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微专题17 圆锥曲线压轴小题
【秒杀总结】
1、求的离心率(或离心率的取值范围)，常见有以下方法：
①求出a，c，代入公式 ；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐
次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等
式)即可得e(e的取值范围)．
③几何法：寻找几何关系，将问题转化
④坐标法：一般套路将坐标代入曲线求解
2、解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
【典型例题】
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测） ， ， ， ， ，
一束光线从点 出发射到 上的点 ，经 反射后，再经 反射，落到线段 上
（不含端点），则 的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知抛物线 ，斜率为 的直线 与
的交点为E，F，与 轴的交点为 .若 ， ，则 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
例3．（2023春·全国·高三竞赛）设圆 的圆心为 ，点 ，
， 为直线 上一点．若圆上存在两点A，B，使得点 满足 ，
则 面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）已知双曲线 的左，
右焦点分别是 ， ，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线 上，且满足 .若 ，则双曲线C的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，
点 在椭圆 上，若离心率 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知 为抛物线： 的焦点，过直线
上任一点 向抛物线引切线，切点分别为A， ，若点 在直线 上的射
影为 ，则 的取值范围为______．
例7．（2023·全国·高三专题练习）双曲线 的左右焦点分别为 ， ，以实
轴为直径作圆 ，过圆 上一点 作圆 的切线交双曲线的渐近线于 ， 两点（ 在第
一象限），若 ， 与一条渐近线垂直，则双曲线离心率为______.
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分
别为 、 ，点 在双曲线 上，点 在直线 上，且满足
.若存在实数 使得 ，则双曲
线 的离心率为_____________
例9．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）已知椭圆C：
，经过原点O的直线交C于A，B两点．P是C上一点（异于点A，B），直线BP交x轴
于点D．若直线AB，AP的斜率之积为 ，且 ，则椭圆C的离心率为______．
例10．（2023秋·吉林长春·高三校考阶段练习）已知双曲线 的左、
右焦点分别为 ，若在右支上存在一点 ，使得点 到直线 的距离为 ，则双曲线
的离心率 的取值范围是_____．
例11．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）过抛物线 的焦点的直线与 交于
两点.设 为线段 的中点， ，点 ，若直线 轴，且 ，则
__________.
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 与双曲线 的离心率互为倒数，且它们有
共同的焦点 、 ，P是 与 在第一象限的交点，当 时，双曲线 的离心
率等于______.
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别
是 ， ，斜率为 的直线 经过左焦点 且交C于A，B两点（点A在第一象限），设
的内切圆半径为 ， 的内切圆半径为 ，若 ，则椭圆的离心率
___________．
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左焦点为 ，过 斜率为
的直线 与椭圆 相交于 、 两点，若 ，则椭圆 的离心率 ______．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知 为坐标原点， 是抛物线 上的动
点，且 ，过点 作 ，垂足为 ，下列各点中到点 的距离为定值的是
（ ）
A． B． C． D．2．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知交于点 的直线 ， 相互垂直，且均与椭圆
相切，若 为 的上顶点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江西·校联考一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为
，点 在双曲线上，且 ， 的延长线交双曲线于点 ，若双曲线的离心
率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南永州·统考二模）如图， 为双曲线的左右焦点，过 的直线交双曲线
于 两点，且 ， 为线段 的中点，若对于线段 上的任意点 ，都有
成立，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 是椭圆C： 的左，右焦点，过 且
倾斜角为 的直线交椭圆C于点P，Q（P在第一象限）， 与 的平分线分别
交直线 于点M，N，则M，N纵坐标比 （ ）
A． B． C． D．－1
6．（2023·全国·高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与 所成角为锐角时，圆柱
面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将
两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于 的上方和下方，并且与圆柱面和 均相切.给出下列三个结论：
①两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点；
②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；
③当圆柱的轴与 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．②③ C．①② D．①③
7．（2023·全国·高三专题练习）已知点 满足 ，且点Q恒在在以 、 为左、
右焦点的椭圆 内，延长 与椭圆交于点 ，若 ，
则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知 是抛物线 的焦点，
点 在抛物线 上，过点 的两条互相垂直的直线 ， 分别与抛物线 交于 ，
和 ， ，过点 分别作 ， 的垂线，垂足分别为 ， ，则（ ）
A．四边形 面积的最大值为2
B．四边形 周长的最大值为
C． 为定值
D．四边形 面积的最小值为32
9．（2023春·浙江·高三开学考试）已知F为双曲线 的右焦点，P在双曲线C的右支上，点 ．设 ， ， ，下列判断正确的是
（ ）
A． 最大值为 B．
C． D．存在点P满足
10．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知 ， ， 为圆
上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．以 为直径的圆与圆 相交所得的公共弦所在直线方程为
B．若点 ，则 的面积为
C．过点 且与圆 相切的圆的圆心轨迹为圆
D． 的最小值为
11．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知双曲线 的左､右焦点分别是
，点 在双曲线的右支上，则（ ）
A．若直线 的斜率为 ，则
B．使得 为等腰三角形的点 有且仅有四个
C．点 到两条渐近线的距离乘积为
D．已知点 ，则 的最小值为5
12．（2023秋·江西新余·高三统考期末）如图，过双曲线 ： 右支上一点
作双曲线的切线 分别交两渐近线于 ， 两点，交 轴于点 ， 、 分别为双曲线
的左、右焦点， 为坐标原点，则下列结论错误的是（ ）A．
B．
C．
D．若存在点 ，使 ，且 ，则双曲线 的离心率为
13．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知过抛物线 焦点 的直线 交
于 两点，交 的准线于点 ，其中 点在线段 上， 为坐标原点，设直线 的斜
率为 ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．存在 使得 D．存在 使得
三、填空题
14．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知抛物线 的焦点为F，若 在
抛物线C上，且满足 ，则 的最小值为
______.
15．（2023·四川凉山·统考一模）如图，已知椭圆 ，
．若由椭圆 长轴一端点 和短轴一端点 分别向椭圆
引切线 和 ，若两切线斜率之积等于 ，则椭圆 的离心率 __________．
16．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）平面二次曲线方程的一般形式为
．已知曲线 表示中心在坐标原
点的椭圆，若中心为坐标原点的矩形的四个顶点均在椭圆 上，则该矩形面积的最大值为
______.
17．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知F为抛物线 的焦点，
由直线 上的动点P作抛物线的切线，切点分别是A，B，则 与 （ 为坐
标原点）的面积之和的最小值是_________.18．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，圆
与 交于 两点，其中点 在第一象限，点 在直线 上运动，记
.
①当 时，有 ；
②当 时，有 ；
③ 可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有__________.
19．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设椭圆 的离心率
，C的左右焦点分别为 ，点A在椭圆C上满足 ． 的角平分线
交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知 ，则 _______．
20．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）设双曲线 的右顶点为 ，
过点 且斜率为2的直线与 的两条渐近线分别交于点 ， .若线段 的中点为 ，
，则 的离心率 ______.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 上一点A关于原点的对称
点为B，F为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆离心率e的最
大值为___________.
22．（2023·全国·高三专题练习）若对于圆 上任意的点 ，直线
上总存在不同两点 ， ，使得 ，则 的最小值为______.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 上的点， 是双曲线
上的任意一点，过 作双曲线 的两条渐近线的平行线分别与渐近线交于 ，
过 作双曲线 的两条渐近线的平行线分别与渐近线交于 ，若 ，
（ 为坐标原点），则双曲线 的离心率最小值为___________.
