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强化训练 1 不等式中的综合问题
1．若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2|a＋b|
答案 D
解析 由题意可知b0}，B＝{x|x2－4x＋3<0}，则A∩B等于( )
A．{x|x<－1或x>1} B．{x|22}，B＝{x|1 B．a2bn
答案 C
解析 (特值法)取a＝－2，b＝－1，n＝0，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；
C项，< |b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)
|a||b|＋⇔|b|<|a||b|＋|a| |b|<|a|，
⇔
∵a0对任意实数x恒成立，
∴Δ＝4－4(－t2＋2t＋4)<0，解得－1b，c>d，则a＋c>b＋d
B．若a>b，c>d，则b－c>a－dC．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，c>0，则ac>bc
答案 AD
解析 ∵a>b，c>d，由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d，故A正确；由A正确，可知B不
正确；取4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故C不正确；∵a>b，c>0，∴ac>bc.
故D正确．综上可知，只有AD正确．故选AD.
6．(多选)下列结论中，所有正确的结论有( )
A．若>，则a－c2>b－c2
B．若a，b，m∈R ，则>
＋
C．当x∈(0，π)时，sin x＋≥2
D．若a，b∈R ，a＋b＝1，则＋≥4.
＋
答案 ACD
解析 对于A，由于>，所以a>b，
故a－c2>b－c2，故正确；
对于B，－＝，又a，b，m∈R ，当b>a时，不等式成立，当b0，a≠1)与函数y＝b(b>0)存在两个不同的交点，
a
两交点的横坐标分别为x，x(x0，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值
是( )
A．9 B．8 C．4 D．2
答案 A
解析 圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程为
x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)＝＋＋5.
因为b>0，c>0，
所以＋≥2＝4.
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，
即当b＝，c＝时，＋取得最小值9.
14．设m＝log 0.6，n＝log 0.6，则( )
0.3 2
A．m－n>mn>m＋n B．m－n>m＋n>mn
C．mn>m－n>m＋n D．m＋n>m－n>mn
答案 B
解析 因为m＝log 0.6>log 1＝0，
0.3 0.3
n＝log 0.60，
因为－＝－2log 2＝log 0.25>0，
0.6 0.6
＝log 0.3>0，
0.6
而log 0.25>log 0.3，
0.6 0.6所以－>>0，即可得m＋n>0，
因为(m－n)－(m＋n)＝－2n>0，所以m－n>m＋n，
所以m－n>m＋n>mn.故选B.
15．圆M的方程为(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，
过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则PE·PF的最小值为
________．
答案 6
解析 设∠CPE＝α，
则∠EPF＝2α，
由切线长定理可得|PE|＝|PF|，
|PC|＝，
cos α＝，
PE·PF＝|PE|·|PF|cos 2α
＝|PE|2·(2cos2α－1)
＝|PE|2·
＝－|PE|2
＝－|PE|2
＝2(|PE|2＋4)－16＋－|PE|2
＝(|PE|2＋4)＋－12
＝|PC|2＋－12，
圆心M的坐标为(2＋5cos θ，5sin θ)，
则|MC|＝＝5，
由图可得|MC|－1≤|PC|≤|MC|＋1，
即4≤|PC|≤6，则16≤|PC|2≤36，
由对勾函数的单调性可知，函数y＝x＋－12在区间[16,36]上单调递增，
所以当|PC|2＝16时，PE·PF取得最小值为16＋－12＝6.
16.(2020·郑州模拟)如图，在某小区内有一形状为正三角形的草地，该正三角形的边长为 20米，在C点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以C为圆
心，以10米为半径的圆，在△ABC内部的扇形CPQ区域内，现要在该三角形内修一个直线
型步行道，该步行道的两个端点 M，N分别在线段CA，CB上，并且与扇形的弧相切于
△ABC内的T点，步道宽度忽略不计，设∠MCT＝α.
(1)试用α表示该步行道MN的长度；
(2)试求出该步行道MN的长度的最小值，并指出此时α的值．
解 (1)因为∠ACB＝，所以∠NCT＝－α，
因为MN与扇形弧PQ相切于点T，所以CT⊥MN.
在Rt△CMT中，因为CT＝10，所以MT＝10tan α，
在Rt△CNT中，∠NCT＝－α，
所以NT＝10tan，
所以MN＝10tan α＋10tan，其中0<α<.
(2)因为0<α<，所以0
