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强化训练 1 不等式中的综合问题
1．若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2<b2 B．ab<b2
C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|
答案 D
解析 由题意可知b<a<0，所以A，B，C正确，而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋b|，故D错误．
2．(2020·沅陵模拟)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|x2－4x＋3<0}，则A∩B等于( )
A．{x|x<－1或x>1} B．{x|2<x<3}
C．{x|1<x<3} D．{x|1<x<2}
答案 B
解析 由题意可知，A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|1<x<3}，则A∩B＝{x|2<x<3}．
3．若a<b<0，则下列不等式一定成立的是( )
A.> B．a2<ab
C.< D．an>bn
答案 C
解析 (特值法)取a＝－2，b＝－1，n＝0，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；
C项，< |b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)
|a||b|＋⇔|b|<|a||b|＋|a| |b|<|a|，
⇔
∵a<b<0，∴|b|<|a|成立⇔，故选C.
4．(2021·长沙期中)在R上定义运算⊗：A B＝(A－2)·B，若不等式(t－x) (x＋t)<4对任意
的x∈R恒成立，则实数t的取值范围是( )
⊗ ⊗
A．(－3,1) B．(－1,2)
C．(－1,3) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案 C
解析 ∵(t－x) (x＋t)＝(t－x－2)(x＋t)，
即(t－x) (x＋⊗t)＝(t－x－2)(x＋t)<4对任意实数x恒成立，
x2＋2x－⊗t2＋2t＋4>0对任意实数x恒成立，
∴Δ＝4－4(－t2＋2t＋4)<0，解得－1<t<3.
5．(多选)若a，b，c∈R，给出下列命题中，正确的有( )
A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d
B．若a>b，c>d，则b－c>a－dC．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，c>0，则ac>bc
答案 AD
解析 ∵a>b，c>d，由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d，故A正确；由A正确，可知B不
正确；取4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故C不正确；∵a>b，c>0，∴ac>bc.
故D正确．综上可知，只有AD正确．故选AD.
6．(多选)下列结论中，所有正确的结论有( )
A．若>，则a－c2>b－c2
B．若a，b，m∈R ，则>
＋
C．当x∈(0，π)时，sin x＋≥2
D．若a，b∈R ，a＋b＝1，则＋≥4.
＋
答案 ACD
解析 对于A，由于>，所以a>b，
故a－c2>b－c2，故正确；
对于B，－＝，又a，b，m∈R ，当b>a时，不等式成立，当b<a时，不等式不成立，故
＋
错误．
对于C，x∈(0，π)时，sin x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立，故正确．
对于D，若a，b∈R ，a＋b＝1，
＋
所以＋＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝时等号成立，故正确．
故选ACD.
7．要使y＝有意义，则x的取值范围为________．
答案 {x|x≤1或x≥3}
解析 因为y＝有意义，
则x2－4x＋3≥0，
解不等式得x≤1或x≥3，
即x的取值范围为{x|x≤1或x≥3}．
8．(2020·梅河口五中月考)已知正实数a，b，c满足a2＋b2＝2c2，则＋的最小值为________．
答案 2
解析 因为2c2＝a2＋b2≥2ab，即c2≥ab，
所以＋≥2＝2≥2，
当且仅当＝，即a＝b＝c时，等号成立，
所以＋的最小值为2.9．(2021·江苏邗江中学模拟)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平
面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三
角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 a＋b
＝6 cm，c＝4 cm，则此三角形面积的最大值为________ cm2.
答案 2
解析 由已知条件可得p＝＝5(cm)，
∴S＝＝
≤＝2(cm2)，
当且仅当a＝b＝3 cm时，等号成立．
因此，该三角形面积的最大值为2 cm2.
10．(2020·渭南模拟)已知函数y＝|log x|(a>0，a≠1)与函数y＝b(b>0)存在两个不同的交点，
a
两交点的横坐标分别为x，x(x<x)，则2x＋x 的最小值为________．
1 2 1 2 1 2
答案 2
解析 由题意，根据函数y＝|log x|的特点，可知0＜x＜1＜x，
a 1 2
且log x＋log x＝0，即log (xx)＝0，xx＝1，
a 1 a 2 a 1 2 1 2
故x＝，
2
∴2x＋x＝2x＋≥2＝2.
1 2 1
当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立．
1 1
11．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一
种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本
y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨
二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多
少元才能使单位不亏损？
解 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处
理成本最低，最低成本为200元．
(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80 000＝－(x
－300)2－35 000，因为x∈[400,600]，所以S∈[－8 0000，－40 000]．故该单位每月不获利，
需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．
12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，求b的取值范围．解 (1)因为f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
所以得
所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，
因为F(x)＝
所以F(2)＋F(－2)＝8.
(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0,1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在x∈(0,1]上恒成立，
根据单调性可得g(x)＝－x的最小值为0，h(x)＝－－x的最大值为－2，所以－2≤b≤0.
13．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b>0，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值
是( )
A．9 B．8 C．4 D．2
答案 A
解析 圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程为
x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)＝＋＋5.
因为b>0，c>0，
所以＋≥2＝4.
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，
即当b＝，c＝时，＋取得最小值9.
14．设m＝log 0.6，n＝log 0.6，则( )
0.3 2
A．m－n>mn>m＋n B．m－n>m＋n>mn
C．mn>m－n>m＋n D．m＋n>m－n>mn
答案 B
解析 因为m＝log 0.6>log 1＝0，
0.3 0.3
n＝log 0.6<log 1＝0，
2 2
所以mn<0，m－n>0，
因为－＝－2log 2＝log 0.25>0，
0.6 0.6
＝log 0.3>0，
0.6
而log 0.25>log 0.3，
0.6 0.6所以－>>0，即可得m＋n>0，
因为(m－n)－(m＋n)＝－2n>0，所以m－n>m＋n，
所以m－n>m＋n>mn.故选B.
15．圆M的方程为(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，
过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则PE·PF的最小值为
________．
答案 6
解析 设∠CPE＝α，
则∠EPF＝2α，
由切线长定理可得|PE|＝|PF|，
|PC|＝，
cos α＝，
PE·PF＝|PE|·|PF|cos 2α
＝|PE|2·(2cos2α－1)
＝|PE|2·
＝－|PE|2
＝－|PE|2
＝2(|PE|2＋4)－16＋－|PE|2
＝(|PE|2＋4)＋－12
＝|PC|2＋－12，
圆心M的坐标为(2＋5cos θ，5sin θ)，
则|MC|＝＝5，
由图可得|MC|－1≤|PC|≤|MC|＋1，
即4≤|PC|≤6，则16≤|PC|2≤36，
由对勾函数的单调性可知，函数y＝x＋－12在区间[16,36]上单调递增，
所以当|PC|2＝16时，PE·PF取得最小值为16＋－12＝6.
16.(2020·郑州模拟)如图，在某小区内有一形状为正三角形的草地，该正三角形的边长为 20米，在C点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以C为圆
心，以10米为半径的圆，在△ABC内部的扇形CPQ区域内，现要在该三角形内修一个直线
型步行道，该步行道的两个端点 M，N分别在线段CA，CB上，并且与扇形的弧相切于
△ABC内的T点，步道宽度忽略不计，设∠MCT＝α.
(1)试用α表示该步行道MN的长度；
(2)试求出该步行道MN的长度的最小值，并指出此时α的值．
解 (1)因为∠ACB＝，所以∠NCT＝－α，
因为MN与扇形弧PQ相切于点T，所以CT⊥MN.
在Rt△CMT中，因为CT＝10，所以MT＝10tan α，
在Rt△CNT中，∠NCT＝－α，
所以NT＝10tan，
所以MN＝10tan α＋10tan，其中0<α<.
(2)因为0<α<，所以0<tan α<，
MN＝10tan α＋10tan＝10，
令1＋tan α＝t，其中1<t<4，
则MN＝10＝10＝≥，
当且仅当t＝，即t＝2，α＝时，MN的最小值为，
故当α＝时，步行道的长度有最小值米．
