，
当点 运动到正好 时，此时 最小， 的张角最大，
此时 ，
当点 位于其它点时均为锐角，故 ，不恒为锐角，D错误.
故选：AB13．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知拋物线 ，点 均在抛物线 上，
点 ，则（ ）
A．直线 的斜率可能为
B．线段 长度的最小值为
C．若 三点共线，则存在唯一的点 ，使得点 为线段 的中点
D．若 三点共线，则存在两个不同的点 ，使得点 为线段 的中点
【答案】BD
【分析】根据两点斜率公式，结合一元二次方程的根可判断A，由两点距离公式，结
合导数求单调性确定最值可判断B，根据中点坐标公式，由一元二次方程根的个数可
判断CD.
【详解】设 在抛物线上，且满足 ，
对于A，假如直线 的斜率可以为 ，则
由于 ，则该方程无解，所以直线 的斜率不可能为 ，故A错误，
对于B, ，记 ，
记 单调递增，
由于 ，因此 单调递增，
当 时， 单调递减，故当 时， 取最小
值5，
因此 的最小值为 ，故B正确，
对于C,若 三点共线， 为线段 的中点，则 ，将 代入抛物线方程中得
，
故 有两个不相等的实数根，所以满足条件的点 不唯一，故C错误，
D正确，
故选：BD
14．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知椭圆为 ，设一个
点始终在此椭圆内运动，这个点从一个焦点出发沿直线，经椭圆壁反弹后沿直线经过
另一个焦点，再经椭圆壁反弹后沿直线回到这个焦点，称这个过程为一次“活动”，
记此点进行n次“活动”的总路程为 ， ，则不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据椭圆方程及一次“活动”的定义知 ，进而判断各项正误即可.
【详解】由题意知：一次“活动”的路程为 ，故n次“活动”的总路程为
，
所以 ， ， ， ，
故A、C、D不可能，B对.
故选：ACD15．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知 、 分别是双曲线 的左、
右焦点，过点 作双曲线的切线交双曲线于点 （ 在第一象限），点 在
延长线上，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 为 的平分线 D． 的角平分线所在直线的倾斜
角为
【答案】ACD
【分析】先根据题意设出切线方程，与双曲线方程联立求出点 的坐标，然后即可求
出 ， ，从而可以判断AB两项；再根据角平分线性质定理的逆定理可以
判断C项；最后根据条件求出 的角平分线所在直线的斜率即可求出倾斜角.
【详解】由题意知点 为切点，且切线 斜率大于零，
设切线 方程为 ，
联立 消 得 ，
由 得 ，所以切线 方程为 .
把 代入 ，解方程得将 代入切线方程得 ，所以 ，所以 ，故选项A正确.
因为 ,所以 ，故选项B错误.
因为 ,所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 为 的平分线，故选项C正确.
又因为 ，且 与 的角平分线所在直线垂直，
所以 的角平分线所在直线的斜率为 ，
所以 的角平分线所在直线的倾斜角为 ，故选项D正确.
故选：ACD.
16．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知点 是椭圆 的左右焦
点，点 为椭圆 上一点，点 关于 平分线的对称点 也在椭圆 上，若
，则（ ）
A． 的周长为 B．
C． 平分线的斜率为 D．椭圆 的离心率为
【答案】ABD
【分析】由分析知点 为直线 与椭圆 的交点，故 的周长为 ，可判断A；设 ，由椭圆的定义和角平分线定理求出 ， ，
可判断B；由余弦定理可判断D；点 在 轴上方，设直线 的倾斜角为 ，由两角
差的正切公式求出 可判断C.
【详解】点 关于 平分线的对称点 在直线 上，
又点 关于 平分线的对称点 也在椭圆 上，
所以点 为直线 与椭圆 的交点，故 的周长为 ，故A正确；
设 的平分线交 于点 ，设 ，
则 ，
所以 ，而 ，
设 则 ，于是 ，
所以 ， ， ， ， ，
所以 ，故B正确；
在 ，由余弦定理可得： ，
则 ，则 ，所以 ，故D正确；
不妨设点 在 轴上方，由题意可知，点 在椭圆的下顶点处，则 ，
， ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，由对称性知 平分线的斜率为 或 ，故C不正确.
故选：ABD.
17．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，已知抛物线 ，过抛物线焦点 的直
线 自上而下，分别交抛物线与圆 于 四点，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由题知 ，设直线 为 ， ， ，联立方程
，消去 得 ，根据韦达定理可得 ， ，
然后根据直线与抛物线的位置关系，焦点弦性质，均值不等式，求导逐个计算即可.
【详解】由抛物线方程可知 ，
设直线 为 ， ， ，联立方程 ，消去 得 ，
所以 ， ，
由抛物线的定义可知 ， ，
又点 是圆 的圆心，
所以 ， ，
所以 ，选项A正确；
因为 ，
由上述可知 ， ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，选项B正确；
因为 ，
由上述可知 ，所以 ，
所以 ，其中 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
所以 ，选项C错误；因为 ，
由上述可知 ， ，当且仅当 ，即 ， 时等
号成立，
所以 ，选项D错误；
故选：AB
18．（2023·浙江·校联考模拟预测）双曲线 的左、右焦点分别 ，具有
公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为 ，双曲线和椭圆的离心率分别为
的内切圆的圆心为 ，过 作直线 的垂线，垂足为 ，则（ ）
A． 到 轴的距离为
B．点 的轨迹是双曲线
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义求得 ，可判断A；
在等腰 中，利用中位线结合双曲线的定义可求出 ，可判断B；设
，由 ，即 ，由余弦定理
代入化简可得 ，再结合椭圆和双曲线的定义可判断C；由
，即 可判断D.
【详解】设圆 与 三边 的切点为 ，
，又 ，故 ，故 ，所以 到 轴的距离为 ，故A正确；
过 作直线 的垂线，垂足为 ，延长 交 于点 ，
因为 ，则 为 的中点且 ，于是
，
故点 的轨迹是在以 为圆心，半径为 的圆上，故B不正确；
设椭圆的长半轴长为 ，它们的半焦距为 ，并设 ，
根据椭圆和双曲线的定义可得： ，所以 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，由 ，
两式相加，则 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，故C正确；
，即 ，所以 ，即 ，故D正确.
故选：ACD.
19．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知抛物线 ： ，点 ，均在抛物线 上，点 ，则（ ）
A．直线 的斜率可能为
B．线段 长度的最小值为
C．若 ， ， 三点共线，则 是定值
D．若 ， ， 三点共线，则存在两组点对 ，使得点 为线段 的中点
【答案】BCD
【分析】根据两点斜率公式，结合一元二次方程的根可判断A，由两点距离公式，结
合导数求单调性确定最值可判断B，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系求解
可判断C，根据中点坐标公式，由一元二次方程根的个数可判断D.
【详解】设 在抛物线上，且满足 ，
对于A，假如直线 的斜率可以为 ，则
由于 ，则该方程无解，所以直线 的斜率不可能为 ，故A错误；
对于B， ，记 ，
记 单调递增，
由于 ，因此 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，故当 时， 取最小
值5，
因此 的最小值为 ，故B正确；
对于C，若 三点共线，显然直线 与 轴不平行，设直线方程为 ，联立抛物线方程可得，
，当 时， ，
所以 ，故C正确；
对于D，若 三点共线， 为线段 的中点，则 ，将
代入抛物线方程中得
，
故有两个不相等的实数根，所以满足条件的点 有2个，即存在两组点对 ，故D
正确.
故选：BCD
20．（2023·浙江·校联考二模）设点 在圆 上，圆 方程为
，直线 方程为 .则（ ）
A．对任意实数 和点 ，直线 和圆 有公共点
B．对任意点 ，必存在实数 ，使得直线 与圆 相切
C．对任意实数 ，必存在点 ，使得直线 与圆 相切
D．对任意实数 和点 ，圆 和圆 上到直线 距离为1的点的个数相等
【答案】ACD
【分析】利用直线与圆的位置关系判断．
【详解】由题意 ，因此圆 一定过原点 ，而直线 总是过原点，A正确；
当圆 方程为 时，过原点且与圆 相切的直线是 轴， 不存在，B错
误；
对任意实数 ，作直线 的平行线与圆 相切，切点为 ，此时 到直线 的距
离为1，即直线 与圆 相切，C正确；
易知对任意实数 ，圆 上到直线 距离为1的点有两个，作与直线 平行且距离为1
的两条直线 和 ，（注意： 和 与圆 恒相切），
当直线 过 点时，直线 和 都与圆 相切，两个切点到直线 的距离为1，
当直线 不过 点时，直线 和 中一条与圆 相交，一条相离，两个交点与直线
距离为1，即只有2 个点，D正确．
故选：ACD．
21．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知
，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则（ ）
A．直线 过定点 B．点 到直线 的最大距离为
C． 的最大值为3 D． 的最小值为2
【答案】AC
【分析】由点斜式确定定点，由点 在以原点为圆心，直径为 的圆上，结合
圆的性质判断即可.
【详解】 可化为 ，则直线 过定点 ，故A正确；
因为直线 的斜率存在，所以点 与点 不重合，因为 ，所以点 在以原点为圆心，直径为 的圆上（去掉点B），
点 到直线 的距离为 ，由图可知， ，故B错误；
由图可知， ，即 ，故C正确，D错误；
故选：AC
22．（2023·浙江金华·统考模拟预测）如图，已知 是抛物线 的焦点，过点
和点 分别作两条斜率互为相反数的直线 ，交抛物线于 四点，且
线段 相交于点 ，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】A选项，设出直线 ，与 联立，得到两根之和，两根之积，同理得到 ，与双曲线方程联立，表达出 ，相加后得到
，A正确；B选项，在A选项的基础上，作出辅助线，找到角度相等，证
明相似，得到B正确；C选项，在B的基础上得到所以 ∽ ，
，C正确；D选项，在BC基础上，得到面积之比，得到D错误.
【详解】A选项，显然两直线的斜率均存在且不为0，
由题意得 ，设直线 ，与 联立得 ，
设 ，则 ，
设直线 ，与 联立得 ，
设 ，则 ，
则 ， ，
则
，A正确；
B选项，延长 交 轴于点 ，延长 交 轴于点 ，
因为 ，所以 ，
因为直线 的斜率互为相反数，所以 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ∽ ，故 ，
所以 ，B正确；C选项，因为 ，且 ，所以 ∽ ，故
，C正确；
D选项，由BC选项可知 ，由于 与 不一定相等，
故D错误.
故选：ABC
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
23．（2023·浙江·校联考三模）已知椭圆 ，其右焦点为 ，以 为端点作
条射线交椭圆于 ，且每两条相邻射线的夹角相等，则（ ）
A．当 时，
B．当 时， 的面积的最小值为
C．当 时，
D．当 时，过 作椭圆的切线 ，且 交于点 交于点 ，
则 的斜率乘积为定值
【答案】AD
【分析】对于A，设 ,根据两点间的距离公式可得 ，同理求出， ，代入，根据两角和差公式可判断；
对于B，将 的面积分为3部分，设 ，可得
，结合选项A及基本不等式可判断；
对于C，取 可判断；
对于D，求出 的方程，可得 , ，根据斜率公式即可判断.
【详解】对于A，对于椭圆 ，其中 ， 为
椭圆 上一点，又 ，
则
（*）.
如图，
设 ,则 ,
代入（*）可得 ，解得 .
故对于 ， ，所以 ，同理可得 ， .
所以
，故A正确；
对于B， ,
设 ，则 .
由 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，故B错误；
对于C，取 ,则 ，故C错误；
对于D，设椭圆上一点 ，则 ，即 ①，
设切线 ： ，
∵切线 过点 ，∴ ，即 ②，
由 ，消去 ，整理得 ，
∵ 是椭圆的切线，∴ ，
∴ ③，
且由韦达定理，有 ④，③、④两式相乘，化简得 ，将②式代入，解得 ，
由①式，有 ，∴ ，
∴ 的方程为 ，结合①式，化简得 .
设 ,可知 的方程为 .
因为 交于点 ，所以切点弦 的方程为 .
因为弦 过 ，所以 ,同理可得 .
因为 ,所以 ,故 .
所以 ，故D正确.
故选:AD.
【点睛】总结点睛：
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关
系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
24．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知抛物线 的焦点为 ，
准线交 轴于点 ，过点 作倾斜角为 （ 为锐角）的直线交抛物线于 两点（其中点A在第一象限）.如图，把平面 沿 轴折起，使平面 平面 ，
则以下选项正确的为（ ）
A．折叠前 的面积的最大值为
B．折叠前 平分
C．折叠后三棱锥 体积为定值
D．折叠后异面直线 所成角随 的增大而增大
【答案】BCD
【分析】对于A：利用弦长公式结合点到直线的距离运算求解；对于B：利用韦达定
理证明 ，即可得结果；对于C：根据面面垂直的性质结合锥体的体积公式
运算求解；对于D：根据题意利用 结合空间向量可得
，再根据复合函数单调性分析判断.
【详解】由题意可得：抛物线 的焦点为 ，准线 ，则 ，
设直线 ，
联立方程 ，消去x得 ，
可得 ，则 ，
对于选项A：因为 ，
点 到直线 的距离 ，
可得折叠前 的面积 ，
所以当 时，折叠前 的面积的最小值为 ，故A错误；
对于选项B：因为
，
即折叠前直线 关于x轴对称，所以折叠前 平分 ，故B正确；
对于选项C：因为平面 平面 ，则可知点A到平面 的距离即为点A到
x轴的距离 ，
的面积 ，
所以折叠后三棱锥体积 （定值），故C正确；
对于选项D：由抛物线的性质可知：
，
可得 ，
，
根据题中所给的空间直角坐标系，可得，
则 ，
可得
，
所以 ，
即折叠后异面直线 所成角的余弦值为 ，
因为 在 上单调递增，则 在 上单调递减，
且 在定义域内单调递增，则 在 上单调递减，
所以折叠后异面直线 所成角随 的增大而增大，故D增大；
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基
本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．三、填空题
25．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆 和圆 ，
则过点 且与 都相切的直线方程为__________.（写出一条即可）
【答案】 或 （写出一条即可）
【分析】由直线与圆的位置关系通过几何法计算即可.
【详解】若过M的切线斜率不存在，即为 ，此时显然与两圆都相切；
若过M的切线斜率存在，不妨设为 ，则 到
的距离分别为 ，
即 .
综上过M与两圆都相切的直线为： 或
故答案为： 或 （写出一个即可）
26．（2023·浙江·高三专题练习）已知圆 ，若 被两坐标轴截
得的弦长相等，则 __________.
【答案】 /
【分析】 被两坐标轴截得的弦长相等，则圆心 到两坐标轴的距离相等，即圆心的
横纵坐标的绝对值相等可得答案.
【详解】圆的弦长为 （ 为圆的半径， 为圆心到弦的距离），
若 被两坐标轴截得的弦长相等，则圆心 到两坐标轴的距离相等，
即圆心的横纵坐标的绝对值相等，即 ，解得 .
故答案为： .
27．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）点P圆 上，点 在直线 上，O坐标原点，且 ，则点 的横坐标的取值范围为
___________．
【答案】
【分析】设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由条件可得点 在以 为直
径的圆上，由条件列不等式可求点Q的横坐标的取值范围.
【详解】因为点 在直线 上，
故设点 的坐标为 ，设点 的坐标为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即点 在圆 上，
又点 在圆 上，
所以两圆有交点，
又圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，所以点 的横坐标的取值范围为 .
故答案为： .
28．（2023·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）从点 射出两条光线的方程分别为：
和 ，经 轴反射后都与圆 相切，
则 __________．
【答案】
【分析】根据光学性质求出反射光线所在直线方程，再根据直线与圆相切列式，解方
程组可得结果.
【详解】依题意知 关于 轴的对称点 在反射光线所在直线上.
因为入射光线经 轴反射，所以反射光线所在直线的斜率与入射光线所在直线的斜率
互为相反数，
因为 的斜率为 ，所以与其对应的反射光线所在直线的斜率为 ，
所以与其对应的反射光线所在直线方程为 ，即 .
因为 的斜率为 ，所以与其对应的反射光线所在直线的斜率为 ，
所以与其对应的反射光线所在直线方程为 ，即 .
依题意有 ,且圆在 轴上方，所以 ，且 ，
若 ，即 ，则 ，得 或 ，
均不符合题意；
若 ，即 ，则 ，得 或
（舍去），则 .
则 .
故答案为： .29．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知圆 在椭圆
的内部， 为 上的一个动点，过 作 的一条切线，交
于另一点 ，切点为 ，若当 为 的中点时，直线 的倾斜角恰好为 ，则该
椭圆 的离心率 ___________.
【答案】
【分析】根据直线 的倾斜角结合圆的方程确定切点 的坐标为 或
，分别求解 方程，代入椭圆后，利用 为 的中点确定 关系，即
可求得椭圆离心率.
【详解】如图，
圆 的圆心为 ，半径
因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 方程为 ，即
所以 ，解得 或 ，所以切点 的坐标为 或又直线 与圆相切，所以 ，则
①当 ，则直线 为 ，即 ，设
，
所以 ， 恒成立
所以 ，因为 为 的中点，所以 ，即
所以椭圆 的离心率 ；
②当 ，则直线 为 ，即 ，设
，
所以 ， 恒成立
所以 ，因为 为 的中点，所以 ，即
（舍）；
综上，椭圆 的离心率 .
故答案为： .
30．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆 的上下顶点分别为 ，过点 的直线交椭圆于 两点，记 ，则 ___________.
【答案】3
【分析】设 ，直线斜率为 ，直线 ： ，直线 ：
，联立直线 和椭圆得到 ， ，再把直线 ，
直线 分别与直线 联立求得 和 坐标，利用等式得到
和 ，两式相乘即可得出答案.
【详解】如图， ，
设 ，直线斜率为 ，
则直线 为 ，
联立 ，得 ，
则 ， ，
设直线 ： ，直线 ： ，联立 ，得 ，
联立 ，得 ，
由 得 ，
解得 ，①
由 得 ，
解得 ，②
① ②得： ，
即 ，则 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查解析几何，考查直线与椭圆相交问题，考查数学运算，
属于中档题.
31．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）考虑这样的等腰
三角形：它的三个顶点都在椭圆 ： 上，且其中恰有两个顶点为椭圆 的顶
点．这样的等腰三角形有________个.
【答案】20
【分析】分别以椭圆顶点连线为等腰三角形的腰或底，进行分类讨论，得到答案.
【详解】不妨设 ，
如图1，连接 ，当 为等腰三角形的底时，作 的垂直平分线交椭圆于
两点，连接 ，则 为等腰三角形，满足题意，
同理当 为等腰三角形的底时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，
共有8个；
如图2，当 为等腰三角形的腰时，以 为圆心， 为半径作圆，
则圆的方程为 ，
联立 ，解得 或 或 或 ，
即圆与椭圆相交于点 ，连接 ，
其中 满足要求， 三个顶点均为椭圆顶点，不合题意，
同理当 为等腰三角形的腰时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，
共有8个；
如图③，以 为圆心， 为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点 ，连接 ，此时 为等腰三角形，满足题意，共有2个，
如图4，以 为圆心， 为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点 ，
连接 ，此时 为等腰三角形，满足题意，共有2个，
由椭圆性质可知， 为椭圆中的最长弦，所以不能作为等腰三角形的腰，而作为底
时，刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，不合要求，
综上：满足要求的等腰三角形个数为8+8+2+2=20.
故答案为：20.
【点睛】方法点睛：两圆一线，是平面几何中等腰三角形存在性问题的通用解法，这
里以椭圆为背景进行考察，基本思路没有变化，但要注意两圆一线所得到的等腰三角
形有不满足要求的，要舍去.
32．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知椭圆 ， 、 分别
是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得 平分 ．过点D作 、 的垂线，垂足分别为A、B．则 的最大值是
__________．
【答案】 /0.1875
【分析】利用三角形面积公式、余弦定理，结合椭圆的定义得
，再利用均值不等式求解作答.
【详解】设 ，依题意， ， ，由
，
得 ，即
，
，
椭圆 中， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即有 ，
则 ，因此
，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值是 .
故答案为：
33．（2023·浙江·校联考三模）已知抛物线 ，过点 作直线
交 于 两点，且 ，则 点的横坐标为___________.
【答案】 /
【分析】设直线 的方程为 ， ，联立抛物线与直线方程即
可得交点坐标关系，由 得 ，综合即可得 点的横坐标.
【详解】由题可设，直线 的方程为 ，
联立 得 ， 恒成立，所以 ①，
②
又因为 ，结合图形可得 ③
联立①②③可得 ， ，所以即 点的横坐标为 .
故答案为： .
34．（2023·浙江杭州·统考一模）已知点 ，直线 与圆： 交于 两
点，若 为等腰直角三角形，则直线 的方程为 ______ 写出一条即可
【答案】 （或 或 ）
【分析】分 、 和 讨论即可得解.
【详解】由圆： ，得圆心 ，半径 ，
， 在圆 上，
若 ，可得 过圆心且 ，
又 ， ，
直线 的方程为 ，即 ；
若 ，可得 过圆心且 ，
则 ,可得 的直线的方程为 ，联立圆方程 ，
解得 或 ，可得 的坐标为 或 ，
根据圆的对称性易知 ，
直线 的方程为 或 ，
即 或 ；
若 ，由 的等价性可知该情况与 一致；
综上：直线 方程为： 或 或 ．
故答案为： （或 或 ）.
35．（2023·浙江·高三专题练习）已知圆 与交于 两点.若存在 ，使得 ，则 的取值范围为
___________.
【答案】
【分析】根据圆与圆相交弦所在直线方程性质求得直线 的方程，利用直线与圆相交
弦长公式，求得 满足的等式关系，根据方程有解，即可得 的取值范围.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆
心 ，半径
若两圆相交，则 ，所以 ，即 ，
又两圆相交弦 所在直线方程为： 即
所以圆心 到直线 的距离 ，圆心 到直线
的距离 ，
则弦长 ，所以 ，则 ，所以
，
若存在 ，使得 ，则 ，即 ，所以 的取值范围为 .
故答案为： .
36．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆C的方程为 ，若直线
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相外切，则k的取值范围为__________．
【答案】
【分析】根据题意，由圆C的圆心到直线 的距离不大于两半径之和求解.
【详解】解：因为直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的
圆与圆C相外切，
所以圆C的圆心到直线 的距离不大于两半径之和，
即 ，化简得 ，
解得 ，
故答案为：
37．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知 三点在圆 上，
的重心为坐标原点 ，则 周长的最大值为___________.
【答案】
【分析】根据已知条件发现 ，且 点到圆与 轴的正半轴交点的距离为4，正
好是 的关系，而三角形的重心是中线的三等分点，所以不妨认为圆与 轴的正半轴
交点是三角形的一个顶点，从而可知另两个顶点正好是圆的直径的两个端点，从而可
以得到三角形三边的关系，进而借助基本不等式求出结果.
【详解】由圆 得圆心 ，半径圆 ，
如图，不妨设点 在 轴的正半轴上，
由于 的重心为坐标原点 ，且 ,
所以 为圆 的直径，所以 ，所以
，当且仅当 时取等号，
所以 周长的最大值为 .
故答案为： .
38．（2023·浙江·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别
为 .若 关于直线 的对称点 恰好在 上，且直线 与 的另一个交点为
，则 __________.
【答案】
【分析】由点的对称性求出点 坐标，和线段 、 ，从而发现 为直角，
再由椭圆标准定义找到 关系，并求出 、 的长度，最后在直角三角形
中，求出 的值.
【详解】
设 关于直线 的对称点 ，由 ，得 ，
可知 ， ，又知 ，
所以 ，则 为直角，
由题意，点 恰好在 上，根据椭圆定义 ，得 ，
，设 ，则 ，
在直角三角形 中， ，
解得 ，从而 ， ，
所以 .
故答案为：
39．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知 ， 为椭圆 的左、右焦点，O
为坐标原点，直线l是曲线C的切线， ， 分别为 ， 在切线l上的射影，则
面积的最大值为__________．
【答案】 /4.5
【分析】取切点为P，利用椭圆的光学性质设 ，由直角三角形三
边关系可得 ， ，根据三角形面积公式及三角函数的性质计
算即可.【详解】详解：如图，延长 至 ，使得 ，
由题意可知： ，故 ， ， 三点共线，
因为 为 斜边上的中线，故 ．
取切点P，连接 ， ，作 ．
由椭圆的光学性质可设 ，
，
同理可得 ，
由上分析可得 ， 时取得最大值．
故答案为：
40．（2023·浙江·统考二模）已知点A，B为椭圆 上的两个动点，点O为
坐标原点，直线 与 的斜率之积为 ，x轴上存在关于原点对称的两点M，N，
使得对于线段 上的任意点P，都有 的最小值为定值，则此定值为
__________．【答案】 /
【分析】考虑 的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆 联立，得到两根
之和，两根之积，根据斜率之积为 得到 为 的切线，考虑 的斜率
不存在时，也满足要求，利用椭圆定义和几何性质得到最小值，即定值.
【详解】当 的斜率存在时，设为 ，
与 联立得 ，
设 ，则 ，
则
由题意得 ，化简得 ，①
因为x轴上存在关于原点对称的两点M，N，使得对于线段 上的任意点P，都有
的最小值为定值，
所以直线 为某一个椭圆 的一条切线，
联立 与 ，得 ，
由 得 ，②，
比较①②得 ，解得 ，
故直线 为椭圆 的切线，
当直线 的斜率不存在时，设 ，则 ，由 可得， ，
联立可得 ，
此时直线 的方程为 ，为椭圆 的切线，
由椭圆定义和几何性质可知 ，当且仅当 为切点， 为
的焦点时，等号成立，
故此定值为 .
故答案为：
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
