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重难点突破12 双切线问题的探究
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双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.
解题思路：
①根据曲线外一点 设出切线方程 ．
②和曲线方程联立，求出判别式 ．
③整理出关于双切线斜率 的同构方程．
④写出关于 的韦达定理，并解题．
题型一：定值问题
例1．（2023·河南·高三竞赛）已知抛物线C： 与直线l： 没有公共点，P为直线l上的动
点，过P作抛物线C的两条切线，A、B为切点.（1）证明：直线AB恒过定点Q；
（2）若点P与Q的连线与抛物线C交于M、N两点，证明： .
例2．（2023·高二单元测试）已知抛物线C： 的焦点F与椭圆 的右焦点重合，
点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．
(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；
(2)设直线MA，MB的斜率分别为 ， ，证明： 为定值．
例3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知坐标原点为 ，抛物线为 与双曲线
在第一象限的交点为 ， 为双曲线的上焦点，且 的面积为3．
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 ，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ， ，切线 ， 分别交 轴于 ，
，求 与 的面积之比．
变式1．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线 （ 为常数， ）.点
是抛物线 上不同于原点的任意一点.
(1)若直线 与 只有一个公共点，求 ；(2)设 为 的准线上一点，过 作 的两条切线，切点为 ，且直线 ， 与 轴分别交于 ， 两
点.
①证明：
②试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
变式2．（2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线 上一点 到焦点的距离
为3.
(1)求 ， 的值；
(2)设 为直线 上除 ， 两点外的任意一点，过 作圆 的两条切线，
分别与曲线 相交于点 ， 和 ， ，试判断 ， ， ， 四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该
定值；若不是，请说明理由.
题型二：斜率问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,F,F 是椭圆的两个焦点,
1 2
P是椭圆上任意一点,且△PFF 的周长是8+2 .
1 2
(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2+y2= ,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.
例5．（2023·全国·高三专题练习）设点 为抛物线 外一点，过点 作抛物线 的两条切线 ，
，切点分别为 ， ．
（Ⅰ）若点 为 ，求直线 的方程；
（Ⅱ）若点 为圆 上的点，记两切线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的取值范围．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ， ， 是椭圆的两
个焦点， 是椭圆上任意一点，且 的周长是 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)是否存在斜率为1的直线 与椭圆 交于 ， 两点，使得以 为直径圆过原点，若存在写出直线方
程；
(3)设圆 ，过椭圆的上顶点作圆 的两条切线交椭圆于 、 两点，当圆心在 轴上移动
且 时，求 的斜率的取值范围．
变式3．（2023·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考阶段练习）已知圆 ，圆心
在抛物线 上，圆 过原点 且与 的准线相切．(1)求抛物线 的方程；
(2)点 ，点 （与 不重合）在直线 上运动，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为
．求证： ．
变式4．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知 是抛物线 上一点，过 作
圆 的两条切线（切点为 ），交抛物线 分别点 且当 时，
.
(1)求抛物线 的方程;
(2)判断直线 的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.
变式5．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点，M为 上的
一点.
(1)若点M的坐标为 ，求 的面积；
(2)若点M的坐标为 ，且直线 与 交于不同的两点A、B，求证： 为定值，并
求出该定值；
(3)如图，设点M的坐标为 ，过坐标原点O作圆 （其中r为定值， 且
）的两条切线，分别交 于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为 ， .如果 为定值，求
的取值范围，以及 取得最大值时圆M的方程.题型三：交点弦过定点问题
例7．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两
个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形（记为Q）．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P在直线 上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆O的两条切线，切点为M，N，求证：
直线 恒过定点．
例8．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，P(4,4)是
C上的一点.
(1)若直线PF交C于另外一点A，求 ；
(2)若圆 ： ，过P作圆E的两条切线，分别交C于M，N两点，证明：直线MN
过定点.
例9．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆 恒过定点 ，圆心 到直线
的距离为 ．
(1)求 点的轨迹 的方程；
(2)过直线 上的动点 作 的两条切线 ，切点分别为 ，证明：直线 恒过定点．
变式6．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）已知抛物线 ，过抛物线的焦
点F且斜率为 的直线l与抛物线相交于不同的两点A，B， ．(1)求抛物线C的方程；
(2)点M在抛物线的准线上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，在平面内是否存在定
点N，使得直线MN与直线PQ垂直？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
变式7．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆 的焦距为2，圆 与椭圆
恰有两个公共点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知结论：若点 为椭圆 上一点，则椭圆在该点处的切线方程为 ．若椭圆
的短轴长小于4，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，求证：直线 过定点．
变式8．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）如图所示，已知 在椭圆
上，圆 ，圆 在椭圆 内部.
(1)求 的取值范围；
(2)过 作圆 的两条切线分别交椭圆 于 点（ 不同于 ），直线 是否过定点？若 过定
点，求该定点坐标；若 不过定点，请说明理由.
变式9．（2023·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点O为平面直角坐标系的坐标原点，点F是抛物线C： 的焦点．
(1)过点F且倾斜角为 的直线l与抛物线C交于A，B两点，求 的面积；
(2)若点T为直线 上的动点，过点T作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过
定点．
变式10．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知 的焦点为 ，且经过 的
直线被圆 截得的线段长度的最小值为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设坐标原点为 ，若过点 作直线 与抛物线相交于不同的两点 ， ，过点 ， 作抛物线的切线
分别与直线 ， 相交于点 ， ，请问直线 是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，
请说明理由．
变式11．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如下图所示，已知椭圆 的上顶
点为 ，离心率为 ，且椭圆 经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 作圆 （圆 在椭圆 内）的两条切线分别与椭圆 相交于 两点（
异于点 ），当 变化时，试问直线 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.题型四：交点弦定值问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线
的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设点 ， 为直线 上一动点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 ， 为切点，求直线
的方程，并证明直线 过定点 ；
(3)过（2）中的点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，过点 ， 分别作抛物线 的切线 ， ，求 ，
交点 满足的轨迹方程．
例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，设抛物线方程为 (p＞0)，M为直线 上任意一
点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（1）求直线AB与 轴的交点坐标；
（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点 ，
，记 ，问 是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.例12．（2023·全国·高三专题练习）已知拋物线 ， 为焦点，若圆 与
拋物线 交于 两点，且
(1)求抛物线 的方程；
(2)若点 为圆 上任意一点，且过点 可以作拋物线 的两条切线 ，切点分别为 .求证：
恒为定值.
变式12．（2023·山东青岛·统考二模）已知 为坐标原点，双曲线 的左，右焦点
分别为 ， ，离心率等于 ，点 是双曲线 在第一象限上的点，直线 与 轴的交点为 ，
的周长等于 ， .
(1)求 的方程；
(2)过圆 上一点 （ 不在坐标轴上）作 的两条切线，对应的切点为 ， .证明：直线
与椭圆 相切于点 ，且 .
题型五：交点弦最值问题
例13．（2023·江西抚州·临川一中校考模拟预测）椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为
.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 是椭圆 上的动点，过原点 作圆 ： 的两条斜率存在的切线分别
与椭圆 交丁点 ， ，求 的最大值.例14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的方程为 ， 为其焦点，过不在抛物线上的一点
作此抛物线的切线 ， 为切点.且 .
（Ⅰ）求证：直线 过定点；
（Ⅱ）直线 与曲线 的一个交点为 ，求 的最小值.
例15．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴的正半轴上，圆
经过抛物线 的焦点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与抛物线 相交于 两点，过 两点分别作抛物线 的切线，两条切线相交
于点 ，求 面积的最小值.
变式13．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知椭圆 ，
是椭圆外一点，过 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，直线 与直线 交于点 ， 是直线
与椭圆 的两个交点.
(1)求直线 与直线 的斜率之积；
(2)求 面积的最大值.
变式14．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为3．
(1)求p；
(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求三角形PAB面积的最值．
题型六：交点弦范围问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，设抛物线 的焦点为F，点P是半椭圆
上的一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，且直线PA、PB分别交y轴
于点M、N．
（1）证明： ；
（2）求 的取值范围．
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左焦点 ，点 在
椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）经过圆 ： 上一动点 作椭圆 的两条切线，切点分别记为 ，直线 分别与圆
相交于异于点 的 两点.
（i）当直线 的斜率都存在时，记直线 的斜率分别为 .求证： ；
（ii）求 的取值范围.例18．（2023·山东·校联考模拟预测）已知圆 为坐标原点，点 在圆 上运动， 为过点
的圆的切线，以 为准线的拋物线恒过点 ，抛物线的焦点为 ，记焦点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)过动点 的两条直线 均与曲线 相切，切点分别为 ，且 的斜率之积为 ，求四边形
面积的取值范围．
变式15．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的顶
点为顶点的四边形面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆 上运动且半径为 的圆是椭圆 的“环绕圆”.过原点 作椭圆 的“环绕
圆”的两条切线，分别交椭圆 于 两点，若直线 的斜率存在，并记为 ，求 的取值范围.
