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秘籍 10 圆锥曲线大题归类
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 定点、定值类和设点设线类问题
圆锥曲线大题和小题考察的类型不一致，但是肯定都是以基础知识为前提的情况下进行考察，所以一
般第一问考察的大多还是求圆锥曲线的函数解析式，而第二问往往考察的是直线与圆锥曲线的位置关系，
这里对于解析几何的代数问题要求就比较高，题型也相应较多，需要多加练习。
【题型一】 求根型
求根型有以下几种：
1.知道一根求另一根
2.求根公式型
3.韦达定理型
1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ， 分别为 上两个
不同的动点， 为坐标原点，当 为等边三角形时， .
(1)求 的标准方程；
(2)抛物线 在第一象限的部分是否存在点 ，使得点 满足 ，且点 到直线 的距离为
2？若存在，求出点 的坐标及直线 的方程；若不存在，请说明理由.
2．（2023·陕西西安·统考一模）数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影
响深远.在双曲线 中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是
双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线
的实轴长为 ，其蒙日圆方程为 .(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设点 关于坐标原点的对称点为 ，不过点 且斜率为 的直线与双曲线 相交于 两点，直线
与 交于点 ，求直线 的斜率值.
3．（2023·广西·校联考模拟预测）已知抛物线 上一点 的横坐标为4，且 到焦点 的
距离为5，
(1)求抛物线 的方程；
(2)点 是抛物线 上异于原点 的不同的两点，且满足 ，求 的最小值．
1．（2023·贵州黔西·校考一模）已知双曲线 的离心率为 ，点 在双
曲线 上．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 ， 为 上一点， 为圆 上一点（ ， 均不在 轴上）．直线 ， 的斜
率分别记为 ， ，且 ，判断：直线 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定
点，请说明理由．
2．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，点 ， 在椭圆 上运动，
且 的最小值为 ；当点 不在 轴上时点 与椭圆 的左、右顶点连线的斜率之积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知直线 与椭圆 在第一象限交于点 ，若 的内角平分线的斜率不存在.探究：直线
的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.3．（2023·甘肃武威·统考三模）已知椭圆 的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M
是椭圆上异于A，B的动点，且 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为直线 上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．
①证明：直线CD过椭圆右焦点 ；
②椭圆的左焦点为 ，求 的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【题型二】 最值型
解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
1、几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图
形、几何性质来解决；
2、函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值
（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）
导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
3、此类问题通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，
此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解．
比较多的是分式型，以下几种求最值的基本方法：
（1）
（2） 与 型，可以设mx+n=t，换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数求
解。
（3） 型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解
1.已知椭圆C: 的离心率为 ,且过
(1)求C的方程.(2)若 为 上不与 重合的两点, 为原点,且 , ,
①求直线 的斜率;
②与 平行的直线 与 交于 , 两点,求 面积的最大值.
2．（2021·山西大同·校考模拟预测）已知P是椭圆 上的动点，P到坐标原点的距离
的最值之比为 ，P到焦点的距离的最值之差的绝对值为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若D为椭圆C的弦AB的中点， ，证明： 的面积为定值.
3．（2023·上海黄浦·统考二模）已知双曲线 的中心在坐标原点，左焦点 与右焦点 都在 轴上，离心
率为 ，过点 的动直线 与双曲线 交于点 、 ．设 ．
(1)求双曲线 的渐近线方程；
(2)若点 、 都在双曲线 的右支上，求 的最大值以及 取最大值时 的正切值；（关于求 的最
值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设 为 ，建立相应数量关
系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
(3)若点 在双曲线 的左支上（点 不是该双曲线的顶点，且 ，求证： 是等腰三角形．且边的长等于双曲线 的实轴长的2倍．
1．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，且F与圆M：
上点的距离的最小值为3．
(1)求p；
(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求三角形PAB面积的最值．
2．（2023春·吉林·高二东北师大附中校考阶段练习）已知焦点在 轴上的椭圆 ，
离心率为 ，且过点 ，不过椭圆顶点的动直线 与椭圆 交于 、 两点，求：
（1）椭圆 的标准方程；
（2）求三角形 面积的最大值，并求取得最值时直线 、 的斜率之积.
3．（2012·全国·统考一模）已知双曲线C ： (a>0)，抛物线C 的顶点在原点O，C 的焦点是
1 2 2
C 的左焦点F．
1 1
（1）求证：C ，C 总有两个不同的交点；
1 2
（2）问：是否存在过C 的焦点F 的弦AB，使 AOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的
2 1
方程与S AOB的最值，若不存在，说明理由．
【题型三】 多斜率计算型
1．（2023·安徽·校联考二模）已知椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，短轴长为，点 上的点 满足直线 、 的斜率之积为 ．
(1)求 的方程；
(2)若过点 且不与 轴垂直的直线 与 交于 、 两点，记直线 、 交于点 ．探究：点 是
否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知椭圆C： ，直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)点 为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为 ，
试探究直线l是否过定点，并说明理由；
(2)若 ．过点O作 ，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．
3．（2023·福建福州·统考模拟预测）已知双曲线 ： 的右顶点为A，О为原点，点
在 的渐近线上， 的面积为 .
(1)求 的方程；
(2)过点Р作直线 交 于M，N两点，过点N作x轴的垂线交直线AM于点G，H为NG的中点，证明：直
线AH的斜率为定值.
1．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点A在C上，
当 轴时， ；当 时， .
(1)求C的方程；
(2)已知斜率为-1的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线 交于点Q，且点M，N在直线 的两侧，
点 ．若 ，是否存在到直线l的距离 的P点？若存在，求t的值；
若不存在，请说明理由.2．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知离心率为 的椭圆 的左焦点为 ，左、
右顶点分别为 、 ，上顶点为 ，且 的外接圆半径大小为 ．
(1)求椭圆 方程；
(2)设斜率存在的直线 交椭圆 于 两点（ 位于 轴的两侧），记直线 、 、 、 的斜
率分别为 、 、 、 ，若 ，求 面积的取值范围．
3．（2023·广东湛江·统考二模）设椭圆方程为 ， ， 分别是椭圆的左、
右顶点，直线 过点 ，当直线 经过点 时，直线 与椭圆相切．
(1)求椭圆的方程．
(2)若直线 与椭圆交于 ， （异于 ， ）两点．
（i）求直线 与 的斜率之积；
（ii）若直线 与 的斜率之和为 ，求直线 的方程．
【题型四】 韦达定理复杂转化型
复杂型的韦达定理转化，比较多的是与角度，面积等有关，可以借助公式转化为两两交点坐标韦达定理形
式，需要多积累多观察多总结。
1.已知 分别为椭圆 的左、右焦点，B为椭圆C短轴的端点，若 的
面积为 ，且 .（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线 与椭圆C交于 ，M为线段 的中点，且M在曲线上，设O为坐标原点.求 的范围.
2.已知椭圆 ： ，圆 ： 的圆心 在椭圆 上，点
到椭圆 的右焦点的距离为2． （1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，若 ，求直线 的方程．
3．（2023·北京东城·统考二模）已知焦点为 的抛物线 经过点 ．
(1)设 为坐标原点，求抛物线 的准线方程及 的面积；
△
(2)设斜率为 的直线 与抛物线 交于不同的两点 ，若以 为直径的圆与抛物线 的准线相切，
求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
1．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知椭圆 的离心率为 ，且过点
.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与 轴交于点 ，过 作直线 交 于 两点， 交 于 两点.已知直线 交
于点 ，直线 交 于点 .试探究 是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.
2．（2023·上海松江·统考二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ;双曲线的左、右焦点分别为 ，离心率为 ， ．过点 作不垂直于y轴的直线l交
曲线 于点A、B，点M为线段AB的中点，直线OM交曲线 于P、Q两点．
(1)求 、 的方程；
(2)若 ，求直线PQ的方程；
(3)求四边形APBQ面积的最小值.
3．（2023·河北张家口·统考二模）已知双曲线 的一条渐近线为 ，右焦点为
.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若过点 作直线 交双曲线 的右支于 两点，点 满足 ，求证：存在两个定点 ，使
得 为定值，并求出这个定值.
【题型五】 线段（向量）定比型
对于形如
的线段或者向量定比分点型：
1.利用公式 ，可消去参数
2.可以直接借助韦达定理反解消去两根1．（2023·山东泰安·统考二模）已知点 和点 之间的距离为2，抛物线
经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线
， 上，且 ， （O为坐标原点）.
(1)求直线l的倾斜角的取值范围；
(2)求 的值.
2．（2023·广东·统考二模）已知A，B是抛物线E： 上不同的两点，点P在x轴下方，PA与抛物线E
交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足 ，其中λ是常数，且 ．
(1)设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；
(2)若点P为半圆 上的动点，且 ，求四边形ABDC面积的最大值．
3．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，点 ，且
．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点Q作直线l交C于A，B两点，O为原点，过点A作x轴的垂线，分别与直线 ， 交于点D，
E，从下面①②两个问题中选择一个作答．
①问： 是否为定值，并说明理由；
②问：在直线 上是否存在点M，使四边形 为平行四边形，并说明理由．1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知 ， 是双曲线 的左､右顶点， 为双曲线上与 ，
不重合的点.
(1)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 是定值；
(2)设直线 与直线 交于点 ， 与 轴交于点 ，点 满足 ，直线 与双曲线 交于点
（与 ， ， 不重合）.判断直线 是否过定点，若直线 过定点，求出该定点坐标；若直线
不过定点，请说明理由.
2．（2023·福建莆田·统考二模）如图，正六边形 的边长为2．已知双曲线 的焦点为A，D，两
条渐近线分别为直线 ．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求 的方程；
(2)过A的直线l与 交于M，N两点， ，若点P满足 ，证明：P在一条定直
线上．
3．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知直线 ： 和直线 ： ，过动点E作平行 的直线交 于
点A，过动点E作平行 的直线交 于点B，且四边形OAEB（O为原点）的面积为4.
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)当动点E的轨迹的焦点在x轴时，记轨迹为曲线 ，若过点 的直线m与曲线 交于P，Q两点，
且与y轴交于点N，若 ， ，求证： 为定值.
【题型六】 求轨迹方程型
求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标 ，根据题意列出关于 的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把 分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将 代入 .
1．（2023·江苏常州·校考二模）已知过点 的直线 与双曲线 ： 的左右两支分别交于 、
两点.
(1)求直线 的斜率 的取值范围；
(2)设点 ，过点 且与直线 垂直的直线 ，与双曲线 交于 、 两点.当直线 变化时，
恒为一定值，求点 的轨迹方程.
2．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆 ， ， 为C的左右焦点.
点 为椭圆上一点，且 .过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点A，B，直线PA、
PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点M满足 ，求M的轨迹方程.
3．（2023·四川宜宾·统考三模）已知点 在 轴右侧，点 、点 的坐标分别为 、 ，直线 、
的斜率之积是 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)若抛物线 与点 的轨迹 交于 、 两点，判断直线 是否过定点？若过定点，求出
定点坐标；若不过定点，请说明理由．1．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）平面内动点 与定点 的距离和它到定直线 的
距离之比是 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 分别交轨迹 于点 和 ，求四边形 面积 的最小值.
2．（2023·广东·统考模拟预测）已知圆O的方程为 ，P为圆上动点，点F坐标为 ，连
OP，FP．过点P作直线FP的垂线l，线段FP的中垂线交OP于点M，直线FM交l于点A．
(1)求点A的轨迹方程；
(2)记点A的轨迹为曲线C，过点 作斜率不为0的直线n交曲线C于不同两点S，R，直线 与直
线n交于点H，记 ． ，问： 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知点 是圆 ： 上的任意一点，点 ，线
段 的垂直平分线交 于点 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)设 ， ，过点 的直线 与轨迹 交于 ， 两点（不与 轴重合），直线 与直
线 交于点 .求证： .
【题型七】 定点、定值
求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再
表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标.
1．（2023·河北邯郸·统考二模）已知双曲线 （ ， ）过 ， ，
， 四个点中的三个点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 ， 两点，且 ，求证：直线 经过一个不在双曲线 上的定点，并求
出该定点的坐标.
2．（2023·浙江·统考二模）已知双曲线 ，点 是双曲线 的左顶点，点 坐标为 .
(1)过点 作 的两条渐近线的平行线分别交双曲线 于 ， 两点.求直线 的方程；
(2)过点 作直线 与椭圆 交于点 ， ，直线 ， 与双曲线 的另一个交点分别是点 ，
.试问：直线 是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
3．（2023·福建·统考模拟预测）已知圆 ，直线 过点 且与圆 交于点B，C，BC
中点为D，过 中点E且平行于 的直线交 于点P，记P的轨迹为Γ
(1)求Γ的方程；
(2)坐标原点O关于 ， 的对称点分别为 ， ，点 ， 关于直线 的对称点分别为 ， ，过
的直线 与Γ交于点M，N，直线 ， 相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予
证明.
① 的面积是定值；② 的面积是定值：③ 的面积是定值.1．（2023·上海徐汇·统考二模）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，直线 ：
与椭圆C交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E.
(1)当 时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求 的周长；
(2)当 且直线 过点 时，设 ， ，求证： 为定值，并求出该值；
(3)若椭圆 的离心率为 ，当 为何值时， 恒为定值；并求此时 面积的最大值.
2．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，
且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知直线 与椭圆 交于 两点，证明：在 轴上存在定点 ，使得直线 ， 关于
轴对称.
3．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）已知椭圆 的离心率是 ，
是椭圆C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 的直线l与椭圆C交于A，B（异于点P）两点，直线PA，PB的斜率分别是 ， ，试问
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
高考模拟练习1．（2023·上海奉贤·统考二模）已知椭圆 : ， ， ．椭圆 内部的一点
，过点 作直线 交椭圆于 ，作直线 交椭圆于 ． 、 是不同的两点．
(1)若椭圆 的离心率是 ，求 的值；
(2)设 的面积是 ， 的面积是 ，若 ， 时，求 的值；
(3)若点 ， 满足 且 ，则称点 在点 的左上方．求证：当 时，点 在点
的左上方．
2．（2023·上海闵行·统考二模）已知O为坐标原点，曲线 ： 和曲线 ： 有
公共点，直线 ： 与曲线 的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．
(1)若曲线 和 有且仅有两个公共点，求曲线 的离心率和渐近线方程；
(2)若直线OM经过曲线 上的点 ，且 为正整数，求a的值；
(3)若直线 ： 与曲线 相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证： ．
3．（2023·广东深圳·统考二模）已知双曲线： ，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C
的左、右顶点，直线 与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.
(1)若点 ， ，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求 的面积；(2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.① ；②
；③ .注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
4．（2023·上海崇明·统考二模）已知椭圆Γ： ，点 分别是椭圆Γ与 轴的交
点（点 在点 的上方），过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点．
(1)若椭圆 焦点在 轴上，且其离心率是 ，求实数 的值；
(2)若 ，求 的面积；
(3)设直线 与直线 交于点 ，证明： 三点共线．
5．（2023·江苏南京·统考二模）已知拋物线 和圆 ．
(1)若抛物线 的准线与 轴相交于点 ， 是过 焦点 的弦，求 的最小值；
(2)已知 ， ， 是拋物线 上互异的三个点，且 点异于原点．若直线 ， 被圆 截得的弦长都为
2，且 ，求点 的坐标．
6．（2023·湖北·模拟预测）如图，在矩形 中， ， ， ， ， ， 分别是矩形四条
边的中点， ， 分别是线段 ， 上的动点，且满足 ．设直线 与 相交于点 ．
(1)证明：点 始终在某一椭圆上，并求出该椭圆的标准方程；(2)设 ， 为该椭圆上两点， 关于直线 的对称点为 ，设 ，且直线 ， 的倾斜角
互补，证明： 为定值．
7．（2023·辽宁大连·统考一模）已知双曲线 上的所有点构成集合 和
集合 ，坐标平面内任意点 ，直线 称为点
关于双曲线 的“相关直线”．
(1)若 ，判断直线 与双曲线 的位置关系，并说明理由；
(2)若直线 与双曲线 的一支有2个交点，求证： ；
(3)若点 ，点 在直线 上，直线 交双曲线 于 ， ，求证： ．
8．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知 ， ，动点 关于 轴的对称点为 ，直线
与 的斜率之积为 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)设点 是直线 上的动点，直线 ， 分别与曲线 交于不同于 ， 的点 ， ，过点 作
的垂线，垂足为 ，求 最大时点 的纵坐标.
9．（2023·四川绵阳·统考三模）过点 的直线 与拋物线 交于点 ， （ 在第
一象限），且当直线 的倾斜角为 时， .
(1)求抛物线的方程；
(2)若 ，延长 交抛物线 于点 ，延长 交 轴于点 ，求 的值.10．（2023·河北张家口·统考一模）如图，抛物线 与圆 交于A，B，
C，D四点，直线AC与直线BD交于点E．
(1)请证明E为定点， 并求点E的坐标；
(2)当 的面积最大时，求抛物线M的方程．
