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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 46 讲 直线与抛物线（精讲）
题型目录一览
①直线与抛物线的位置关系
②抛物线中的弦长问题
③抛物线中的中点弦问题
一、知识点梳理
1.直线与抛物线的位置关系
设直线 ，抛物线: ，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程
①若k≠0，当 >0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当 =0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当 <0时，直线与抛物线相离，无交点.
②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
2.抛物线的弦长
当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与抛物线C相交于
两个不同的点，则弦长 .
.
3.抛物线的中点弦
设交点坐标为 ， ，代入抛物线两式相减，可得 ，
设线段 的中点为 ，即 ，
.同理，对于抛物线 ，则有
4.抛物线的切线
过抛物线 上的点 的切线方程是 .
过抛物线 上的点 的切线方程是 .
【常用结论】
直线AB过抛物线 的焦点，交抛物线于A(x ，y)，B(x ，y)两点，
1 1 2 2
设α为AB的倾斜角
（1）yy＝－p2，xx＝
1 2 1 2
（2）（2）弦长AB＝
（3）|AB|＝x ＋x ＋p，x ＋x≥ ＝p，即当x ＝x 时，弦长最短为：（通径）
1 2 1 2 1 2
2p.
（4） ， ， ＋为定值.
（5）以AB为直径的圆与准线相切．
（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
二、题型分类精讲
题型 一 直线与抛物线的位置关系
策略方法
研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用
方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”
“点差法”以及定义的灵活应用．
【典例1】（单选题）在平面直角坐标系 中，抛物线 ， 为 轴正半轴上一点，线段
的垂直平分线 交 于 两点，若 ，则四边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据抛物线的对称性和几何关系得出四边形 为菱形，然后设 ，从而得出 ，
带入抛物线的方程求解即可.
【详解】因为线段 的垂直平分线交交 于 两点,
所以结合抛物线的对称性可得 与 互相平分,则四边形 为菱形.
设点 且 ,则线段 的垂直平分线 方程为 ,
令 与 轴交于点 ,又 ,
则在直角三角形 中 ,
所以 ，
在抛物线 上，
，
则四边形 的周长为
故选：D
【题型训练】
一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线 的焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点若线段PF与
QF的长分别是p、q，则 为定值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，设出直线 的方程，与抛物线方程联立并结合抛物线定义
求解作答.
【详解】抛物线 的焦点F ，准线方程为 ，
显然直线 的斜率存在，设为k，则直线 的方程为 ，
由 消去x并整理得： ，显然 ，
设 ， ，则 ， ，而 ， ，
因此 ，
所以 为定值4.
故选：D
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知点 在抛物线 的准线上，过点
P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件可得抛物线方程，然后求导可得过 ， 两点的切线的斜率，写出切线方
程，代入点 ，由两点确定一条直线，即得.【详解】因为抛物线 的准线为 ，
所以 ， ，
故抛物线 ， ，
设切点为 ， ，又 ，
则切线PA的方程为： ，即 ，
切线PB的方程为： ，即 ，
由 是PA、PB交点可知： ， ，由两点确定一条直线，
可得过A、B的直线方程为 ，即
故选：A.
3．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）抛物线 的焦点 ，点 在抛物线上，且 ，
的延长线交 轴于点 ，若 为线段FN的中点，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】C
【分析】作出辅助线，设出 ，由抛物线定义得到方程，结合中点得到 ，从而求出答案.
【详解】过点 作 ⊥ 轴于点 ，交抛物线的准线于点 ，
由题意得 ，设 ，
由抛物线定义可知， ，
因为若 为线段FN的中点，所以 ，所以 ，
将其代入 中，解得 .
故选：C
4．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知抛物线 （ ）的焦点为F，点P是
抛物线准线上一动点，作线段 的垂直平分线 ，则直线 与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为（
）
A．{0} B．{1} C．{0,1} D．{1,2}
【答案】B
【分析】由题意设点 ，则 的中点为 ， ，然后分 和 两种情况求出
直线 的方程，再与抛物线方程联立进行判断即可.
【详解】由题意得焦点为 ，准线方程为 ，
设点 ，则 的中点为 ， ，
当 时，直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
因为 ，所以直线 与抛物线只有一个公共点，
当 时，线段 的垂直平分线 为 轴，此时直线 与抛物线只有一个交点，
综上，直线 与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为{1},
故选：B
5．（2023秋·四川宜宾·高三四川省兴文第二中学校校考开学考试）已知抛物线 的焦点为F，过点P
（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率
分别为 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据题意设直线 的方程和直线 的方程，分别与抛物线方程联立得到 ， ，
，然后求 即可.【详解】
由题意得 ，设直线 的方程为 ， ， ， ， ,
联立 得 ， ，
设直线 的方程为 ，联立 得 ， ，同理可得 ，
所以 .
故选：B.
6．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，若抛物线
的准线与圆 相切于点 ，直线 与抛物线 切于点 ，直线 的方程为
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】先由准线与圆相切得准线方程和点 ，求出 .再设直线 斜率为 ，由直线 与抛物线相切得
，建立方程解 即可.【详解】如图，抛物线 的准线为 ，
由准线与圆 相切于点 ，
则 ，解得 .
则抛物线 方程为： ，
设直线 的方程为 ，
联立方程 得，
由直线 与抛物线相切得，
，解得 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，即 或 .故选：C.
7．（2023秋·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）抛物线 的焦点为 的准线与 轴交
于点 ，过点 斜率为 的直线与 交于点 （ 在 轴上方），则 （ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【分析】由题意可得直线 的方程为 ，联立方程，求出 两点的坐标，从而求得
，由此得解.【详解】由抛物线 ，得 ，
则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 或 ，
即 ，
所以 ， ，
所以 .
故选：C.
8．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知直线 交抛物线 于 轴异侧两点 ，
过 向 作垂线，垂足为 ，若点 在以 为圆心，半径为3的圆上，则 （ ）
A．48 B．24 C．12 D．36
【答案】B
【分析】根据垂直关系得出直线 经过点 ，设 方程为 与抛物线方程联立得出韦达定理，结
合两个向量数量积求出结果．
【详解】如图，因为点 在以 为圆心，半径为3的圆上，所以直线 经过点 ．
设 方程为 ，
由 得 ，
设 ，则 ．所以 ．
故选：B．
9．（2023·河北唐山·模拟预测）已知O为坐标原点，点 是抛物 的准线上一点，过点E
的直线l与抛物线C交于A，B两点，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 在准线上求出抛物线方程，依题意直线 的斜率存在且不为 ，设斜率为 ，则直线
的方程为 ，联立直线与抛物线方程，设 ， ，列为韦达定理，由 ，
则 ，即可求出 的值，从而求出直线方程，求出直线与 轴的交点 的坐标，最后根据
计算可得.
【详解】因为点 是抛物 的准线上一点，所以 ，解得 ，
所以抛物 ，
依题意直线 的斜率存在且不为 ，设斜率为 ，则直线 的方程为 ，
由 ，消去 整理得 ①，由 ，解得 或 ，
设 ， ，所以 ， ，
因为 ，则 ，即 ，
而
，
所以 ，解得 或 ，
当 时直线 即 过坐标原点，不符合题意，故舍去；
当 时直线 即 ，令 解得 ，所以直线 与 轴交于点 ，
将 代入①得 ，解得 、 ，
所以 .
故选：B
10．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知抛物线 ： 的准线为直线 ，直
线 与 交于 ， 两点（点 在 轴上方），与直线 交于点 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的焦半径公式和 得到 ，联立直线和抛物线方程，根据韦达定理得到
，然后根据三角形面积得到 .可得答案.
【详解】由题可得抛物线方程为 ，所以 ，
如图所示，则 ，解得 ，
联立方程 ，消去y得： ．
可知 ，解得 ，
所以 ．
故选：C．
11．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为F， ，M为
抛物线C上位于第一象限的一点，且点M的横坐标小于2，则 的面积（ ）A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值1 D．有最小值1
【答案】C
【分析】根据给定条件，作出图形，结合图形确定点M的位置，再判断点M到直线FN的距离情况即可计
算作答.
【详解】依题意，抛物线 的焦点 ，则 ，直线FN的方程为 ，
过点N作 轴交抛物线C于点A，则点A的横坐标为2，因此点M是抛物线C上在原点O与点A之
间的点（不含点O，A），
设与直线FN平行且与抛物线C相切的直线的方程为 ，
由 消去y得： ，由 ，解得 ，
因此当M点为直线 与抛物线C相切的切点时，M点到直线FN的距离最大，
当 时， ，即M点的坐标为 ，符合题意，此时点M到直线FN的距离为 ，
所以 的面积的最大值为 ，A错误，C正确，
显然点M到直线FN的距离无最小值，即 的面积无最小值，BD错误．
故选：C
12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C： 的焦点为F， 为C上一动点，
曲线C在点M处的切线交y轴于N点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】设出切线方程，联立切线与抛物线的方程，由 ，可得 ，进而得到切线方程为
，得出 点坐标为 ，即可得出 .又根据抛物线的定义可知
，即可得出答案.
【详解】
由已知可设切线方程为 .
联立切线与抛物线的方程 可得，
.
则 ，
又 ，所以 ，
所以 .
由已知， ，所以 ，所以 .
所以，切线方程为 .
令 ，可得 点坐标为 .
所以， .又，根据抛物线的定义可得， ，
所以， 为等腰三角形，
所以， .
故选：C.
13．（2023·河南·统考三模）已知抛物线 的准线为 ，焦点为F，过点F的直线与
抛物线交于 ， 两点，点P在l上的射影为 ，则下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设 ，则
D．过点 与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
【答案】D
【分析】根据准线求得抛物线方程，焦点弦公式判断A；求出线段 的中点坐标及圆的半径，从而判断
B；根据抛物线的定义得 判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，
结合根的判别式即可判断D.
【详解】由抛物线 的准线为 ，则 ，故 ，
由题意 ，故A正确；
拋物线 的准线 ，且 ，以 为直径的圆的半径 ，
线段 的中点坐标为 ，则线段 的中点到准线的距离为 ，
所以 为直径的圆与准线 相切，故B正确；
拋物线 的焦点为 ，则 ，
当且仅当 三点共线时，取等号，所以 ，故C正确；
当直线斜率不存在时，直线方程为 ，与抛物线只有一个交点，当直线斜率存在时，设直线方程为 ，联立 ，消 得 ，
当 时，方程得解为 ，此时直线与抛物线只有一个交点，
当 时，则 ，解得 ，
综上，过点 与抛物线 有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误.
故选：D
14．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知点 是抛物线 的焦点， ，过 斜
率为1的直线交抛物线于M，N两点，且 ，若Q是抛物线上任意一点，且
，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据直线与抛物线联立可得韦达定理，根据数量积的坐标运算可得 ，进而根据向量线性运
算的坐标表示，即可结合二次函数的性质求解.
【详解】由题意可得 ，所以直线 的方程为 ，
联立直线与抛物线方程得 ，
设 ,所以， ，
化简得 ，
即 ,解得 ,
故
设 ,则 ，
因此 且 ，
因此可得 ，
故 ，当 时取到等号，故 的最
小值为0，
故选：A
15．（2023·青海西宁·统考二模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德
三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率
之积为定值．设抛物线 ，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，设直线 为 ，代入抛物线方程，由韦达定理得
，设过 的切线方程为 ，与抛物线方程联立，利用判别式得，则过点A的切线为 ，同理得过 的切线斜率为 ，过点B的切线为 ，
可得 ，可证得 ，则 的面积 ，结合图形特征，可得 面
积的最小值．
【详解】设 且 ，直线 ，联立 ，
整理得 ，则 ．
设过点 的切线方程为 ，联立 ，
整理得 ，由 ，可得 ，
则过A的切线为： ，即 ，即 ，即
，
同理可得过点 的切线斜率为 ，过点B的切线方程为： ，
联立两切线 ，则 ，
所以两条切线的交点 在准线上，则 ，
两式相减得 ，
，可得 ， ，
又因为直线 的斜率为 ， （ 也成立），如图，设准线与 轴的交点为 ，
的面积 ，
当 轴时， 最短（最短为 ）， 也最短（最短为 ），
此时 的面积取最小值 ．
故选：B
【点睛】关键点点睛：设 且 ， ，联立抛物线应用韦达定理有
，求过 的切线，进而确定 在准线上且 ，利用面积公式讨论最小值
情况.
二、多选题
16．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知点 ，抛物线 的焦点为F，过F的直线l交C
于P，Q两点，则（ ）
A． 的最大值为
B． 的面积最小值为2
C．当 取到最大值时，直线AP与C相切
D．当 取到最大值时，【答案】AC
【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出直线 的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线定义
逐项分析判断作答.
【详解】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，设 ，
显然直线 不垂直于 轴，设直线 的方程为： ，
由 消去x得： ，则 ，
对于A，显然 ， ，
当且仅当 时取等号，A正确；
对于B， 的面积 ，
当且仅当 时取等号，B错误；
对于C，由选项A知，当 最大时，点 ，此时直线 方程为 ，
由 消去x得： ， ，直线AP与C相切，C正确；
对于D，由选项C知，当 最大时， 轴，显然 ，
即 ， ，D错误.
故选：AC
17．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 是抛物线上的两点， 为坐标原点，则（ ）
A．抛物线 的焦点坐标为
B．若 三点共线，则
C．若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为3
D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】根据题意，由抛物线的定义以及性质即可判断ABC，设直线 的方程为 ，联立直线与
抛物线方程，结合韦达定理即可判断D.
【详解】抛物线 的焦点坐标为 正确.
当 三点共线时，取特殊情形 平行 轴时，令 ，则 ，不妨令 ，则
，故B错误.
当 三点共线时， 的中点到准线的距离等于4，所以 的中点到 轴的距离为3.
当 三点不共线时， 的中点到准线的距离大于4，所以 的中点到 轴的距离大
于3，C正确.
当 时，直线 过定点 .
设直线 的方程为 ，
联立方程 整理得 ，
所以 ，
所以 .，当 时取等号，D正确.
故选：ACD
18．（2023·河北保定·统考二模）已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线 的准线与 轴的交点，
过点 的直线 与抛物线 交于不同的两点 ，则（ ）
A． B．存在一点 为 中点，使得
C．存在这样的直线 使 成立D．
【答案】AD
【分析】由题意，设出直线 的方程，将直线 与抛物线联立，利用根的判别式得到 ，设 , ，
, ，根据韦达定理得到 ， 和 的表达式，结合抛物线的性质对选项进行逐一分析，
进而即可求解．
【详解】
因为抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线 的准线与 轴的交点，
所以 ， ，
又过点 的直线 与抛物线 交于不同的两点 、 ，
不妨设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
此时 ，
解得 ，
由韦达定理得 ， ，所以 ，
不妨设 , ， , ，
对于选项A：
，故选项A正确；
对于选项B：若点 为 中点，
此时 , ，
即 , ，
可得 ，
不妨令 ， ，
此时 ，
所以 ，故选项B错误；
对于选项C：当 时，
可知 ，不符合题意，故选项C错误；
对于选项D：因为
，故选项D正确．
故选：AD．
19．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知抛物线 ，直线 交抛物线于 两点，分别过两点作抛物线的切线，两条切线相交于点 ，设 为弦 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． 平行于 轴
B．若直线 过抛物线的焦点 ，则点 一定在抛物线的准线上
C．若 ，则 面积的最大值为
D．
【答案】ABD
【分析】根据结论：抛物线 在其上一点 处的切线方程为 ，设直线
， ，联立方程利用韦达定理可求得点 的坐标.对于A：根据坐标直接判
断；对于B：取 ，结合点点 的坐标分析判断；对于C：根据题意利用韦达定理结合面积关系分析判
断；对于D：根据题意利用韦达定理结合向量夹角运算求解.
【详解】先证明出抛物线 在其上一点 处的切线方程为 .
证明如下：
联立方程 ，消去x可得 ， ，
所以抛物线 在其上一点 处的切线方程为 .
设直线 ， ，
联立方程 ，消去x可得 ，则 ，可得 ，
则 ，可得 ，
在 两点处抛物线的切线方程分别为 ， ，
联立方程 ，解得 ，即 .
对于选项A：因为 的纵坐标相同，所以 平行于 轴，故A正确；
对于选项B：若直线 过抛物线的焦点 ，即 ，
可知 在抛物线的准线 上，故B正确；
对于选项C：因为 ，
可得 ，
点 到直线 的距离 ，
可得 面积 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 面积的最大值为 ，故C错误；
对于选项D：因为 ，
可得 ，由抛物线的定义可得 ，
因为
又因为 ，即 ，
可得
，
即 ，可得 ，
即 ，且 ，
所以 ，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题20．（2023·全国·高三专题练习）已知A，B为抛物线 上两点，以A，B为切点的抛物线的两条切线
交于点P，过点A，B的直线斜率为 ，若点P的横坐标为 ，则 .
【答案】
【分析】设 ， ， ，根据导数的几何意义求出以A，B为切点的切线方程，可得
为方程 的两根，根据韦达定理及过两点的斜率公式即可求解.
【详解】设 ， ，以A，B为切点的抛物线的切线斜率为 ， ，
由 ，得 ，故 ， ，
所以切线PA的方程为 ，即 .
同理可得，切线 的方程为 .
设点P的坐标为 ，
所以 ， ，
所以 为方程 的两根，故 ， ，
则 .
故答案为: .
21．（2023·福建龙岩·统考二模）已知抛物线 ，直线 过点 且与 相交于 ， 两点，
若 的平分线过点 ，则直线 的斜率为 ．【答案】
【分析】分别设出直线 、直线 和直线 的方程，以及 ， 两点坐标，利用角平分线
到角两边距离相等，可得直线 和直线 的斜率积为 ，从而得到 ，联立直线 与抛物
线，结合韦达定理即可求解.
【详解】设直线 的方程为 ，即 ，
设直线 ， 的方程分别为 ， ，即 ， ，
设 ， ，
的平分线过点 ， ，
整理得： ， ，
，则 ，即 ，
由 ，得 ，
， ．
又 ， ，解得： 或 （舍去）.
故答案为： .
22．（2023·全国·高三专题练习）已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过直线
上一点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ．则 的取值范围为 ．【答案】
【分析】根据导数的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为 在抛物线 上，所以 ，解得 ，所以 ．
设 ．由 ，求导得 ，
则直线 ，直线 ．
由 解得 所以 ，
又 在直线 上，得 ．
所以
．
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据导数的性质求出抛物线的切线方程.23．（2023·山东潍坊·三模）已知过点 的直线 与抛物线 交于 两点，过点 作抛物
线的切线 ，切点是 （在 轴的上方），直线 和 的倾斜角分别是 ，则 的取值范围
为 ．
【答案】
【分析】首先直线 分别与抛物线方程联立，求得点 的坐标，以及利用韦达定理表示 ，再
结合两角和的正切公式，和基本不等式求解取值范围.
【详解】设直线 ，与抛物线方程联立
，得 ，
，得 或 ， ，
设直线 ，与抛物线方程联立，
，得 ，
，得 （由题意可知， 舍去）
当 时，解得： ， ，即 ，
， ，
，当 时， ，此时 ，
当 时，等号成立，但 ，所以
当 时， ，此时 ，
当 时，等号成立，由对称性可知， ，此时 ，
综上可知， 的取值范围为 .
故答案为：
24．（2023·河北沧州·校考三模）若 为抛物线 ： 在第二象限内一点，抛物线 的焦点
为 ，直线 的倾斜角为 ，抛物线在点 处的切线与 轴相交于点 .若 （ 为坐标原点），
则 的面积为 .
【答案】
【分析】先根据直线 和抛物线联立得到 的坐标，然后根据导数的几何意义算出在 处的切线，得到
的坐标，根据 的坐标算出 的边长，得到 是等边三角形，从而得出面积
【详解】依题意， ，直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
与抛物线 联立 ，整理得 ，
又 在第二象限内，解得 ，抛物线 可写为 ， ，
所以 ，所以直线 的斜率为 ，切线方程为 ，
即 ，则点 ， ， ，根据两点间的距离公式可得 ， ，所以 为正三角形，
又 ，所以 ，
因此 为边长是 的正三角形，则其面积为 .
故答案为： .
25．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知 是抛物线 ： 的焦点，点 ，过点 的直线
与 交于 ， 两点， 是线段 的中点．若 ，则直线 的斜率 ．
【答案】2
【分析】方法一：设直线 ： ，设 ， ，联立直线 与抛物线的方程求出
，由 可得 ，将韦达定理代入化简即可得出答案；方法二：设 ， ，
在准线上的射影分别是 ， ， ，由题意可得出 轴，设 ， ， ： ，
联立直线 与抛物线的方程可得 ，解方程即可得出答案.
【详解】方法一：由题意 ， ，设直线 ： ，其中 ，
联立 消去 得 ， ，
设 ， ，则 ， ，又 ，则 ，即 ，
而 ， ，
则 ，
即 ，
即 ，
所以 ，解得 ，所
以 .
方法二：如下图，由题意， ，点 在准线 上，
设 ， ， 在准线上的射影分别是 ， ， ，
则 ，
所以 轴，
设 ， ， ： ，
联立 消去 得 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：2．26．（2023·浙江·模拟预测）已知抛物线 是抛物线上的点，直线 与抛物线 切于点 ，直线
且与抛物线交于点 （异于点 ），抛物线 在点 处的切线交 于 面积的最小值是
.
【答案】8
【分析】根据导函求解切线方程，联立直线方程以及抛物线方程，进而可得 ，
， ，且 ， ，根据点点距离即可表达三角形的面积，
根据基本不等式即可求解最值.
【详解】根据题意，不妨将抛物线设为
根据抛物线的对称性，不妨设点 为第一象限的点， ,
则 ，
因此 点处的切线方程为 ，即 ，
由于 ，故 ,则 方程为 ，
联立直线 与抛物线方程 得 ，
化简得 ，
则 ，
所以 ，进而 的方程为 ，
联立 和 的直线方程可得 ，
因此 ，
故 ， ，且 ，
故
由于 ,所以 ，当且仅当 时等号成立。
故 ,
故答案为：8【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式
，若不过焦点，则用一般弦长公式．
解析几何简化运算的常见方法：
（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；
（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；
（3）巧用定义，简化运算.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C： ，过点 的直线交C于A，B两点，
C在A，B两点处的切线交于点 ，且 ．若点M到直线AB的距离为 ，则 ．
【答案】1
【分析】由题意设 ， ，直线AB的方程为 ，联立直线 与抛物线，
可得 ，利用导数的几何意义，可设出切线AM、BM的方程，联立两切线方程，求得 的坐标，
结合已知即可求出 .
【详解】设 ， ，显然，直线AB的斜率存在，
且 ，则直线AB的方程为 ．
联立 ，整理得 ，则 ，
由 ，得 ，求导得 ，故切线AM的方程为 ，即 ①，
同理可得切线BM的方程为 ②，
两式相减，得M的横坐标 ，两式相加，
得M的纵坐标 ．
由 ，得 ，所以 ，
： ，即 ，
所以点M到直线AB的距离 ，所以 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： .
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题时常用的步骤：
（1）设出直线方程，设交点为 ，
（2）联立直线与曲线方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，
（3）写出韦达定理，
（4）将所求问题或题目中关系转化成 的形式，
（5）代入韦达定理求解.
四、解答题
28．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，圆
，过C上一点 作C的切线，该切线经过点 ．
(1)求C的方程；(2)若与C相切的直线l，与E相交于P，Q两点，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，然后可建立方程求出 ；
（2）设l与C相切于点 ，然后求出切线的方程，然后求出 、点 到l的距离，然后表示
出面积，然后可得答案.
【详解】（1）由 ，得 ，则 ．
设该切线的斜率为k，则 ．
由题可知， ，因为该切线经过点 ，所以 ，
解得 ，故C的方程为 ．
（2）设l与C相切于点 ，则l的方程为 ，即 ．
由（1）可知，E的方程为 ．则圆心 到l的距离 ．
因为l与E相交，所以 ，整理得 ．
．
点 到l的距离 ，
的面积 ，当且仅当 时，等号成立，故 面积的最大值为 ．
29．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）设抛物线方程为 ，过点 的直线 分别与抛物线相切
于 两点，且点 在 轴下方，点 在 轴上方.
(1)当点 的坐标为 时，求 ；
(2)点 在抛物线上，且在 轴下方，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，且 .若
的重心在 轴上，求 的最大值.（注： 表示三角形的面积）
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）求导得切线斜率，进而由点斜式写出切线方程，将 代入得
，进而联立与抛物线方程可得方程的根，或者韦达定理，由
点点距离即可求解，
（2）根据三角形面积公式以及重心满足的坐标关系，化简，即可利用二次函数的性质求解最值.
【详解】（1）解法一：设 ， ， ，
由 ，可得 ，当 ，
当 ，所以 ，直线 的斜率 ，
直线 ： ，又∵ 在 上，
，所以 ，又 ，所以 ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ；
解法二：设 ， ， ，由 ，可得 ，
所以 ，直线 的斜率 ，直线 ： ，又∵ 在 上，
故 ，即 ，
因为 ，所以 ，同理可得 ，
故直线 的方程为 ，
联立 消去 ，得 ，故 ，
故
（2）设 ，由条件知 ，
∴
，∵ ∴ ，
∴当 时， 取得最大值 .
30．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）设抛物线 的焦点为 是坐标原点， ，过点
的直线与抛物线交于 两点，延长 分别交抛物线于 两点， 分别是 的中点.
(1)求直线 的斜率的取值范围；
(2)求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出直线 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合基本不等式求得直
线 的斜率的取值范围.
（2）求得 两点的坐标，从而求得 点坐标，根据向量的夹角公式以及函数的单调性求得 的
最小值.
【详解】（1）由题： ，设 ，
代入 得 ，则有 ， ，所以 ，
故 ，当 时， ，
当 时
综上可得直线 的斜率取值范围为 .
（2）设 ，
则 解得 ，同理， ，
所以 ，
所以 点的横坐标为 ，
点的纵坐标为 ，
所以 的斜率 ，
记 ， ，
取 的方向向量分别为 ，
故 ，
当 时， ，当 时， ，
函数 在区间 上单调递减，最小值为 ，
所以当 时， 取到最小值为 .
31．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线 ，过其焦点 作两
条相互垂直且不平行于 轴的直线，分别交抛物线 于点 和点 的中点分别为 .
(1)若直线 的斜率为2，求直线 的方程；
(2)求线段 的中点 的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线和抛物线方程，求得中点 坐标，即可求解直线 的方程；
（2）首先设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，求得点 的坐标，并利用直线 与直线
的关系，求得点 的坐标，即可求解点 ，再通过消参求得点 的轨迹方程.
【详解】（1）抛物线的焦点 ， ，
直线 的方程为 ，设 ，联立 ，得 ， ，
所以 中点的横坐标为 ，中点的纵坐标为 ，即 ，
直线 的方程为 ，设 ，
联立 ，得 ， ，
所以 中点的横坐标为 ，中点的纵坐标为 ，即 ，
所以 ，直线 的方程为 ，
化简为直线 的方程为 ；
（2）设直线 的方程为 ，设 ， ，
联立 ，得 ，
得 ，
所以 中点的横坐标为 ，纵坐标为 ，
即 ，将 换成 得 ，
得 的中点 的坐标为 ，
即 ，得 ，
32．（2023·河南郑州·统考模拟预测）过点 ，斜率为 的直线l与抛物线 相切
于点N，且 .(1)求抛物线C的方程；
(2)斜率为 的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线 ，使得点Q关于 的对称点
恒与P，N共线，若存在，求出 的方程，若不存在，说明理由.
【答案】(1) ;
(2)存在，详见解析.
【分析】（1）根据直线与抛物线相切及 列方程求出 得解；
（2）由题意转化为直线NP，NQ关于 对称，只需证明两条直线NP，NQ的斜率 互为相反数即可知
存在 且直线方程为 .
【详解】（1）由题意得直线 的方程为 ，即 ，
设 ，
与 联立得 ，
因为直线 与C相切，所以 ,
整理得 ，且 ， ，
因为 ，所以 ，
由 得 ，
所以 的方程为 .
（2）由（1）得 ，点Q关于 的对称点 恒与P，N共线，则直线NP，NQ关于 对称，
设 ，
设直线PQ方程为 ，与 联立得 ，
则 .
.
所以直线PN斜率 ，
所以直线QN斜率 ，
，
所以直线NP，NQ关于直线 或 对称，
所以存在直线 ，使得点Q关于 的对称点 恒与P, N共线，
且 的方程为 或 .
33．（2023秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）已知 ,曲线 ，过点 的曲线的所有弦中，最小弦长为 .
(1)求 的值；
(2)过点M的直线与曲线C 交于A、B两点，曲线C 在A、B两点处的两条切线交于点P，求点P的轨迹
1 1
C ；
2
(3)在（2）的条件下，N是平面内的动点，动点Q是C 上与N距离最近的点，满足 的动点N的
2
轨迹为C ；并判断是否存在过M的直线l，使得l与C、l与C 的四个交点的横坐标成等差数列，说明理
3 1 3
由.
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据弦长公式即可结合二次函数的性质求解最值求解，
（2）求导得切线方程，联立两条切线方程即可求解交点，即可求解，
（3）根据抛物线的定义求解 点轨迹，即可根据图形特征，结合等差数列的性质求解.
【详解】（1）由于题意可知过点 的弦所在的直线一定有斜率，设直线方程为 ，联立
与 ，可得 ，
设方程两根为 ，则 ，故弦长为
，
令 ，则 ，
由于函数 单调递增，故当 时，此时弦长最小为
（2）设 ,则 ，
由抛物线方程可得 ，
所以点 处的切线方程为 ，同理可得点 处的切线方程为 ,
联立两条切线方程得 ，则 ，
因此 ，所以 的轨迹为直线 ，
（3）由动点Q是C2上与N距离最近的点，可知 与直线 垂直，
由于 ，所以可知点 的轨迹为以点 为焦点，以 为准线的抛物线，故轨迹方程为
，
设直线 与 相交的两个点为 ,且 的横坐标为 ，不妨设
联立 与 ，可得 ，则 ，
由于 与 均为开口向上的抛物线，
假若 四个点的横坐标能构成等差数列，则必满足 成等差数列，
则 ，此时 ，
而当 时， 不满足等差关系，
故不存在过M的直线l，使得l与C1、l与C3的四个交点的横坐标成等差数列.
34．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形 ， ， ， 、 分别是 、 的中点，
以某动直线 为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点 都落在 上，记为 ，过点
作 ，与直线 交于点 ，设点 的轨迹是曲线 .(1)建立恰当的直角坐标系，求曲线 的方程；
(2) 是 上一点， ，过点 的直线交曲线 于 、 两点， ，求实数 的取值范
围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以 为原点，以 所在直线为 轴，建立直角坐标系，设 ，求得点 的坐标是
，结合交轨法建立关系式，即可求解；
（2）根据向量共线关系，求得点 的坐标为 ，联立方程组，转化为一元二次方程根的分布问题，列
出不等式组，求得 的取值范围，再由 ，得到 ，代入韦达定理，求得 ，进
而求得 的范围.
【详解】（1）解：以 为原点，以 所在直线为 轴，以线段 的垂直平分线为 轴，建立直角坐标
系，如图所示，
设 ，则直线 的方程为 ， 的中点坐标为 ，
直线 是线段 的垂直平分线为 ，
将 代入上式，可得 ，所以点 的坐标是 ，
由 ，整理得 ，所以点 的轨迹方程为 .
（2）解：因为 ，可得点 的坐标为 ，设直线 ，设 ，则 是方程组 的解，
整理得 ，所以 ，
因为方程 在 上有两个不同的实根，
所以 ，解得 ，
由 ，可得 ，所以 ，
代入 ，可得 ，
消去 ，可得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
35．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）已知抛物线 ： （ ）上的一点 到准
线的距离为1．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若正方形 的三个顶点 、 、 在抛物线 上，求这种正方形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据抛物线定义可求解；（2）设出 ， ， 点的坐标， 的斜率为 ，根据斜率公式可得 ， ，再根据
，可得 ，可求出正方形面积的表达式，利用不等式放缩可求出面积的最小值.
【详解】（1）抛物线 的准线方程为 ，
由抛物线上点 到准线的距离为1，结合抛物线的定义得 ，
∴ ，
抛物线 的方程为 .
（2）方法一：如图设三个顶点有两个在 轴的右侧（包括 轴），
设在抛物线 上的三个点 ， ， 点的坐标分别为 ， ， ， ，
的斜率为 （ ）．
则有
， ，
即 ， ．所以 ， ，①
又 ，所以
即 ,
代入①，得 ,即 ,
∵ ，
， ，
∴ ，
化简得 ，
正方形的面积为 ，
∵ ，∴ ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 ，
∴ .
方法二： 的斜率为 （ ）， 点的坐标为 ，则
由 ，得 ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，正方形的面积 ，
令 ， ，则
，
设 ， ，
则 ，
，
∵ ，∴ ，
∴ 单调递增，
.
方法三：设直线 ： ，（ 为参数）
代入抛物线 ，得 ，
即 ，
∴ ， ，
设 ，则 ，同理， ，
不妨设 ，
∵ ，∴ ，
化简得 ，
∴ ，
，
设 ，
则 ， ，
，
∵ ，∴ ，
∴ 单调递增，
.
36．（2023秋·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，点
是抛物线上一点，且 .(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l： ，点B是l与y轴的交点，过点A 作与l平行的直线 ，过点A的动直线 与
抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线 于点M，N，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义表示 的长，然后求出 ，即得到抛物线C的方程.
（2）由已知条件可求出直线 的方程，再设出直线 的方程并代入抛物线 中化简求出 ， 两点横坐标
之间关系，从而设出直线 ，并与直线 联立求出 ，同理可得 ，从而可得 的表达式，化简可
得 ，即可得证 .
【详解】（1）
过点D作准线的垂线，垂足为 ，
由抛物线的定义得， ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 ．
（2）证明：直线l： ，令 得 ，所以点 ，
因为直线 平行于直线l： ，且过点 ，
所以直线 ： ，
设直线 ： ，联立 ，得 ，
所以 ，设点 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
所以直线PB的方程为 ，直线QB的方程为 ，
联立 解得 ，
同理可得 ，所以
，
因为 ，所以 ，即A是线段MN的中点．所以 ．
37．（2023·甘肃·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，直线 交抛物
线 于 两点，当直线 过点 时，点 到 的准线的距离之和为 ，线段 的中点到 轴的距离
是4.
(1)求抛物线 的方程；
(2)当 时，设抛物线 在点 处的切线交于点 ，求证： .【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用梯形的中位线的性质得到 的中点到准线的距离，从而列方程求解；
（2）先把直线改写成 ，先推出两条切线的交点 的坐标，然后利用抛物线焦点弦的性质和两点
间距离公式进行推导.
【详解】（1）
∵直线 过焦点 时， 到 的准线 的距离之和为12，设 准线， 准线，垂足分别为
， 中点为 ， 准线，垂足为 ，依题意 ，根据梯形中位线，此时 的中点
到 的距离为 ，
又 的中点到 轴的距离为4，∴ 轴 与 间的距离为2，即 .
解得 ，∴抛物线 的方程为 .
（2）
直线 ，即 ，
令 ，则直线 ，设 ， ，由 ，得 ，则 ，∴ ，
∴ ， .
设抛物线 在点 处的切线方程分别为 ， ，
由 ，得 ，
∴ ，又 ，则 ，
∴ ，则 .同理可得 .
联立两切线方程 ，将 ， 代入，解得 ，∴ ，
∴ ，又 ，
∴ .
同理可得 .∵ ，
∴要证 ，等价于证明 ，
∵ ，又 ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，即 .
题型二 抛物线中的弦长问题策略方法
有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直
接使用公式|AB|＝x ＋x ＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
1 2
【典例1】（单选题）已知点 为抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线 于 两点，
为坐标原点，若 ，则 的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，则 ，过 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ，过 作
于 ，求得 的倾斜角为 ，得到直线 方程为 ，联立方程组，结合根与系数的关系，求
得 ，结合面积公式，即可求解.
【详解】设 ，则 ，如图所示，
不妨设 的倾斜角为锐角，过 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ， ，
则 ， ，过 作 于 ，则 ，
所以 ，所以 的倾斜角为 ，
由抛物线 的焦点坐标为 ，
所以直线 方程为 ，即 ，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ，可得 ，可得 ，
所以 .
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）过抛物线 的焦点 的直线 交 于 两点，
若直线 过点 ，且 ，则抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出直线 的方程，联立抛物线方程，设出 坐标，得到两根之和，两根之积，根据弦长列出
方程，求出答案.
【详解】因为直线 过点 ，所以直线 的方程为 .
由 得， .设 ，则 .
因为
，
整理得 ，解得 ，
所以抛物线 的准线方程是 .
故选：D.
2．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点 为抛物线 的焦点，过点
的直线交抛物线 于 两点， 为坐标原点，若 ，则 的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，则 ，过 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ，过 作
于 ，求得 的倾斜角为 ，得到直线 方程为 ，联立方程组，结合根与系数的关系，求
得 ，结合面积公式，即可求解.【详解】设 ，则 ，如图所示，
不妨设 的倾斜角为锐角，过 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ， ，
则 ， ，过 作 于 ，则 ，
所以 ，所以 的倾斜角为 ，
由抛物线 的焦点坐标为 ，
所以直线 方程为 ，即 ，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ，可得 ，
可得 ，
所以 .
故选：C.
3．（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线 与坐
标轴交于点 ，过点 的直线 与 及准线 依次相交于 ， ， 三点（点 在点 ， 之间），若， ，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，以及三角形的性质，即可求解．
【详解】如图，过 作 于 ，过 作 于 ，连接
抛物线 ： 的焦点为 ，准线方程为 ，则
由抛物线定义可得 ，所以 ，则 ，故 ，
又有 ，由抛物线定义得 ，所以 为正三角形，则 ，
所以 ，则 ，所以 ，故
故 ，所以 ，则 ，所以 ，则 ，
不妨由图取 ，
又 ，所以 ，则 ，不妨由图取 ，
所以 .
故选：D.
4．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与 及抛物线 ： 的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】设直线 的方程为 ，与抛物线 相切，可得 ，直线 的方程与抛物线 方程
联立，设 ， ，利用抛物线焦半径公式可得答案.
【详解】由题意可得 ，设直线 的方程为 ，
由题意可得直线 与抛物线 必有2个交点，
与抛物线 相切，联立方程组 ，可得 ，
所以 ，解得 ，故直线 的方程为 ，
与抛物线 方程联立 ，得 ，
设 ， ，则 ，所以 .
故选：C.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 为抛物线 的焦点， 为 上任意一点，且点 到
点 距离的最小值为 ．若直线过 交 于 ， 两点，且 ，则线段 中点的横坐标为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B
【分析】设 ，由 表示为关于 的函数，结合二次函数的性质可得 的值，利用弦长公式即可
得结果.
【详解】设 ，则满足 ，
则
即当 时， 的最小值为 ，
解得 （舍负），
即抛物线 ，焦点 ，
设 ， ，
则 ，即 ，
即线段 中点的横坐标为3，
故选：B.
6．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知抛物线 的焦点 与
的一个焦点重合，过焦点 的直线与 交于 ， 两不同点，抛物线 在 ， 两点处的切线
相交于点 ，且 的横坐标为4，则弦长 （ ）
A．16 B．26 C．14 D．24
【答案】A
【分析】由题意可得 的值及抛物线方程，设直线AB的方程为 ，利用导数求得在点A及点B处
的切线方程，联立可得 ，由M的横坐标为4得 ，将AB的方程代入抛物线方程，可得 ，由韦达定理得 ，进而结合抛物线定义求得弦长．
【详解】由题意可得， ，则 ，抛物线方程为 ，准线方程 ．
由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 ，
设 ，其中 ，
由 ，得 ．
在点A处的切线方程为 ，化简得 ，①
同理可得在点B处的切线为 ，②
联立①②得 ，由M的横坐标为4，得 ，
将AB的方程代入抛物线方程，可得 ，
，得 ，
，
则 ．
故选：A．
7．（2023·河南·校联考模拟预测）过抛物线 的焦点 且斜率为 的直线交 于 、
（其中 在 轴上方）两点，交 的准线于点 ，且 ， 为坐标原点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
直线 的方程为 ，设点 、 ，联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ，则 ，可得 ，
联立 可得 ，即点 ，因此， .故选：D.
8．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知点 是抛物线 上的一点，若以抛物线
的焦点 为圆心，以 为半径的圆交抛物线的准线于 ， 两点， ，当 的面积为 时，
则 等于（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】依题意可得 为等边三角形，则用 可表示出 ，利用三角形面积公式，结合抛物线
定义可构造方程求得 的值.
【详解】
依题意 ，所以 为等边三角形，
设准线与 轴交点为 ，则 ， ，
则圆的半径 ，
，解得 （负值舍去）.故选：C.
9．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设抛物线 的焦点为 ，准线为 .斜率为
的直线经过焦点 ，交抛物线 于点 ，交准线 于点 （ 在 轴的两侧）.若 ，则抛物线
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据直线 的斜率以及 求得 ，从而求得抛物线的方程.
【详解】直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，
过 作 ，垂足为 ，连接 ，
由于 ，所以三角形 是等边三角形，
所以 ，
由于 ，所以 ，
所以抛物线方程为 .
故选：B
10．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知过抛物线C： 的焦点 的直线与抛物线C交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若 ，
为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】先求得抛物线 的方程，然后求得直线 的方程，求得 以及原点到直线 的距离，进而求
得 的面积.
【详解】依题意， ，所以抛物线 的方程为 .
依题意可知 与抛物线的准线 垂直，
在直角三角形 中， ，
则 ，
所以直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ，
易得 ， ，则 ，
原点 到直线 的距离为 ，
所以 .
故选：B11．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知抛物线C： 的焦点 ，直线 与该抛物线交
于A，B两点（点A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D.若 ，
则点E到y轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设直线 的方程 与抛物线的方程联立，运用韦达定理和
弦长公式、直线和圆相切的条件可得 的值，结合等腰三角形的性质可得直线的倾斜角为 ，从而可
求得 的值，由此确定 的坐标，即可得点E到y轴的距离．
【详解】过 作 垂直于准线为
抛物线 的焦点为 ，所以 ，即 ，抛物线为
准线方程为 ，
设直线 的方程为 ，与抛物线的方程联立，可得 ，设 , ， , ，可得 ，
则 ，
所以 的中点为 ，
，
由圆 与准线相切，可得 ，
两边平方，化简可得 ，
即直线 的方程为 ，可得直线 经过焦点 ，则
由圆 与准线相切于 ，可得 ，
由 准线 ，且 ，
可得 ，
即 ，
由 ，可得 ，
即有 ， ，
直线 的斜率为 ，所以 ，则
所以点E到y轴的距离为 .
故选：D.
12．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 且与抛物线交于
， 两点，过点 作抛物线准线的垂线，垂足为 ， 的角平分线与抛物线的准线交于点 ，线
段 的中点为 .若 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D【分析】先判断直线 的斜率存在，然后设出直线 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，
结合弦长求得直线 的方程与倾斜角，求得 点、 点的坐标，进而求得 .
【详解】抛物线 ， ，焦点 ，准线 .
若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，
由 解得 ，则 不符合题意，所以直线 的斜率存在.
设 ，
由 消去 并化简得 ①，
，
设 ，则 ，
则 ， ，
不妨设 ， 在第一象限，则直线 ，倾斜角为 .
所以 ，
①式为 ，即 ，解得 ，
，
，
所以 ，则 ，所以 .
由于 ， 所以 .
所以 .
故选：D
二、多选题
13．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C： ，则
（ ）
A．直线 与抛物线C相交所得弦长为
B．直线 与抛物线C交于M，N两点，则
C．过点 恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
D．抛物线C上的点到直线 的最短距离为
【答案】ABD
【分析】联立直线与抛物线方程，用弦长公式可判断A，用斜率关系可判断B，点在抛物线外有两条切线，
再考虑与对称轴平行的直线，可判断C，抛物线上的点到直线的最小距离转化为两平行直线间的距离可判
断D.【详解】联立直线与抛物线方程得 ，
设其交点分别为 ，
则
所以其弦长为 ，A正确；
对于B， ，所以 ，B正确；
对于C，过 可作两条切线，和其有一个公共点，但 也过该点，同样与抛物线有一个公共点，
C错误；
设直线 与抛物线相切，联立得 ，则 ，
故切线为 ，抛物线上的点到直线的最小距离转化为两平行直线间的距离，
，D正确.
故选：ABD
14．（2023秋·云南昆明·高三校考阶段练习）设抛物线C： 的焦点为F，准线l与x轴的交
点为D，A，B两点在C上，直线 依次经过点A，B，D，直线AF与C的另一个交点为E，则
下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A，由直线求出D点坐标即可得；对于B、C，联立抛物线与直线方程，求出A、B点坐标即可得；对于D，求出直线AF的方程，进而求出E点坐标，用两点距离公式即可.
【详解】解：直线 经过D点，令 ，则 ，
所以 ，则 ，故 ，A正确；
所以C： ，联立 ，
解得 ， ，所以 ，B正确；
，C错误；
直线AF的方程为 ，即 ，
与抛物线联立，可得 ，解得 , ，
则 ，D正确.
故选：ABD
15．（2023秋·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知抛物线 的顶点为 ，准线为 ，
焦点为 ，过 作直线 交抛物线于 两点（ 在 的左边），则（ ）
A．
B．若直线 经过点 ，则
C．线段 的最小值为2
D．若 ，则直线 的斜率为
【答案】ACD【分析】由抛物线的准线求 的值判断选项A；设直线 的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式表示出
，代入点验证选项B；利用算式判断最小值验证选项C；利用所给条件解出 ，得到直线斜率验证
选项D.
【详解】A选项，抛物线的标准方程为 ，准线为 ，则 ，
准线方程 ，解得 ，故A正确；
焦点 ，过 作直线 交抛物线于 两点，显然 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 整理得 ， 恒成立，
设 ，则 ， ，
，
B选项，若直线 经过点 ，则 ， ，故 错误；
C选项，当 时， 的最小值为2，故C正确；
D选项，由 ，得 ，
又 ， ，解得 ， ，
又因为 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
16．（2023秋·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考期中）已知抛物线C： 的焦点为F， ，
是抛物线上两点，下列结论正确的是（ ）A． 的最小值为2
B．若 ，则线段MN的中点P到x轴的距离为6
C．若直线MN过点F，则
D．若 ，则 的最小值为8
【答案】AD
【分析】对A，证明 ，故A正确；对B，点P到x轴的距离为4，故B错误；对C，把直线 方
程 代入抛物线方程整理得 ，所以 ，故C错误；对D，由题得
，当 即 的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D正确.
【详解】对A， ，则 ，焦点F坐标为 ，准线方程为 ，∴ ，∵ ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，故A正确；
对B，∵ ，根据抛物线定义得 ，则 ，
而由中点坐标公式得点P的纵坐标 ，即为点P到x轴的距离为4，故B错误；
对C，因为直线MN过点F，设直线 方程为 ，代入抛物线方程整理得 ，所以
，故C错误；
对D，若 ，则M，F，N三点共线，由题得
，
当 时 的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D正确.
故选：AD．三、填空题
17．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线
反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线 ，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线
的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 .
【答案】
【分析】由题意求出A点坐标，由于直线 过焦点，利用点斜式方程求出直线 方程，联立抛物线方
程，由韦达定理求出点B坐标，利用两点间的距离求出 即可.
【详解】由条件可知AQ与x轴平行，令 ，可得 ，故A点坐标为 ，
因为 经过抛物线焦点 ，所以 方程为 ，
整理得 ，联立 ，得 ， ，所以
，
又 ，所以 ， ，
所以 .故答案为： .18．（2023秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）过原点的一条直线与圆
相切，交曲线 于点 ，若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据圆 和曲线 关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，即可根
据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆 和曲线 关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，
所以 ，解得： ，由 解得： 或 ，
所以 ，解得： ．
当 时，同理可得．
故答案为： ．
19．（2023·湖南·校联考二模）已知抛物线 ，过原点 且斜率为1的直线与 交于点
为 的焦点．若 ，则 的面积为 ．
【答案】2
【分析】易知直线 ，由 ，求得点P的坐标，再由 求得p即可.
【详解】解：由题设知：直线 ，
由 ，得 ，或 （舍去），
所以 ，
所以 ，解得 ，又 ，即 ，
所以 ．
故答案为：2
20．（2023·浙江·模拟预测）过抛物线 的焦点 的直线与 交于 两点，从点 分别向
准线 作垂线，垂足分别为 ，线段 的中点为 ，则弦 的长为 .
【答案】5
【分析】设 可得 ，设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立求出
，求出 ，利用 可得答案.
【详解】由已知得抛物线的准线方程为 ， ，
设 ，
所以 的中点 的坐标为 ，所以 ，
设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立
可得 ，所以 ，可得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：5.21．（2023秋·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直
线与抛物线交于A，B两点，则 的最小值是 .
【答案】
【分析】根据题意对直线斜率存在与否进行分类讨论，由焦半径公式写出 的表达式，并利用基
本不等式求出其最小值.
【详解】如下图示：
易知焦点 ，设 ，且
当直线斜率不存在时（如图中虚线所示），可知 ，此时 ；
当直线斜率存在时，可设直线方程为 ，显然 ，
联立直线和抛物线方程 ，消去 整理可得 ，利用韦达定理可知 ，
又利用焦半径公式可知 ，
所以可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立；
综上可得， 的最小值是 .
故答案为：
22．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知抛物线 ，焦点为 ，准线与x轴的交
点为 ，过 点的直线与抛物线交于 、 两点，且满足 ，则 .
【答案】
【分析】联立直线和抛物线方程，由韦达定理以及弦长公式得出 ，再由抛物线的定义以及余弦定理得
出 ，进而得出 ，最后由 得出答案.
【详解】根据对称性，不妨设
由题意知 ，则可设直线 的方程为 .
由 ，可得 ①
所以 .所以 .
因为 ，
所以在 中，由余弦定理得
因此 ，得 ，代入①得 .
解得 ，因此
故答案为：
23．（2023·全国·长郡中学校联考二模）已知抛物线 ： 的准线为 ，过点 的直线交 于 ，
两点， 的中点为 ，分别过点 ， ， 作 的垂线，垂足依次为 ， ， ，则当 取最小值
时， .【答案】
【分析】依题意不妨设直线 的方程为 ， ，联立方程，利用韦达定
理求出 ，根据 求出 的范围，由抛物线的性质求出
的表达式，再结合二次函数的性质求出 取最小值时 的值，再根据弦长公式即可得解.
【详解】依题意不妨设直线 的方程为 ， ，
联立 ，消 得 ，
则 ，得 ，
，
，
又因 ，
则 ，
当 时， 取得最小值，
此时 ，
所以 .故答案为： .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值.
24．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知抛物线 ，圆
与y轴相切，直线l过抛物线的焦点与抛物线交于A，D两点，与圆交于B，C两点（A，B
两点在x轴的同一侧），若 ， ，则弦长 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求得 ，设直线 的方程为 ，然后根据 的取值范围求得 的取值范围，再利用弦长
公式求得弦长 的取值范围.
【详解】抛物线 的焦点为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
由于圆 与 轴相切，所以 ，抛物线方程为 ，圆 ，
设直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ，
设 ，不妨设 在第 象限， 在第 象限，
则 ， ，
由于 ，所以 ，
则 ，
即 ，则 ， ，
所以 ，
，
函数 ，根据对勾函数的性质可知，
函数 在 上单调递增，
所以 ， ，
，即 的取值范围是 .
所以 .
故答案为：【点睛】在抛物线中，求解过焦点的弦长问题，可设出直线方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数
关系，然后利用弦长公式 来进行求解.
四、解答题
25．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线 的准线方程
是 .
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线 与抛物线相交于 ， 两点，若 ，求实数k的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的准线方程求出 得解；
（2）联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系及弦长公式建立方程即可得解.
【详解】（1）因为抛物线 的准线方程为 ，
所以 ， 解得 ，
所以抛物线的方程为 .
（2）如图，设 ， .
将 代入 ，
消去 整理得 .
当 时，
， .
，
化简得： ，解得 ，
经检验，此时 ，故 .
26．（2023·陕西安康·统考三模）已知 为抛物线 上一点．
(1)求抛物线 的准线方程；
(2)过点 的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线 与 的倾斜角互补，求 的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由点 在抛物线上求出 ，计算得抛物线 的准线方程；（2）先设直线再联立方程组求出两根和和两根积，再应用两点间距离公式计算可得.
【详解】（1）由点 在抛物线 上得 ，即
∴抛物线 的准线方程为 .
（2）设直线AB的方程为 ， ,
由直线 与 的倾斜角互补得 ，
即
∴
联立 得
∴ ，∴ ，即 ，
∴
∴ ．
27．（2023春·江西·高三统考阶段练习）已知直线 与抛物线 交于 两点，
.
(1)求 ；
(2)设抛物线 的焦点为 ，过点 且与 垂直的直线与抛物线 交于 ，求四边形 的面积.
【答案】(1)2
(2)32
【分析】（1）联立 和抛物线方程，可得根与系数关系式，利用弦长公式即可求得答案；
（2）求出直线 的方程，联立抛物线方程可得根与系数关系式，求出 ，根据四边形面积的计算可得答案.
【详解】（1）设 ，
由 ，可得 ，
易得 ，所以 ，
则 ，
即 ，因为 ，所以 .
（2）由题意可得抛物线 的焦点为 ，直线 的方程为 .
联立 ，化简可得 ，则 ，
设 ，则 ，
则 ，
因为 ，所以 .
28．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
．
(1)求 ；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出 ；
（2）设直线 ： ， 利用 ，找到 的关系，以及 的面
积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【详解】（1）设 ，
由 可得， ，所以 ，
所以 ，
即 ，因为 ，解得： ．
（2）因为 ，显然直线 的斜率不可能为零，
设直线 ： ， ，
由 可得， ，所以， ，
，
因为 ，所以 ，
即 ，
亦即 ，
将 代入得，， ，
所以 ，且 ，解得 或 ．
设点 到直线 的距离为 ，所以 ，
，
所以 的面积 ，
而 或 ，所以，
当 时， 的面积 ．
【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关
系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.
29．（2023·山东泰安·统考模拟预测）过点 的直线 与抛物线 交于点 （ 在
第一象限），当直线 的倾斜角为 时， ．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知 ，延长 交抛物线 于点 ，当 面积最小时，求点 的横坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示弦长，即可求解；
（2）首先分别设直线 和直线 的方程，分别于抛物线方程联立，利用韦达定理表示 ，并表示 的面积，利用导数判断函数的单调区间，并求得函数取得最值时的点 的坐标.
【详解】（1）设点 ，直线 ，
联立 ，得 ，
，
，
所求抛物线的方程是： ；
（2）设直线 方程： ，直线 方程： ，点 ，
不妨设 ，联立 得 ，
，
由 ，得 ，
，
， ，
，
令 ， ，令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以当 时， 取得最小值，故 的横坐标是
30．（2023·全国·模拟预测）已知点 在抛物线 上，记 为坐标原点，
，以 为圆心， 为半径的圆与抛物线 的准线相切．
(1)求抛物线 的方程；
(2)记抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 与直线 垂直，交抛物线 于 ， 两点，求弦 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先得到抛物线的准线方程，依题意可得 ，解得 、 、 ，即可得解；
（2）由（1）可得 ， ，即可求直线 的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定
理，由焦点弦公式计算可得.
【详解】（1）抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
依题意可得 ，解得 或 ，又 、 、 ，所以 ，所以抛物线方程为 .
（2）由（1）可得 ， ， ，
因为直线 直线 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
由 ，消去 整理得 ，
设 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 .31．（2023·陕西安康·统考三模）已知抛物线 的焦点为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线 与抛物线 交于 两点， 为抛物线 上的点，且 ， ，求
的面积.
【答案】(1) ；
(2)32
【分析】（1）由题意可知 ，从而即可得答案；
（2）先分析 轴时，不满足题意；再设直线 的方程为 ，直线 的方程为
，分别代入抛物线方程，结合韦达定理可得直线 的斜率、线 的斜率，再由
，可求得 的值及 点的纵坐标，再根据弦长公式及三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）解：由已知可得 ，解得 ，
∴拋物线 的方程为 ；
（2）解：如图所示：设 ， ， ，
若 轴，由 得 ， ， 或 ， ，
此时不满足 ，∴不满足题意；
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
将 代入抛物线方程得 ， ，
∴ ， .
将 代入抛物线方程得 ，∴ ①.
直线 的斜率为 ，同理直线 的斜率为 .
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ②.
由①②解得 ，将其代入①可得 ，
解得 或 ，
当 时，直线 的方程为 ， ， .
∵ ， 满足 ，∴ ， .∴ ，
∴ .
同理可得，当 时，直线 的方程为 ， ， ，
∵ ， 满足 ，∴ ， .
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为32.
【点睛】思路点睛：求直线与圆锥曲线的相交所形成的三角形或四边形的面积(范围)时，基本思路为：联
立直线与圆锥曲线方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可.
32．（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）点 是抛物线 ： （ ）的焦点， 为坐标原点，
过点 作垂直于 轴的直线 ，与抛物线 相交于 ， 两点， ，抛物线 的准线与 轴交于点 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设 、 是抛物线 上异于 、 两点的两个不同的点，直线 、 相交于点 ，直线 、 相
交于点 ，证明： 、 、 三点共线．
【答案】(1)
(2)详见解析.
【分析】（1）根据题意不妨设 ，将点坐标代入抛物线方程求解；
（2）由（1）得到 ，设 ，分别求得直线AC，直线
BD，直线BC，直线AD的方程，联立求得点E，G的坐标，证明 即可.【详解】（1）解：抛物线 ： （ ）的焦点坐标为： 过点 作垂因为直于 轴的直
线 ，与抛物线 相交于 ， 两点，且 ，
不妨设 ，则 ，
解得 或 （舍去），
所以抛物线 的方程为 ；
（2）如图所示：
由（1）知 ，设 ，
则直线AC的方程为： ，直线BD的方程为：
，
联立得 ，解得 ，则 ，所以 ，
则直线BC的方程为： ，直线AD的方程为：
，
联立得 ，解得 ，则 ，
所以 ，则 ，
所以E，K，G三点共线.
33．（2023·陕西宝鸡·校考一模）设抛物线 ，直线 与C交于A，B两点，且
.
(1)求p；
(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）设 ，联立方程，利用韦达定理求出 ， ，再根据弦长公式计算即
可；
（2）设直线 ： ， ， ，联立方程，利用韦达定理求出 ， ，注意
，再结合弦长公式及点到直线的距离公式和三角形的面积公式计算即可.【详解】（1）设 ，
由 ，可得 ，
所以 ， ，
所以 ，
即 ，因为 ，解得 ；
（2）由（1）得抛物线 ，
因为 ，显然直线 的斜率不可能为零，
设直线 ： ， ， ，
由 ，可得 ，所以 ， ，
，
因为 ，所以 ，
即 ，
亦即 ，
将 ， 代入得，
， ，
所以 ，且 ，解得 或 ，
设点 到直线 的距离为 ，则 ，，
所以 的面积 ，
而 或 ，
所以当 时， 的面积 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
34．（2023·河南开封·统考三模）已知抛物线E： 的焦点为F，抛物线E上一点H的纵坐标
为5，O为坐标原点， ．
(1)求抛物线E的方程；
(2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB所
在直线方程．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据抛物线的定义结合条件求解即可；（2）根据抛物线弦长公式，结合点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）∵H纵坐标为5，不妨设在第一象限内，
∴ ，过H做 轴于M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
∴所以抛物线E的方程为 ．
（2）根据题意直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 ，
设 ， ，AB中点 ，
由 ，
， ， ，
，
∴ ，
则∴ ，
∵AB的中点到准线的距离等于 ，
∴当 最小时，AB的中点到准线的距离最短．
∵ ，
当且仅当 时，解得 ，则 ．
所以直线AB的方程为 或 .
【点睛】关键点睛：根据抛物线的定义，结合抛物线弦长公式、基本不等式是解题的关键.
35．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）已知抛物线 的焦点为 ，过 作斜率为
的直线 与 交于 两点，当 时， .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设线段 的中垂线与 轴交于点 ，抛物线 在 两点处的切线相交于点 ，设 两点到直线 的
距离分别为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式列式可求出结果；
（2）设 代入 ，利用韦达定理求出线段 的中点为 的坐标，得 的中垂线方程，令 得 ，由点到直线距离公式得 .根据导数的几何意义求出切线 和 的方
程，联立得 ，再由点到直线的距离公式求出 ，从而可得结果.
【详解】（1）当 时，直线 的方程为 ，
设 ，
联立方程组 ,消去 得 ，
所以 恒成立，
， ，
所以 ，
解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）由（1）知 ，则 ，
设 ，显然 ， ，线段 的中点为 ，
联立方程组 消去 得 ，
恒成立，
所以 ，所以 ，
所以 ，则 的中垂线方程为 ，
令 ，得 ，所以 ，
所以 .
由 得 ，则 ，
不妨设 ， ，则切线 的斜率为 ，切线 的斜率为 ，
则切线 ： ，即 ，
切线 ，即 ，
联立方程组 ，解得 ，
由 ， ，
得 ，得 ，
得 ，得 ，
因为 ，所以 ，而 ，所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以点 到直线 的距离 .
故 .
【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义求出切线 和 的方程，再联立得 的坐标是解题关键.
36．（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）已知拋物线 和圆 ．
(1)若抛物线 的准线与 轴相交于点 ， 是过 焦点 的弦，求 的最小值；
(2)已知 ， ， 是拋物线 上互异的三个点，且 点异于原点．若直线 ， 被圆 截得的弦长都为
2，且 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设 方程为 ， ， ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据数量积的坐标表示得到 ，再
根据重要不等式计算可得；
（2）设 ， ， ，即可得到 、 的方程，由点到直线的距离公式得到 、 为
方程 的两根，即可得到 ，由 可得 ，由斜率之积
为 ，求出 ，即可得解.
【详解】（1）拋物线 的焦点为 ，准线为 ，则 ，
设 方程为 ， ， ，
由 ，消去 整理得 ，所以 ， ，
所以 ， ，
则
，当且仅当 时取等号，
即 的最小值为 .
（2）设 ， ， ，则 ， ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
所以 ，则 ，
同理可得 ，
所以 、 为方程 的两根，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 点坐标为 或 .
题型三 抛物线中的中点弦问题
策略方法
设交点坐标为 ， ，代入抛物线两式相减，可得
， . 设线段 的中点为 ，即 ，同理，对于抛物线 ，则有
【典例1】（单选题）直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝（
）
A．2或－2 B．2或－1
C．2 D．3
【答案】C
【分析】将直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理以及中点坐标公式求解.
【详解】设A，B两点的坐标为 ， ，
将直线方程与抛物线方程联立
得 ，则 ，解得 ，
由已知得 ，解得 或 （舍去）．
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C： ，过点 的直线l与抛物线C交于A，B两点，
若 ，则直线l的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法求解即可.
【详解】设 ，则 作差得 .因为 ，所以P是线段AB的中点，所以 ，则直线l的斜率 .
故选：A
2．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线 于M，N两点，且MN的中
点为 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】易知直线l的斜率存在，设 ，则 ，两式相减即可得出直线的斜率
的值．
【详解】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k， ，
则 ，两式相减得 ，整理得 ，
因为MN的中点为 ，则 ，
所以 ，即直线l的斜率为3．
故选：C．
3．（2023秋·江西·高三校联考期末）如图，已知抛物线E： 的焦点为F，过F且斜率为1
的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C， 轴于点N.若四边形
的面积等于8，则E的方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 求出 的坐标，然后得 的方程，令 ，得 的坐标，利用直角梯形的面积求出
，可得抛物线方程.
【详解】易知 ，直线AB的方程为 ，四边形OCMN为直角梯形，且 .
设 ， ， ，则 ，
所以 ，所以 ， ，∴ .
所以MC直线方程为 ，∴令 ，∴ ，∴ .
所以四边形OCMN的面积为 ，∴ .
故抛物线E的方程为 .
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B
两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】设 ，进而根据题意，结合中点弦的问题得 ，进而再求解准线方程即可.
【详解】解：根据题意，设 ，
所以 ①， ②，
所以，① ②得： ，即 ，
因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，
所以 ，即 ，
所以抛物线 ，准线方程为 .
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点， 为坐标
原点， 是线段 的中点， 是 的焦点， 的面积等于3，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求出F,设出A、B、M，用“点差法”找出 ，利用 的面积等于3计算出
，求出斜率k.
【详解】由抛物线 知：焦点
设
因为 是线段 的中点，所以
将 和 两式相减可得： ，即
∵
∴ ,
.
故选：B
【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.
6．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于 、 两
点，线段 的中点为 ，则直线 的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知直线 与 轴不重合，设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直
线 的方程与抛物线 的方程联立，利用韦达定理求出点 的坐标，利用基本不等式可求得直线 斜
率的最大值.
【详解】易知抛物线 的焦点为 ，设点 、 ，
若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
，由韦达定理可得 ，则 ，
故点 ， ，
若直线 的斜率取最大值，则 ，所以， ，当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故直线 斜率的最大值为 .
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知以F为焦点的抛物线 上的两点A，B（点A的横坐标大于点B
的横坐标），满足 （O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为 ，则实数 （ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据已知及抛物线的几何性质求出 ，再由已知 求出 的值.
【详解】由题意可得抛物线 的焦点 .
弦AB的中点M的横坐标为 ，
由已知条件可知直线AB的斜率存在.
设直线AB的方程为 ， ，
则联立 ，消去y得 ，
∴ ，又因为弦AB的中点M的横坐标为 ，
∴ ，∴ ， ，
∴点A到准线的距离为 ，
点B到准线的距离为 ，
所以 ∴ ，又 ， 故 .
故选：D
8．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知抛物线 ，直线 与抛物线 交于 、 两点，线段
的中点为 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设点 、 ，则 ，利用点差法可求得直线 的斜率，再利用点斜式可得
出直线 的方程.
【详解】设点 、 ，则 ，
若直线 轴，则线段 的中点在 轴上，不合乎题意，则直线 的斜率存在，
由已知 ，两式作差可得 ，
所以，直线 的斜率为 ，
因此，直线 的方程为 ，即 .
故选：A.
9．（2023春·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，过
点 且倾斜角为锐角的直线 与 交于 、 两点，过线段 的中点 且垂直于 的直线与 的准线交于
点 ，若 ，则 的斜率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设直线 的方程为 ，其中 ，设点 、 、 ，将直线 的方
程与抛物线 的方程联立，列出韦达定理，求出 、 ，根据条件 可求得 的值，即
可得出直线 的斜率.
【详解】抛物线 的焦点为 ，设直线 的方程为 ，其中 ，
设点 、 、 ，
联立 可得 ， ， ，
所以， ，
， ，
直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
所以， ，
因为 ，则 ，因为 ，解得 ，
因此，直线 的斜率为 .
故选：C.
10．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知斜率为 的直线 过抛物线 的焦点，
且与抛物线 交于 两点，抛物线 的准线上一点 满足 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．6【答案】C
【分析】先求出抛物线的方程，得到焦点坐标.设直线 ： ，用点差法表示出 的中点为
，利用半径相等得到： ,解出k，即可求出 .
【详解】由题意知，抛物线 的准线为 ，即 ，得 ，
所以抛物线 的方程为 ，其焦点为 .
因为直线 过抛物线的焦点 ，
所以直线 的方程为 .
因为 ，
所以 在以 为直径的圆上.
设点 ， ，联立方程组 ，
两式相减可得 ，
设 的中点为 ，则 .
因为点 在直线l上，
所以 ，所以点 是以 为直径的圆的圆心.
由抛物线的定义知，圆 的半径 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，所以弦长 .
故选：C.
【点睛】处理直线与二次曲线相交的问题：
（1）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决大部分直线与二次曲线相交的问题；
（2）“中点弦”问题通常用“点差法”处理.
二、多选题
11．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知直线 与抛物线 交于
两点，若线段 的中点是 ，则（ ）
A． B．
C． D．点 在以 为直径的圆内
【答案】AB
【分析】直线与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标可构造方程求得 ，知A正确；
将中点坐标代入直线方程即可求得 ，知B正确；
根据直线过抛物线焦点，根据抛物线焦点弦长公式可知C错误；
根据长度关系可确定 ，由此可确定D错误.
【详解】对于A，设 ， ，
由 得： ， ，
又线段 的中点为 ， ，解得： ，A正确；
对于B， 在直线 上， ，B正确；
对于C， 过点 ， 为抛物线 的焦点，，C错误；
对于D，设 ，则 ，又 ，
， ， 在以 为直径的圆上，D错误.
故选：AB.
12．（2023春·山东滨州·高三校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 交抛物
线于 、 两点，则（ ）
A．抛物线 的准线方程为
B．线段 的中点在直线 上
C．若 ，则 的面积为
D．以线段 为直径的圆一定与 轴相切
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的标准方程与准线方程的关系可判断A选项的正误；利用点差法可判断B选项的正误；
利用弦长公式以及三角形的面积公式可判断C选项的正误；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，抛物线 的准线方程为 ，A错；
对于B选项，设点 、 ，设线段 的中点为 ，
则 ，两式作差得 ，可得 ，
所以， ，故 ，B对；
对于C选项，设直线 的方程为 ，联立 ，可得 ，
，解得 ，由韦达定理可得 ， ，
，解得 ，点 到直线 的距离为 ，故 ，C对；
对于D选项，设线段 的中点为 ，则 ，
由抛物线的定义可得 ，即 等于点 到 轴距离的两倍，
所以，以线段 为直径的圆一定与 轴相切，D对.
故选：BCD.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知 是抛物线 上两动点， 为抛物线 的焦点，则
（ ）
A．直线 过焦点 时， 最小值为4
B．直线 过焦点 且倾斜角为 时（点 在第一象限），
C．若 中点 的横坐标为3，则 最大值为8
D．点 坐标 ，且直线 斜率之和为 与抛物线的另一交点为 ，则直线， 方程为：
【答案】ACD
【分析】对于A，由题意，过焦点，则垂直 轴时最小，可得答案；
对于B，已知直线的倾斜角，可根据抛物线焦半径公式，可得答案；
对于C，根据三角形三边性质，可得不等式，由于中点坐标已知，根据抛物线定义与梯形中位线，可得答
案；
对于D，利用中点弦的斜率公式，可求得点 的纵坐标，进而求得该点的坐标，根据可以，求得 的斜
率，同样方法，可得点 的坐标，可得答案.
【详解】对于A选项，直线 过焦点 ，当 垂直于 轴时， 取最小值 ，故正确；
对于B选项，由题意，作图如下：则 ， 轴， 轴，即 ， ，
， ，即 ， ，
， ， ，
，故错误；
对于C选项，由于 为两动点，所以 ，当且仅当直线 过焦点 时等
号成立，故正确；
对于D选项，依题意， ，故 ，即 ，由题意， ，
同理可得 ，故直线 方程为 ，故正确.
故选：ACD.
14．（2023·浙江金华·模拟预测）已知 为抛物线 上的三个点，焦点F是 的重心．
记直线AB，AC，BC的斜率分别为 ，则（ ）
A．线段BC的中点坐标为B．直线BC的方程为
C．
D．
【答案】ABD
【分析】A.设 ， BC中点 ，则由重心分中线 得到
判断；B.结合选项A得到 ，再由点M的坐标写出直线方程判断；C. ，
得到 判断；D.分别求得 ， 判断.
【详解】解：设 ，
因为F为 重心，
所以 ，设BC中点 ，则 ，
，由重心分中线 得 ，
即 ，
又因为A在抛物线上，所以 ，所以 ，即 ，故A正确；
，直线 ，故B正确；
因为 ，所以 ，所以 ，故C错误；
，同理 ，
所以 ，故D正确．
故选：ABD
三、填空题
15．（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为 ，过 作直线 交抛物线于 、
两点，若线段 的中点横坐标为2，则线段 的长为
【答案】6
【分析】设 ，利用中点公式即得 ，再根据焦点弦公式得到线段 的长.
【详解】 是抛物线 的焦点，
准线方程 ，
设 ，线段 的中点横坐标为2, .
， 线段 的长为6.
故答案为：6.
16．（2023·安徽宿州·统考一模）若抛物线C： 存在以点 为中点的弦，请写出一个满足条件
的抛物线方程为 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】抛物线存在以点 为中点的弦，则该点在抛物线开口内，列式求解即可.【详解】抛物线存在以点 为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当 时， .
可取 ，则满足条件的抛物线方程为 .
故答案为： （答案不唯一）
17．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）已知 为抛物线 上的两点， ，
若 ，则直线 的方程为 .
【答案】
【分析】由于 可得 为中点，则 ，根据点差法即可求得直线 的斜率，从而得方
程．
【详解】设 又 ，
因为 ，所以 ，
又 ，则 ，得
则直线 的斜率为 ，故直线 的方程为 ，
化简为 ．
联立 ，可得
，直线与抛物线有两个交点，成立
故答案为： ．
18．（2023春·四川成都·高三校联考阶段练习）抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两
点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，则 .
【答案】6【分析】要求 ，需要求出 ，设直线 的斜率为 ，根据条件表示出线段 的垂直平分
线方程，令 ，可得 ，又由点差法可得 ，从而可求出 ，即 也可知道，
从而可求出
【详解】由题意得 ，设线段 的中点为 ，
则 ，
设直线 的斜率为 ，
则线段 的垂直平分线方程为 ，
令 ，得 ，即 ，
又 ，作差得
整理得 ，
所以 ，
∴ ．
故答案为6．
【点睛】本题考查直线与抛物线相交的弦的垂直平分线问题，关键在于点差法以及弦长公式的运用，考查
学生的计算能力，是基础题
四、解答题
19．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线
上，且 ．
(1)求抛物线 的方程；(2)已知直线 交抛物线 于 两点，且点 为线段 的中点，求直线 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线定义可求得 ，即可求出抛物线 的方程；
（2）由弦中点坐标为 并利用点差法即可求得直线 的斜率为 ，便可得直线方程.
【详解】（1）点 在抛物线 上，
由抛物线定义可得 ，解得 ，
故抛物线 的标准方程为 ．
（2）设 ，如下图所示：
则 ，两式相减可得 ，
即 ，
又线段 的中点为 ，可得 ；
则 ，故直线 的斜率为4，
所以直线 的方程为 ，即直线 的方程为 ．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与C交于A，B两点．
(1)若 的倾斜角为 且过点F，求 ；
(2)若线段AB的中点坐标为 ，求 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先可得直线 的方程，设 ，然后联立直线 与抛物线的方程消元，然后
可得 的值，然后可得答案.
（2）利用点差法求出 的斜率即可得答案.
【详解】（1）因为 的倾斜角为 ， ，
所以直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
设 ，则 ，
所以 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
因为线段AB的中点坐标为 ，所以 ，
所以 ，所以 的斜率为 ，所以 的方程为 ，即 .
21．（2023·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，过点 的圆 与直线 相切．圆心 的轨迹
记为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)设 为曲线 上的两点，记 中点为 ，过 作 的垂线交 轴于 ．
①求 ；
②当 时，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）①设 ，再求出 ，根据垂直关系的直线方程求得
即可得 ；
②根据两点间的距离公式表达 ，结合基本不等式可得 ，进而求得 的最大值
(1)
设 ，由题意，则 到 的距离等于 到 的距离，故 的轨迹为抛物线 ；
(2)
设 ，则 ，
① 故 ，
，令 ，得，故 ，即 ，
②由题意 ，即
，故 ．
22．（2023·全国·高三专题练习）直线 与曲线 交于 ， 两点， 与 的中点 的
横坐标为2．
（1）求曲线 的方程；
（2）过 ， 两点作曲线 的切线，两切线交于点 ，直线 交曲线 于点 ，求证： 是线段 的
中点．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；
【解析】（1）设 ， ， ， ，利用平方差法求解直线的斜率，推出 ，然后求解曲线 的方程．
（2）求出抛物线在 ， 点处的切线方程，抛物线在点 ， 处的切线方程，联立求出 ．然
后转化证明即可．
【详解】解：（1）设 ， ， ， ，
则 ，
于是直线 的斜率 ，所以
所以曲线 的方程为 ．
（2）因为 ，所以 ，
则抛物线在 ， 点处的切线方程为： ，
整理得： ，同理：抛物线在点 ， 处的切线方程为：
联立方程组解得： ，解得： ，即 ．
而 ，所以直线 的方程为： ；与抛物线方程联立可得
由 ， ， ，可得 是线段 的中点．
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
23．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C： 的焦点为F，直线l： 与抛物线C交于
A，B两点.
(1)若 ，求 的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】(1)联立直线与抛物线，根据弦长公式求出 ，根据点到直线的距离公式求出点 到直线的距
离，根据三角形面积公式可求得结果；
(2)设直线 的方程为 代入抛物线，利用判别式大于0可得 ，
根据韦达定理求出 的中点坐标，将其代入直线 得到 与 的关系式，根据 的范围可得 的范围．
【详解】（1）抛物线 的焦点为 ，
时，直线 ，
联立 ，可得 ，
设 ， ， ， ，
则 ， ．
，点 到直线 的距离距离 ，
的面积 ．
（2）∵点 ， 关于直线 对称，∴直线 的斜率为 ，
∴可设直线 的方程为 ，
联立 ，整理可得 ，
由 ，可得 ，
设 ， ， ， ，则 ，
故 的中点为 ，
∵点 ， 关于直线 对称，∴ 的中点 ，在直线 上，
∴ ，得 ，∵ ，∴ ．
综上， 的取值范围为 ．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，直线 与y轴交于点P与
抛物线交于点Q，且
(1)求抛物线E的方程；
(2)过F的直线l抛物线E相交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与E相交于C，D两点，探究是否存
在直线l使A，B，C，D四点共圆？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）设点 ，由点Q在抛物线上和 ，利用抛物线的定义求解；
（2）设直线 的方程为 与抛物线方程联立，求得 及 的中点M，再得到线段 的垂直平分线方程，与抛物线方程联立，求得求得 及 的中点N, G根据 四点共圆，则 为圆心，
由 求解；方法2:根据 四点共圆，利用点差法得到 ，
， ， ， ，再由垂直关系求解.
【详解】（1）解：设点 ，
由题意得 ，解得
所以抛物线的方程为
（2） ，设 ，
直线 的方程为 由 ，得 ，
，
所以 ，
，
所以 的中点
所以线段 的垂直平分线为 ，
将抛物线方程 代入得 ，
所以， ， ，
所以，的中点 ，
四点共圆，
所以 为圆心，
即 ，
解得 ，
故直线 的方程为
方法2:设 ，
垂直平分 ，且 四点共圆，
，由点差法得，
， ， ， ， ，
于是， ，
，
直线 的方程为
25．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： ，斜率为 的直线 与抛物线 交于 ， 两
点，且线段 的中点坐标为 ，其中 .直线 ： 与抛物线 交于 ， 两点.
（1）证明： ；
（2）若直线 与圆 ： 交于 ， 两点，证明： .
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）设 ， ，代入抛物线 方程，两式作差，结合中点坐标公式得出
，再根据 在抛物线 内部，即可证明 ；
（2）利用圆的弦长公式得出 ，由弦长公式得出 ，进而得出
，开方即可得出 .
【详解】（1）证明：设 ， ，则 ，两式相减得
，
显然 ，
故 ，即 ，
因为 ，所以 ，
易知 在抛物线 内部，故 ，
故 ，
故 .
（2）证明：依题意，圆 ：
故圆心 到直线 的距离 ，所以
所以由 ，消去 并整理得：
由 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
，
故 ，即 .
所以 .
【点睛】本题主要考查了抛物线的中点弦问题以及抛物线的弦长公式，属于中档题.
26．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线 ，过点 的直线l交抛物线于A，
B两点，交直线 ， 于点C，D，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.当l的斜率为2时，
AB中点的纵坐标为1.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)记△ 的外接圆面积为 ， 的外接圆面积为 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）由中点坐标公式及斜率公式即可求解 值；（2）由已知条件可知△ 和 为直角三角形，将外接圆的面积之比转化为线段 和 之比，
利用弦长公式求出 ，利用直线联立求出交点坐标，进而求出 ，最后利用导数求出最值即可.
【详解】（1）设 ， ，
由题意可知，当 时， ，
于是 ，
所以抛物线的标准方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，与 联立并整理得 ，
则 ，所以 ， ， 则 ，
∵ ，
∴ ，AB为△ 外接圆的直径，
∴ ，
又∵直线 和 垂直，
∴ ，即 的外接圆直径为CD，
设 ， ，
联立 得 ，同理可得 ，
∴ ，∴ ，
令 ，所以 ， ，
记 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， ，
故 的最大值为1.
27．（2023·广西玉林·统考三模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为 上的一
点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，且 ， ．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)已知 的三个顶点都在抛物线 上，顶点 ， 重心恰好是抛物线 的焦点 ，求
所在的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义及已知条件可得 为等边三角形，再利用数量积的定义求出 ，
即可求出 ，从而得解；
（2）设 ， ，利用重心坐标公式得到 中点坐标为 ，再利用点差法求出 ，即
可求出直线方程.
【详解】（1）∵ ，∴ 为等边三角形，
∴ ，又 ，∴ ，
设直线 交 轴于 点，则在 中 ， ，
∴抛物线 的方程为 ．
（2）设 ， ，由（1）可得焦点 ，
由重心坐标公式得 ，
∴ 中点坐标为 ，
将 ， 的坐标代入抛物线的方程可得 ，
作差 ，即 ，
所以 ，即直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．28．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线 和点 ，点P到抛物线C的准
线的距离为6．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点P作直线 交抛物线C于A，B两点，M为线段 的中点，点Q为抛物线C上的一点且始终满足
，过点Q作直线 交抛物线C于另一点D，N为线段 的中点，F为抛物线C的焦点，
记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最小值．【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用点到准线的距离公式和 的几何意义进行求解；
（2）先将 等价于 ，再转化为斜率之积，联立直线和抛物线方程，利用根与系数的
关系、斜率公式得到 ，再利用恒成立求出定点 ；再利用三角形的面积公式和
基本不等式进行求解.
【详解】（1）解：由题知 ，解得 ，
所以抛物线C的标准方程为 ；
（2）解：当 不经过点Q时， 等价于 ，
即 ．
因为 分别交C于A，B两点，
所以 不平行于x轴，
设 ， ， ， ，
联立 与C方程，得 ，
且 ，
由韦达定理，得 ， ，
又 ，同理 ，
所以 ，所以 ，代入整理得 ，
要使该式恒成立，则 ，解得 ，
又经检验，当 经过点Q时， 仍然成立，
所以存在定点 使得 ；
因为 分别交C于A，B两点，
所以 不平行于x轴，且 ，
又因为 ，设 ， ，
联立 与C方程，得 ，
且 ，所以 ；
因为N为 中点，所以 ，
且 ，
所以 ，
所以 ，当 时取到等号，
所以折线 围成面积的最小值为2，
即 最小值为2．
