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第二十六讲：椭圆、双曲线、抛物线
【考点梳理】
1、求曲线的轨迹方程
直接法、定义法、相关点法
2、椭圆方程
椭圆相关计算
2 2 2
a,b,c a =b +c
（1）椭圆标准方程中的三个量 的几何意义
（2）通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长 焦点弦：椭圆过焦点的弦。
最短的焦点弦为通经 ，最长为 。
（3）最大角: 是椭圆上一点，当
是椭圆的短轴端点时，∠F PF
为最大角。
1 2
（4）椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。
θ
焦点三角形的面积
S =b2tan
，其中 （注意公式的推导）
ΔPF F 2 θ=∠F PF
1 2 1 2
3、双曲线
（1）双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为 ．
（2）点与双曲线的位置关系
对于双曲线 ，点 在双曲线内部，等价于 ．
点 在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
（3）双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数 ；顶点到两条渐近线的距离为常数 ;
性质2：双曲线上的任意点 到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 ；
（4）双曲线焦点三角形面积为 （可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
（5）双曲线的切线在双曲线 上，过点 作双曲线的切线方程为 ．若点
点
在双曲线 外，则点 对应切点弦方程为
4、抛物线
（1）、焦半径
抛物线上的点 与焦点 的距离称为焦半径，若 ，则焦半径 ，
．
（2）、焦点弦
若 为抛物线 的焦点弦， ， ，则有以下结论：
（1） ．（2） ．
（3）焦点弦长公式1： ， ，当 时，焦点弦取最小值 ，即
所有焦点弦中通径最短，其长度为 ．
焦点弦长公式2： （ 为直线 与对称轴的夹角）．
（4） 的面积公式： （ 为直线 与对称轴的夹角）．
（3）、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线 ，由 ， ，可得 ，故抛物线的通径长为 ．
4）、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
（
（5）、焦点弦的常考性质
已知 、 是过抛物线 焦点 的弦， 是 的中点， 是抛物线的准线，
， 为垂足．y
C A
N M
O F x
D B
（1）以 为直径的圆必与准线 相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2） ，
（3） ；
（4）设 ， 为垂足，则 、 、 三点在一条直线上
【典型题型讲解】
考点一：椭圆
【典例例题】
例1．（2022·广东清远·高三期末）若椭圆 的焦距为6，则实数 （ ）
A．13 B．40 C．5 D．
例2．（2022·广东珠海·高三期末）已知椭圆 的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的
距离为 ，F为右焦点．
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（不同于A，B两点），且直线 时，求F在l上的射影
H的轨迹方程．【方法技巧与总结】
标准方程
图形
焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于 轴、 轴和原点对称
性质
顶点 ， ，
轴 长轴长 ，短轴长
离心率
（注：离心率越小越圆，越大越扁）
【变式训练】
1．（2022·广东佛山·高三期末）（多选）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，上顶
点为B，且 ，点P在C上，线段 与 交于Q， ，则（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C上存在点K，使得C．直线 的斜率为 D． 平分
2．（2022·广东·金山中学高三期末）已知椭圆 ： 与圆 ： ，若在椭
圆 上不存在点P，使得由点P所作的圆 的两条切线互相垂直，则椭圆 的离心率的取值范围是
________.
3.（2022·广东汕尾·高三期末）已知 分别是椭圆C： 的左、右两个焦点，若椭圆C上存在四
个不同的点P，使得 ，的面积为 ，则正实数m的取值范围为______．
4．（2022·广东肇庆·二模）已知点 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点A是椭圆
上一点，点О为坐标原点，若 ，直线 的斜率为 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为 ， ，直线AB过 与该椭圆交于A，B两点，
当 为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广东中山·高三期末）已知椭圆 的右焦点为 ,离心率为 ,直线
被椭圆截得的弦长为求椭圆 的标准方程
若 是椭圆 上一点, 是坐标原点,过点 与直线 平行的直线与椭圆 的两个交点为 ,且
,求 的最大值
7．（2022·广东·金山中学高三期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 的左，右顶
点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点， ， ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、 、 ．若 ，
证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
8．（2022·广东潮州·高三期末）已知椭圆 的离心率为 ，以原点O为圆心，椭圆
C的长半轴长为半径的圆与直线 相切．
(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得
为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
9．（2022·广东东莞·高三期末）已知点 为椭圆 的左顶点，点 为右焦点，直
线 与 轴的交点为 ，且 ，点 为椭圆上异于点 的任意一点，直线 交 于点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)证明： .
10．（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系 中，点 在椭圆 上，过点 的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为 ， ，当
时， ．
(1)求C的方程；
(2)证明： 为定值．
11．（2021·广东汕头·高三期末）已知椭圆 的离心率为 ，又点 在椭圆
上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，试探究： 是
否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.12．（2022·广东潮州·二模）设椭圆 为左右焦点, 为短轴端点,长轴长为4,焦距为
,且 , 的面积为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程
(Ⅱ)设动直线 椭圆 有且仅有一个公共点 ,且与直线 相交于点 .试探究:在坐标平面内是
否存在定点 ,使得以 为直径的圆恒过点 ?若存在求出点 的坐标,若不存在.请说明理由.
考点二：双曲线
【典例例题】
例1．（2022·广东珠海·高三期末）双曲线 的右支上一点M关于原点O的对称点为点N，F为
双曲线的右焦点，若 ， ，则双曲线C的离心率e为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为 ，且过点 .
(1)求C的方程；
(2)设 ，直线 不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线 与C交于另一点D，求证：
直线 过定点.【方法技巧与总结】
1.双曲线的定义：焦点三角形
2.双曲线的性质：离心率、双曲线的渐近线
【变式训练】
1．（2022·广东潮州·高三期末） 、 分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与 的左、
右两支曲线分别交于 、 两点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东汕尾·高三期末）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的
离心率为（ ）
A． B． C． D．2
3．（2022·广东清远·高三期末）（多选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点
P是双曲线C上位于第一象限的点，过点 作 的角平分线的垂线，垂足为A，若O为坐标原点，
，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的离心率为4.（2022·广东东莞·高三期末）已知 为双曲线 ： 的一个焦点，则点 到双曲线 的一条渐近
线的距离为_______.
5.（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系 中， 为双曲线 的一个焦点，
以 为圆心的圆与 的两条渐近线交于 、 、 三点，若四边形 的面积为 ，则 的离心
率为______．
6.（2022·广东中山·高三期末）已知点M为双曲线C： 在第一象限上一点，点F为双曲
线C的右焦点，O为坐标原点， ，则双曲线C的离心率为___________；若
分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为 ，则 ___________．
29．（2022·广东深圳·一模）已知双曲线 ： 经过点A ，且点 到 的渐近线
的距离为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 作斜率不为 的直线 与双曲线 交于M，N两点，直线 分别交直线AM，AN于点E，F．
试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．考点三：抛物线
【典例例题】
例1．（2022·广东惠州·一模）若抛物线 （ ）上一点P（2， ）到其焦点的距离为4，则抛
物线的标准方程为（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
例2．（2022·广东韶关·一模）已知在平面直角坐标系中，有两定点 ，动点 满足 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)若抛物线 与轨迹 按顺时针方向依次交于四点 （点 在第一象限）.
①求证：直线 与直线 相交于 点；
②设 的面积为S，求S取最大值时的抛物线方程.
【方法技巧与总结】
1.抛物线的定义：到准线与到定点距离相等.
2.抛物线的性质：焦点弦长
【变式训练】
1．（2022·广东广州·一模）设抛物线 的焦点为F，过点 的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上， ，则 与 的面积之比 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东广东·一模）已知O为坐标原点，F为抛物线 的焦点，P为C上一点，若 ，
则点F到直线PO的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东茂名·一模）（多选）已知抛物线C: 的焦点为 ，准线为 ，P是抛物线 上第一象
限的点， ，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是（ ）
A．点P的坐标为（4，4） B． C．
D．过点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点，则直线 的方程为：
4．（2022·广东·一模）（多选）已知抛物线 的焦点为F，抛物线C上存在n个点 ， ， ，
（ 且 ）满足 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 时，
B． 时， 的最小值为9
C． 时，
D． 时， 的最小值为8
5．（2022·广东湛江·一模）（多选）已知F是抛物线 的焦点，过点F作两条互相垂直的直线 ，， 与C相交于A，B两点， 与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线
C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值 B．以 为直径的圆与l相切
C． 的最小值为32 D．当 最小时，
6．（2022·广东深圳·一模）（多选）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A
和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习】
一、单选题
1．椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，经过点 的直线与椭圆 相交于A， 两点，
若 的周长为16，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆 的左右焦点分别 ，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，
且 ，若 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．3．已知 分别为椭圆 的左右焦点，点P为椭圆上一点，以 为圆心的圆与直线 恰好相
切于点P，则 是（ ）
A． B． C． D．
4．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋
的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）､（2）､（3）中椭圆的长
轴长与短轴长的比值分别 ，设图（1）､（2）､（3）中椭圆的离心率分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．设F为椭圆 的右焦点，点 ，点B在C上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．设椭圆 长轴的两个顶点分别为 、 ，点 为椭圆上不同于 、 的任一点，若将
的三个内角记作 、 、 ，且满足 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线 过抛物线 ： 的焦点，且与该抛物线交于 两点.若线段 的长为16，
的中点到 轴距离为6，则 （ 为坐标原点）的面积是（ ）A． B． C． D．
8.过抛物线 的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若 ，则直线l的倾斜角等
于（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．与p值有关
二、多选题
9．已知 为椭圆的焦点， ， 分别为椭圆的两个顶点（且 不是离 最近的那个顶点），若 ，
，则椭圆的离心率可以为（ ）
A． B． C． D．
2．设圆锥曲线C的两个焦点分别为 ，若曲线C上存在点P满足 ，则曲线C
的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．2
3．双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，点P在C上.若 是直角三角形，则 的
面积为（ ）
A． B． C．4 D．2
4．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为 上一点，则（ ）
A． 的离心率为 B． 的周长为
C． D．
5．已知抛物线C： ，过其准线上的点T(1，-1)作C的两条切线，切点分别为A、B，下列说法
正确的是（ ）A．p=1 B．抛物线的焦点为F(0，1)
C． D．直线AB的斜率为
三、填空题
1．与双曲线 有相同的焦点，且短半轴长为 的椭圆方程是________.
2．已知椭圆 ： 的焦点为 ， ．过 且倾斜角为60°的直线交椭圆的
上半部分于点 ，以 ， （ 为坐标原点）为邻边作平行四边形 ，点 恰好也在椭圆上，则
______．
3．已知椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，上顶点为 ，直线 和 的斜率分
别为 、 ，写出一个满足 的椭圆 的方程：___________.
4.因为正三角形内角余弦值为 ，所以有人将离心率为 的椭圆称为“正椭圆”.已知“正椭圆”C：
的上下顶点分别为 ，且“正椭圆”C上有一动点P（异于椭圆的上下顶点），若
直线 的斜率分别为 ，则 为______.
5．抛物线 上一点 与焦点F的距离 ，则M到坐标原点的距离为___________.
四、解答题
1．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知椭圆 ，左焦点为 ，上顶点为 ，直线BF与椭圆交于另一点Q，且 ，且点 在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设 ， ，M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线 与直线 交于点P，直线
与直线 交于点 .证明： 是等腰三角形.
2．（2022·广东深圳·二模）已知椭圆 经过点 ，且焦距 ，线段
分别是它的长轴和短轴．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若 是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线 经过定点．
① ，直线 与椭圆E的另一交点分别为P，Q；
② ，直线 与椭圆E的另一交点分别为P，Q．3．（2022·广东茂名·二模）已知椭圆C： 的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直
线AF的距离为 ，△AOF的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作 轴于点E，过点N作 轴于点Q，QM与NE
交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于 ，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理
由．
(1)
(2)存在； 或
