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专题26 圆锥曲线中的弦长问题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知抛物线 的焦点为 ，若直线 与 交于 ， 两点，且 ，则
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．过抛物线 的焦点F作倾斜角为 的弦AB，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．直线 被椭圆 截得最长的弦为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，点 为 上一点，且 不在坐标轴上，直线 与直
线 交于点 ，直线 与直线 将于点 ．设直线 的斜率为 ，则满足 的 的所有
值的和为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆 的左､右顶点分别为 ，点 为 上一点，且 不在坐标轴上，直线 与直线
交于点 ，直线 与直线 将于点 .设直线 的斜率为 ，则满足 的 的所有值的
和为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆 ，若直线m过 且与圆交于 两点，则弦长 的最小值是
（ ）A． B．4 C． D．
7．已知抛物线 ： ( )的焦点为 ，准线为 ，过 的直线交抛物线于 ， 两点，作
， ，垂足分别为 ， ，若 ， ，则 （ ）
A． B．4 C．5 D．
8．过椭圆 上的焦点 作两条相互垂直的直线 ， 交椭圆于 两点， 交椭圆于
两点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知椭圆 ： 内一点 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且点 是线段 的中点，
则（ ）
A．椭圆 的焦点坐标为 ，
B．椭圆 的长轴长为4
C．直线 的方程为
D．
10．已知 为坐标原点， ， ， 是抛物线 上两点， 为其焦点，则下列说法正确的有
（ ）
A． 周长的最小值为
B．若 ，则 最小值为C．若直线 过点 ，则直线 ， 的斜率之积恒为
D．若 外接圆与抛物线 的准线相切，则该圆面积为
11．已知抛物线 的焦点为 ，其准线 与 轴交于点 ，过 的直线与 在第一
象限内自下而上依次交于 两点，过 作 于 ，则（ ）
A． 的方程为
B．当 三点共线时，
C．
D．当 时，
12．已知抛物线 的焦点为 ，定点 和动点 ， 都在抛物线 上，且
（其中 为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为
B．设点 是线段 的中点，则点 的轨迹方程为
C．若 （点 在第一象限），则直线 的倾斜角为
D．若弦 的中点 的横坐标2，则 弦长的最大值为7
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知直线 与椭圆 交于 、 两点，则线段 的长为 ．
14．已知抛物线C： （ ）的焦点F与 的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交
于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长 ．
15．如果 分别是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线左支上过点 的弦，且 ，则的周长是
16．已知斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点且与此抛物线交于 ， 两点， ．
直线 与抛物线 交于 两点，且 两点在 轴的两侧．若 ，则
．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 的标准方程为 .
(1)求椭圆 被直线 截得的弦长；
(2)若直线 与椭圆交于 ， 两点，当 （O为坐标原点）时，求 的值.
18．已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线 ： 的焦点，过点F的直线交抛物线于
A，B两点，且 的重心为G在曲线 上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)记曲线 与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形
DEMG的面积最小值.19．已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点， ，求 ．
20．已知点 在圆 上运动，过点 作 轴的垂线段 为垂足， 为线段 的中点（当
点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合）．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)经过点 作直线 ，与圆 相交于 两点，与点 的轨迹相交于 两点，若 ，
求直线 的方程．
21．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，E的离心率为 ，斜率为k的直线l
过E的左焦点，且直线l与椭圆E相交于A，B两点.
(1)若 ， ，求椭圆E的标准方程；
(2)若 ， ， ，求k的值.22．已知椭圆 : 过点 ，且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 且互相垂直的直线 , 分别交椭圆 于 , 两点及 两点.求 的取值范围.
