详解答案公众号dc008免费分享_高中三年全科资料_高中_高中数学《课时作业》Word版(1)_人教A版_数学·必修第一册（RJ-A版）_数学·必修第一册（RJ-A版）_课时作业WORD

分册三 课后检测案
课时作业 1
1．解析：对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性，故A错
误；对B，德育中学的全体高一学生满足集合中元素的确定性，故 B正确；对C，某高一年
级全体视力差的学生不满足集合中元素的确定性，故C错误；对D，与△ABC大小相仿的所有
三角形不满足集合中元素的确定性，故D错误．故选B.
答案：B
2．解析：因为0∈N，2∈Q，0∈Q，－1∈Z，A、C、D对，B错．故选B.
答案：B
3．解析：因为a，b，c，d为集合A的四个元素，所以a，b，c，d两两都不相等，因
为菱形、正方形的四边相等，所以A、D错；平行四边形的对边相等，所以B错．故选C.
答案：C
4．解析：由集合中元素的互异性知，两个“墩”相同，去掉一个，“容”“融”不同
都保留，所以有5个元素．故选C.
答案：C
5．解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，
R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确．故选AC.
答案：AC
6．解析：因为N*表示正整数集，容易判断A、C正确；对B，若a＝，则满足－a∉N*，
但a∉N*，B错误；对D，x2＋4＝4x的解集为{2}，D错误．故选AC.
答案：AC
7．解析：∵∈N，x∈N，∴当x＝0时，＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时，＝
3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时，＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x＞3时，＜0不满足题
意，所以集合A中的元素为0，1，2.
答案：0，1，2
8．解析：因为x2∈A，所以x2＝1或x2＝0或x2＝x，解得x＝－1，0，1.经检验，只有
x＝－1时，满足集合元素的互异性．
答案：－1
9．解析：(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.
解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.
(2)因为－2∈A，所以x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x＝－2.
10．解析：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．
综上知：x＝1，y＝0.
11．解析：由于C中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而A、B、D中元
素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选C.
答案：C
12．解析：由于＝|x|，－＝－x，
因此当x＝0时，x＝|x|＝＝－＝－x＝0，集合含有1个元素；
当x>0时，x＝|x|＝>0，－＝－x<0，集合有2个元素；
当x<0时，－x＝|x|＝＝－>0，x<0，集合有2个元素；
所以集合中最多含有元素的个数为2.
故选A.
答案：A
13．解析：当a＝b＝0时，x＝0，所以0∈M，A正确；当a＝－1，b＝－1时，x＝－1－＝∈M，C正确；当a＝－1，b＝3时，x＝3－1∈M，D正确；因为a∈Z，b∈Z，故x＝a＋
b≠，∉M，B错误．故选ACD.
答案：ACD
14．解析：当x，y都大于零时，＋＝1＋1＝2；
当x，y中一个大于零，另一个小于零时，＋＝0；
当x，y都小于零时，＋＝－1－1＝－2.
根据元素与集合的关系，可知0∈M，1∉M，－2∈M，2∈M.
故选AB.
答案：AB
15．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，易知a≠0，
b≠0，所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若
只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不
可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c
＝100×2＋10×0＋1＝201.
答案：201
16．解析：因为9∈A，所以2a－1＝9或a2＝9.
若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然
－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．
若a2＝9，则a＝±3.
当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与
集合中元素的互异性矛盾，故舍去．
当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意．综上所
述，满足条件的a存在，且a＝－3.
课时作业 2
1．解析：解方程x2＋x－6＝0可得x＝2或x＝－3，则A＝{x∈N|x2＋x－6＝0}＝{2}．
故选A.
答案：A
2．解析：选项A，B，D都是数集，且只包含一个元素，而 C选项表示的集合里的元素
是x＝1，则该集合不是数集．故选C.
答案：C
3．解析：A.M中有两个元素，P中有一个元素，∴M≠P；B.有序数对(3，1)≠(1，3)，
∴M≠P；C.M＝{y|y≥－1}，P＝{t|t≥－1}，∴M＝P；D.M的元素是实数，P的元素是有序数
对，∴M≠P.故选C.
答案：C
4．解析：由∈A，则当＝0时，x＝0；当＝1时，x＝1；当＝2时，x＝4，即B＝{0，
1，4}．故选D.
答案：D
5．解析：因为A＝{x∈N|x<6}＝{0，1，2，3，4，5}，故0∈A，1.5∉A，－1∉A，
6∉A.故选ABC.
答案：ABC
6．解析：对于A，由x3＝x，得x＝0或x＝1或x＝－1，而－1∉N，因此集合{x∈N|x3
＝x}用列举法表示为{0，1}，A正确；
对于B，集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已
表示所有的实数构成的集合，所以实数集可以表示为{x|x为实数}或R，B不正确；
对于C，方程组的解是有序实数对，而集合{x＝－，y＝}表示两个等式组成的集合，C
不正确；
对于D，由(x－2)2＋(y＋3)2＝0，得x＝2且y＝－3，则所有解组成的集合为{(2，－3)}，D正确．故选AD.
答案：AD
7．解析：因为x∈N ，∈Z，所以x的取值可能为1，2，3，6，所以C＝{1，2，3，
＋
6}．
答案：{1，2，3，6}
8．解析：∵集合A＝{x|x2－ax－5＝0}，－5∈A，∴25＋5a－5＝0，解得：a＝－4.
答案：－4
9．解析：(1)因为0≤n≤2，n∈N，则x＝0，2，4，
故用列举法表示为：P＝{0，2，4}；
(2)方程的实数根为－1，0，3，所以方程的实数根组成的集合可以表示为{－1，0，
3}；
(3)由于大于 2 且小于 6 的有理数有无数个，可以用描述法表示该集合为{x∈Q|
2<x<6}；
(4)直接用描述法表示为：{(x，y)|}．
(5)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
10．解析：(1)①{x|y＝x2＋1，y≥1，y∈R}＝R；
②{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}是点集，它们不是相同的集合；
(2)①{x|y＝x2＋1，y≥1，y∈R}表示函数的定义域；
②{y|y＝x2＋1，x∈R}，表示函数的值域；
③{(x，y)|y＝x2＋1}表示点的集合．
11．解析：因为集合A＝{x|3x＋2>m}，－1∈A，所以－3＋2>m，即m<－1.故选A.
答案：A
12．解析：根据题意，M＝{0，3，4，6，8}，故M中元素的个数为5.故选C.
答案：C
13．解析：对于A，集合A为数集，集合B为点集，显然二者不等；
对于B，A＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，显然0∉A；
对于C，当x＝1时，y＝12＋1＝2，所以(1，2)∈B；
对于D，当x＝0时，y＝1，所以(0，0)∉B.故选C.
答案：C
14．解析：选项A：当a＝－1时，－2－1≤3，－1－4≤3，故(2，1)∈A，(1，－
4)∈A，A错误；
选项B：当a＝0时，－1≤3，－(－4)>3，故(2，1)∈A，(1，－4)∉A，B正确；
选项C：当a＝1时，2－1≤3，1－(－4)>3，故(2，1)∈A，(1，－4)∉A，C正确；
选项D：当a＝2时，2×2－1≤3，2×1－(－4)>3，故(2，1)∈A，(1，－4)∉A，D正
确．故选BCD.
答案：BCD
15．解析：a＝0，b＝1，a－b＝－1；
a＝0，b＝2，a－b＝－2；
a＝0，b＝6，a－b＝－6；
a＝2，b＝1，a－b＝1；
a＝2，b＝2，a－b＝0；
a＝2，b＝6，a－b＝－4；
a＝5，b＝1，a－b＝4；
a＝5，b＝2，a－b＝3；
a＝5，b＝6，a－b＝－1；
根据集合元素的互异性可知A中元素的个数是8.
答案：8
16．解析：(1)当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a＝0，得a＝.
综上，a＝0或a＝.(2)集合A中含有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，
所以a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，解得a<且a≠0，
所以实数a的取值范围为{a|a<且a≠0}．
课时作业 3
1．解析：∵集合M＝{3，4，5}，∴M的非空子集有23－1＝7个．故选C.
答案：C
2．解析：∅⊆A，故A错误；因为是无理数，所以∉A，故B正确，C错误，D错误．故
选B.
答案：B
3．解析：A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，B＝{0，1，2}，0∈B，1∈B，∴A B.故选A.
答案：A
4．解析：因为A＝{0，1，2}，B＝{1，m}，且B A，所以m＝0或2.故选⊆C.
答案：C
5．解析：对选项A：1∈{1，2，3}，错误；对选⊆项B：{1} {1，2，3}，错误；对选项
C：{1，2} {1，2}，正确；对选项D：∅⊆{1}，正确；故选CD.
答案：CD ⊆
6．解⊆析：因为A{1，2，3，4，5}，所以集合A可以是∅、{2，3，4，5}，不能是
{0，1，2，3}、{1，2，3，4，5}．故选AC.
答案：AC
7．解析：P＝{1，a}，Q＝{－1，b}，若P＝Q，则有a＝－1，b＝1，a－b＝－2.
答案：－2
8．解析：因为3∈M，所以a＝3或a2－3a－1＝3，因此a＝3或a＝4或a＝－1；
当a＝3时，M＝{1，2，3，－1}，N M，不满足题意，舍去；
当a＝4时，M＝{1，2，3，4}，NM，满足题意；
⊆
当a＝－1时，M＝{1，2，3，－1}，N M，不满足题意，舍去．
答案：4 (cid:2)
9．解析：a－1≠a＋2，故a－1＝1或⊆3，
当a－1＝1时，a＝2，此时，A＝{3，1}，B＝{1，3，4}，满足AB；
当a－1＝3时，a＝4，此时，A＝{3，15}，B＝{1，3，5}，不满足AB.
综上所述：实数a的值为2.
10．解析：(1)因A＝{x|a－1<x<2a＋1}是空集，则2a＋1≤a－1，解得a≤－2，
所以实数a的取值范围是{a|a≤－2}．
(2)B＝{x|0<x<1}且B是A的真子集，
则，解得0≤a≤1，
显然，a－1＝0与2a＋1＝1不同时成立，于是得0≤a≤1，
所以实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}．
11．解析：因{1，2} A {1，2，3，4，5}，{2，3} A {1，2，3，5，6}，则有1，
2，3都是集合A中元素，4，6都不在A中，5可以在A中，因此集合A可以是{1，2，3}或
⊆ ⊆ ⊆ ⊆
{1，2，3，5}，所以满足条件的集合A的个数为2.故选C.
答案：C
12．解析：当x＝－1，y＝1时，z＝(－1)2＋12＝2，
当x＝－1，y＝2时，z＝(－1)2＋22＝5，
当x＝0，y＝1时，z＝02＋12＝1，
当x＝0，y＝2时，z＝02＋22＝4，
所以C＝{z|z＝x2＋y2，x∈A，y∈B}＝{1，2，4，5}，
所以集合C的真子集的个数为24－1＝15个，故选C.
答案：C13．解析：∵U＝{0，1，2，3，4，5}，其中不含“孤立元素”且包含有四个元素的集
合有：{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，
3，4，5}共6个，那么U中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个．故选B.
答案：B
14．解析：因为A B，如图：
⊆
所以a＋1<－1，所以a<－2，故a的可能取值为－3，－4.故选CD.
答案：CD
15．解析：A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，
当a＝0时，B＝∅，满足B A.
当a≠0时，B＝{x|x＝}，
⊆
若B A，则＝－1或3，则a＝－1或.
综上：a＝0或－1或.
答案⊆：{－1，0，}
16．解析：(1)因为集合A的子集只有一个，则A＝∅，即方程ax2－3x－4＝0无实数根，
于是得，即，解得a<－，
所以实数a的取值范围为.
(2)集合A最多有两个子集即A中至多有一个元素，
即方程ax2－3x－4＝0无解或只有一解，
当a＝0时，方程为－3x－4＝0，x＝－，集合A＝{－}；
当a≠0时，若关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个相等的实数根，则A中只有一个元素，
此时a＝－，
若关于x的方程ax2－3x－4＝0没有实数根，则A中没有元素，此时a<－.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a≤－或a＝0}．
课时作业 4
1．解析：由已知条件及Venn图可知，阴影部分为两个集合的交集，则A∩B＝{1，3，
5}．故选A.
答案：A
2．解析：由集合并集的定义可得，A∪B＝{x|x<3}．故选A.
答案：A
3．解析：集合B＝{x|x2－x＝0}＝{1，0}，因为A＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，
1}，集合中共两个元素，故子集有∅，{1}，{0}，{1，0}共4个．故选C.
答案：C
4．解析：由题意可知，解得，所以A∩B＝{(3，－1)}．故选D.
答案：D
5．解析：因为A∪B＝{1，2，3，4}，所以{1，4，a}{1，2，3，4}，所以a＝2或a
＝3.故选AB.
答案：AB
6．解析：由已知可得m2－3m－1＝3，即m2－3m－4＝0，解得m＝－1或4.故选BC.
答案：BC
7．解析：M∩T＝{4，5}，∴(M∩T)∪N＝{2，4，5，6}．
答案：{2，4，5，6}
8．解析：集合A可以为{7}，{7，1}，{7，3}，{7，5}，{7，1，3}，{7，1，5}，{7，
3，5}，{1，3，5，7}，共8个．
答案：8
9．解析：(1)依题意A＝{－1，2}，当a＝3时，B＝{x|(x＋1)(x－3)＝0}＝{－1，3}，
所以A∩B＝{－1}．
(2)由(x＋1)(x－a)＝0解得x＝－1，x＝a，
1 2
若a＝－1，则B＝{－1}，A∪B＝A，符合题意．
若a≠－1，由于A∪B＝A，所以a＝2.
综上所述，实数a的取值集合为{－1，2}．
10．解析：(1)a＝3时，B＝{x|3≤x≤6}，
A∪B＝{x|x<2或x≥3}．
(2)因为A∩B＝∅，又a＋3>a，∴B≠
∅
.
∴ 2≤a≤3，故a的取值范围为{a|2≤a≤3}．
11．解析：因为 A＝{3，4，5，6，7}，B＝{2，4，6，8}，M＝{x|x∈A且x∈B}，所以
⇒
M＝{4，6}．故选B.
答案：B
12．解析：因A∩B＝{4}，则4∈A，即a＝－4或a2＝4，
当a＝－4时，A＝{16，4，0}，A∩B＝{4}，符合题意，
当a2＝4时，解得a＝2或a＝－2，
若a＝2，则A＝{－2，4，0}，A∩B＝{4}，符合题意，
若a＝－2，则A＝{2，4，0}，A∩B＝{2，4}，不符合题意，
于是得a＝2或a＝－4，
所以实数a的值为2或－4.故选B.
答案：B
13．解析：∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A，得(－2)2＋2p－2＝0，解得p＝－1.故A＝{x|x2
＋x－2＝0}＝{－2，1}．又因为A∪B＝{－2，1，5}，所以得B＝{－2，5}．
代入得，解得：，
综上可得：p＋q＋r＝－1－3－10＝－14.故选C.
答案：C
14．解析：集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3，5}，由A∩B＝B可得B A，
则分B＝∅和B＝{3}或{5}或{3，5}，
⊆
当B＝∅时，满足a＝0即可；
当B＝{3}时，满足3a－1＝0，解得：a＝；
当B＝{5}时，满足5a－1＝0，解得：a＝；
当B＝{3，5}时，显然不符合条件，
所以a的值可以为0，，.故选ABD.
答案：ABD
15．解析：∵A＝{x|－1＜x＜0或x＞1}，B＝{x|a≤x≤b}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，∴b＝
2，又∵A∪B＝{x|x＞－1}，∴a＝0，则a＋b＝2.
答案：2
16．解析：(1)x2＋4x－5＝0，解得：x＝1或－5，所以B＝{1，－5}，
因为A∩B＝A∪B，所以A＝B＝{1，－5}，
所以1－5＝a，1×(－5)＝a2－21，解得：a＝－4，经检验满足要求．
(2)因为A∩B＝A，所以A B，
①A＝∅，则Δ＝a2－4(a2－21)<0，所以a>2或a<－2；
②A＝{－5}，则x2－ax＋ ⊆ a2－21＝0有两个相等的根x＝x＝－5，，方程无解；
1 2
③A＝{1}，则x2－ax＋a2－21＝0有两个相等的根x＝x＝1，，方程无解；
1 2
④A＝{－5，1}，由(1)知a＝－4.
综上所述：a的取值范围是{a|a<－2或a>2或－4}．课时作业 5
1．解析：根据补集的概念可得，∁U M＝{x|－2<x≤2}．故选B.
答案：B
2．解析：因为U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，4}，所以∁U B＝{2，3，5}，又A＝{1，
2，3}，所以A∩(
∁U
B)＝{2，3}．故选A.
答案：A
3．解析：
∁R
A＝{x|－2<x<0}，所以∁R A∩B＝{－1}，故选B.
答案：B
4．解析：因为全集U＝{－1，2，4，5，19}，集合∁U (A∩B)＝{2，5，19}，所以A∩B
＝{－1，4}，所以－1，4∈A，所以只有选项C的集合{－1，2，4}符合条件，故选C.
答案：C
5．解析：由A＝{－1，2，3}，B＝{x|－1≤x<3}，得A∩B＝{－1，2}≠A，A选项错误；
A∪B＝{x|－1≤x≤3}≠B，B选项错误；∁R B＝{x|x<－1或x≥3}，3∈
∁R
B，元素与集合间
的关系为属于与不属于关系，无包含关系，C选项错误；A∩(
∁R
B)＝{3}，D选项正确．故选
ABC.
答案：ABC
6．解析：因为阴影部分在B中不在A中，根据集合的运算分析可知A、C、D正确．故
选ACD.
答案：ACD
7．解析：∵U＝{x∈N|x≤10}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
A＝{小于11的质数}＝{2，3，5，7}，
∴
∁U
A＝{0，1，4，6，8，9，10}．
答案：{0，1，4，6，8，9，10}
8．解析：全集U＝{2，3，a2＋2a＋2}，集合A＝{2，3}，∁U A＝{5}，则a2＋2a＋2＝
5，解得a＝1或a＝－3，所以实数a的值为1或－3.
答案：1或－3
9．解析：(1)由题知，A∪B＝{x|2≤x<10}，
则∁R (A∪B)＝{x|x≥10或x<2}．
(2)由题知，∁R A＝{x|x>6或x<2}，∁R B＝{x|x≥10或x≤2}，
则(
∁R
A)∩(
∁R
B)＝{x|x≥10或x<2}．
10．解析：(1)当a＝2时，A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<－1或x>3}，
∴A∩B＝{x|x>3}．A∪B＝{x|x≠－1}．
(2)
∁R
B＝{x|－1≤x≤3}，
∵ A∩( ∁R B)≠ ∅，
∴ －<3，即a>－6，
故实数a的取值范围是{a|a＞－6}．
11．解析：由已知得∁R M＝{x|x≤0或x≥4}，∁R N＝{x|x<3或x>5}，∴(
∁R
M)∩(
∁R
N)＝
{x|x≤0或x>5}．故选C.
答案：C
12．解析：由P∩(
∁R
Q)＝∅知：P Q，所以P∩Q＝P.故选D.
答案：D
13．解析：∵A＝{x|2<x<3}，∴∁R A⊆＝{x|x≤2或x≥3}，∵(
∁R
A)∪B＝R，∴m≤2.故选C.
答案：C
14．解析：集合A为偶数集，集合B为奇数集，集合A与集合B的交集为空集，故选项
A错误；集合A与集合B的并集为整数集，故选项B与选项C正确；由于∁U A＝B，集合B是
集合B的子集，不是真子集，故选项D错误．故选BC.
答案：BC
15．解析：由集合B＝{x|x>1}，可得∁R B＝{x|x≤1}，∵A∩
∁R
B≠ ∅，可得集合A与集合∁R B有公共元素，∴a<1.
答案：{a|a<1}
16．解析：(1)当m＝3时，A＝{x|3<x<6}，B＝{x|x≤－5或x>4}，
所以，∁R B＝{x|－5<x≤4}，因此，A∪( ∁R B)＝{x|－5<x<6}．
(2)若选①，当A＝∅时，则m≥2m时，即当m≤0时，A
∁R
B成立，
当A≠ ∅时，即当m<2m时，即当m>0时，
⊆
由A
∁R
B可得，解得－5≤m≤2，此时0<m≤2.
综上，m≤2.
⊆
若选②，当A＝∅时，则m≥2m时，即当m≤0时，A∩B＝∅成立，
当A≠ ∅时，即当m<2m时，即当m>0时，
由A∩B＝∅可得，
解得－5≤m≤2，此时0<m≤2.
综上，m≤2.
若选③，由A∩(
∁R
B)＝A可得A (
∁R
B)，
当A＝∅时，则m≥2m时，即当m≤0时，A
∁R
B成立，
⊆
当A≠ ∅时，即当m<2m时，即当m>0时，
⊆
由A
∁R
B可得，解得－5≤m≤2，此时0<m≤2.
综上，m≤2.
⊆
课时作业 6
1．解析：x和y均为有理数，则xy为有理数，反之，xy为有理数，x和y不一定为有
理数，如x＝y＝，满足xy＝2是有理数，而x，y均为无理数，所以“x和y均为有理数”
是“xy为有理数”的充分不必要条件．
故选A.
答案：A
2．解析：当AB＝BC时，△ABC为等腰三角形，充分性满足；取AB＝AC≠BC，满足△ABC
为等腰三角形，不满足AB＝BC，必要性不满足．故在△ABC中“AB＝BC”是“△ABC为等腰三
角形”的充分不必要条件．故选C.
答案：C
3．解析：由题可知：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
4．解析：取a＝－2，b＝1，满足a<b，但a2＝4>1＝b2，故充分性不满足；取b＝－2，
a＝1，满足b2>a2，但不满足a<b，故必要性不满足；故“a<b”是“a2<b2”的既不充分也不必
要条件．故选D.
答案：D
5．解析：由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成
比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所
以选项C符合题意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如a＝b＝－1，所以本选项不
符合题意．故选ABC.
答案：ABC
6．解析：A正确，因为“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实
数”的充分条件；B不正确，因为“x∈A”D /“x∈(A∩B)”，所以“x∈(A∩B)”不是
“x∈A”的必要条件；C正确，由于“x＝3” “x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是
“x＝3”的必要条件；D正确，由于“x＞3” ⇒ “x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充
⇒
分条件．故选ACD.
答案：ACD ⇒
7．解析：只要是集合{x|x>1}的子集即可，如x>2.答案：x>2(答案不唯一)
8．解析：m≥0，n≥0时，m＋n≥0成立，是必要的．m＝2，n＝－1时，有m＋n＝
1>0，即m＋n≥0时不一定有m≥0且n≥0，不充分，因此应是必要不充分条件．
答案：必要不充分
9．解析：(1)若a∈(A∩B)，可以推出a∈(A∪B)，反之不一定成立，
即p q，qD /p.
所以p是q的充分非必要条件，q是p的必要非充分条件．
⇒ ⇒
(2)x>1或x<－1，推不出x<－1，反之成立，
即pD /q，q p，
所以p是q的必要非充分条件，q是p的充分非必要条件．
⇒ ⇒
10．解析：(1)因为A B，且a＝2，所以a≤b即b≥2，
此时A真包含于B，所以p是q的充分不必要条件．
⊆
(2)因为B A，所以b<a，则有a>2，
此时B真包含于A，所以p是q的必要不充分条件．
⊆
11．解析：由题意知：“太空握手”⇒“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高
度”；“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”D /“太空握手”，∴“梦天实验
舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高
⇒
度”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
12．解析：若a＝1且b＝2，则a＋b＝3，故a＋b≠3可推出a≠1或b≠2；若a＝4，b
＝－1，满足a≠1或b≠2，但是a＋b＝3；即a＋b≠3是a≠1或b≠2成立的充分不必要条
件．故选A.
答案：A
13．解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙
的必要条件，所以丙⇒乙，但乙D /丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲D /丙，即丙是甲的
充分条件，但不是甲的必要条件．
⇒ ⇒
答案：A
14．解析：“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”可以得到Δ＝1－4m≥0，解得
m≤，设M＝{m|m≤}，选项中m的范围构成集合N，则MN，C、D选项符合要求．故选CD.
答案：CD
15．解析：由不等式|x|<a，当a≤0时，不等式|x|<a的解集为空集，显然不成立；当
a>0时，不等式|x|<a，可得－a<x<a，要使得不等式|x|<a的一个充分条件为－2<x<0，则满
足{x|－2<x<0} {x|－a<x<a}，所以－2≥－a，即a≥2，∴实数a的取值范围是a≥2.
答案：a≥2
16．解析：⊆(1)由x2－(3m－2)x＋2m2－m－3＝0得：[x－(m＋1)][x－(2m－3)]＝0，
所以x＝m＋1或x＝2m－3，
因为命题p为真命题，所以，得－1<m<3.
所以A＝{m|－1<m<3}．
(2)集合A＝{m|－1<m<3}，集合B＝{m|1－a<m<1＋a}，
由题设，B是A的真子集，
当B＝∅时，1－a≥1＋a，解得：a≤0，满足题意；
当B≠ ∅时，或，解得：0<a<2.
综上所述：a<2，
所以存在实数a∈{a|a＜2}，满足条件．课时作业 7
1．解析：由题意可得，“x2>0”与“x≠0”是等价的，故“x2>0”是“x≠0”的充分必要
条件．故选C.
答案：C
2．解析：取x＝－1，y＝1，此时x＋y＝0，但x2＋y2≠0，故“x＋y＝0”不是“x2＋y2
＝0”的充分条件．
当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，此时x＋y＝0，故“x＋y＝0”是“x2＋y2＝0”的必要条件．
故“x＋y＝0”是“x2＋y2＝0”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
3．解析：若>1，当b>0时，a>b，当b<0时，a<b；
又当a>b>0时，两边除以b，得>1，当a>b且b<0时，两边除以b，得<1.
故“>1”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选D.
答案：D
4．解析：方程ax2＋1＝0有一个负数根，若a＝0，此时1＝0，不成立，舍去；
若a>0，则x2＝－<0，此时方程在R上无解，舍去；
若a<0，则x2＝－，故x＝± ，满足题意，
综上：a<0是方程ax2＋1＝0有一个负数根的充分必要条件．故选B.
答案：B
5．解析：对于A，“x>2”成立，“x>3”不一定成立，A错误；
对于B，“x>1”可以推出“x2>1”，取x＝－2，得x2>1，但－2<1，所以“x2>1”不能推出
“x>1”，B正确；
对于C，x2＋x－6＝0的两个根为x＝2或x＝－3，C正确；
对于D，“a>b”不能推出“a2>b2”，同时“a2>b2”也不能推出“a>b”，D错误．故选BC.
答案：BC
6．解析：A选项，若m<－2或m>6，则方程判别式Δ＝m2－4m－12＝(m－6)(m＋2)>0，
得方程x2＋mx＋m＋3＝0有两个不同的实数根，则p q.若方程x2＋mx＋m＋3＝0有两个不同
的实数根，则Δ＝m2－4m－12＝(m－6)(m＋2)>0 m<－2或m>6，则q p.故p是q的充要条
⇒
件，故A正确；
⇒ ⇒
B选项，若x－3＝0，则x＝3，得(x－2)(x－3)＝0，则p q.若(x－2)(x－3)＝0，则x
＝3或x＝2，则由q不能得到p.故p是q的充分不必要条件，故B错误；
⇒
C选项，由两个三角形相似不能得到两个三角形全等，而两个三角形全等可以得到两个
三角形相似，故p是q的必要不充分条件，故C错误；
D选项，由A∩B＝A，可得A B，则p q.由A B，可得A∩B＝A，则q p.故p是q的充
要条件，故D正确．故选AD.
答案：AD ⊆ ⇒ ⊆ ⇒
7．解析：ab＝0 a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0，故“a，b至少有一个为0”
是“ab＝0”的充要条件．
答案：充要 ⇔
8．解析：当x＝0时，y＝a·02＋b·0＋c＝c，即函数图象过(0，c)点，
充分性：因为函数图象过(0，0)点，所以c＝0；
必要性：因为c＝0，所以(0，c)点与(0，0)点重合，即函数图象过原点．
答案：c＝0
9．解析：(1)p是q的既不充分也不必要条件．
原因如下(不需写出)：
0<－x<2即－2<x<0D/ －1<x<1，
－1<x<1D /－2<x<0即0<－x<2，
⇒
故p是q的既不充分也不必要条件．
⇒
(2)p是q的必要不充分条件．原因如下(不需写出)：
对角线相等的平行四边形是矩形，因此在平行四边形ABCD中，AC＝BDD /四边形ABCD
是正方形，
⇒
正方形的对角线相等，因此四边形ABCD是正方形⇒AC＝BD，
故p是q的必要不充分条件．
(3)p是q的充要条件．
原因如下(不需写出)：
{(x，y)|}即y＝x－3与y＝x2－5x＋2的交点组成的集合，
解得交点为(1，－2)和(5，2)，
即{(x，y)|}＝{(1，－2)，(5，2)}，
∴(x，y)∈{(x，y)|} (x，y)∈{(1，－2)，(5，2)}，
(x，y)∈{(1，－2)，(5，2)} (x，y)∈{(x，y)|}，
⇒
故p是q的充要条件．
⇒
10．证明：充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，
代入方程ax2＋bx＋c＝0得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1；
必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件为a＋b＋c＝0.
11．解析：因为方程x2＋ax＋1＝0有一正根和一负根，则有⇔c<0，所以p q，q p，
故p是q的充分必要条件．故选C.
答案：C ⇒ ⇒
12．解析：因为x，x是方程x2＋mx＋n＝0的两个实根，则Δ≥0.
1 2
则x2＋mx＋n＝(x－x)(x－x)＝x2－(x＋x)x＋xx＝0，则n＝xx，
1 2 1 2 1 2 1 2
所以，xx＝2 n＝2.
1 2
所以，xx＝2是n＝2的充要条件．故选C.
1 2
答案：C ⇔
13．解析：a，b∈R，ab＋a＋b＋1＝0 (a＋1)(b＋1)＝0，于是得a＝－1或b＝－1，
因此a，b中至少有一个为－1，反之当a，b中至少有一个为－1时，ab＋a＋b＋1＝
⇔
0，“a，b中至少有一个为－1”是“ab＋a＋b＋1＝0”的充要条件，C正确；而“a＝－1
或b＝－1”可以是“a，b中只有一个为－1”，A不正确；“a＝－1或b＝－1”可以是
“a，b都为－1”，B不正确；“a＝－1或b＝－1”可以是“a，b中一个为－1，另一个为
0”，D不正确．故选C.
答案：C
14．解析：对A：若x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根，则Δ≥0，解得m≤1或m≥9，故A
错误；
对B：由题意，，解得0<m≤1，故B正确；
对C：若方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根，则Δ<0，解得1<m<9，该条件的一个必要
条件是m∈{m|m>1}，故C正确；
对D：当m＝3时，方程无实数根，故D错误．故选BC.
答案：BC
15．解析：令A＝{x|x≤－1或x≥1}，B＝{x|x<a}，
若“x≤－1或x≥1”是“x<a”的必要不充分条件，
则集合B是A的真子集，
所以a≤－1，
所以实数a的最大值为－1.
答案：－1
16．解析：(1)集合A＝{x|2a－1<x<3a＋1}，集合B＝{x|－1<x<4}．
因为p是q的充分条件，所以A B，
∴集合A可以分为A＝∅或A≠ ∅两种情况来讨论：
⊆当A＝∅时，满足题意，此时2a－1≥3a＋1，解得：a≤－2；
当A≠ ∅时，要使A B成立，
需满足⇒0≤a≤1，
⊆
综上所得，实数a的取值范围为{a|a≤－2或0≤a≤1}．
(2)假设存在实数a，使得p是q的充要条件，那么A＝B，
则必有，解得，综合得a无解．
故不存在实数a，使得A＝B，
即不存在实数a，使得A是B的充要条件．
课时作业 8
1．解析：全称量词命题是含有全称量词的命题，全称量词有所有，任意，每一个．A、
C选项含有存在量词：存在，所以是存在量词命题，B选项存在一个a＝3使得函数是增函数，
所以B选项也是存在量词命题．D选项所有的平行四边形都不是正方形，所以是全称量词命
题．故选D.
答案：D
2．解析：易知A错误，B正确；对C，意思为“任意一个平行四边形，它的对边都平
行”，错误；对D，意思为“任意一个矩形，它的任一组对边都相等”，错误．故选B.
答案：B
3．解析：对于A，当x＝0时，x2>0不成立，故A为假命题；对于B，当x＝0时，满足
x3<1，故B为真命题；对于C，当x＝1时，x>1不成立，故C为假命题；对于D，由x2＝2可
得x＝±，且±均为无理数，故D为假命题．故选B.
答案：B
4．解析：显然为存在量词命题，不妨令a＝0，此时满足a2＋a≤0，故为真命题．故选
B.
答案：B
5．解析：对于选项A：所有的二次函数图象都是抛物线，图象关于对称轴对称，故A
是真命题；对于选项B：平行四边形的对角线不一定相等，故B是假命题；对于选项C：不
是全称量词命题；对于选项D：由线段垂直平分线的性质可知D是真命题．故选AD.
答案：AD
6．解析：对选项A：中国所有的江河都流入太平洋是全称量词命题，排除；
对选项B：有的四边形既是矩形，又是菱形是存在量词命题且为真命题，比如正方形，
正确；
对选项C：存在x∈R，有x2＋x＋1＝0是存在量词命题且为假命题，因为x2＋x＋1＝(x
＋)2＋>0恒成立，排除；
对选项D：有的数比它的倒数小是存在量词命题且为真命题，比如，正确．故选BD.
答案：BD
7．答案：∃x∈R，有x2＋2x＋3＝0
8．解析：对于①，平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，①为假命题；对于②，
负数没有算术平方根，②为假命题；对于③，平面四边形的内角和为 2×180°＝360°，③
为真命题；对于④，∵n2＋n＝n(n＋1)，∴n2＋n为偶数，④为假命题．
答案：①②④
9．解析：(1)是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”．
x∈R，x2≥0.是真命题．
(2) x∈R，y∈R，2x－y＋1<0，是真命题．
∀
如x＝0，y＝2时，2x－y＋1＝0－2＋1＝－1<0成立．
∃
(3)是全称量词命题，所有直角三角形都满足勾股定理，即∀Rt△ABC，a，b为直角边长，
c为斜边长，则a2＋b2＝c2，是真命题．
10．解析：(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，99既能被11整除，又能被9整除，故该命题为真命题．
(2)命题中含有全称量词“∀”，故是全称量词命题，
因为x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，所以x2－4x＋6>0恒成立，故该命题为真命题．
(3)命题中含有存在量词“∃”，故是存在量词命题，
当x＝0或x＝1时，x2＝x，故该命题为真命题．
(4)命题中含有存在量词“∃”，故是存在量词命题，
当x＝1时，x为29的约数，所以该命题为真命题．
(5)命题中含有全称量词“∀”，故是全称量词命题，
当x＝0时，x2＝0，所以该命题为假命题．
11．解析：A为真命题；B和D为全称量词命题；因为x，y∈R，所以x2≥0，y2≥0，故
x2＋y2≥0，故C为假命题．故选C.
答案：C
12．解析：由题可知∀x∈{x|2<x<3}，3x－a<0，所以∀x∈{x|2<x<3}，a>3x，又
6<3x<9，所以a≥9.故选B.
答案：B
13．解析：因为∀x∈{x|－2≤x≤1}，a－2x≥－1为假命题，即a<2x－1在－2≤x≤1
上有解，所以a<(2x－1) ，而(2x－1) ＝2×1－1＝1，所以实数a的取值范围为a<1.故
max max
选A.
答案：A
14．解析：当a＝0时，x＝－1，p为真命题，则a＝0，当a≠0时，若p为真命题，则
Δ＝16＋16a≥0，解得a≥－1且a≠0，综上，p为真命题时，a的取值范围为a≥－1.故选
BCD.
答案：BCD
15．解析：因为1≤x≤2，所以2≤2x2≤8，又命题“∃x∈{x|1≤x≤2}，2x2－a≤0”
为真命题，即a≥(2x2) ＝2，即a≥2.
min
答案：a≥2
16．解析：(1)根据题意，∀x∈{x|3≤x≤5}，x－a≥0恒成立，
即a≤x恒成立，只需a≤3，故a≤3.
(2)选择①：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0，
若a＝0，显然满足题意；
若a≠0，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1，
故命题q为真时，a≤1，
根据(1)中所求，若命题p和命题q都是真命题，
则a≤1；
选择②：存在集合A＝{x|2<x<4}，集合B＝{x|a<x<2a}，使得A∩B＝∅，
当a≥2a，即a≤0时，B＝∅，显然满足题意；
当a<2a，即a>0时，只需2a≤2或a≥4，解得a≤1或a≥4.
故命题q为真时，a≤1或a≥4.
根据(1)中所求，若命题p和命题q都是真命题，
则a≤1.
课时作业 9
1．解析：对任意x∈R，都有x2>x的否定是存在x∈R，使得x2≤x，故选C.
答案：C
2．解析：命题“∃x<1，使x2≥1”的否定是“∀x<1，使x2<1”，故选D.
答案：D
3．解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，命题p：∀x∈R，x2＋x－1>0，则¬p
为∃x∈R，x2＋x－1≤0.故选B.答案：B
4．解析：根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可知，命题“有的四边形不是正
方形”的否定是“所有四边形都是正方形”．故选B.
答案：B
5．解析：因为命题为：“∀x∈R，x2＋2x3＋x4≥0”，所以该命题的否定为：
“∃x∈R，x2＋2x3＋x4<0”，A正确，B错误；因为x2＋2x3＋x4＝x2(x2＋2x＋1)＝x2(x＋
1)2≥0，所以p是真命题，C错误，D正确．故选AD.
答案：AD
6．解析：对于方程x2－x＋1＝0，Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3<0，所以∀x∈R，x2－x＋
1＝0无解，故p是假命题，故A错误；¬p：∀x∈R，x2－x＋1≠0，故B正确；任意两个等
边三角形都相似，故q是真命题，故C正确；¬q：存在两个等边三角形，它们不相似，故D
正确．故选BCD.
答案：BCD
7．解析：由题得命题p的否定为∃x∈Q，使得x2≥0，显然此命题为真命题．
答案：真
8．解析：因为命题p：∃x∈R，ax2－x－a≤0，
所以¬p：∀x∈R，ax2－x－a>0；
当x＝1时，ax2－x－a＝a－1－a＝－1<0成立，
所以命题p成立的一个x的值为1.
答案：∀x∈R，ax2－x－a>0 1
9．解析：(1)所有的无理数都是实数的否定为“有的无理数不是实数”；
(2) x∈R，x2＋x＋1>0的否定为“∃x∈R，x2＋x＋1≤0”；
(3)菱形不是矩形的否定为“存在一个菱形，它是矩形．
(4) ∀ x∈R，x2－x＋1＝0否定为“∀x∈R，x2－x＋1≠0”．
10．解析：(1)¬p：∃x∈R，x2－x＋<0，假命题．
∵ ∃ x∈R，x2－x＋＝(x－)2≥0，∴¬p是假命题．
(2)¬q：有的正方形不是矩形，假命题．
(3 ∀ )¬r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
∵ x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0，
∴¬r是真命题．
∀
11．解析：由全称量词命题和存在量词命题的否定形式，可得命题p：∀a∈N，
∃b∈N，使得a>b的否定¬p：∃a∈N，∀b∈N，使得a≤b.故选C.
答案：C
12．解析：“a，b，c都不小于1”的否定形式为a，b，c至少有一个小于1，即“a<1
或b<1或c<1”．故选D.
答案：D
13．解析：由题意得∃x∈R，使得mx2＋4x－1＝0，当m＝0，x＝时符合题意；当
m≠0，只要Δ＝16＋4m≥0即可，解得m≥－4，综上：m≥－4.故选C.
答案：C
14．解析：因为P∩Q＝Q，且P≠Q，所以Q是P的真子集，所以∀x∈Q，有x∈P，
∃x∈P，使得x∉Q，C、D错误．故选CD.
答案：CD
15．解析：由题转化为命题“任意1≤x≤2，x＋a>0”为真命题，即a>－x恒成立，又
－2≤－x≤－1，所以a>－1，即实数a的取值范围是a>－1.
答案：a>－1
16．解析：(1)∵存在量词命题的否定是全称量词命题，
∴命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”的否定是：∀x∈R，使x2＋2ax＋2－a≠0.
(2)命题p：“不等式x2－a≥0，在1≤x≤2时恒成立”，
即a≤x2对任意1≤x≤2恒成立，∴a≤1；
命题q：∃x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2，若命题p和命题q均为真命题，则a≤－2或a＝1，
所以实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.
课时作业 10
1．解析：对于A，某人收入x不高于2 000元可表示为x≤2 000，A错误；对于B，变
量y不超过a可表示为y≤a，B正确；对于C，变量x至少为a可表示为x≥a，C错误；对
于D，小明身高x cm，小华身高y cm，小明比小华矮表示为x<y，D错误．故选B.
答案：B
2．解析：由题中x不低于95，即x≥95，y高于380，即y>380，z超过45即z>45.故
选D.
答案：D
3．解析：M－N＝x2－x－(x－2)＝(x－1)2＋1>0，∴M>N.故选A.
答案：A
4．解析：由0.8n＋2 000<1.2n，得0.4n>2 000，即n>5 000.故选B.
答案：B
5．解析：因为a＝2x2－8x＋11，b＝x2－6x＋9，所以a－b＝(x－1)2＋1>0，故a>b，又
b＝(x－3)2≥0，c＝1－<0，所以a>b>0>c，ac<bc，故A、C错，B、D正确．故选BD.
答案：BD
6．解析：对于A，P－R＝(a2＋b2)－＝≥0，则P≥R，故A正确，C错误；对于B，R－Q
＝－2ab＝＝≥0，所以R≥Q，故B错误；因为P≥R，R≥Q，所以P≥Q，故D正确．故选AD.
答案：AD
7．解析：已知车货总重量T不超过30吨，则T≤30.
答案：T≤30
8．解析：因为a2＋b2－(2a－2b－2)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，a＝1，b＝－1时等号成
立，所以a2＋b2≥2a－2b－2.
答案：≥
9．解析：因为矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，
所以0<x≤18，这时菜园的另一边长为＝(15－)(m) ，
所以菜园的面积S＝x(15－)，依题意有S≥110，即x(15－)≥110，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
10．证明：2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)
＝a2＋b2－2ab＋b2＋c2－2bc＋a2＋c2－2ac
＝(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2，
显然(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，
当且仅当a＝b＝c时取等号，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
11．解析：因为x>1，所以a－b＝2x＋2y－3＋x2－2y＝(x＋1)2－4>0，所以a>b，因为
c－a＝x2＋y2－2x－2y＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0，所以c>a，故c>a>b.故选A.
答案：A
12．解析：因为A＝＋，B＝，所以A2－B2＝a＋b＋2－a－b＝2>0，所以A2>B2，又因为
A>0，B>0，所以A>B.故选B.
答案：B
13．解析：把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个
长方形，设道路的宽应为x米，草坪面积为(22－x)(17－x)，因为草坪的面积不小于300
m2，所以(22－x)(17－x)≥300.故选B.
答案：B
14．解析：对于A，a2＋2－2a＝(a－1)2＋1>0，故A成立；对于B，因a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，当且仅当a＝1时等号成立，故B不成立；对于C，a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋
(b＋1)2≥0，故C成立；对于D，a2＋b2－ab＝(a－)2＋b2≥0，当且仅当a＝b＝0时等号成立，
故D不成立，故选AC.
答案：AC
15．解析：设高一年级选手人数、高二年级选手人数、高三年级选手人数、教师选手人
数分别为a，b，c，d，且a，b，c，d为正整数，
则，从而3d≥a＋1≥b＋2≥c＋3≥d＋4，解得，故选手至少有2＋3＋4＋5＝14(人).
答案：14
16．解析：(1)由题可得<.
(2)证明：因为－＝＝，b>a>0，m>0，
所以a－b<0，b＋m>0，从而－<0，即<.
课时作业 11
1．解析：方法一 ∵A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用
特殊值法．令a＝2，b＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2，即a>－b>b>－a.
方法二 ∵a＋b>0，b<0，∴a>－b>0，－a<b<0，∴a>－b>0>b>－a，即a>－b>b>－a.故
选C.
答案：C
2．解析：由题意可得a为负数，b为正数，对于A，取a＝－1，b＝2，则a＋b＝1>0，
故错误；对于B，因为a2>0，ab<0，所以a2>ab，故错误；对于C，因为a<0<b，两边同时乘
以b，可得ab<b2，故正确；对于D，取a＝－2，b＝1，则a2>b2，故错误．故选C.
答案：C
3．解析：a－ab＝a(1－b)，又a>0，0<b<1，则a(1－b)>0，则a>ab，ab－ab2＝ab(1－
b)，又a>0，0<b<1，则ab(1－b)>0，则ab>ab2，综上，a>ab>ab2.故选A.
答案：A
4．解析：若a2>b2，则|a|>|b|，则a>|b|或a<－|b|，故充分性不成立；若a>|b|，则
a2>b2，故必要性成立；故“a2>b2”是“a>|b|”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
5．解析：对于A，取a＝6，b＝4，c＝3，d＝1，但a－c＝3＝b－d＝3，故A错误；对
于B，由a>b，c>d，所以a＋c>b＋d，故B正确．对于C，取a＝－4，b＝－6，c＝－1，d＝
－3，但ac＝4<bd＝18，故C错误；对于D，由c>d，知－c<－d，即a>b，－d>－c，所以a
－d>b－c，故D正确．故选BD.
答案：BD
6．解析：由不等式的同向可加性知选项 A正确；因为a<b<0，c<d<0，所以－a>－
b>0，－c>－d>0，所以ac>bd，故选项B正确；因为c<d<0，<0，所以<，故选项C错误；因
为－a>－b>0，所以a2>ab，ab>b2，所以a2>ab>b2，故选项D正确．故选ABD.
答案：ABD
7．解析：由于a>b，所以－2a<－2b，所以c－2a<c－2b，所以c－2a与c－2b中较大
的是c－2b.
答案：c－2b
8．解析：若命题“若>，则a<b”为假命题，则可使a>0，b<0，命题为假命题，可设a
＝1，b＝－1.
答案：1 －1(答案不唯一)
9．证明：－＝＝，
∵c>a>b>0，∴a－b>0，c－a>0，c－b>0，
∴>0，∴>.
10．解析：若ab>0，bc－ad>0成立，不等式bc－ad>0两边同除以ab可得－>0，
即命题1：ab>0，bc－ad>0 －>0.
⇒若ab>0，－>0成立，不等式－>0两边同乘ab，可得bc－ad>0，
即命题2：ab>0，－>0 bc－ad>0.
若－>0，bc－ad>0成立，则－＝>0.
⇒
又bc－ad>0，则ab>0，
即命题3：－>0，bc－ad>0 ab>0.
(以上三个命题中可以任意选择两个命题都可以)
11．解析：因为|a|>|b|， ⇒ 所以|a|2>|b|2，即a2>b2，所以a2－b2>0，故B正确；当a＝
－2，b＝－1时，a－b＝－1<0，故A错误；a3－b3＝－7<0，故C错误；＝－>－1＝，故D错
误．故选B.
答案：B
12．解析：因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，3z<x＋y＋z＝0，所以
x>0，z<0.所以由可得xy>xz.故选C.
答案：C
13．解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c，∴b<d.
又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.故选A.
答案：A
14．解析：因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1，1≤b－a≤4，
所以，4≤a＋b≤7，1≤b－a≤4，故A选项正确，B选项错误；因为1≤a≤2，3≤b≤5，所
以3≤ab≤10，≤≤，≤≤，所以3≤ab≤10，≤≤，故C选项正确，D选项错误．故选AC.
答案：AC
15．解析：①b>a>0，则>，不符合题意．
②0>b>a，则>，不符合题意．
③a>0>b，则>，不符合题意．
④a>b>0，则<，符合题意．
答案：④
16．解析：(1)由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
则a＝[(a＋b)＋(a－b)]，所以－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6，所以－2≤[(a＋b)＋(a－
b)]≤3，即－2≤a≤3.
因为b＝[(a＋b)－(a－b)]，
由－1≤a－b≤4，
所以－4≤b－a≤1，所以－7≤(a＋b)－(a－b)≤3，
所以－≤[(a＋b)－(a－b)]≤，
∴－≤b≤.
(2)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，
则，解得，
∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10，
∴－4≤3a－2b≤11.
课时作业 12
1．解析：∵x>0，∴x＋－2≥2 －2＝2，当且仅当x＝，x＝2时取等号．因此x＋－2的
最小值为2.故选B.
答案：B
2．解析：函数y＝1＋2x2＋中x≠0，所以y＝1＋2x2＋≥1＋2 ＝9，当且仅当2x2＝时，
即x＝±时取等号．所以函数的最小值为9.故选C.
答案：C
3．解析：正数a，b满足4a＋9b＝4，由基本不等式得：4a＋9b＝4≥2，解得：ab≤，当且仅当4a＝9b，即a＝，b＝时，等号成立，ab的最大值为.故选A.
答案：A
4．解析：根据基本不等式可得＋3x2≥2＝6，当且仅当＝3x2，即x2＝时，取等号；所
以y＝4－－3x2＝4－(＋3x2)≤4－6，故x2＝时，y＝4－－3x2有最大值4－6.故选A.
答案：A
5．解析：A中，因为x>1，x＋≥2不成立，当x＝1时等号成立，A错；
B中，因为x<0，所以－x>0，所以－x＋≥2，所以x＋≤－2成立，当且仅当x＝－1时
等号成立，B正确；
C中，因为0<x<1，＋≥2成立，当x＝1时等号成立，C错；
D中，因为x≥2，由基本不等式可得＋≥2成立，当且仅当x＝2时等号成立．
故选BD.
答案：BD
6．解析：易知C正确；对A，因为a≠0，所以a2>0，则a2＋≥2 ＝4，当且仅当a2＝⇒a
＝±时取“＝”，正确；对B，若a＝－1，则a＋＝－5，错误；对D，因为a<0，b<0，所以
>0，>0，则＋≥2 ＝2，当且仅当＝⇒a＝b时取“＝”，正确．故选ACD.
答案：ACD
7．解析：因为a，b都是正数，且ab＝1，所以a＋2b≥2＝2，当且仅当a＝2b，即a
＝，b＝时取等号．
答案：2
8．解析：因为x>0，则＝x＋＋4≥4＋2 ＝6，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，则的
最小值为6.
答案：6
9．解析：a2＋4b2＝a2＋(2b)2≥2·a·(2b)＝4ab＝4，
当且仅当a＝2b，即或时，不等式等号成立．
所以a2＋4b2的最小值为4.
10．解析：(1)因为x>0，故4x＋≥2 ＝4，当且仅当4x＝，即x＝时取等号．
故4x＋的最小值为4.
(2)因为x>0，故2－3x－＝2－(3x＋)≤2－2 ＝2－4，当且仅当3x＝，即x＝时取等号，
故2－3x－的最大值为2－4.
11．解析：对于A，因为>0，所以＋≥2 ＝2，当且仅当＝，即x2＝－4，故等号不成立，
故A不符合；
对于B，因为x2＋2>0，所以x2＋2＋≥2 ＝2，当且仅当x2＋2＝，即x2＝－1，故等号不
成立，故B不符合；
对于C，因为x2>0，所以x2＋≥2 ＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时取等号，故C符合；
对于D，因为|x|＋3>0，所以|x|＋3＋
≥2 ＝2，当且仅当|x|＋3＝，即|x|＝－2，故等号不成立，故D不符合．故选C.
答案：C
12．解析：当a＝－时，a＋＝－－2<－2；当a<－1时，a＋＝－(－a＋)≤－2＝－2，
当且仅当－a＝，即a＝－1时等号成立，所以当a<－1时，a＋<－2成立，所以“a<－1”是
“a＋<－2”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
13．解析：因为非零实数a，b满足＋＝，所以a，b>0且＋＝≥2 ，解得ab≥4，当且
仅当＝，即a＝，b＝4时，等号成立．故ab的最小值为4.故选C.
答案：C
14．解析：A选项，由基本不等式得a＋b≥2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，A选
项正确．
B选项，a＝1，b＝4时，ab＝4，但a2＋b2＝17>8，B选项错误．
C选项，由基本不等式得＋≥2 ＝1，当且仅当＝，a＝b＝2时等号成立，C选项正确．
D选项，a＝1，b＝4时，ab＝4，但＋＝3>2，D选项错误．故选AC.
答案：AC
15．解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以α＋β＝a＋＋b＋＝1＋≥1＋＝5，当且仅当a＝b＝时取等号．
答案：5
16．解析：(1)由题知a，b>0
所以ab－4＝a＋2b≥2，
当且仅当a＝2b时，上式取“＝”，
所以ab－2－4≥0，
所以≤－，或≥＋，
所以a，b>0，ab≥8＋4，
所以ab有最小值8＋4.
(2)由ab＝a＋2b＋4得a＝＝2＋，
又a>0，所以b>1，
所以a＋b＝b－1＋＋3≥3＋2，
当且仅当b－1＝时，即b＝1＋时，a＋b＝3＋2，
所以a＋b的取值范围为a＋b≥3＋2.
课时作业 13
1．解析：由题知矩形周长为定值2(a＋b)，所以面积S＝a·b≤，当且仅当a＝b时取
“＝”．故选A.
答案：A
2．解析：因为某商场春节前t天年糕销售总量f(t)＝t2＋12t＋16(0<t≤30)，所以该
商场前t天的年糕平均销售量为＝t＋＋12≥2 ＋12＝20，当且仅当t＝，即t＝4时取等号，
所以该商场前t天的年糕平均销售量最少为20.故选C.
答案：C
3．解析：由题意得，地面面积和天花板面积均为200 m2，设实验室造价为y元，地面
的长为x m，则宽为 m，墙壁面积为(6x＋)m2，所以y＝(120＋240)×200＋160×(6x
＋)≥72 000＋320 ＝72 000＋19200≈9.91(万元)，当且仅当6x＝，即x＝10时，等号成
立．故选A.
答案：A
4．解析：设小矩形的长为x米，宽为y米，整个书画展区域的面积为S平方米．由xy
＝225，得S＝(x＋4)(y＋4)＝xy＋4y＋4x＋16＝241＋4x＋4y≥241＋2＝241＋2×60＝
361，当且仅当4x＝4y，即x＝15，y＝15时，等号成立．故整个书画展区域面积的最小值
是361平方米．故选C.
答案：C
5．解析：一年购买某种货物800吨，每次购买x吨，则需要购买次，又运费是8万
元/次，一年的总存储费用为4x万元，所以一年的总运费与总存储费用之和y＝×8＋4x万
元．因为y＝×8＋4x≥2 ＝320，当且仅当＝4x，即x＝40时，等号成立，所以当x＝40时，
y取得最小值，y ＝320.故选AC.
min
答案：AC
6．解析：∵a>0，b>0，b＝2－a.∴，解得0<a<2，同理0<b<2，则A不正确，D正确；
∵ab≤＝＝1，当且仅当a＝b时，等号成立，∴0<ab≤1，则B正确；∵a2＋b2≥＝＝2，当且
仅当a＝b时，等号成立，∴a2＋b2≥2，则C正确．故选BCD.
答案：BCD
7．解析：因为某产品总成本C(单位：元)与年产量Q(单位：件)之间的关系为C＝40Q2
＋16 000.
所以年产量为Q时的平均成本为f(Q)＝＝40Q＋≥2 ＝1 600，
当且仅当40Q＝，即Q＝20时，f(Q)取得最小值，最小值为1 600.
答案：1 600
8．解析：由直角三角形的面积等于50 cm2可设两条直角边长分别为x cm、 cm，则该直角三角形的周长为x＋＋ ≥
2 ＋ ＝10＋20(cm)，
当且仅当时，即当x＝10时，等号成立．
故该三角形的周长的最小值为20＋10 cm.
答案：20＋10
9．解析：(1)设苗圃的长，宽分别为a，b，则ab＝1 250，
所以2a＋b≥2＝100，
当且仅当2a＝b，即a＝25，b＝50时取等号，
故栅栏总长的最小值为100米．
(2)由题可得2a＋b＝200，
所以ab＝×2ab≤＝5 000，
当且仅当2a＝b，即a＝50，b＝100时取等号，
故当长为50米宽为100米时苗圃面积最大，最大值为5 000平方米．
10．解析：(1)由题意得L＝a＋b＋，0<a<6，0<b<4.
(2)a＋b＋＝4＋2，
由基本不等式得a＋b≥2，≥，当且仅当a＝b时等号成立，
故4＋2≥(2＋)，得ab≤4，
S＝24－ab，故S的最小值为22，此时a＝b＝2.
11．解析：设天平的左右臂分别为l l，物体放在左右托盘称得的重量分别为a，b，
1， 2
真实重量为G，
所以，由杠杆平衡原理知：l·G＝l·a，l·G＝l·b，
1 2 2 1
所以，由上式得G2＝ab，即G＝，
因为l≠l，a≠b，
1 2
所以，由均值不等式>＝G，故选C.
答案：C
12．解析：由题意可知，t>0，所以>0，所以C＝＝≤＝5，当且仅当t＝，即t＝3时取
等号．所以当t＝3时，水池中药品的浓度达到最大．故选B.
答案：B
13．解析：根据题意可得m＝＝≤＝.当且仅当a＝b时等号成立；m＝＝≥，当且仅当a
1 2
＝b时等号成立，由题意可得a≠b，所以m<，m>，则m>m.故选C.
1 2 2 1
答案：C
14．解析：设GF＝x步，EF＝y步，
由△BEF∽△FGA得＝，
所以＝，y＝，
所以小城周长为z＝2(2x＋2y)＝4(x＋)≥4×2 ＝2400(步)＝8(里)，
当且仅当x＝，即x＝300时取等号．故选CD.
答案：CD
15．解析：设这批物资全部运到B市用的时间为y小时，
因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值
为16×()2千米时，时间最快．
则y＝＝＋≥2 ＝8，
当且仅当＝即v＝100千米/小时时，时间y ＝8小时．
min
答案：8 100
16．解析：(1)设阴影部分直角三角形的高为y cm，所以阴影部分的面积：S＝6×xy＝
3xy＝36 000，所以xy＝12 000，即：x＝100 cm，y＝120 cm，
由图象知：AD＝y＋20＝140 cm，AB＝3x＋50＝350 cm，
∴S ＝140×350＝49 000(cm2).
ABCD
(2)由(1)知：xy＝12 000，x>0，y>0，
S ＝(3x＋50)(y＋20)＝3xy＋60x＋50y＋1 000≥3xy＋2＋1 000＝49 000，当且仅当
ABCD
6x＝5y，即x＝100 cm，y＝120 cm，
即AB＝350 cm，AD＝140 cm时等号成立．综上，选择长宽分别为350 cm，140 cm的海报纸．
课时作业 14
1．解析：依题意x>1，x－1>0，f(x)＝4(x－1)＋＋4
≥2 ＋4＝8，当且仅当4(x－1)＝，x＝时等号成立．故选C.
答案：C
2．解析：因为a＋b＝4，所以＋＝(a＋b)(＋)＝(2＋＋)≥(2＋2 )＝1，当且仅当a＝
2，b＝2时，等号成立，故＋的最小值为1.故选B.
答案：B
3．解析：依题意，x>0，y>0，x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝(4＋＋)≥(4＋2 )＝4，当且仅当
＝，x＝2y＝2时等号成立．故选B.
答案：B
4．解析：由2x＋y＝xy得＋＝1，则x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝＋＋5≥2 ＋5＝9，当且仅
当x＝y＝3时等号成立，故x＋2y有最小值9.故选B.
答案：B
5．解析：当x>1时，f(x)＝x＋＝x－1＋＋1≥2 ＋1＝5，当且仅当x＝3时，等号成立；
故A正确，B错误；
当x<1时，f(x)＝x＋＝x－1＋＋1＝－[－(x－1)＋(－)]＋1≤－2 ＋1＝－3，当且仅
当x＝－1时，等号成立；故C正确，D错误．故选AC.
答案：AC
6．解析：＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，
当且仅当即a＝b＝时等号成立，所以＋≥4，
由选项可知＋的可能取值为4，5，不可能为2，3.故选CD.
答案：CD
7．解析：因为x∈R＋，所以＝，而x＋≥2 ＝2(当且仅当x＝1时取等号)，因此0<≤，
故有最大值，最大值为.
答案：大
8．解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以ab≤＝，所以(a＋1)(b＋1)＝ab＋a＋b＋1＝
ab＋2≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”．
答案：
9．解析：(1)∵0<x<3，∴x(3－x)≤＝(当且仅当x＝时等号成立)，
所以x(3－x)的最大值为.
(2)∵0<x<3，∴x(3－2x)＝2x(－x)≤2·()2＝(当且仅当x＝时取等号)，所以x(3－2x)
的最大值为.
10．解析：(1)因为x，y>0，且x＋2y＝2xy，
由基本不等式得2xy＝x＋2y≥2，
解得≥，
所以xy≥2，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时，等号成立，
所以xy的最小值为2.
(2)因为x，y>0，且x＋2y＝2xy，
所以＋＝1，
所以x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋
≥2 ＋＝＋，
当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，
所以x＋y的最小值为＋.
11．解析：因为x<0，所以1－x>0，所以y＝2x＋3＋＝2(x－1)＋＋5＝－[2(1－x)＋]
＋5≤5－2，当且仅当x＝1－时，等号成立，故选D.
答案：D12．解析：∵m＋n＝2，∴(m＋1)＋(n＋1)＝4，即＋＝1，∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥2 ＋
＝，当且仅当＝，且m＋n＝2时，即m＝，n＝时等号成立．故选B.
答案：B
13．解析：由不等式2a＋b≥m恒成立可知，只需m小于等于2a＋b的最小值，
由a＞0，b＞0，＋＝1，
可得2a＋b＝(2a＋b)(＋)＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，当且仅当＝时取等号，∴m≤3＋2，
∴m的最大值为3＋2，故选C.
答案：C
14．解析：对于A，＋＝(4a＋b)(＋)＝2＋＋，
∵a>0，b>0，∴>0，>0，∴由基本不等式＋≥2 ＝2，
当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，
∴＋＝2＋＋≥2＋2＝4，＋的最小值为4，故选项A正确；
对于B，＋＝(4a＋b)(＋)＝5＋＋，
∵a>0，b>0，∴>0，>0，∴由基本不等式＋≥2 ＝4，
当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，
∴＋＝5＋＋≥5＋4＝9，＋的最小值为9，故选项B正确；
对于C，∵a>0，b>0，∴4a＋1>0，b＋1>0，
∴由基本不等式(4a＋1)(b＋1)≤[]2＝＝＝，
当且仅当4a＋1＝b＋1，即a＝，b＝时，等号成立，
∴(4a＋1)(b＋1)的最大值为，故选项C正确；
对于D，∵a>0，b>0，∴4a＋4>0，b＋1>0，
∴由基本不等式(a＋1)(b＋1)＝(4a＋4)(b＋1)≤·＝·＝，
当且仅当4a＋4＝b＋1，即a＝－，b＝2时，等号成立，这与a>0矛盾，上式无法取等
号，故选项D错误．故选ABC.
答案：ABC
15．解析：因为＝＝x－1＋，
因为x<1，所以x－1<0，
所以－(x－1)＋≥2 ＝2，
当且仅当－(x－1)＝即x＝1－时取得等号，
所以(x－1)＋≤－2，
所以当x＝1－时的最大值是－2.
答案：－2
16．证明：(1)因为0≤x≤1，所以0≤≤1，1－≥0，
所以(1－)≤＝，
当且仅当＝1－，即x＝时，等号成立．
(2)因为ab≠0，当ab>0时，|＋|＝＋≥2 ＝2，
当且仅当a＝b≠0时等号成立．
当ab<0时，|＋|＝＋≥2 ＝2，
当且仅当a＝－b≠0时等号成立．
综上，若ab≠0，则|＋|≥2成立，当且仅当a2＝b2≠0时等号成立．
课时作业 15
1．解析：由已知可得，Δ＝(－m)2－4×9≥0，即m2－36≥0，解不等式可得，m≤－6
或m≥6.所以m的取值范围是{m|m≤－6或m≥6}．故选A.
答案：A
2．解析：由题意可得A＝{x|－1<x<4}，则A∩B＝{x|－1<x<3}．故选D.
答案：D
3．解析：由(1＋x)(3－x)<0，可得(x＋1)(x－3)>0，所以x<－1或x>3，所以不等式的解集为{x|x<－1或x>3}．故选C.
答案：C
4．解析：由二次函数图象知：a<0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点为－2和1，所以
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2或1，所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－
2<x<1}．故选A.
答案：A
5．解析：对于A选项，解不等式3x2－7x－10≤0得－1≤x≤，A为非空集合；
对于B选项，因为x2－4x＋7＝(x－2)2＋3>0，故不等式x2－4x＋7≤0的解集为空集，B
不满足条件．
对于C选项，由－2x2＋x<－3可得2x2－x－3>0，解得x<－1或x>，C为非空集合；
对于D选项，由－x2＋6x－9≤0得x2－6x＋9＝(x－3)2≥0，该不等式的解集为R，D为
非空集合．故选ACD.
答案：ACD
6．解析：因为Δ＝(－1)2－4×2＝－7<0，二次函数的图象开口朝上，所以不等式x2－
x＋2>0的解集为R，
A．Δ＝1－4×(－1)×(－2)＝－7<0，二次函数的图象开口朝下，所以－x2＋x－2<0的
解集为R；
B．Δ＝(－3)2－4×2×2＝－7<0，二次函数的图象开口朝上，所以不等式2x2－3x＋
2>0的解集为R；
C．Δ＝(－1)2－4×1×3＝－11<0，二次函数的图象开口朝上，所以不等式x2－x＋
3≥0的解集为R；
D．x2＋x－2>0，所以(x＋2)(x－1)>0，∴x>1或x<－2，与已知不符．故选ABC.
答案：ABC
7．解析：由韦达定理知：x＋x＝－，xx＝－2，∴＋＝＝.
1 2 1 2
答案：
8．解析：因为x2＋2x－8≥0，即(x＋4)(x－2)≥0，所以x≥2或x≤－4，所以不等式
x2＋2x－8≥0的解集是{x|x≥2或x≤－4}．
答案：{x|x≥2或x≤－4}
9．解析：因为二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，
所以－1和2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，
所以不等式x2＋bx＋c>0，可化为(x＋1)(x－2)>0，解得x<－1或x>2，
即不等式的解集为{x|x<－1或x>2}．
10．解析：(1)因为－1，3是函数f(x)的零点，即x＝－1或x＝3是方程f(x)＝0的两
个实根，
所以x·x＝－3＝，从而a＝－1，
1 2
x＋x＝2＝－＝b，即b＝2，
1 2
所以f(x)＝－x2＋2x＋3.
(2)由(1)得f(x)＝－x2＋2x＋3，从而f(x)≤3即－x2＋2x≤0，
所以x2－2x≥0，
解得x≥2或x≤0.
故不等式的解集为{x|x≤0或x≥2}．
11．解析：由x2－(t＋)x＋1＝(x－t)(x－)＝0，可得x＝t或x＝，∵0<t<1，
1 2
∴>1>t，则不等式x2－(t＋)x＋1<0的解集是{x|t<x<}．故选D.
答案：D
12．解析：因为a*b＝ab＋2a＋b，所以由x*(x－2)<0 x(x－2)＋2x＋x－2<0 (x＋2)
(x－1)<0 －2<x<1，故选B.
答案：B ⇒ ⇒
13．⇒解析：由x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)<0，当a<1时，a<x<1，此时解集中恰有
两个整数为－1，0，故－2≤a<－1；当a＝1时，无解，不合题意；当a>1时，1<x<a，此时
解集中恰有两个整数为2，3，故3<a≤4；综上，－2≤a<－1或3<a≤4.故选C.
答案：C14．解析：当a<0时，函数y＝a(x＋a)(x－1)开口向下，若a＝－1，不等式解集为∅；
若－1<a<0，不等式的解集为{x|－a<x<1}；若a<－1，不等式的解集为{x|1<x<－a}．综上
所述：B、C项都可能成立．故选BC.
答案：BC
15．解析：因为0<a<1，所以a>a2，所以(x－a)(x－a2)>0的解为x<a2或x>a.
答案：{x|x<a2或x>a}
16．解析：由ax2＋(1－a)x－1<0，得(ax＋1)(x－1)<0，
①当a＝0时，得x<1，
②当a＝－1时，(－x＋1)(x－1)<0，(x－1)2>0，得x≠1，
③当－1<a<0时，－>1，则x<1或x>－，
④当a<－1时，－<1，则x<－或x>1，
⑤当a>0时，－<x<1，
综上，当a＝0时，解集为{x|x<1}，当a＝－1时，解集为{x|x≠1}，当－1<a<0时，解
集为{x|x<1 或x>－}，当a<－1 时，解集为{x|x<－或x>1}，当a>0 时，解集为{x|－
<x<1}．
课时作业 16
1．解析：>0 (4x＋2)(3x－1)>0 x>或x<－，此不等式的解集为{x|x>或x<－}．
答案：A
2．解析：不⇔等式≥0等价于，解得⇔0<x≤1，所以不等式≥0的解集为{x|0<x≤1}．故选
B.
答案：B
3．解析：因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－1<x<2}，所以，解得，所以b－a＝
2.故选C.
答案：C
4．解析：y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或
x≤－200(舍去).故选C.
答案：C
5．解析：由已知得a<0，ax2＋bx＋c＝0的两根为－2和1，∴－＝(－2)＋1＝－1，＝
(－2)×1＝－2，∴b＝a，c＝－2a，∵a<0，∴b<0，c>0，∴a－b＋c＝c>0，a＋b＝2a<0，所
以A、B、C正确，D错误．故选ABC.
答案：ABC
6．解析：设甲的速度为x，由题得0.1x＋0.01x>12，解之得x<－40或x>30；设乙
1 1 1 1
的速度为x，由题得0.05x＋0.005x>10.解之得x<－50或x>40.由于x>0，从而得x>30
2 2 2 2 1
km/h，x>40 km/h.经比较知乙车超过限速．故选ACD.
2
答案：ACD
7．解析：由题可知，x＝，x＝是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，根据韦达定理可知：，
1 2
解得：a＝6，b＝－5，所以a＋b＝1.
答案：1
8．解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100(5x＋1－)≥3
000，整理得5x－14－≥0，又1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，解得3≤x≤10.故x的最小
值是3.
答案：3
9．解析：(1)由x2－2x－3<0，解得－1<x<3，
所以A＝{x|－1<x<3}，
由<0，得(x＋3)(x－2)<0，解得－3<x<2，
所以B＝{x|－3<x<2}，
所以A∩B＝{x|－1<x<2}．(2)由(1)知A∩B＝{x|－1<x<2}，
由题意得：－1和2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实根，
根据根与系数的关系，得－1＋2＝－a，－1×2＝b，解得a＝－1，b＝－2，
所以不等式ax2＋x＋b<0化为－x2＋x－2<0，
即x2－x＋2>0，则Δ＝1－8<0，
所以不等式的解集为R.
10．解析：花坛的宽度为x m，所以绿草坪的长为(80－2x)m，宽为(60－2x)m，
草坪面积为(80－2x)·(60－2x)＝4(x2－70x＋1 200)m2，
总面积80×60＝4 800(m2)，
根据题意可得4(x2－70x＋1 200)≥×4 800，
整理得x2－70x＋600≥0，解得x≥60或x≤10.
由题意知，解得0<x<30，所以x≥60不符合题意，舍去，
所以0<x≤10.
答：当0<x≤10时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一．
11．解析：≥1，即－1≥0，≥0，等价于，解得x>1或x≤－4.故选D.
答案：D
12．解析：因为关于x的不等式ax2＋bx<0的解集为(0，2)，所以0和2为方程ax2＋bx
＝0的根，且a>0，即4a＋2b＝0，b＝－2a<0，因此bx2＋ax>0，即－2ax2＋ax>0，所以2x2
－x<0，解得：0<x<.故选C.
答案：C
13．解析：由于不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3<x<－2}，
所以，解得a＝－1，b＝－6，
所以不等式bx2－5x＋a>0，即－6x2－5x－1>0，6x2＋5x＋1<0，
(3x＋1)(2x＋1)<0，解得－<x<－，
所以不等式bx2－5x＋a>0的解集为{x|－<x<－}．故选A.
答案：A
14．解析：当a<0时，不等式等价于(x－1)(x－a)<0，解得a<x<1；
当a＝0时，不等式的解集是∅；
当0<a<1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，解得x>1或x<a；
当a＝1时，不等式等价于(x－1)2>0，解得x≠1；
当a>1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，解得x>a或x<1.故选BCD.
答案：BCD
15．解析：设每个床位的定价应为x元，则每晚上有200－(x－50)＝250－x张床位有
人入住，
所以旅馆每晚的收入为(250－x)x＝－x2＋250x(元)，
因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，
所以－x2＋250x>15 400，即x2－250x＋15 400<0，解得110<x<140，
因为x是10的整数倍，
所以，每个床位的定价应为120或130元．
答案：120或130
16．解析：如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系．
∵AB＝400，∠BAx＝30°，∴台风中心B的坐标为(200，－200)，x h后台风中心B到达点P(200，40x－200)处．
由已知，A市受台风影响时，有AP≤350，
即(200)2＋(40x－200)2≤3502，
整理得16x2－160x＋375≤0，
解这个不等式得3.75≤x≤6.25，
A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h).
故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h．
课时作业 17
1．解析：不等式x2－mx＋1>0的解集为R，所以Δ<0，即m2－4<0，解得－2<m<2.故选
D.
答案：D
2．解析：若关于x的不等式x2－4x－2－a≤0有解，则Δ＝16＋4(2＋a)≥0，解得a≥
－6.故选C.
答案：C
3．解析：由于关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≤0的解集为∅，所以Δ＝m2－4＝(m
＋2)(m－2)<0，解得－2<m<2.故选B.
答案：B
4．解析：∵对于一切实数x不等式x2－ax＋4>0恒成立，∴二次函数y＝x2－ax＋4的图
象在x轴上方，∴x2－ax＋4＝0无实数根，∴(－a)2－4×4＝a2－16<0，解得－4<a<4.故选
A.
答案：A
5．解析：x2＋bx＋c≥2x＋b可整理为x2＋(b－2)x＋c－b≥0，根据二次函数的性质有：
Δ＝(b－2)2－4(c－b)＝b2－4c＋4≤0，故A正确；当b＝1，c＝2时，满足Δ≤0，即原不
等式成立，B错误；由Δ≤0，得c≥＋1，所以c≥1，C正确；b＋c≥＋b＋1＝(＋1)2≥0，
D正确．故选ACD.
答案：ACD
6．解析：由命题p：∀x∈R，x2＋(2a＋1)x＋4>0 Δ＝(2a＋1)2－16<0 －<a<.故命
题p成立的一个充分条件是{a|－<a<}的子集，对照四个选项，ABD符合要求．故选ABD.
答案：ABD ⇔ ⇔
7．解析：令y＝3x2－x＋1＝3(x－)2＋，则y ＝，
min
因为∃x∈R，使得不等式3x2－x＋1<m成立，
所以m>，则m的取值范围是{m|m>}．
答案：{m|m>}
8．解析：∵“∃x∈R，使得2x2＋ax＋≤0”是假命题，
∴命题“∀x∈R，使2x2＋ax＋>0”是真命题，
∴判别式Δ＝a2－4×2×<0，
∴－2<a<2.
答案：{a|－2<a<2}
9．解析：(1)由题意，不等式x2－ax－a>0的解集为R，
所以Δ＝a2＋4a<0，解得－4<a<0，
所以实数a的取值范围为－4<a<0.
(2)因为不等式x2－ax－a≤－3即x2－ax＋(3－a)≤0的解集不是空集，
所以Δ＝a2－4(3－a)≥0，解得a≤－6或a≥2，
所以实数a的取值范围为a≤－6或a≥2.
10．解析：若∀x∈A，x2＋m≥4＋3x恒成立，
即m≥－x2＋3x＋4，－1≤x≤2，
令y＝－x2＋3x＋4＝－(x－)2＋，－1≤x≤2，当x＝时，y取最大值为，
则m≥，
即实数m的取值范围为{m|m≥}．
11．解析：若a＝0，则－2<0恒成立，故a＝0符合，若a≠0，则即－16<a<0，综上，
－16<a≤0.故选B.
答案：B
12．解析：因为对任意x∈{x|－1≤x≤1}，不等式x2－x＋≥m恒成立．所以(x2－x
＋) ≥m，其中x∈[－1，1]，设y＝x2－x＋，x∈[－1，1]，因为y＝x2－x＋＝(x－)2＋，
min
所以当x＝时，函数y＝x2－x＋，x∈[－1，1]取最小值，最小值为，所以m≤.故选B.
答案：B
13．解析：∵存在实数x使不等式≥成立，
∴(1－x)x－(a＋1)(a－2)＝x－x2－(a＋1)(a－2)≥，
即x2－x＋a2－a－≤0存在x使不等式成立，
∴Δ＝1－4(a2－a－)≥0，∴4a2－4a－3≤0，解得－≤a≤，∴a的最大值为.故选D.
答案：D
14．解析：由x2－9x＋18≤0得(x－3)(x－6)≤0，解得3≤x≤6，故不等式x2－9x＋
18≤0对于任意a－1≤x≤a＋1恒成立，则a－1≥3且a＋1≤6，进而得4≤a≤5，故a＝
4，a＝，a＝5均符合．故选BCD.
答案：BCD
15．解析：由题意ax2－ax＋1≥0在R上恒成立，
则当a＝0时，ax2－ax＋1＝1≥0成立，
当a≠0时，ax2－ax＋1≥0在R上恒成立，
等价于，解得0<a≤4，
综上所述：0≤a≤4，
即实数a的取值范围是{a|0≤a≤4}．
答案：{a|0≤a≤4}
16．解析：(1)不等式y≥0对任意－≤x≤恒成立，
即m(x2－x＋1)≥1－x对任意－≤x≤恒成立，
因为x2－x＋1＝(x－)2＋>0，
则不等式等价于m≥对任意－≤x≤恒成立，
由－≤x≤，
得＝＝＝≤＝1，
当且仅当1－x＝，即x＝0时取等号，
所以 ＝1，所以m≥1.
max
(2)不等式y>2对任意0<m<2恒成立，
即(x2－x＋1)m＋x－3>0对任意0<m<2恒成立，
令y＝(x2－x＋1)m＋x－3，把它看成关于m的一次函数，
因为x2－x＋1＝(x－)2＋>0，
所以只需m＝0时，y≥0，
则即x－3≥0，解得x≥3，
所以x的取值范围为x≥3.
课时作业 18
1．解析：对于A，在对应关系f：x→y＝x中，当x＝0时，y＝0，则集合B中没有元素
和x对应，不是从集合A到集合B的函数，故A错误，
对于B，在对应关系f：x→y＝x2中，当x＝0时，y＝0，则集合B中没有元素和x对应，
不是从集合A到集合B的函数，故B错误，对于C，在对应关系f：x→y＝2x中，当x＝0时，y＝0，则集合B中没有元素和x对应，
不是从集合A到集合B的函数，故C错误，
对于D，在对应关系f：x→y＝2x＋2中，因为x≥0，所以y∈{x|x≥2}{x|x≥1}，则
集合A中任意一个元素x在集合B中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，是从集合
A到集合B的函数，故D正确．故选D.
答案：D
2．解析：对选项A：存在点使一个x与两个y对应，不符合，排除；
对选项B：当2<x≤4时，没有与之对应的y，不符合，排除；
对选项C：y的范围超出了集合B的范围，不符合，排除；
对选项D：满足函数关系的条件，正确．故选D.
答案：D
3．解析：若集合A＝{－1，2}，则－1∈A，但|－1|＝1∉B.故选C.
答案：C
4．解析：由函数定义可知，定义域包含x＝0时，则与y轴有1个交点，当定义域不包
含x＝0时，则与y轴无交点，所以函数y＝f(x)与y轴的交点个数为0个．故选B.
答案：B
5．解析：ABD均满足函数的定义，C选项，同一个分数可以对应多个考试号，不满足对
于任意的x，都有唯一的y与其对应，故C选项错误．故选ABD.
答案：ABD
6．解析：根据函数的定义，函数关系中任意一个x都有唯一的y对应，可看出：选项
A，B的关于x、y的关系式中一个x都有两个y与之对应，不能构成函数关系；选项C，D中
的任意一个x都有唯一的y对应，能构成函数关系．故选CD.
答案：CD
7．解析：要使函数f(x)＝有意义，只需x≥0.
所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≥0}．
答案：{x|x≥0}
8．解析：∵A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，且集合A为定义域，集合B为值域，
∴根据函数的定义可得集合B中的4或5在集合A中就一定有两个元素与之对应．
若4在集合A中有两个元素与之对应，那就会有{1，2}，{2，3}，{1，3}这三种情况．
同理，若5在集合A中有两个元素与之对应，也就会有{1，2}，{2，3}，{1，3}这三种
情况．
∴函数可以建立的个数为3＋3＝6(个).
答案：6
9．解析：因为每一个投掷序号n，都有唯一的向上的点数与之对应，
所以根据函数的定义可知，对应f是函数；
这个函数值域不一定是集合{1，2，3，4，5，6}，应该是集合{1，2，3，4，5，6}的非
空子集．
10．解析：(1)由x2－1≠0得x≠±1，
所以f(x)＝的定义域为{x|x≠－1且x≠1}．
(2)由，得－2≤x≤1，
所以f(x)＝＋的定义域为{x|－2≤x≤1}．
(3)由，得x≥－1，所以f(x)的定义域为{x|x≥－1}．
11．解析：根据圆柱的体积公式的实际应用，油面高度为h，会影响油面的宽度w，从
而影响油量v，
A：由于v确定，故h确定，w就确定，符合函数的定义，故A正确；
B：由于w确定，h有两个(上下对称)，所以v有两个，
故与函数的定义相矛盾，不是函数，故B错误；
C：由于v确定，故h确定，符合函数的定义，故C正确；
D：由于h确定，故v确定，符合函数的定义，故D正确．
故选B.
答案：B12．解析：根据对应关系y＝3x＋1，3×1＋1＝4，
3×2＋1＝7，由题意可得3×k＋1＝3k＋1＝10，
∴k＝3.故选B.
答案：B
13．解析：根据函数的定义可得f(a)，f(b)，f(c)均可取－1，0，1中的一个，
则满足f(a)＋f(b)＝f(c)的有：
0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，0－1＝－1，－1＋0＝－1，1－1＝0，－1＋1＝0，共7
个．故选D.
答案：D
14．解析：对于A，根据题意可知定义域为A＝{a∈N*|a≥1}，B＝{0，1，2，3，4，
5，6，7，8，9}，
因为0∈B，0∉A，所以值域B不是定义域A的子集，所以A错误，
对于BC，由题意可知数位a对应的数字依次为1，4，1，5，9，2，6，…，则函数图象
f(a)是一群孤立的点，f(6)＝2，所以BC正确，
对于D，因为b＝1时， a＝1和3，不符合函数的定义，所以D错误．故选BC.
答案：BC
15．解析：f(x)的定义域是R，则－mx2－2x＋1≥0恒成立，
即mx2＋2x－1≤0恒成立，则，解得m≤－1，
所以实数m的取值范围为m≤－1.
答案：{m|m≤－1}
16．解析：直角三角形的面积为5，设一条直角边长为x，另一条直角边长为y，那么y
＝.其中，x的取值范围是A＝{x|x＞0}，y的取值范围是B＝{y|y>0}．对应关系f把每一个
直角三角形的一条直角边长x，对应到唯一确定的另一条直角边长.
课时作业 19
1．解析：由集合{x|x>0且x≠2}＝{x|0<x<2或x>2}＝(0，2)∪(2，＋∞).故选C.
答案：C
2．解析：区间(1，2)表示的集合为{x|1<x<2}，
A．集合{(1，2)}表示点集，只有一个元素，故A错误；
B．{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，故B正确；
C．{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，表示数集，其中只有2个元素，故C错误；
D．{(x，y)|x＝1，y＝2}＝{(1，2)}，故D错误．故选B.
答案：B
3．解析：由题，解得x≥且x≠2，
∴函数f(x)＝＋的定义域为[，2)∪(2，＋∞).故选C.
答案：C
4．解析：f(3)＝＋＝3.故选C.
答案：C
5．解析：函数y＝|x|的定义域是R，对应法则是取绝对值，
对于A，函数y＝()2定义域是[0，＋∞)，A不是；
对于B，函数y＝＝|x|的定义域是R，对应法则是取绝对值，B是；
对于C，函数y＝|t|的定义域是R，对应法则是取绝对值，C是；
对于D，函数y＝＝x的定义域是R，对应法则与函数y＝|x|的对应法则不同，D不是．
故选BC.
答案：BC
6．解析：∵f(g(x))＝1，∴g(x)＝3，
∴x＝2或4.故选BD.
答案：BD7．解析：因A＝{x|－1<x≤3}，B＝(－∞，0]＝{x|x≤0}．则A∪B＝(－∞，3].
答案：(－∞，3]
8．解析：f(x)＝＝2，∴x＋2＝2(x－6)，解得x＝14.
答案：14
9．解析：(1)∵f(x)＝3x2－1，∴f(1)＝3×12－1＝2，
∵g(x)＝，∴g(1)＝＝.
(2)由(1)知f(g(1))＝f()＝3×()2－1＝－，g(f(1))＝g(2)＝＝.
10．解析：(1)∵f(x)＝3x2＋5x－2，
∴f(3)＝3×32＋5×3－2＝40，
f(a＋1)＝3×(a＋1)2＋5×(a＋1)－2＝3a2＋11a＋6；
(2)令f(a)＝－4，
即f(a)＝3a2＋5a－2＝－4，
解得：a＝－，或a＝－1.
11．解析：因为[a，2－a2]为一确定区间，则
a<2－a2 a2＋a－2<0 －2<a<1.故选A.
答案：A
12．解析⇒：∵函数f(x⇒)＝ax2－1为二次函数，则a≠0，
则f(－1)＝a－1，
∴f(f(－1))＝f(a－1)＝a×(a－1)2－1＝－1，∴a(a－1)2＝0，∵a≠0，∴a＝1.故选C.
答案：C
13．解析：因为函数f(x)的定义域为[0，4]，
所以0≤x＋2≤4，解得－2≤x≤2，
所以函数g(x)＝f(x＋2)的定义域为[－2，2].故选A.
答案：A
14．解析：A.函数的定义域为{x|x≤0}，y＝＝－x，两个函数的对应法则不相同，不是
同一函数；
B．函数的定义域为{x|x≠0}，
f(x)＝＝g(x)＝x0＝1(x≠0)，
两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；
C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；
D．由得得x≥1，由(x＋1)(x－1)≥0得x≥1或x≤－1，两个函数的定义域不相同，不
是同一函数．故选ABD.
答案：ABD
15．解析：由题意，f(－2)＝＋a(－2)3－b×(－2)－5＝2，即＋a×23－b×2＝－7，
故f(2)＝＋a×23－2b－5＝－7－5＝－12.
答案：－12
16．解析：(1)f(x)＝＝1－，f(2)＝1－＝，f()＝1－＝，
f(3)＝1－＝，f()＝1－＝.
故f(2)＋f()＝＋＝1，f(3)＋f()＝1.
(2)由(1)所得结果发现f(x)＋f()＝1.
证明如下：f(x)＋f()＝＋＝＋＝1.
课时作业 20
1．解析：根据题意，依次分析选项：
对于A，其对应函数的值域不是N＝{y|0≤y≤1}，故A错误；
对于B，对应函数的定义域不是M＝{x|0≤x≤1}，故B错误；
对于C，其对应函数的定义域为M＝{x|0≤x≤1}，值域是N＝{y|0≤y≤1}，故C正确；
对于D，此图象不是函数图象，故D错误．故选C.答案：C
2．解析：由列表可知f(－1)＋f(2)＝2＋3＝5.故选B.
答案：B
3．解析：令x＝1，得f(1)＋f(1)＝－4，故f(1)＝－2.故选C.
答案：C
4．解析：小明匀速行驶至终点，小华开始骑得快，中途修车路程未变，后又快速骑至
终点，此时小明已到达终点，只有选项B中图象符合题意．故选B.
答案：B
5．解析：选项A：由图象可得f(－3)＝2，所以f(f(－3))＝f(2)＝1，A正确；
选项B：图象法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图象不能得出f(－1)的
确定值，B错误；
选项C：由图象可得函数的定义域为[－3，0]∪[2，3]，C错误；
选项D：由图象可得函数的值域为[1，5]，D正确．故选AD.
答案：AD
6．解析：令t＝2x－1 x＝，∴f(t)＝4()2＝(t＋1)2.
∴f(3)＝16，f(－3)＝4，f(x)＝(x＋1)2.故选BD.
答案：BD ⇒
7．解析：定义域和值域均为[1，2]的函数为y＝3－x，x∈[1，2].
答案：y＝3－x，x∈[1，2]
8．解析：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意，
得，解得，
故f(x)＝x2＋1.
答案：f(x)＝x2＋1
9．解析：(1)该函数的图象如图①所示，由图可知值域为{－3，1，2，3}．
\s\up7()
(2)作出函数y＝－，x∈[－3，0)∪(0，1]的图象，如图②所示，由图象可知值域为
(－∞，－4]∪[，＋∞).
\s\up7()
(3)作出函数y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]的图象，如图③所示，由图象可知值域为[－
3，1].\s\up7()
10．解析：(1)令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，
因为f(＋1)＝x＋2，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
所以f(x)＝x2－1(x≥1).
(2)由题意，设一次函数的解析式为f(x)＝kx＋b，
因为f(2x)＋f(3x＋1)＝－5x＋9，可得2kx＋b＋k(3x＋1)＋b＝－5x＋9，
整理得5kx＋k＋2b＝－5x＋9，即，解得k＝－1，b＝5，
所以函数的表达式为f(x)＝－x＋5.
11．解析：因为f(g(x))＝6x＋1，g(x)＝2x＋1，则f(2x＋1)＝6x＋1，
设2x＋1＝t，即2x＝t－1，
则f(t)＝3(t－1)＋1，即f(t)＝3t－2，
所以f(x)＝3x－2.故选C.
答案：C
12．解析：由2y＋x＝4得：y＝，
又由2y>x，
可得4－x>x，
∴x<2，
又x>0，
∴y＝(0<x<2).故选B.
答案：B
13．解析：依题意，当0<x≤1时，f(x)＝x(x＋1)，
当1<x≤2时，0<x－1≤1，
所以f(x)＝f(x－1)＝×(x－1)x＝.
故选C.
答案：C
14．解析：因为f(x)＝，
所以f(－x)＝＝f(x)，D正确，A错误；
f()＝＝＝－f(x)，B正确；
f(－)＝＝＝－f(x)，C错误．故选AC.
答案：AC
15．解析：因为定义在(0，＋∞)上的函数g(x)满足g(x)＝2·g()－1，
将x换成可得：g()＝g(x)－1，将其代入上式可得：
g(x)＝2·g()－1＝2·[·g(x)－1]－1＝4g(x)－2－1，
所以g(x)＝＋(x>0).
答案：＋(x>0)
16．解析：∵f(1)＝，∴＝，即2a＝b＋1，
又∵＝x只有一个实数解，
∴bx2＋(1－a)x＝0有且仅有一个实数解为0，∴＝0，
∴解得：a＝1，b＝1，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝.课时作业 21
1．解析：因为1>0，
所以f(1)＝1＋＝2.故选C.
答案：C
2．解析：∵y＝－|x|＝，因此，函数y＝－|x|(x∈[－2，2])的图象如B选项中的图象．
故选B.
答案：B
3．解析：当x≤0时，由x2＋1＝10得：x＝－3或x＝3(舍)；当x>0时，由－2x＝10
得：x＝－5(舍)；
∴x＝－3.故选C.
答案：C
4．解析：直线OA的方程为y＝2x，
当0≤t≤1时，S＝f(t)＝×t×2t＝t2.
当1<t≤2时，S＝f(t)＝×1×2＋(t－1)×2＝2t－1.
所以S＝f(t)＝，
对应的图象为C选项．故选C.
答案：C
5．解析：由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；
当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0，
4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；
当x＝1时，f(1)＝12＝1，故C错误；
当x≤－1时，f(x)＝x＋2＝1 x＝－1，当－1<x<2时，f(x)＝x2＝1 x＝1，故D正确．
故选BD.
答案：BD ⇒ ⇒
6．解析：A. f(0)＝5，f(f(0))＝f(5)＝－15，满足；
B．f(1)＝－3，f(f(1))＝f(－3)＝8，满足；
C．f(－2)＝3，f(f(－2))＝f(3)＝－9，不满足；
D．f(－1)＝0，f(f(－1))＝f(0)＝5，满足．故选ABD.
答案：ABD
7．解析：因为∉Q，所以D()＝0，
D(D())＝D(0)＝1.
答案：1
8．解析：结合已知条件可知，某人坐出租车走了13 km所交费为y＝6＋(10－3)×0.5
＋(13－10)×0.8＝11.9(元).
答案：11.9
9．解析：(1)由函数f(x)＝，
可得函数f(x)的定义域为(－2，3).
(2)由f(x)＝，
所以f(－1)＝－2＋1＝－1，f(0)＝0＋1＝1，f(2)＝3－4＝－1.
10．解析：(1)当－2≤x≤1时，设f(x)＝kx＋b，(k≠0)，
∵f(x)的图象过A(－2，0)，B(1，3)两点，
∴－2k＋b＝0且k＋b＝3，解得k＝1，b＝2，∴f(x)＝x＋2，(－2≤x≤1)；
当x>1时，f(x)＝，
∵f(x)的图象过点C(2，3)，∴＝3，解得a＝3，∴f(x)＝，(x>1)，
综上，f(x)＝.
(2)f(f(7))＝f()＝.
11．解析：f(9)＝f(f(14))＝f(2×14－15)＝f(13)＝2×13－15＝11.故选B.
答案：B12．解析：由函数f(x)＝|x|＋φ(x)＝，故C选项正确．故选C.
答案：C
13．解析：由题意得：
y＝|x＋1|＋|x－2|＝
图象如图所示：
所以函数的值域为[3，＋∞).故选B.
答案：B
14．解析：当a≤0时，f(a)＝a＋2＝，解得a＝－；
当0<a<2时，f(a)＝＝，解得a＝；
当a≥2时，f(a)＝－a2＋4a－3＝，解得a＝或a＝(舍去).
综上可知，实数a的值为－或或.故选ACD.
答案：ACD
15．解析：当a＝0时，显然不成立；
当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2；
当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.
综上所述，a的取值范围为a>2或a<－2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
16．解析：(1)当x≥0时，f(x)＝x2－2x＋2，当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋2，
所以f(x)＝.
(2)根据二次函数的图象性质，作图如下，
(3)由图象可知，当x＝－1或x＝1时，函数有最小值为f(－1)＝f(1)＝1，
当x＝3时，函数有最大值为f(3)＝5，
所以f(x)在区间[－1，3]上的值域为[1，5].
课时作业 22
1．解析：观察函数f(x)的图象，可知函数f(x)的单调递减区间为[－1，1].故选B.
答案：B
2．解析：函数f(x)＝|x|的增区间为[0，＋∞)，函数g(x)＝－x2＋2x的增区间为(－
∞，1]，因此满足两函数都是增函数的区间为[0，1].故选A.
答案：A
3．解析：因为在区间[0，＋∞)上是增函数，并且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，
所以D选项正确．故选D.
答案：D
4．解析：对任意x，x∈I，当x<x时，x－x<0，由>0知：
1 2 1 2 1 2
f(x)－f(x)<0，所以f(x)<f(x)，故A正确；
1 2 1 2函数y＝x2在R上先单调递减再单调递增，故B错误；
函数y＝－在定义域上函数图象不连续，在定义域上不是增函数，故C错误；
函数y＝的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，单调区间不能用∪连结，故D错误．
故选A.
答案：A
5．解析：在A中，当x<0时，y＝|x|＋1＝－x＋1在(－∞，0)上为减函数；
在B中，当x<0时，y＝＝－1在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；
在C中，当x<0时，y＝－＝x在(－∞，0)上是增函数；
在D中，当x<0时，y＝x＋＝x－1在(－∞，0)上是增函数．故选CD.
答案：CD
6．解析：因为对任意的x，x∈R，当x>x时，都有f(x)>f(x)，
1 2 1 2 1 2
所以f(x)在R上单调递增，
又不等式f(m＋1)>f(2m)恒成立，即m＋1>2m，解得m<1，
所以符合题意的有A、B、C.故选ABC.
答案：ABC
7．解析：因为对任意0<x<x，都有f(x)>f(x)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是减函
1 2 1 2
数．又f(1)＝1，故函数可以为f(x)＝.(注：满足题目条件的函数表达式均可．)
答案：(答案不唯一)
8．解析：∵y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，
则2k－1<0，解得k<.
答案：(－∞，)
9．解析：(1)y＝＝1＋，图象如图所示：
所以函数的减区间为(－∞，2)和(2，＋∞)；无增区间．
(2)因为f(x)＝|x|(x－2)＝，
所以该函数的图象如图所示：
所以函数的增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)，减区间为(0，1).
10．解析：(1)由已知，解得，
∴f(x)＝.
(2)任取x>x>－2，
1 2
则f(x)－f(x)＝－
1 2
＝＝，
∵x>x>－2，
1 2
∴x＋2>0，x＋2>0，x－x>0，
1 2 1 2
∴f(x)－f(x)>0，即f(x)>f(x)，
1 2 1 2
∴函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递增．11．解析：因为f(x)＝4x2－kx－8的对称轴为x＝，且其图象开口向上，
所以≤4或≥5，解得k≥40或k≤32，所以k的取值范围是(－∞，32]∪[40，＋∞).故
选B.
答案：B
12．解析：因为f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，由f(2x－1)<f()可得0≤2x－
1<，解得≤x<.故选D.
答案：D
13．解析：由题意，x∈R，
在f(x)＝中，函数单调递增，
∴，解得－5≤a≤－2，故选C.
答案：C
14．解析：因为a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，所以a2＋1≥2a，所以f(a2＋1)≥f(2a)，故A
选项错误；
因为a2＋1－a＝(a－)2＋>0，所以a2＋1>a，所以f(a2＋1)>f(a)，故B选项正确；
因为a2＋2－2a＝(a－1)2＋1≥1>0，所以a2＋2>2a，所以f(2a)<f(a2＋2)，故C选项正
确；
而对于a2与a无法比较大小，所以D选项错误．故选BC.
答案：BC
15．解析：由f(x)＝，则2x2－7x＋3≥0，解得x≥3或x≤，所以函数f(x)＝的定义域
为[3，＋∞)∪(－∞，]，设t＝2x2－7x＋3，y＝f(x)，则y＝为定义域内的增函数，而函数
t＝2x2－7x＋3在(－∞，]上单调递减，所以函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，].
答案：(－∞，]
16．解析：(1)函数f(x)＝在区间(－1，1)上为增函数，
证明：设－1<x<x<1，
1 2
则f(x)－f(x)＝－
1 2
＝，
又由－1<x<x<1，则x－x>0，xx－1<0，
1 2 2 1 1 2
则有f(x)－f(x)<0，故f(x)在(－1，1)上为增函数．
1 2
(2)由f(2x－1)－f(－x)<0，则f(2x－1)<f(－x)，
由(1)知f(x)在(－1，1)上为增函数，则，
解可得：0<x<，故不等式的解集为(0，).
课时作业 23
1．解析：f(x)＝，画出f(x)的图象可知，f(x)既无最大值又无最小值．
故选D.
答案：D
2．解析：由y＝(x>1)可知y＝3＋(x>1)，由于f(x)＝ 在x∈(1，＋∞)单调递减，故y
＝3＋在x∈(1，＋∞)单调递减，故3<3＋<4，故值域为(3，4)，故选B.
答案：B
3．解析：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x
＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－(x－)2＋30＋，∴当x＝9或10时，L最大，为120万元．故选C.
答案：C
4．解析：由题意，k>0时，函数y＝在[4，6]上单调递减，
∴f(x) ＝f(4)＝＝1，∴k＝3，故选C.
max
答案：C
5．解析：当a<0时，函数y＝ax＋1为减函数，
所以当x＝0时，y ＝1，当x＝1时，y ＝a＋1，故A正确，B错误；
max min
当a>0时，函数y＝ax＋1为增函数，
所以当x＝0时，y ＝1，当x＝1时，y ＝a＋1，故C错误，D正确．故选AD.
min max
答案：AD
6．解析：对于A, y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，所以函数最小值为2，故A正确；
对于B，当x>0时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时取得等号，
当x<0时，y＝－(－x＋)，因为－x＋≥2＝2，
所以y＝－(－x＋)≤－2，当且仅当－x＝，即x＝－1时取得等号，
所以y∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，故B错误；
对于C，y＝在x∈[3，9]单调递减，
所以当x＝9时函数有最小值为＝，故C错误；
对于D，y＝x－在x∈[－1，0)单调递增，
所以当x＝－1时函数有最小值为－1－＝2，故D正确．故选AD.
答案：AD
7．解析：因为f(x)＝－，x∈[0，2]为增函数，故f(x) ＝－＝－.
max
答案：－
8．解析：由x(1－2x)≥0，故0≤x≤，而y＝x(1－2x)＝－2(x－)2＋，
所以，当x＝时y ＝，即函数f(x)的最大值为.
max
答案：
9．解析：当x≤时，f(x)＝－(2x－1)－x＋3＝－3x＋4，
当x>时，f(x)＝2x－1－x＋3＝x＋2，
所以f(x)＝，
其图象如图所示：
因为f()＝|2×－1|－＋3＝，
由图象可得f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，值域为.
10．解析：(1)f(x)＝(x－m)2－m2＋m－1，
当x＝m时，g(m)＝－(m－)2－.
(2)∵0≤m≤2 当m＝时，g(m) ＝－；
max
当m＝2时，g(m) ＝－3.
min
⇒
11．解析：由题意，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝a，且开口向上，
可得f(x) ＝f(a)＝a2－2a2＋5＝－4，即a2＝9，解得a＝±3.故选C.
min
答案：C
12．解析：当x－2≤－x2＋4x－2，即x∈[0，3]时，f(x)＝x－2在x∈[0，3]上单调
递增，所以f(x) ＝f(3)＝3－2＝1，当x－2>－x2＋4x－2，即x∈(－∞，0)∪(3，＋∞)
max
时，f(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2在x∈(－∞，0)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递
减，因为f(0)＝－2，f(3)＝1，所以f(x)<f(3)＝1；
综上：函数f(x)的最大值为1.故选B.答案：B
13．解析：f(x)＝(x－1)2＋2，故f(x)在[0，1]单调递减，在(1，＋∞)单调递增；
又f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，且f(x)在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，故
m∈[1，2].故选D.
答案：D
14．解析：函数y＝x＋－3a在x∈(1，3)上单调递减，在x∈(3，＋∞)上单调递增，
故当x>1时，函数f(x) ＝f(3)＝6－3a，
min
y＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，对称轴为x＝a，
当a≥1时，
当x≤1时，f(x) ＝f(1)＝3－2a，
min
要想函数的最小值为f(1)，只需f(3)≥f(1) 6－3a≥3－2a a≤3，即1≤a≤3，
显然选项AB符合，
⇒ ⇒
当a<1时，
当x≤1时，f(x) ＝f(a)＝2－a2，显然不是f(1)，
min
综上所述：只有选项AB符合条件．故选AB.
答案：AB
15．解析：当x∈[1，2)时，[x]＝1，f(x)＝∈(，1]，
当x∈[2，3)时，[x]＝2，f(x)＝∈(，1]，
当x∈[3，4)时，[x]＝3，f(x)＝∈(，1]，
当x＝4时，[x]＝4，f(x)＝＝1，
综上，x∈[1，4]时，f(x)的值域为(，1].
答案：(，1]
16．解析：(1)根据题意得：f(2)＝2＋＝4，
解得：m＝4.
(2)f(x)＝x＋在[2，＋∞)上单调递增，理由如下：
设2≤x<x，
1 2
则f(x)－f(x)＝x＋－x－＝，
1 2 1 2
∵2<x<x，故x－x<0，xx－4>0，
1 2 1 2 1 2
∴f(x)－f(x)<0，
1 2
∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增．
(3)根据题意，由(2)可知，f(x)＝x＋在[3，4]上单调递增，
故f(x) ＝f(3)＝，f(x) ＝f(4)＝5，
min max
∴函数f(x)＝x＋在[3，4]上的值域为[，5].
课时作业 24
1．解析：奇函数的图象关于原点对称，但不一定在x＝0时有意义，比如y＝，A错误；
偶函数的图象关于y轴对称，但f(0)不一定等于0，如f(x)＝x2＋1，B错误；
函数y＝0既是奇函数又是偶函数，C正确；
奇、偶函数的定义域均是关于原点对称的区间，D错误．故选C.
答案：C
2．解析：∵f(x)为偶函数，其图象应该关于y轴对称，根据题目所给的一部分图象可
知，符合题意的只有D图．故选D.
答案：D
3．解析：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，且f()＝－f(－)＝－2，
∴f(0)＋f()＝－2.故选D.
答案：D
4．解析：因为函数f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－x－＝－(x＋)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称．故选B.
答案：B
5．解析：对于A，f(－x)＝3(－x)2＝3x2＝f(x)，故A正确；
对于B，f(－x)＝1＝f(x)，故B正确；
对于C，f(2)＝－，f(－2)＝，故C错误；
对于D，f(－x)＝－|x|＝f(x)，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
6．解析：因为f(x)是定义在[－3，3]上的奇函数，
所以f(0)＝0，故A一定成立；
又f(1)<f(2)，
所以－f(－1)<－f(－2)，即f(－1)>f(－2)，故C一定成立；
无法比较f(0)，f(2)及f(1)，f(3)的大小关系．故选AC.
答案：AC
7．解析：根据题意可得：f(－1)＝－f(1)＝－1×(2－1)＝－1.
答案：－1
8．解析：因为函数f(x)＝x2＋mx＋1是偶函数，
则f(x)＝f(－x)，
即x2＋mx＋1＝x2－mx＋1，变形得2mx＝0，所以m＝0.
答案：0
9．解析：(1)f(x)的定义域为R，它关于原点对称．
f(－x)＝(－x)4－2(－x)2＝x4－2x2＝f(x)，故f(x)为偶函数．
(2)f(x)的定义域为R，它关于原点对称．
f(－x)＝(－x)5－(－x)＝－x5＋x＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，它关于原点对称．
f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(4)f(1)＝|1|＋1＝2，f(－1)＝0，
故f(1)≠f(－1)，f(－1)≠－f(1)，故f(x)为非奇非偶函数．
10．解析：(1)因为当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，
设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，
因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝x2－2x(x>0)，
所以f(x)的函数图象如图所示：
由图可得函数的单调递减区间为(－∞，－1)，(0，1)，单调递增区间为[－1，0]，
[1，＋∞).
(2)由函数图象可得x＝0或x＝±2时f(x)＝0，
当x>2或x<－2时f(x)>0，
即不等式f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
11．解析：因f(x)＝(x－1) ，则≥0，得f(x)定义域为[－1，1).
因f(x)定义域不关于原点对称，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数．故选D.
答案：D
12．解析：因为f(x)＝＋＋b为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，
则1＋a＋b＝－(－1－a＋b)，解得b＝0，经检验，此时f(x)＝＋为奇函数，符合题意．故选B.
答案：B
13．解析：令F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－
1 1
F(x)，且F(－x)≠F(x)，
1 1 1
∴F(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
1
令F(x)＝f(x)g(x)，则F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，且F(－
2 2 2 2
x)≠F(x)，
2
∴F(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误．故选C.
2
答案：C
14．解析：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，
所以函数h(x)为偶函数，
则函数h(x)＝|f(x)|g(x)的大致图象可能为AC.故选AC.
答案：AC
15．解析：因为函数f(x)＝为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，
即－1－a＝－3，解得a＝2，
经检验，符合题意，
所以f(x)＝，
所以f(a)＝f(2)＝4＋4＝8.
答案：8
16．解析：(1)由f(0)＝0，f(1)＝1，
可得a＝1，b＝0，
此时f(x)＝，f(－x)＝＝－
＝－f(x)，符合题意；
(2)设∀x
1
，x
2
∈[2，6]，x
1
<x
2
，
f(x)－f(x)＝－
1 2
＝
＝
＝＝，
由2≤x<x≤6，
1 2
x－x>0，xx－1>0，
2 1 2 1
故f(x)－f(x)>0，
1 2
所以f(x)在[2，6]上单调递减，
此时f(x) ＝f(2)＝，f(x) ＝f(6)＝.
max min
课时作业 25
1．解析：因为f(x)是偶函数，则函数图象关于y轴对称，故排除D选项；
又因为在[0，＋∞)上单调递减，故排除BC选项．故选A.
答案：A
2．解析：对于函数f(x)＝x＋(x≠0)，
满足定义域关于原点对称，且f(－x)＝－x－＝－f(x)，
故f(x)＝x＋，(x≠0)为奇函数，
设∀x
1
，x
2
∈(3，＋∞)，且x
1
<x
2
，
则f(x)－f(x)＝－(x＋)＝(x－x)·，
1 2 2 1 2
由题设可知x－x<0，xx－9>0，xx>0，
1 2 1 2 1 2故(x－x)·<0，即f(x)－f(x)<0，即f(x)<f(x)，
1 2 1 2 1 2
所以f(x)＝x＋在(3，＋∞)上单调递增．故选A.
答案：A
3．解析：设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x＋，
又f(x)是R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝－x＋(x<0).故选C.
答案：C
4．解析：由题意可知，f(x)在(－∞，0]上单调递减，而f(x)是偶函数，
故f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
f(－1)＝f(1)<f(π)<f(4).故选A.
答案：A
5．解析：A. y＝x－为定义域上的奇函数，故排除A；
B．y＝为定义域上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故B正确；
C．y＝2－|x|为定义域上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故C正确；
D．y＝x2＋2x为非奇非偶函数，故D不正确．故选BC.
答案：BC
6．解析：由题意作出该函数在[－7，7]上的图象，如图所示．
由图象可知该函数有三个单调递增区间，三个单调递减区间，在其定义域内有最大值
7，最小值不为－7.故选BC.
答案：BC
7．解析：令f(x)＝x，则f(－x)＝－x＝－f(x)，故f(x)＝x为奇函数，
且函数在定义域R上单调递增．
答案：f(x)＝x(答案不唯一)
8．解析：因为f(x)在(－∞，0)上是增函数，f(－1)＝0，
所以x<－1时，f(x)<0，
又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(0，＋∞)上也是增函数，f(1)＝－f(－1)＝0，
所以0<x<1时，f(x)<0，综上，f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1).
答案：(－∞，－1)∪(0，1)
9．解析：(1)设x>0，则－x<0，∴f(－x)＝x2－2x＋1，
又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－x2＋2x－1，(x>0)，
当x＝0时，f(0)＝0，
所以f(x)＝；
(2)图象如图：
由图可知，函数f(x)的递增区间为(－1，0)，(0，1)，递减区间为(－∞，－1)，(1，
＋∞).10．解析：F(x)在(－∞，0)上单调递减．
证明如下：任取x，x∈(－∞，0)，且x＜x，
1 2 1 2
则有－x＞－x＞0.
1 2
因为y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)＜0，
所以f(－x)＜f(－x)＜0， ①
2 1
又因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝－f(x)， ②
2 2 1 1
由①②得f(x)＞f(x)＞0.
2 1
于是F(x)－F(x)＝＞0，
1 2
即F(x)＞F(x)，
1 2
所以F(x)＝在(－∞，0)上单调递减．
11．解析：利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，
所以不等式xf(x)<0可化为或
由图可知x>2或x<－2，故选C.
答案：C
12．解析：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).
所以，
即，
因此，f(x)＝3x＋.故选D.
答案：D
13．解析：因为f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，且当x≥0时单调递增，
则由f(1－m)<f(m)可得，
由(1－m)2<m2即2m>1解得m>，
所以由不等式组可解得m∈(，2]，故选D.
答案：D
14．解析：函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，∴函数图象抛物线的
对称轴应当位于区间(－∞，1)内，∴有a<1，
g(x)＝＝x＋－2a ，
在区间[1，＋∞)上，定义域不关于原点对称，g(x)不是奇函数．
任取1≤x<x ，g(x)－g(x)＝x＋－x－＝x－x＋＝(x－x)，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
由 a<1，1≤x<x，有(x－x)<0，xx>0，xx－a>0，则 g(x)－g(x)<0，即
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
g(x)<g(x)，
1 2
所以g(x)＝x＋－2a在区间[1，＋∞)上为增函数，g(1)＝1－a为函数最小值．故选
BC.
答案：BC
15．解析：因为f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，
又因为f(－2)＝0，
所以f(2)＝f(－2)＝0，
则函数f(x)的大致走势如图所示：所以<0 或，
解得0<x<2或x<－2，
⇔
所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，2).
答案：(－∞，－2)∪(0，2)
16．解析：(1)因为f(x)是在区间(－1，1)上的奇函数，
所以f(0)＝0，即b＝0，则f(x)＝，
因为f()＝－，
所以f()＝＝a＝－，解得a＝－1，
当a＝－1时，f(x)＝－，x∈(－1，1)，
所以对任意的x∈(－1，1)，f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，
故f(x)＝－，x∈(－1，1).
(2)f(x)＝－在(－1，1)为减函数，证明如下：
任取实数x，x∈(－1，1)，且x<x，则f(x)－f(x)＝－＋＝，
1 2 1 2 2 1
因为－1<x<x<1，所以x－x>0，－1<xx<1，故xx－1<0，
1 2 2 1 1 2 1 2
又x＋1>0，x＋1>0，
所以f(x)－f(x)<0，即f(x)<f(x)，
2 1 2 1
故函数f(x)＝－在(－1，1)上为减函数．
(3)因为f(x)为奇函数，
所以不等式f(t－1)＋f(t)<0等价为f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，
又因为f(x)在(－1，1)上是减函数，
所以，解得，故<t<1，
所以原不等式的解集为(，1).
课时作业 26
1．解析：若m＝1，则函数f(x)＝2x＋3，则f(－x)＝－2x＋3≠f(x)，此时函数不是
偶函数，所以m≠1.若m≠1，且函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则一次项2mx＝0
恒成立，则m＝0，
因此，函数为f(x)＝－x2＋3，
此函数图象是开口向下，以y轴为对称轴的二次函数图象．
所以，函数在区间(－5，－3)上单调递增．故选D.
答案：D
2．解析：f(x)的图象关于x＝对称，
所以a＝f(－)＝f()，
又因为f(x)在(－∞，]上单调递增，所以f(x)在[，＋∞)上单调递减，
所以f(1)>f()>f(2).故选B.
答案：B
3．解析：因为定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝0，
所以由f(x)<0可得x∈(－2，0)∪(2，＋∞)，故选D.
答案：D
4．解析：∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x＋2)关于y轴对称，
即函数y＝f(x)关于x＝2对称，
∵函数f(x)在(0，2)上是减函数，
∴函数f(x)在(2，4)上是增函数，故选B.
答案：B
5．解析：由题知函数f(x＋3)是偶函数，关于y 轴对称，
所以y＝f(x)关于x＝3 轴对称，
因为函数y＝f(x) 在[3，＋∞)上单调递减，
所以函数y＝f(x) 在(－∞，3)上单调递增，
所以f(－1)＝f(7)>f(8)，故A正确，
f(－2)<f(1)，故B错误，
f(5)＝f(－1)<f(2)，故C错误，
f(－1)＝f(7)，故D错误．故选A.
答案：A
6．解析：因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(2－x)＝0，
所以f(2)＋f(2)＝0，即f(2)＝0，故A正确；
如图函数满足题意，而f(－1)不是函数f(x)的最小值，故B错误；
由题可得f(x＋2)＝－f(2－x)＝f(x－2)，故C正确；
由f(x＋2)＋f(2－x)＝0，可知函数f(x)的图象关于(2，0)对称，即f(x)的图象的一
个对称中心是点(2，0)，故D正确．
故选ACD.
答案：ACD
7．解析：根据题意，函数y＝f(x)为定义在R上的奇函数，其对称中心为(0，0)，
将y＝f(x)的图象向右平移1个单位得y＝f(x－1)，再向下平移2个单位可得y＝f(x－
1)－2的图象，
所以函数y＝f(x－1)－2的图象的一个对称中心为(1，－2).
答案：(1，－2)
8．解析：由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
由于f(x＋2)为偶函数，所以f(x)关于直线x＝2对称，
所以f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(－1)＝－f(1)＝－1.
答案：－1
9．解析：(1)函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，证明如下：
任取x、x∈(0，＋∞)且x>x，
1 2 1 2
则f(x)－f(x)＝－
1 2
＝
＝<0，
即f(x)<f(x)，所以，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
1 2
(2)因为函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，
当x<0时，－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－＝，
综上所述，f(x)＝.
10．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－2x＋3，其对称轴为x＝1，
故函数f(x)在[－2，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，
又f(1)＝1－2＋3＝2，f(－2)＝(－2)2－2×(－2)＋3＝11，
f(3)＝32－2×3＋3＝6，
故函数f(x)在区间[－2，3]的最大值为11，最小值为2.
(2)f(x)＝x2－2ax＋3对称轴为x＝a，当a≤－2时，g(a)＝f(－2)＝4＋4a＋3＝4a＋7，
当－2<a<3时，g(a)＝f(a)＝a2－2a2＋3＝3－a2，
当a≥3时，g(a)＝f(3)＝9－6a＋3＝12－6a，
综上所述：g(a)＝.
11．解析：因为f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，
所以f(x)的图象关于y轴对称，则有f(－2)＝f(2)＝1，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以由f(x－2)≤1可得－2≤x－2≤2，
解得0≤x≤4，故选D.
答案：D
12．解析：因为形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数图象，其对称轴为x＝，
故对f(x)＝|x－3|＋|x－a|，其对称轴为＝1，解得a＝－1.故选A.
答案：A
13．解析：由af(b)＋bf(a)<af(a)＋bf(b)可得af(b)－bf(b)<af(a)－bf(a)，
即(a－b)f(b)<(a－b)f(a)，也即(a－b)[f(b)－f(a)]<0，
当a>b≥1时，f(a)>f(b)，当b>a≥1时，f(b)>f(a)，
所以函数f(x)在[1，＋∞)单调递增，
又因为y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x)的图象关于x＝1对称，
所以f(x)在(－∞，1]单调递减，且f(4)＝f(－2)，
所以由f(2x)<f(4)得－2<2x<4，解得－1<x<2，故选A.
答案：A
14．解析：定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，则函数图象上的点
(x，f(x))关于点(1，0)的对称点(2－x，－f(x))也在函数图象上，所以f(2－x)＝－f(x).
函数f(x＋1)的图象由函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得到，则函数f(x＋1)的
图象关于点(0，0)对称，不能得到函数为偶函数，所以A选项错误；
由f(2－x)＝－f(x)，令x＝1－t，则有f(1＋t)＝－f(1－t)，故B选项错误；
由f(2－x)＝－f(x)，令x＝－t，则有f(2＋t)＝－f(－t)，故C选项正确；
由f(2－x)＝－f(x)，令x＝1，则有f(1)＝－f(1)，
∴f(1)＝0，故D选项正确．故选CD.
答案：CD
15．解析：由题意，根据函数图象的平移变换，函数y＝φ(x)可由奇函数y＝φ(x＋1)
－0向右平移1个单位得到，
取奇函数y＝x，将该函数向右平移1个单位，可得函数y＝x－1，
设函数f(x)图象的对称中心为(a，b)，
则f(x＋a)－b＝－x－a＋－b，
由函数y＝f(x＋a)－b是奇函数，
则f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即x－a＋－b＝x＋a－＋b，
解得.
答案：y＝x－1(答案不唯一) (1，－1)
16．解析：(1)因为f(mn)＝f(m)＋f(n)＋1，
令m＝n＝1，可得f(1)＝f(1)＋f(1)＋1，
所以f(1)＝－1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
任取x，x∈(0，＋∞)，且x<x，
1 2 1 2
则>1，f()>－1，
所以f(x)＝f(x·)＝f(x)＋f()＋1>f(x)，
2 1 1 1
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)∵f(2)＝1，
∴f(4)＝f(2)＋f(2)＋1＝3，
由f(x＋3)＋f(x)>2，可得f(x＋3)＋f(x)＋1＝f[x(x＋3)]>3＝f(4)，又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以，
解得x>1，
故不等式f(x＋3)＋f(x)>2的解集为(1，＋∞).
课时作业 27
1．解析：因为函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数，
对于A，y＝x2－1是二次函数；
对于B，y＝0.3x是一次函数；
对于C，y＝＝x，由x前的系数不为1，故y＝不是幂函数；
对于D，y＝x0.3满足幂函数的概念，故y＝x0.3是幂函数．
故选D.
答案：D
2．解析：设幂函数f(x)＝xα的图象经过点(8，2)，
则8α＝2，
∴α＝，
∴f(x)＝x，
∴f(27)＝27＝3.故选B.
答案：B
3．解析：由图象可知函数为奇函数，
对于y＝x＝定义域为[0，＋∞)，是非奇非偶函数，故选项B排除；
对于y＝x－＝定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，为偶函数，故排除D；
对于选项C，y＝x＝，定义域为R，故排除C；
对于选项A，y＝x－＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，为奇函数，故A符合．故选A.
答案：A
4．解析：设幂函数f(x)＝xa，将点P(4，2)代入，得4a＝2，解得a＝，
所以f(x)＝x，定义域为[0，＋∞)，且在定义域内单调递增，大致图象为B.故选B.
答案：B
5．解析：由已知可得，解得m＝1或2.
故选BC.
答案：BC
6．解析：因为函数f(x)＝(m－2)xm是幂函数，所以m－2＝1，
解得m＝3，所以f(x)＝x3，由幂函数性质知f(x)是奇函数且单调递增．故选BD.
答案：BD
7．解析：因为幂函数f(x)＝xα过点(2，8)，故2α＝8，∴α＝3，
即f(x)＝x3，
由f(x)＝－8，得x＝－8，∴x＝－2.
0 0
答案：－2
8．解析：y＝x－2＝、y＝x2，是偶函数，图象关于y轴对称，不符合题意．
y＝x－，y＝x，是非奇非偶函数，图象不关于原点对称，不符合题意．
y＝x，y＝x3在R上单调递增，不符合题意．
y＝x－1＝，是奇函数，图象关于原点成中心对称，且在(0，＋∞)上为减函数，符合题
意，
综上所述，α的值为－1.
答案：－1
9．解析：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为单调减函数，又3<3.1，所以3－>3.1－.
(2)－8－＝－()，函数y＝x在(0，＋∞)上为单调增函数，
又>，∴()>()，∴－()<－()，即－8－<－()；
(3)(－)－＝()－，(－)－＝()－，
函数y＝x－在(0，＋∞)上为单调减函数，又>，
所以()－<()－，即(－)－<(－)－.
10．解析：(1)若f(x)是正比例函数，则，由m2－2m－1＝1得m2－2m－2＝0，解得m＝
1＋或m＝1－，此时满足m2＋m－1≠0.
(2)若f(x)是幂函数，则m2＋m－1＝1，即m2＋m－2＝0，此时m＝1或m＝－2，
当m＝1时f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，不符题意，舍去；
当m＝－2时f(x)＝x7在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
故m＝－2.
11．解析：设f(x)＝xa，则f(2)＝2a＝，则a＝，
∴f(x)＝x＝，
由f(x＋1)＝<2可得0≤x＋1<4，解得－1≤x<3，
因此，不等式f(x＋1)<2的解集为[－1，3).故选C.
答案：C
12．解析：由题知构造f(x)＝x，(x≥0)，
由幂函数性质可知f(x)单调递增，
∵(2m＋1)>(m2－m－3)，
∴，
∴，
综上：m∈[，4).故选D.
答案：D
13．解析：∵已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm3－1是幂函数，
∴m2－m－1＝1，∴m＝2，或m＝－1，f(x)＝x7，或f(x)＝x－2.
对任意的x，x∈(0，＋∞)且x≠x，满足>0，
1 2 1 2
故f(x)是增函数，∴f(x)＝x7.
若a，b∈R，a＋1＋b<0，即a＋1<－b，
∴(a＋1)7<(－b)7，即(a＋1)7<－b7，即(a＋1)7＋b7<0.
则f(a)＋f(b)＝(a＋1)7＋b7<0.故选B.
答案：B
14．解析：设幂函数为f(x)＝xα，
将(2，)代入解析式得＝2α，故α＝－1，所以f(x)＝，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
因为f(－x)＝－＝－f(x)，故函数为奇函数，故A正确；
函数f(x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错
误；
显然f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故C错误；
当x>x>0时，－f()＝－＝－＝>0，
2 1
即满足>f，故D正确．故选AD.
答案：AD
15．解析：设幂函数f(x)＝xa，a∈R，
因为幂函数f(x)的图象过点(2，)，所以＝2a，解得a＝－，
所以f(x)＝x－＝，f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，
因为f(2b－1)<f(2－b)，所以2b－1>2－b>0，解得1<b<2.
答案：(1，2)
16．解析：(1)由题意得：
根据幂函数的性质可知m2＋m－1＝1，即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或m＝1.
因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m＋1<0，即m<－1，则m＝－2.
故f(x)＝x－1＝.
(2)由(1)可得m＝－2，设g(x)＝x－，
则g(x)的定义域为(0，＋∞)，且g(x)在定义域上为减函数．因为(5－a)－>(2a－1)－，所以
解得2<a<5.
故a的取值范围为(2，5).
课时作业 28
1．解析：利润z＝10x－y＝10x－(5x＋4 000)≥0.
解得x≥800.故选D.
答案：D
2．解析：结合已知条件可知，甲乙同时出发且跑的路程都为s，故AB错误；
0
且当甲乙两人跑的路程为s时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大，
0
故C正确，D错误．故选C.
答案：C
3．解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用人数为25.故选C.
答案：C
4．解析：设甲地销售x辆，依题意L ＋L＝5.06x－0.15 x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋
1 2
3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋45.606，所以当x取整数10时，最大利润为45.6，故选B.
答案：B
5．解析：由题中图象知，A正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家
到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，B错误；
当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，C正确；
当30≤x≤40时，题中图象是平行于x轴的线段，D错误．
故选AC.
答案：AC
6．解析：大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包
装实惠，故B正确；
卖1大包的盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3(元)，卖1小包盈利3－0.5－1.8＝0.7(元)，
则卖3小包盈利0.7×3＝2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确．故选BD.
答案：BD
7．解析：设每台彩电原价是x元，
由题意得：x(1＋40%)·80%＝x＋270，
解得x＝2 250.
答案：2 250
8．解析：设李明家建筑面积为x平方米，
按方案(1)，李明家需缴60×4＝240元，
按方案(2)，李明家需缴3x元，
因为选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，
则3x≤240，解得x≤80，
所以它的建筑面积最多不超过80平方米．
答案：80
9．解析：设每件棉衣日租金提高x个5元，即提高5x元，则每天棉衣出租减少6x件，
又设棉衣日租金的总收入为y元．∴y＝(50＋5x)×(120－6x)，
∴y＝－30(x－5)2＋6 750
∴当x＝5时，y ＝6 750，
max
此时每件棉衣日租金为50＋5x＝50＋5×5＝75(元)，∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6 750元．
10．解析：(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x)元，则
y＝，
(2)当0＜x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，故当x＝300时，y ＝25 000；
max
当x＞400时，y＝60 000－100x是减函数，故y＜60 000－100×400＝20 000.
所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．
11．解析：由题意可知，利润f(x)＝(x－10)(＋)＝－＋＋800，
令＝t，则g(t)＝－160 000t2＋8 000t＋800.当且仅当t＝即x＝40(元) 时利润最大．
故选D.
答案：D
12．解析：根据题意，生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是900＋x×＝900
＋x2，
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)＝＝＋ (x为正整数)，
由基本不等式，得＋≥2 ＝30，
当且仅当＝，即x＝60时，f(x)取得最小值，
∴x＝60时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．故选B.
答案：B
13．解析：A. 应付车费与公里数有关，故错误；
B．乘客甲打车行驶4公里，方案一应付车费为8＋(4－2)×3＝14；
方案二应付车费为12＋(4－3)×2.5＝14.5，他应该选择方案一，故错误；
C．乘客乙打车行驶12公里，方案一应付车费为8＋(12－2)×3＝38；
方案二应付车费为12＋(10－3)×2.5＋(12－10)×3.5＝36.5，他应该选择方案二，故
正确；
D．乘客丙打车行驶16公里，方案一应付车费为8＋(16－2)×3＝50；
方案二应付车费为12＋(10－3)×2.5＋(16－10)×3.5＝50.5，他应该选择方案一，故
错误．故选C.
答案：C
14．解析：当x≤16时，p(x)＝－x2＋6x－20＝－(x－15)2＋25，
故当x＝15时，获得最大利润，为p(15)＝25，故B正确，D错误；
y＝＝－x＋6－＝－(x＋)＋6≤－2＋6＝2，
当且仅当x＝，即x＝10时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误．
故选BC.
答案：BC
15．解析：(1)由图可知，当t＝时，y＝1，即＝1 k＝2.
(2)由题意可得，解得t>，
⇒
则为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经
过×60＝40分钟人方可进入房间．
答案：(1)2 (2)40
16．解析：(1)由题意知当x＝120(辆/千米)时，v＝0(千米/小时)，
代入v＝80－，解得k＝2 400，
所以v＝.
当0<x≤30时，v＝60≥40，符合题意；
当30<x≤120时，令80－≥40，解得x≤90，所以30<x≤90.
所以，若车流速度v不小于40千米/小时，则车流密度x的取值范围是(0，90].
(2)由题意得y＝，
当0<x≤30时，y＝60x为增函数，所以y≤1 800，当x＝30时等号成立；
当30<x≤120时，y＝80x－＝80
＝80[180－]≤4 800(3－)≈3 667.
当且仅当150－x＝，即x＝30(5－)≈83时等号成立．
所以，隧道内车流量的最大值约为3 667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米．课时作业 29
1．解析：＝|－2|＝2.故选C.
答案：C
2．解析：由题意知，所以2≤x≤3.故选C.
答案：C
3．解析：由指数幂运算法则可知：am·an＝am＋n，(am)n＝amn，BC错误，D正确，当a＝m
＝n＝1时，am＋an＝2，am＋n＝1，故am＋an≠am＋n，A错误．故选D.
答案：D
4．解析：＝＝＝＝a2－＝a.故选C.
答案：C
5．解析：当n为奇数时，b的n次方根只有1个，为a，即＝a，故AB正确，当n为偶
数时，由于(±a)n＝an＝b，所以b的n次方根有2个，为±a.所以C错误，即＝|a|，故D
正确．故选ABD.
答案：ABD
6．解析：对于A，＝－8，故A正确；对于B，＝|－10|＝10, 故B错误；对于C，＝|3
－π|＝π－3，故C正确；对于D，a≥b，＝|a－b|＝a－b，a<b，＝|a－b|＝b－a，故D错
误．故选AC.
答案：AC
7．解析：＝＝5－.
答案：5－
8．解析：因为a＝＝3－π，b＝＝|2－π|＝π－2，所以a＋b＝1.
答案：1
9．解析：(1)＋＝|－3|＋|－2|＝3－＋－2＝1.
(2)当1≤x<3时，＋＝|1－x|＋|x－3|＝x－1＋3－x＝2；
当x≥3时，＋＝|1－x|＋|x－3|＝x－1＋x－3＝2x－4.
综上所述，＋＝.
10．解析：(1)1.5－×(－)0＋80.25×＋(×)6－＝()－＋(23)×2＋(2×3)6－(())＝()＋2＋＋
2×6×3×6－()＝2＋4×27＝110.
(2)4ab－÷(－a－b－)＝4ab－×(－ab)＝4×(－)a＋b－＋＝－6a.
11．解析：由题意，可知a≥0，
∴·＝(－a)·a＝－a·a＝－a＋＝－a＝－.故选A.
答案：A
12．解析：∵有意义，∴a－1≥0，即a≥1，
∴()2＋＋＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1，故选C.
答案：C
13．解析：10＝＝＝＝.故选B.
答案：B
14．解析：A选项，由于y<0，所以＝－y(y<0)，A选项错误．B选项，x－＝()＝ (x>0)
正确，B选项正确．C选项，x－＝ (x≠0)，C选项错误．D选项，[]＝(x)＝x(x>0)，D选项
正确．故选BD.
答案：BD
15．解析：由题意得：，解得：≤x≤2，
故＋2
＝＋2＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋4－2x＝3.
答案：3
16．解析：设ax＝by＝cz＝k，
则k＞0，a＝k，b＝k，c＝k，
因此abc＝kkk＝k＋＋＝k0＝1.
答案：1课时作业 30
1．解析：因为a>0，所以＝a2－，所以()2＋＝(a2－)2＋＝a(2－)(2＋)＝a2.故选D.
答案：D
2．解析：3π×()π＋(22)＋1＝(3×)π＋22×＋1＝1π＋24＋1＝18.故选B.
答案：B
3．解析：因为2x＝3，2y＝4，所以2x＋y＝2x·2y＝3×4＝12，故选C.
答案：C
4．解析：若3a·9b＝，则3a·32b＝3a＋2b＝＝3－1，则a＋2b＝－1.
答案：C
5．解析：因为＋＝3，a>0，所以(＋)2＝9，a＋＝7，即＝＝.故选A.
答案：A
6．解析：对于A，因为－>0，所以a<0，则 ＝－，A错误；对于B，因为π－2>0，所
以＝π－2，B正确；对于C，(mn－)24＝(m)24(n－)24＝，C正确；对于D，(x3－2)3＋2＝x9－8＝x，D
正确．故选BCD.
答案：BCD
7．解析：原式＝33×(－)＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.
答案：1
8．解析：由已知得22x＋2－2x＝(2x)2＋(2x)－2＝9＋＝.
答案：
9．解析：(1)因为m＝()0.5－0.752＋6－2×()
＝－()2＋×
＝－＋×
＝－＋
＝，
所以m＝()＝.
(2)
＝
＝
＝4a＋－－b＋－－
＝4ab－，
因为a＝27，b＝16，
所以原式＝4×27×16－＝6.
10．解析：＝
＝.①
∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
又∵x<y，∴x－y＝－6.③
将②③代入①，得＝＝－.
∴ ＝－.
11．解析：∵3α＝5，3β＝6，
∴33α＝53＝125，32β＝62＝36，
∴＝＝33α－2β.故选B.
答案：B
12．解析：因为x＋x－＝5，所以(x＋x－)2＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23，所
以＝x＋＝x＋x－1＝23，故选B.
答案：B
13．解析：某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖
泊的蓝藻数大约为原来的6倍，设湖泊中原来蓝藻数量为a，则a(1＋6.25%)30＝6a，∴经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：y＝a(1＋6.25%)60＝a＝36a.∴经过60天后该湖泊的蓝藻数大
约为原来的36倍．故选C.
答案：C
14．解析：∵a＋＝3，∴a2＋a－2＝(a＋)2－2＝32－2＝7，因此A正确；a3＋a－3＝(a＋a－
1)(a2＋a－2－1)＝3×(7－1)＝18，因此B不正确；∵(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，a>0，
解得a＋a－＝，因此C正确；∵a＋＝(a＋a－1)(a＋a－)－(a＋a－)＝3－＝2，因此D正确．故选
ACD.
答案：ACD
15．解析：利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝.
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
答案： 2
16．解析：＝＝a2x＋a－2x－1，
因为a2x＝－1，
所以＝－1＋－1＝2－1.
课时作业 31
1．解析：因为f(1)＝2，所以a1＝2，即a＝2，所以f(x)＝2x.故选B.
答案：B
2．解析：因为函数f(x)＝(a－1)·ax是指数函数，所以a－1＝1，即a＝4，所以f(x)
＝4x，那么f()＝4＝2.故选B.
答案：B
3．解析：因为y＝ax的图象经过点(3，)，所以a3＝，解得a＝，故选B.
答案：B
4．解析：设6年间平均增长率为x，则有1 200(1＋x)6＝4 800，解得：x＝－1，故选
C.
答案：C
5．解析：因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，所以
f(0)＝1，f()＝8＝2，故B、D错误，A、C正确．故选AC.
答案：AC
6．解析：对于A，y＝2x·3x＝6x是指数函数；对于B，y＝2x－1＝不是指数函数；对于
C，y＝32x＝9x是指数函数；对于D，y＝4－x＝x是指数函数．故选ACD.
答案：ACD
7．解析：设指数函数f(x)＝ax，由f(2)－f(1)＝6得a2－a＝6，解得a＝－2(舍去)或
a＝3，则f(3)＝33＝27.
答案：27
8．解析：根据指数函数的定义，得解得
答案：－1 2
9．解析：因为函数y＝a·2x是指数函数，所以a＝1.
由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0.所以a＋b＝1.
10．解析：(1)由f(x)＝ax的图象经过点P(2，4)得
a2＝4，又a>0，所以a＝2.
(2)由(1)得f(x)＝2x，由f(2x)－3f(x)－4＝0，
得22x－3×2x－4＝0，解得2x＝4(2x＝－1<0舍去)，
由2x＝4解得x＝2.
11．解析：命题p真，则m2－3m＋3＝1，解得m＝1或2，又m≠1，∴m＝2；q为真，则
m＝1或2，
∴q是p的必要不充分条件．故选C.
答案：C
12．解析：设镭的衰变率为p，则x，y的函数关系是y＝(1－p)x，当x＝100时，y＝0.9576，即0.9576＝(1－p)100，
解得1－p＝0.9576.
即有y＝0.9576.故选A.
答案：A
13．解析：不妨设现在乡镇人口总数为a，则现在乡镇粮食总量为360a，
故经过x年后，乡镇人口总数为a(1＋0.012)x，乡镇粮食总量为360a(1＋0.04)x，
故经过x年后，人均占有粮食
y＝＝360()x.故选D.
答案：D
14．解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A 正确；
f(x－y)＝ax－y＝＝，B正确；
f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，C不正确；
＝(axy)n，＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D不正确．故选CD.
答案：CD
15．解析：因为x<0，0<a<1时，指数函数y＝ax的值总大于1，
所以0<a2－1<1，解得－<a<－1或1<a<，
所以，实数a的取值范围是(－，－1)∪(1，).
答案：(－，－1)∪(1，)
16．解析：(1)因为这种病毒开机时占据内存2 KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的
2倍．
所以x分钟后的病毒所占内存为y＝2＋1(x∈R＋).
(2)因为病毒占据内存不超过1 GB时，计算机能够正常使用，
故有2＋1≤220，解得x≤57.
所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟．
课时作业 32
1．解析：∵函数y＝2x＋1的图象是由函数y＝2x的图象向左平移1个单位长度得到的，
而y＝2x的图象过定点(1，2)，∴y＝2x＋1的图象过点(0，2)，且在R上是增函数，故选A.
答案：A
2．解析：函数f(x)＝ax－m＋n(其中a>0，a≠1，m、n为常数)的图象恒过定点(3，2)，
即2＝a3－m＋n恒成立，则有，解得，所以m＋n＝4.故选B.
答案：B
3．解析：∵a>0，则y＝x＋a单调递增，故排除AC；对于BD，y＝ax单调递减，则
0<a<1，∴y＝x＋a与y轴交于0和1之间，故排除B.故选D.
答案：D
4．解析：因为函数f(x)＝3－x－1＝()x－1，所以其定义域为R，因为()x>0，所以()x－
1>－1，所以函数的值域为(－1，＋∞)，故选C.
答案：C
5．解析：据指数函数图象性质，a>b>1时选A，1>a>b>0时选D，a>1>b时图象如图．
故选AD.答案：AD
6．解析：因为函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象经过第一、二、三象限，所以
a>1，f(0)＝1－b∈(0，1) 0<b<1，所以y＝ax是增函数，y＝bx是减函数，则ab>a0＝1，
0<ba<b1<1，故选BC.
答案：BC ⇒
7．解析：由x－1≥0，可得x≥1，所以函数y＝3的定义域为[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
8．解析：关于x的方程()x＝a有负根等价于指数函数y＝()x与y＝a在第二象限有交点，
则当a>1时，y＝()x与y＝a在第二象限有交点，所以实数a的取值范围为(1，＋∞).
答案：(1，＋∞)
9．解析：y＝()x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.作函数y＝3x的图象关于y轴的对称图象得函数y＝
3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，再后再向上平移2个单
位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝()x＋1＋2的图象，如图所示．
10．解析：(1)∵f(x)的图象过点，∴a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝()x－1，x≥0.由x≥0，得x－1≥－1，于是0＜()x－1≤()－1＝2，所
以函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0，2].
11．解析：令t＝－x2＋2x，则y＝()t，且该函数为单调减函数，而t＝－x2＋2x＝－(x
－1)2＋1≤1，所以y＝()t≥，即函数y＝()－x2＋2x的值域是[，＋∞)，故选B.
答案：B
12．解析：当a>1时，，方程组无解，
当0<a<1时，，解得，
∴a＋b＝－2＝－.故选A.
答案：A
13．解析：∵|x|≥0，∴0<()|x|≤1，∴m－1<f(x)≤m，∵f(x)与x轴有公共点，∴m－
1<0≤m，解得：0≤m<1.故选D.
答案：D
14．解析：分别画出y＝2 021x，y＝2 022x的图象，如示意图：
实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，可得：a>b>0，或a<b<0，或a＝b＝0.故选ABD.
答案：ABD
15．解析：因为f(x)的图象过原点，所以f(0)＝a()0＋b＝0，即a＋b＝0.又因为f(x)
的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，
所以f(x)＝－()|x|＋1，
所以f(－2)＝－()2＋1＝.答案：
16．解析：(1)因为f(x)＝＝，
画出其图象如下：
由图象可得，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；单调递减区间为(－∞，0)；
(2)由(1)中图象可得，
当a<0时，直线y＝a与函数f(x)的图象没有交点；
当a＝0时，直线y＝a与函数f(x)的图象有一个交点；
当0<a<1时，直线y＝a与函数f(x)的图象有两个交点；
当a≥1时，直线y＝a与函数f(x)的图象有一个交点；
综上，当a<0时，直线y＝a与函数f(x)图象的交点个数为0个；
当a＝0或a≥1时，直线y＝a与函数f(x)图象的交点个数为1个；
当0<a<1时，直线y＝a与函数f(x)图象的交点个数为2个．
课时作业 33
1．解析：根据函数y＝2x在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以N＝{x|2≤2x≤8}＝{x|
1≤x≤3}，又因为M＝{0，1，2，4}，所以M∩N＝{1，2}．故选B.
答案：B
2．解析：∵函数f(x)＝()x在定义域R上单调递减，
∴f(x)在区间[－2，2]上的最小值为f(2)＝()2＝.故选B.
答案：B
3．解析：由y＝5x在定义域上单调递增，∴根据52x>5x－1得：2x>x－1，解得x>－1.∴
解集为(－1，＋∞).故选A.
答案：A
4．解析：函数的定义域为R，因为f(－x)＝ex－e－x＝－f(x)，所以函数是奇函数，图
象关于原点对称，又因为y＝e－x，y＝－ex都是R上的减函数，所以函数f(x)在(－∞，＋
∞)上是减函数．故选C.
答案：C
5．解析：f(x)＝3x＋1在R上单调递增，则A正确；y＝3x＋1与y＝()x＋1的图象关于
y轴对称，则B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x>0，可得
f(x)>1，则D错误．故选AB.
答案：AB
6．解析：f(x)＝ax－()x定义域为R，且f(－x)＝a－x－()－x＝()x－ax＝－f(x)，故
f(x)为奇函数，A正确；f(0)＝a0－()0＝1－1＝0，故方程f(x)＝0在R上有解，B正确，C
错误；当a>1时，函数y＝ax在R上单调递增，y＝()x在R上单调递减，故f(x)＝ax－()x在
1
定义域上单调递增，D正确．故选ABD.
答案：ABD
7．解析：若a>1，则指数函数y＝ax在定义域R上单调递增，则a3<aπ不满足题意；若
a＝1，则a3＝aπ，不满足题意；若0<a<1，则指数函数y＝ax在定义域R上单调递减，则
a3>aπ满足题意，所以0<a<1.
答案：(0，1)
8．解析：要使函数有意义，
则⇒⇒
所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，0].答案：(－∞，－1)∪(－1，0]
9．解析：(1)因为22.5>1，2.50＝1，()2.5<1，
所以()2.5<2.50<22.5.
(2)因为0.80.8<1，0.80.9<1，1.20.8>1；
又因为y＝0.8x在R上是减函数，
所以0.80.8>0.80.9，
所以0.80.9<0.80.8<1.20.8.
(3)因为()－＝()>1，()－＝()<1，()>1，
又因为y＝()x在R上是增函数，
所以()>()，
所以()－<()－<().
10．解析：(1)f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1.
(2)当0<a<1时，f(x)在区间[2，3]上单调递减，此时f(x) ＝f(2)＝a2＋1，f(x) ＝
max min
f(3)＝a3＋1，所以a2＋1－(a3＋1)＝，解得：a＝或0(舍去)；
当a>1时，f(x)在区间[2，3]上单调递增，此时f(x) ＝f(2)＝a2＋1，f(x) ＝f(3)
min max
＝a3＋1，所以a3＋1－(a2＋1)＝，解得：a＝或0(舍去).
综上：a＝或.
11．解析：因为c是正实数，且 c<1，所以 0<c<1，则函数 y＝cx单调递减．由
c<cb<ca<1，可得c1<cb<ca<c0，所以0<a<b<1.故选A.
答案：A
12．解析：原方程即 2×2x－＋5＝0，化简可得 2×(2x)2＋5×2x－2＝0，令t＝
2x(t>0)，可得2t2＋5t－2＝0，该方程有且只有一个正根，由于t＝2x单调递增，所以t与x
一一对应，即原方程只有一个解．故选B.
答案：B
13．解析：令t＝－x2＋2x，则y＝()t，
因为t＝－x2＋2x在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，
y＝()t在定义域内为减函数，
所以y＝()－x2＋2x在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，故选C.
答案：C
14．解析：因为函数f(x)＝＋a(x∈R)为奇函数，所以f(0)＝0，即＋a＝0，解得a＝
－，此时f(x)＝－，则f(－x)＝－＝－＝－＝－f(x)，符合题意，故a＝－，即A正确；因
为y＝2x＋1在定义域上单调递增，且2x＋1>1，又y＝在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝
－在定义域R 上单调递减，故 B 错误；由f(x)>0，即－>0，所以>，即 1<2x＋1<2，即
0<2x<1，解得x<0，所以不等式f(x)>0的解集为(－∞，0)，故C正确；因为2x＋1>1，所以
0<<1，所以－<－<，即f(x)的值域为(－，)，故D错误．故选AC.
答案：AC
15．解析：由()x2－a<24x得2－x2＋a<24x，得－x2＋a<4x，即a<x2＋4x对于∀x∈[0，2]恒成
立，
设f(x)＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，显然f(x)开口向上，对称轴为x＝－2，
所以f(x)在[0，2]上单调递增，当x＝0时，f(x)取得最小值0，则a<0，即 a的取值
范围为(－∞，0).
答案：(－∞，0)
16．解析：(1)f(x)＝a－为定义在R上的奇函数，
故f(0)＝a－＝0，
又a－＝，解得：a＝1，b＝2，
故f(x)＝1－，经检验，f(x)＝1－是奇函数，满足题意，
故f(x)＝1－.
(2)任取x，x∈R，且x<x，
1 2 1 2
则f(x)－f(x)＝1－－1＋＝＝，
1 2
因为y＝2x单调递增，所以2x＋1－2x＋1<0，
1 2
又因为2x＋1＋1>0，2x＋1＋1>0，
1 2故f(x)－f(x)＝<0，
1 2
故f(x)<f(x)，
1 2
故f(x)＝1－在R上单调递增，
又f(x)＝1－是定义在R上的奇函数，
由f(2x)＋f(x2－m)>0得：f(x2－m)>－f(2x)＝f(－2x)，
故x2－m>－2x，所以m<x2＋2x＝(x＋1)2－1，
所以m<－1，实数m的取值范围是(－∞，－1).
课时作业 34
1．解析：令log＝t，则3t＝＝3－4，∴t＝－4.故选B.
3
答案：B
2．解析：若a＝b2(b>0，b≠1)，则loga＝2.故选D.
b
答案：D
3．解析：由logb＝c得ac＝b，从而由logn＝可知m＝n，即m＝n2.故选B.
a m
答案：B
4．解析：由对数的性质，得5log(2x－1)＝2x－1＝25，所以x＝13，故选B.
5
答案：B
5．解析：由对数的概念可知：100＝1可转化为lg 1＝0，故A正确；由对数的概念可
知：9＝3可转化为log3＝，故B错误；由对数的概念可知：27－＝可转化为log ＝－，故C
9 27
正确；由对数的概念可知：51＝5可转化为log5＝1，故D正确．故选ACD.
5
答案：ACD
6．解析：lg (lg 10)＝lg 1＝0，lg (ln e)＝lg 1＝0，所以A，B均正确；C中若e＝
ln x，则x＝ee，故C错误；D中lg 1＝0，而ln 0没有意义，故D错误．故选AB.
答案：AB
7．解析：由题意，要使式子b＝log (3－2a)有意义，则满足，
(3a－1)
解得<a<或<a<，即实数a的取值范围为(，)∪(，).
答案：(，)∪(，)
8．解析：因为log＝1，所以＝2.即2x－5＝6.解得x＝.
2
答案：
9．解析：(1)因为logx＝3，所以x＝53＝125.
5
(2)因为log(2x＋1)＝3，所以2x＋1＝23＝8，解得x＝.
2
(3)因为log＝3，所以＝x3＝，所以x＝.
x
(4)因为log8x＝－3，所以8x＝2－3＝8－1，所以x＝－1.
2
10．解析：(1)由log (3x2＋2x－1)＝1，得3x2＋2x－1＝(2x2－1)1＝2x2－1，2x2－
(2x2－1)
1>0，且2x2－1≠1，且3x2＋2x－1>0，解得x＝－2(x＝0舍去).
(2)由log[log(logx)]＝1得log(logx)＝2，所以logx＝32，所以x＝29＝512.
2 3 2 3 2 2
11．解析：由logx＝z，得xz＝，∴()7＝(xz)7，则y＝x7z.故选B.
答案：B
12．解析：令ln x＝0，得x＝1，则f(e1)＝0，a＝e1＝e.故选B.
答案：B
13．解析：因为log＝y，则4y＝22y＝，所以，2x＋2y＝2x·22y＝6×＝8＝23，故x＋2y＝
4
3.故选A.
答案：A
14．解析：对于A，当M＝N≤0 时，logM，logN 都没有意义，故不成立；对于B，
a a
logM＝logN，则必有M>0，N>0，M＝N ，故正确；对于C，当 M，N互为相反数且不为 0
a a
时，也有logM2＝logN2，但此时M≠N，故错误；对于D，当M＝N＝0时，logM2，logN2都
a a a a
没有意义，故错误．故选ACD.
答案：ACD15．解析：原式＝22÷2log3＋3－2·3log6
2 3
＝4÷3＋×6
＝＋
＝2.
答案：2
16．解析：由log＝0，
2
得log (logx)＝1，logx＝，即x＝2；
2 2
\f(1,2
同理y＝3，z＝5.
∵y＝3＝3＝9，x＝2＝2＝8，
∴y>x.
又x＝2＝2＝32，z＝5＝5＝25，
∴x>z，∴y>x>z.
课时作业 35
1．解析：2log＋3log＝log[()2×()3]＝log6＝1.故选D.
6 6 6 6
答案：D
2．解析：lg 5＝lg ＝lg 10－lg 2＝1－m.故选C.
答案：C
3．解析：因为lg a与lg b互为相反数，则lg a＋lg b＝lg (ab)＝0，因此，ab＝1.
故选C.
答案：C
4．解析：∵＝＝＝＝x·y－，
∴log＝log＝logx＋logy－
3 3 3 3
＝logx－logy＝m－n.故选D.
3 3
答案：D
5．解析：根据对数的运算，lg 2＋lg 3＝lg 6从而判断A，C都错误，lg 2＋lg 2＝
lg 4，从而判断B错误，lg 4－lg 2＝lg ＝lg 2，从而判断D正确．故选ABC.
答案：ABC
6．解析：对于A：当a<0，b<0时，等式右边无意义，A错；对于B：当a<0，b<0时，
等式右边无意义，B错；对于C：∵ab>0，∴lg ()2＝lg ，C正确；对于D：∵ab>0，
∴lg ＝lg (ab)＝lg (ab)，D正确．故选CD.
答案：CD
7．解析：log(24×)＝log(24×2)＝log24＋＝log2＝.
2 2 2 2
答案：
8．解析：log25＋lg ＋ln ＝log52＋lg 10－2＋ln e＝2－2＋＝.
5 5
答案：
9．解析：因为a＝lg 2，b＝lg 3，
所以lg 6＝lg 2＋lg 3＝a＋b，
lg ＝lg 2－lg 3＝a－b，
lg 1.5＝lg 3－lg 2＝b－a，
lg 12＝lg 4＋lg 3＝2lg 2＋lg 3＝2a＋b，
lg 18＝lg 2＋lg 9＝lg 2＋2lg 3＝a＋2b.
10．解析：(1)lg 1 000＋log42－log14＝lg 103＋log(3×14)－log14＝3＋log3＋
3 3 3 3 3
log14－log14＝4.
3 3
(2)原式＝lg 5×(lg 5＋lg 2)＋2(lg 2＋lg 5)＋lg 2
＝lg 5×lg 10＋2lg 10＋lg 2＝2＋(lg 5＋lg 2)＝3.
11．解析：对于A，f(2×3)＝6≠f(2)＋f(3)＝5；对于B，f(2×1)＝4≠f(2)＋f(1)＝6；对于C，f(2×1)＝8≠f(2)＋f(1)＝9；对于D，根据对数的运算公式，可得D正确．故
选D.
答案：D
12．解析：因为lg x－lg y＝lg ＝a，则lg ()3－lg ()3＝lg (·)＝3lg ＝3a.故选
A.
答案：A
13．解析：由已知a＝lg 4，b＝lg 25，a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2；b－a＝lg
25－lg 4＝lg ≠1；ab＝lg 4lg 25≠2；b－a＝lg 25－lg 4＝lg >lg 6，故选A.
答案：A
14．解析：依题意，－loga＋logb＝0，即logb＝loga2，则b＝a2且a，b>0，故C项
3 3 3 3
正确；对于A项，(2a)2＝2a·2a＝22a≠2b，故A项错误；对于B项，a·eln a＝a2＝b，故B项
正确；对于D项，loga＝log(ab) 3loga＝log(ab) b＝a2，故D项正确．故选BCD.
2 8 2 2
答案：BCD
15．解析：由 log18＝log1⇔8＝log ＝a可得a＝⇔log ，由 9b＝16 可得b＝log16＝
9 3 3 3 9
2log2，所以3a－＝3log3－log32＝3log3＝.
3
答案：
16．解析：(1)由题意可知a＝log2，
3
所以log4－log6＝log＝log2－1＝a－1.
3 3 3 3
(2)因为b＝＝log3，
4
所以9a＋9－a＋4b＋4－b＝9log2＋9－log2＋4log3＋4－log3＝4＋＋3＋＝.
3 3 4 4
课时作业 36
1．解析：log64＝＝＝＝3.故选C.
4
答案：C
2．解析：原式＝－×＋1＝0.故选A.
答案：A
3．解析：log 15＝＝＝.故选B.
18
答案：B
4．解析：∵log3×log m×log6＝××
2 36 9
＝××＝＝logm＝，
2
∴logm＝2，∴m＝4.故选A.
2
答案：A
5．解析：＝logb，＝loga，log loga，log bn＝logb.故选AD.
a b ＝ b an a
答案：AD
6．解析：当a＝b时，由2a＝5b＝m，可得()a＝1，则a＝0，此时m＝1，所以A正确，C
错误；当m＝10时，由2a＝5b＝m，可得a＝log10，b＝log10，则＋＝lg 2＋lg 5＝1，所
2 5
以B正确，D错误．故选AB.
答案：AB
7．解析：因为实数 a，b>0，且 log2＝log3＝π，所以，由换底公式可得，
a b
loga·logb＝·＝·＝·＝.
3 2
答案：
8．解析：因为32x＝5，25y＝16，所以x＝log 5，y＝log 16，则xy＝log 5×log 16
32 25 32 25
＝log5×log2＝××＝.
2 5
答案：
9．解析：(1)(2log3＋log3)(log2＋log2)
4 8 3 9
＝(2log 3＋log 3)(log2＋log 2)
22 23 3 32
＝(log3＋log3)(log2＋log2)
2 2 3 3
＝log3·log2
2 3
＝2·＝2.(2)∵log3＝a，log7＝b，
2 3
∴log ＝＝＝＝.
28
10．证明：设xa＝yb＝zc＝k，k>0，则a＝logk，b＝logk，c＝logk.
x y z
因为＋＝，所以＋＝，
即logx＋logy＝logz.
k k k
所以log(xy)＝logz，即z＝xy.
k k
11．解析：因为logb＝loga，所以＝，即lg2a＝lg2b，所以(lg a＋lg b)(lg a－lg
a b
b)＝lg ab lg ＝0，故ab＝1或＝1(舍去)，故选A.
答案：A
12．解析：由log 9＝a，18b＝5，所以a＝log 9，b＝log 5，
18 18 18
所以log 81＝＝＝.故选C.
45
答案：C
13．解析：因为lg 2≈0.3，lg π≈0.5，lg ≈28.7，所以由M＝得：lg M＝lg ()＝
lg 4＋lg π2＋lg
＝2lg 2＋2lg π＋lg ≈2×0.3＋2×0.5＋28.7＝30.3，
即lg M≈30.3 M≈1030.3＝1030＋0.3＝100.3×1030，
又lg 2≈0.3 100.3≈2，
所以M≈2×10
⇒30kg.故选A.
答案：A ⇒
14．解析：因为a＝log5，b＝log5，则－＝log2－log3＝log<log1＝0，所以<，故
2 3 5 5 5 5
选项A判断正确；因为a＝log5>2，b＝log5>1，所以a＋b>3，故选项B判断错误；因为＋
2 3
＝log6>1，又a＝log5>0，b＝log5>0，所以ab<a＋b，故选项C正确；因为a＝log5>2，
5 2 3 2
b＝log5>1，则ab>2，故选项D判断正确．故选ACD.
3
答案：ACD
15．解析：因为log3×log4×…×log (n＋2)
2 3 n＋1
＝××…×＝＝log(n＋2)，
2
又log4＝2，log8＝3，log16＝4，log32＝5，log64＝6，…，
2 2 2 2 2
所以当n＋2＝4，8，16，32时，log(n＋2)为整数，
2
所以在区间(1，50)内“贺数”的个数是4.
答案：4
16．解析：由题意lg α，lg β是关于lg x的一元二次方程lg2x－lg x－3＝0的两根，
根据韦达定理lg α＋lg β＝1，lg α·lg β＝－3，
所以log β＋log α＝＋＝＝＝－.
α β
课时作业 37
1．解析：由对数函数的定义：形如y＝logx(a>0，且a≠1)的形式，则函数为对数函
a
数，只有D符合．故选D.
答案：D
2．解析：由1－x>0可得x<1，又因为x≠0，所以y＝lg (1－x)＋的定义域为(－∞，
0)∪(0，1)，故选C.
答案：C
3．解析：因为函数f(x)＝log(x＋2)的图象过点(6，3)，所以log(6＋2)＝3 log8
a a a
＝loga3，则a3＝8 a＝2，所以f(x)＝log(x＋2)，f(2)＝log(2＋2)＝2，故选B.
a 2 2
答案：B ⇒
4．解析：由题⇒可知：函数y＝logx＋a2－3a＋2为对数函数，所以a2－3a＋2＝0 a＝1
a
或a＝2，又a>0且a≠1，所以a＝2，故选B.
答案：B ⇒
5．解析：f()＝ln ＝－1，f(f())＝f(－1)＝e－1＝.故选A.答案：A
6．解析：依题意得：x＝1·(1＋0.005)y＝1.005y，所以y＝log x，y∈N*.
1.005
答案：B
7．解析：设f(x)＝logx(a>0，且a≠1)，则log＝－2，
a a
∴＝，即a＝，∴f(x)＝log，∴f()＝log 1.
x ＝
答案：1
8．解析：当v＝1.5时， 1.5＝log，
3
即3＝log，＝33＝27，
3
∴O＝2 700.
答案：2 700
9．解析：(1)由题意可知：x－3>0，解之得：x>3.
∴x的取值范围是(3，＋∞).
(2)由题意可知：，解之得：1<x<2.
∴x的取值范围是(1，2).
10．解析：(1)因为函数f(x)＝logx(a＞0，且a≠1)的图象过点(9，2)，则log9＝
a a
2，即a2＝9，又a>0且a≠1，解得a＝3，所以a的值是3.
(2)由(1)知，f(x)＝logx，则g(x)＝f(2－x)＋f(2＋ x)＝log(2－x)＋log(2＋x)，
3 3 3
由得－2<x<2，因此，g(x)的定义域为(－2，2).
11．解析：由题意可得：log4＝＝loga＝log，即＝4，解得a＝16，则loga＝log16
a a a 4 4
＝2.故选C.
答案：C
12．解析：由题意可得，即，
解得－<x≤2且x≠0，因此，函数f(x)＝的定义域为(－，0)∪(0，2].故选C.
答案：C
13．解析：A.∵y＝logx，其定义域为{x|x＞0}，y＝(loga)－1＝，其定义域为{x|x＞
a x
0，且x≠1}，故A错误；B.y＝alogx＝x，其定义域为{x|x＞0}，y＝x的定义域为R，故B
a
错误；C.∵y＝loga2x＝2x，与y＝2x的定义域为R，故C正确；D.∵y＝logx2的定义域为
a a
{x|x≠0}，y＝2logx的定义域为{x|x＞0}，故D错误．故选C.
a
答案：C
14．解析：因为函数f(x)＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，所以x2＋2x＋a＞0恒成立，
2
所以Δ＝4－4a＜0，即a＞1，故选A.
答案：A
15．解析：设f(x)＝logx，g(x)＝xα，
a
∵对数函数f(x)与幂函数g(x)的图象相交于一点(2，4)，
∴f(2)＝log2＝4，g(2)＝2α＝4，
a
∴f(4)＝log4＝2log2＝2×4＝8，
a a
g(4)＝4α＝(2α)2＝42＝16，
∴f(4)＋g(4)＝24.
答案：24
16．解析：(1)当总质比为230时，v＝2 000ln 230≈2 000×5.4＝10 800 m/s，
即A型火箭的最大速度为10 800 m/s.
(2)A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为2
000×1.5＝3 000 m/s，总质比为，由题意得：
3 000ln －2 000ln ≥800 ln ≥0.8 ≥e0.8 T＝≥125e0.8，
因为2.225<e0.8<2.226，
所以278.125<125e0.8<278. ⇒ 25，即278. ⇒ 125<T< ⇒ 278.25，
不小于T的最小整数为279.课时作业 38
1．解析：当0<a<1时，>1，函数y＝a－x＝()x为底数大于1的指数函数，是增函数，函
数y＝logx为底数大于0、小于1的对数函数，是减函数，故选C.
a
答案：C
2．解析：依题意，函数f(x)＝logx＋1(a>0，且a≠1)过定点A(1，1)，则m＋n＝2.
a
故选C.
答案：C
3．解析：因为a＝log2<log3＝1<b＝logπ<c＝log， 故选A.
3 3 2 2
答案：A
4．解析：根据对数函数的定义域，可得：x>0，根据偶次幂函数的底数非负，可得：1
－ln x≥0，解得：0<x≤e.故选A.
答案：A
5．解析：f(x)＝log(x＋2)(0<a<1)的图象相当于是把y＝logx(0<a<1)的图象向左平
a a
移2个单位，作出函数f(x)＝log(x＋2)(0<a<1)的大致图象如图所示，则函数f(x)的图象
a
过第二、三、四象限．
故选BCD.
答案：BCD
6．解析：A.y＝log x在定义域上递减，故log 0.3>log 0.4，错误；B.由20.3>20＝1
0.2 0.2 0.2
＝log3>log2，故正确；C.由loge<log3＝1＝ln e<ln 3，故错误；D.由log5>log4＝2
3 3 3 3 2 2
＝log9>log5，故正确．故选BD.
3 3
答案：BD
7．解析：由函数f(x)＝log(x－1)过点(a，0)可得，log(a－1)＝0，则a－1＝1，即
a a
a＝2，此时f(x)＝log(x－1)，由log(x－1)>0可得x－1>1即x>2.
2 2
答案：(2，＋∞)
8．解析：因为y＝lg x定义域为(0，＋∞)，且单调递增，
因为lg (－2x－1)＝lg (x2－9)，所以，解得：x＝－4.
答案：－4
9．解析：因为f(－5)＝1，所以log5＝1，即a＝5，故f(x)＝log|x|＝所以函数y＝
a 5
log|x|的图象如图所示．
5
10．解析：先作出函数y＝lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分折到x轴上方，
于是得到f(x)＝|lg x|的图象．
由图象可知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．由＞a＞b＞1得f()＞f(a)＞f(b)，
而f()＝＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c)，
所以f(c)＞f(a)＞f(b).
11．解析：由y＝ax的图象可知，函数过点(1，3)，所以a1＝3，即a＝3，所以f(x)＝
log(－x＋1)，所以f(0)＝0，排除A、B，f(－2)＝1，排除C，故选D.
3
答案：D
12．解析：因为 logx0.8<logx0.8<0，则 log x<log x<0＝log 1，又因为y＝
1 2 0.8 2 0.8 1 0.8
log x在(0，＋∞)上单调递减，那么1<x<x，故选C.
0.8 1 2
答案：C
13．解析：a＝f()＝＝ln 5，b＝f()＝＝ln 4，c＝f(3)＝|ln 3|＝ln 3，∵函数y＝ln
x在(0，＋∞)上单调递增，且3＜4＜5，∴ln 3＜ln 4＜ln 5，
即c＜b＜a.故选D.
答案：D
14．解析：显然a>0且a≠1，a2＋1>2a，因此由log(a2＋1)<log2a<0得，0<a<1且
a a
2a>1，所以<a<1.对比各选项，BCD均可．故选BCD.
答案：BCD
15．解析：因为函数y＝log(x＋2)－1(a>0，且 a≠1)的图象过定点A，所以A(－1，
a
－1).因为点A在函数f(x)＝3x＋b的图象上，所以3－1＋b＝－1，所以b＝－，所以f(x)＝
3x－，所以f(log2)＝3log2－＝2－＝.
3 3
答案：
16．解析：由x2－logx＜0得x2＜logx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logx的图象，
m m m
如图所示，
要使x2＜logx在(0，)内恒成立，
m
只要y＝logx在(0，)内的图象在y＝x2的上方，于是0＜m＜1.
m
∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝log≥＝logm，
m m
∴≤m，即m≥.
又0＜m＜1，
∴≤m＜1，即实数m的取值范围是[，1).
课时作业 39
1．解析：因为函数y＝ax与y＝logx(a>0，且a≠1)互为反函数，且这两个函数的图象
a
关于直线y＝x对称，因此，与函数 y＝()x的图象关于直线 y＝x对称的函数是 y＝
log x.故选C.
\f(1,4
答案：C
2．解析：可知f(x)＝log x在单调递减，∴f(x) ＝f()＝log ＝4.故选A.
max
\f(1,2 \f(1,2
答案：A
3．解析：若lg a>lg b，则a>b>0，故a>b；反之，若a>b，当其中有负数时，q不成立．
故p是q的必要不充分条件．故选B.
答案：B
4．解析：因为函数y＝log(x2＋m)的值域为[2，＋∞)，所以y＝x2＋m的最小值为9，
3所以m＝9.故选C.
答案：C
5．解析：对于 A，函数f(x)定义域为 R，取x＝1，x＝2，则f(x)＋f(x)＝6，
1 2 1 2
f(x·x)＝4，则存在x，x，使得f(x)＋f(x)≠f(x·x)，A不是；对于B，函数f(x)定
1 2 1 2 1 2 1 2
义域为R，取x＝1，x＝2，则f(x)＋f(x)＝，f(x·x)＝，则存在x，x，使得f(x)＋
1 2 1 2 1 2 1 2 1
f(x)≠f(x·x)，B不是；对于C，函数f(x)定义域{x|x>0}内任意的x，x，f(x)＋f(x)
2 1 2 1 2 1 2
＝log x＋log x＝log (xx)＝f(x·x)，C是；对于D，函数f(x)定义
1 2 1 2 1 2
\f(1,2 \f(1,2 \f(1,2
域{x|x>0}内任意的x，x，f(x)＋f(x)＝logx＋logx＝log(xx)＝f(x·x)，D是．
1 2 1 2 3 1 3 2 3 1 2 1 2
故选CD.
答案：CD
6．解析：f(x)＝lg ()的定义域为(－1，1)，又f(－x)＝lg ()＝－lg ()＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，故AB正确；f(x)＝lg ＝lg (－1＋)，因为y＝－1 在(－1，1)为增函
数，由复合函数的单调性可知f(x)在定义域上单调递增，故C正确．
因为函数f(x)定义域为(－1，1).x∈(－1，1)时，－1∈(0，＋∞) ，故f(x)＝lg (－
1＋)∈(－∞，＋∞)，f(x)的值域为(－∞，＋∞)，故D错误．故选ABC.
答案：ABC
7．解析：函数f(x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)，值域为R，故函数f(x)＝ln x满足
要求．
答案：ln x(答案不唯一)
8．解析：由f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)可得，则－2<x<2；即函数f(x)＝lg (2＋x)
＋lg (2－x)的定义域为(－2，2)；
又f(－x)＝lg (2－x)＋lg (2＋x)＝f(x)，
所以f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)是偶函数；
因为f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝lg (4－x2)，
函数y＝4－x2在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减；又y＝lg x是增函数，
根据复合函数单调性的判定方法：同增异减，可得函数f(x)的单调递增区间是(－2，
0).
答案：偶 (－2，0)
9．解析：(1)由，得－3<x<3，
所以函数f(x)的定义域是(－3，3)，
函数f(x)为奇函数，证明如下：
对∀x∈(－3，3)，都有－x∈(－3，3)，
又因为f(－x)＝log(3＋x)－log(3－x)＝－[log(3－x)－log(3＋x)]＝－f(x)，
2 2 2 2
所以f(x)为奇函数．
(2)由f(x)>0，得log(3－x)－log(3＋x)>0，
2 2
所以log(3－x)>log(3＋x)，
2 2
因为y＝logx在定义域内为增函数，
2
所以，
解得－3<x<0，所以不等式f(x)>0的解集为{x|－3<x<0}．
10．解析：(1)由函数f(x)＝ln ＝ln
＝ln (－1＋)，则函数f(x)在其定义域上单调递减．
证明如下：
由函数f(x)＝ln ，则>0，(2－x)(2＋x)>0，(x－2)(x＋2)<0，解得－2<x<2，即函数
的定义域为(－2，2)，
取任意x，x∈(－2，2)，设x<x，
1 2 1 2
f(x)－f(x)＝ln －ln ＝ln (·)＝ln ，
1 2
由x<x，则x－x<0<x－x，即4＋2(x－x)－xx<4＋2(x－x)－xx，故>1，即
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2
f(x)－f(x)>0，
1 2
所以f(x)>f(x)，则函数f(x)在其定义域上单调递减．
1 2
(2)由(1)可知函数f(x)在其定义域上单调递减，则函数f(x)在[－1，1]上f(x) ＝
maxf(－1)＝ln 3，f(x) ＝f(1)＝ln ，
min
所以函数f(x)在[－1，1]上的值域为.
11．解析：因为函数f(x)＝4＋logx在定义域(0，＋∞)上单调递增，又函数f(x)在区
2
间[1，a]上的最大值为6，所以f(a)＝4＋loga＝6，即loga＝2，所以a＝22＝4.故选B.
2 2
答案：B
12．解析：f(x)＝|lg x|＝，因为y＝lg x在(0，＋∞)为增函数，则易知f(x)在(0，
1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故选C.
答案：C
13．解析：由于－3x>3|x|－3x≥0恒成立，故f(x)＝ln (－3x)＋1的定义域为R，令
g(x)＝f(x)－1＝ln (－3x)，x∈R，则g(－x)＝ln (＋3x)，而g(x)＋g(－x)＝ln (－3x)
＋ln (＋3x)＝ln 1＝0，故g(－x)＝－g(x)，故g(x)为奇函数，则g(lg 2)＋g(lg )＝
g(lg 2)＋g(－lg 2)＝g(lg 2)－g(lg 2)＝0，即f(lg 2)－1＋f(lg )－1＝0，∴f(lg 2)＋
f(lg )＝2，故选C.
答案：C
14．解析：函数f(x)＝ln (x＋2)＋ln (4－x)＝ln (x＋2)(4－x)＝ln (－x2＋2x＋
8)，(－2<x<4)，令t＝－x2＋2x＋8，在(－2，1)上递增，在[1，4)上递减，又y＝ln t是
单调递增函数，所以f(x)在区间(－2，1)上单调递增，在[1，4)上递减，又t＝－x2＋2x＋
8的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故选AC.
答案：AC
15．解析：f(x)＝(log)·(log )＝(logx2－log2)(log x－log 8)
4 4 4
\f(1,2 \f(1,2 \f(1,2
＝(logx－)(－logx＋3)＝－(logx－)2＋，故当logx＝时，f(x) ＝.
2 2 2 2 max
答案：
16．解析：(1)当0<a<1时，函数f(x)为减函数；当a>1时，函数f(x)为增函数．
证明如下：
由x＋1>0 x>－1，得函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
x，x∈(－1，＋∞)，且x<x，则0<<1，
1 2 1 2
⇒
f(x)－f(x)＝log(x＋1)－log(x＋1)＝log，
1 2 a 1 a 2 a
∀
当0<a<1时，函数y＝logx在(0，＋∞)上为减函数，
a
所以log>log1＝0，即f(x)>f(x)，
a a 1 2
此时函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数；
当a>1时，函数y＝logx在(0，＋∞)上为增函数，
a
所以log<log1＝0，即f(x)<f(x)，
a a 1 2
此时函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)由(1)知，当0<a<1时，函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数；
则在[1，4]上，f(x) ＝f(1)＝log2，f(x) ＝f(4)＝log5，
max a min a
得log2－log5＝log＝1，解得a＝；
a a a
当a>1时，函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
则在[1，4]上，f(x) ＝f(1)＝log2，f(x) ＝f(4)＝log5，
min a max a
得log5－log2＝log＝1，解得a＝；
a a a
综上，a的值为或.
课时作业 40
1．解析：依题意，得x∈R，且f(－x)＝()|－x|＝()|x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数．当
x>0时，f(x)＝()|x|＝()x，则f(x)单调递减；当x<0时，f(x)＝()|x|＝()－x＝3x，则f(x)单
调递增．故选D.
答案：D
2．解析：因为函数y＝log(2－x)在区间[0，1]单调递减，所以当x＝0时取得最大值：
2log(2－0)＝1.故选B.
2
答案：B
3．解析：由f(－x)＝＝＝－f(x)且定义域为R，所以f(x)为奇函数，即关于原点对称，
又f(x)＝－2x在R上递减，故在[0，＋∞)上是减函数．故选B.
答案：B
4．解析：∵函数g(x)＝log(ax2＋2x－1)有最大值1，∴ ax2＋2x－1有最大值3，即＝
3
3，解得：a＝－，故选C.
答案：C
5．解析：f(x)＝()－x2＋6x－7定义域为R，令y＝()u，u＝－x2＋6x－7，x∈R，∵u＝－x2
＋6x－7为二次函数，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝－＝3，当x∈(－∞，
3)时，u＝－x2＋6x－7单调递增，当x∈(3，＋∞)时，u＝－x2＋6x－7单调递减，又∵y＝
()u为指数函数，当u∈R时单调递减，∴由复合函数的单调性(同增异减)可知，f(x)＝()－x2
＋6x－7在区间(－∞，3)上单调递减，故选项A正确；对于B，(－4，0) (－∞，3)，故选项B
正确；对于C，(1，3) (－∞，3)，故选项C正确；对于D，(2，4）⊈ (－∞，3)，故选项
⊆
D错误．故选ABC.
答案：ABC ⊆
6．解析：由x2－4x＋3>0得f(x)的定义域为{x|x>3或x<1}，令μ＝x2－4x＋3(x>3或
x<1)，则y＝logμ，当x>3时，μ＝x2－4x＋3为单调递增函数，y＝logμ为单调递增函
2 2
数，所以f(x)为单调递增函数；当x<1时，μ＝x2－4x＋3为单调递减函数，y＝logμ为
2
单调递增函数，所以f(x)为单调递减函数．故选BD.
答案：BD
7．解析：由已知得，f(x)的定义域为R，设u＝1－x，则y＝()u.因为u＝1－x在R上
为减函数，又因为y＝()u在(－∞，＋∞)上为减函数，所以y＝()1－x在(－∞，＋∞)上为增
函数．
答案：(－∞，＋∞)
8．解析：由题意可得9－x2>0，即－3<x<3，所以函数的定义域为(－3, 3).因为9≥9
－x2>0，所以log(9－x2)≤log9＝2，故函数的值域为(－∞，2].
3 3
答案：(－∞，2]
9．解析：(1)∵函数f(x)＝是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，＝－，
1＋m·3x＝－3x－m，即(m＋1)(3x＋1)＝0，m＝－1.
(2)f(x)＝＝1－，
设x<x，则3x<3x，∴0<3x＋1<3x＋1.
1 2 1 2 1 2
>，∴－<－，∴1－<1－.
∴f(x)<f(x)，函数f(x)在R上单调递增．
1 2
10．解析：(1)因为f(x)定义域为(0，＋∞)，
则f(x)＝log·2log＝(logx－2)(logx－4)＝(logx)2－6logx＋8，
2 2 2 2 2 2
设logx＝t(t∈R)，则y＝t2－6t＋8＝(t－3)2－1≥－1，
2
所以f(x)值域为[－1，＋∞).
(2)不等式可化为t2－6t＋8>3，即t2－6t＋5>0解得t<1或t>5，
即logx<1或logx>5，解得0<x<2或x>32，
2 2
所以不等式的解集为(0，2)∪(32，＋∞).
11．解析：令u＝ax－1，y＝lg u，若f(x)＝lg (ax－1)在(a，＋∞)上单调递增，因
为y＝lg u是(0，＋∞)上的增函数，则需使u＝ax－1是(a，＋∞)上的增函数且u>0，则
a>0且a2－1≥0，解得a≥1.因为(，＋∞)[1，＋∞)，故a>是a≥1的必要不充分条件，
故选B.
答案：B
12．解析：令t＝x2－2ax，则h(t)＝()t，因为f(x)在[1，3]上是减函数，由复合函数
的单调性知，函数t＝x2－2ax与h(t)＝()t的单调性相反；又因为h(t)单调递减，所以t＝
x2－2ax需在[1，3]上单调递增．函数t＝x2－2ax的对称轴为x＝a，所以只需要a≤1，故
选A.答案：A
13．解析：设u＝－x2＋ax＋b，则u为开口向下，对称轴为x＝－的抛物线，因为函数
y＝log u在定义域内单调递减，函数f(x)的单调递增区间是[2，3)，所以由复合函数单调
0.5
性的定义可得，解得，所以f(x)＝log (－x2＋4x－3)，所以f(2)＝log (－22＋4×2－3)
0.5 0.5
＝log 1＝0，故选C.
0.5
答案：C
14．解析：由题意，不妨令t＝＝a＋，则f(x)＝y＝logt，因为y＝logt是单调递增
3 3
函数，且f(x)＝log 在区间(－1，3]上单调递减，所以t＝a＋在(－1，3]上单调递减，从
3
而6－3a>0且a＋>0，解得－2<a<2，故实数a的取值范围是(－2，2).故选C.
答案：C
15．解析：令g(x)＝2x2－2ax＋5a，因为y＝log x在定义域上单调递减，又
\f(1,3
f(x)＝log (2x2－2ax＋5a)在区间(2，3)上是减函数，所以g(x)＝2x2－2ax＋5a在
\f(1,3
(2，3)上单调递增且恒大于零，所以，解得－8≤a≤4，所以实数a的取值范围是[－8，4].
答案：[－8，4]
16．解析：(1)当m＝－1时f(x)＝log(6x－5x)，令6x－5x>0，
4
即6x>5x，即()x>1，解得x>0，所以f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)由f(x)≤2对任意的x∈[0，1]恒成立，
所以0<6x＋m·5x≤16对任意的x∈[0，1]恒成立，
即－()x<m≤－()x对任意的x∈[0，1]恒成立，
因为y＝是单调递减函数，y＝－()x是单调递减函数，
所以g(x)＝－()x在[0，1]上单调递减，
所以g(x) ＝g(1)＝2，
min
所以h(x)＝－()x在[0，1]上单调递减，所以h(x) ＝h(0)＝－1，所以－1<m≤2，即m
max
的取值范围为(－1，2].
课时作业 41
1．解析：一次函数、二次函数以及指数函数的增长不会越来越慢，只有对数函数的增
长符合．故选D.
答案：D
2．解析：当x＞1时，指数函数增长最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数y＝
9×8x的增长速度最快．故选D.
答案：D
3．解析：根据表格提供数据可知，函数增长非常快，所以指数增长符合，即B选项符
合．故选B.
答案：B
4．解析：设原来森林蓄积量为a，
∵某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，
∴一年后，森林蓄积量为a(1＋10.4%)
两年后，森林蓄积量为a(1＋10.4%)2，
经过y年，森林蓄积量为a(1＋10.4%)y，
∵要增长到原来的x倍，需经过y年，
∴a(1＋10.4%)y＝ax，
∴1.104y＝x则y＝log x.
1.104
由于函数是对数函数，1.104>1，所以函数y＝f(x)的图象大致为D.故选D.
答案：D
5．解析：在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)图象如图所示：由图象可判断出衰减情况为：f(x)衰减速度越来越慢；g(x)衰减速度越来越慢．故选
ABD.
答案：ABD
6．解析：
如图，对于y＝x2，y＝2x，
1 2
从负无穷开始，y大于y，然后y大于y，再然后y再次大于y，最后y大于y，y
1 2 2 1 1 2 2 1 1
再也追不上y，故随着x的逐渐增大，y增长速度越来越快于y，A错误，BD正确；
2 2 1
y＝x2，y＝x，
1 3
由于y＝x的增长速度是不变的，当x∈(0，1)时，y大于y，当x∈(1，＋∞)时，y
3 3 1 1
大于y，y再也追不上y，y增长速度有时快于y，C错误．故选BD.
3 3 1 1 3
答案：BD
7．解析：对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟
合模型较好．
答案：甲
8．解析：由函数的性质可知，指数函数的增长速度是先慢后快，最终跑在最前面的是
指数函数，所以最终跑在最前面的人具有的函数关系是④.
答案：④
9．解析：曲线C对应的函数是f(x)＝1.1x，
1
曲线C对应的函数是h(x)＝x，
2
曲线C对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
3
由题图知，当x＜1时，f(x)＞h(x)＞g(x)；当1＜x＜f时，f(x)＞g(x)＞h(x)；
当f＜x＜a时，g(x)＞f(x)＞h(x)；当a＜x＜b时，g(x)＞h(x)＞f(x)；
当b＜x＜c时，h(x)＞g(x)＞f(x)；当c＜x＜d时，h(x)＞f(x)＞g(x)；
当x＞d时，f(x)＞h(x)＞g(x).
10．解析：(1)根据题意：
，
a＝－1，b＝9，c＝34，
，
p＝－27，q＝，r＝60.
(2)甲模型预测4月，5月，6月份的患病人数分别为54，54，52，
乙模型预测4月，5月，6月份的患病人数分别为54.7，56.4，57.6，
实际4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58.
所以乙选择的模型好．
11．解析：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增
函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除B.
能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是C.
故选C.
答案：C
12．解析：作出y＝logx、y＝x2、y＝2x图象
2
由图象可知，当x>4时，logx<x2<2x.故选D.
2
答案：D
13．解析：设初始状态为(x，y)，变化后为(x，y)，则x＝16x，y＝8y，
1 1 2 2 2 1 2 1
又y＝kx，y＝kx，即8y＝k(16x)α＝k·16αx，
1 2 1 1
＝，16α＝8，24α＝23，4α＝3，α＝.故选D.
答案：D
14．解析：对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影
响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错；
对于选项B，因为a>1，所以结合指数函数及对数函数图象，易知ax>logx，故B正确；
a
对于选项C，当0<a<1时，结合图象易知xa>logx不恒成立，故C错；
a
对于选项 D，当 a>1 时，结合图象易知，一定存在 x，使得当 x>x时，总有
0 0
ax>xa>logx，但若去掉限制条件“a>1”，则结论不成立，故D正确．故选BD.
a
答案：BD
15．解析：由图可知，前3年的产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确；
第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确；
综合所述，正确的为：②④.
答案：②④
16．解析：(1)函数y＝kax(k>0，a>1)与y＝px＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上都是增函
数，
随着x的增加，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加的越来越快，
而函数y＝px＋k的值增加的越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，
因此选择模型y＝kax(k>0，a>1)符合要求．
根据题意可知x＝2时，y＝24；x＝3时，y＝36，
∴，解得.
故该函数模型的解析式为y＝·()x，1≤x≤12，x∈N*；
(2)当x＝0时，y＝，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是 m2，
由·()x>10·，得()x>10，
∴x>log 10＝＝≈5.9，
\f(3,2
∵x∈N*，∴x≥6，
即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．
课时作业 42
1．解析：令f(x)＝ln x－1＝0，解得x＝e，故函数f(x)＝ln x－1的零点是e.故选B.
答案：B
2．解析：因为2是函数f(x)＝xn－8(n为常数)的零点，
所以2n＝8，得n＝3，所以f(x)＝x3－8，
因为f(m)＝56，所以m3－8＝56，得m＝4，故选C.
答案：C
3．解析：f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
f(3)＝－1<0，f(4)＝log4－1>0，
3
所以f(x)的零点在区间(3，4)上．故选B.
答案：B
4．解析：令h(x)＝f(x)－g(x)，
可得：h(0)＝f(0)－g(0)<0，h(1)＝f(1)－g(1)>0，
由题意得h(x)连续，根据函数的零点判定定理可知：h(x)在(0，1)上有零点，
故f(x)＝g(x)在(0，1)上有解．故选B.
答案：B
5．解析：∵f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)f(1)>0，
∴不能确定f(x)在(0，1)内零点的情况，A错误，B正确；
若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)f(1)<0，
由零点存在定理知：f(x)在(0，1)内至少有一个零点，C错误；
若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)f(1)≤0，
由零点存在定理知：f(x)在[0，1]内有零点，D正确．故选BD.
答案：BD
6．解析：令h(x)＝s(x)－x＝0，
当x>0时，有1－x＝0，则x＝1；
当x＝0时，有0－x＝0，则x＝0；
当x<0时，有－1－x＝0，则x＝－1；
故函数h(x)＝s(x)－x的零点是－1，0，1.故选ABC.
答案：ABC
7．解析：当x≤0时，由x2－2＝0解得x＝－，
当x>0时，由ln x＝0解得x＝1，
所以函数f(x)＝的零点个数是2个．
答案：2
8．解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋a只有一个零点，
所以Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.
答案：1
9．解析：因为函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是1和2，
所以⇒，
所以g(x)＝3x2＋2x－1，
令g(x)＝0，解得x＝－1或，
故函数g(x)的零点为－1和.
10．解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2，0)和(2，3)内各有一个零点，
所以，
解得－3<a<0，所以a的取值范围为(－3，0).
11．解析：设f(x)＝ex－4x＋1,
f(－)＝e－＋4×＋1>0，f(0)＝e0－4×0＋1＝2>0，
f＝e－4×＋1＝－1>0，f(1)＝e－4＋1＝e－3<0，
f()＝e－4×＋1＝－<－＝－<0，
所以f()·f(1)<0，所以存在x∈(，1)，使f(x)＝0，
0 0
所以方程ex－4x＋1＝0的实数解所在的一个区间是(，1).
故选C.
答案：C12．解析：函数f(x)＝12－x－lg x的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数；
易得f(11)＝12－11－lg 11＝1－lg 11<0，f(10)＝12－10－lg 10＝1>0，
∴f(11)f(10)<0，
根据零点存在性定理及其单调性，可得函数f(x)的唯一零点所在区间为(10，11)，
∴n＝10.故选C.
答案：C
13．解析：f(x)＝x2＋2bx－b开口向上，对称轴为x＝－b，
要想满足－1<x<x<1，则要，
1 2
解得：b∈(0，).故选B.
答案：B
14．解析：令f(x)＝0，则x＋－2＝0，即x2－2x＋a＝0(x≠0)，即a＝－x2＋
2x(x≠0).
考察直线y＝a和抛物线y＝－x2＋2x(x≠0)的位置关系，由图可知，
当a>1时，f(x)无零点；
当a＝1或a＝0时，f(x)只有一个零点，
当a<1且a≠0时，f(x)有两个零点；
若f(x)有两个零点x，x，则x，x是方程x2－2x＋a＝0的两根，
1 2 1 2
由韦达定理，得x＋x＝2.故选ABD.
1 2
答案：ABD
15．解析：函数f(x)在区间(1，7)上为增函数，
若函数f(x)在区间(1，7)上有零点，则f(1)<0，f(7)>0，
即，解得－1<a<0.
答案：(－1，0)
16．解析：(1)由题意知，方程|4x－x2|＝a有三个不同的解，
即函数y＝|4x－x2|和y＝a的图象有三个不同的交点，
又y＝|4x－x2|＝，
作出函数图象如图所示：
又y＝|4x－x2|和y＝a有三个不同的交点，
∴a＝4.
(2)由f(x)有零点，即函数y＝|4x－x2|和y＝a有交点，
由图象可得a≥0，∴a的取值范围是[0，＋∞).课时作业 43
1．解析：设f(x)＝x＋lg x－3，显然函数图象是连续的，
则有f(1)＝－2<0，f(2)＝lg 2－1<0，f(3)＝lg 3>0，
f(4)＝1＋lg 4>0，f(5)＝2＋lg 5>0，
所以f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)>0，
f(4)f(5)>0，
故区间[2，3]可以作为初始区间，故A，C，D错误．故选B.
答案：B
2．解析：设f(x)＝2x3＋3x－3，
∴f(0)＝－3<0，f(1)＝2＋3－3＝2>0，
∵f(0.5)＝2×0.53＋3×0.5－3<0，
∴f(x)在(0.5，1)内有零点，
∵f(0.75)＝2×0.753＋3×0.75－3>0，
∴f(x)在(0.5，0.75)内有零点，
∴方程2x3＋3x－3＝0的根可以是0.635.故选B.
答案：B
3．解析：据二分法的步骤知，经过一次二分后， 零点所在区间长度为，
此时结束计算，所以<0.001，
所以|b－a|<0.002.故选B.
答案：B
4．解析：求解时需将64枚纪念币均分为两组，分别称其质量，假的一定在轻的那一组，
再将这一组(共32枚)均分为两组，称其质量，这样一直均分下去，
6次就能找出那枚假的，即最多只需称量6次．故选C.
答案：C
5．解析：由二分法的步骤可知，
①零点在(0，4)内，则有f(0)f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，取中点2；
②零点在(0，2)内，则有f(0)f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0，取中点1；
③零点在(1，2)内，则有f(1)f(2)<0，则f(1)>0，f(2)<0，取中点；
④零点在(1，)内，则有f(1)f()<0，则f(1)>0，f()<0，则取中点；
⑤零点在(，)内，则有f()f()<0，则f()>0，f()<0.
所以与f(0)符号不同的是f(4)，f(2)，f().故选ABD.
答案：ABD
6．解析：因为函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象
是连续不断的，所以零点两侧函数值异号，
又f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，所以f(3)>0，f(1)f(2)<0，
若f(1)>0，f(2)<0，可得f(2)f(3)<0，f(1)f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别
在区间(1，2)和(2，3)内，故B正确；
若f(1)<0，f(2)>0，则f(0)f(1)<0，f(1)f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别在
区间(0，1)和(1，2)内，故A正确．
综上两种情况，可知选项C错误，D正确．故选ABD.
答案：ABD
7．解析：∵f(2)f(4)<0，f(2)f(3)<0，∴f(3)f(4)>0，∴x∈(2，3).
0
答案：(2，3)
8．解析：f(8)＝lg 8－<0，f(12)＝lg 12－>0 ，
而f(10)＝lg 10－＝1－<0，则f(10)f(12)<0，
∴经过下一次计算可得x∈(10，12).
0
答案：(10，12)
9．解析：方程f(x)＝0在(－1，＋∞)内有根，f(x)＝3x＋＝3x＋1－，
当x∈(－1，＋∞)时，函数f(x)为增函数，
所以若方程f(x)＝0有根，则最多有一个根．
10．解析：f(－1)＝9, f(1)＝－7.
∵f(－1)·f(1)<0，f(x)在区间 (－1，1)上单调递减，
∴函数f(x)在(－1，1)上存在唯一零点x.
0
∵f(0)＝－1<0, ∴f(－1)·f(0)<0，
∴x∈(－1，0).此时0－(－1)＝1>0.2，
0
∵f(－)＝>0，∴f(－)f(0)<0，
∴x∈(－，0).此时0－(－)＝>0.2，
0
∵f(－)＝>0, ∴f(－)f(0)<0，
∴x∈(－，0).此时0－(－)＝>0.2，
0
∵f(－)＝>0, ∴f(－)f(0)<0，
∴x∈(－，0).此时|－－0|＝<＝0.2，满足精确度，停止二分，
0
∴所求区间为 (－，0).
11．解析：令f(x)＝logx－，
8
因为函数y＝logx，y＝－在(0，＋∞)上都是增函数，
8
所以函数f(x)＝logx－在(0，＋∞)上是增函数，
8
f(1)＝－<0，f(2)＝log2－＝－＝>0，
8
所以函数f(x)＝logx－在区间(1，2)上有唯一零点，
8
所以用二分法求方程logx－＝0近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2).故选B.
8
答案：B
12．解析：因为f(a)f(b)<0，f(a)f()>0，
所以f(a)f(b)f(a)f()<0，即[f(a)]2f(b)f()<0，
因为[f(a)]2>0，
所以f()f(b)<0，
根据函数零点存在定理可知f(x)在[，b]上有零点，
故选B.
答案：B
13．解析：区间[0，2]的长度等于2，每经过一次二分区间的操作，区间长度变为原来
的一半，经过n次操作后，区间长度变为 ，
∵用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间[0，2]上的零点，需求精确度为
0.01, 由≤0.01，解得n≥8.
故选D.
答案：D
14．解析：∵f(1.375)＝－0.26<0，f(1.437 5)＝0.02>0，
∴零点在(1.375，1.437 5)内，又1.437 5－1.375＝0.062 5<0.1，则AC正确，D错误；
∵f(1.406 5)＝－0.13<0，f(1.437 5)＝0.02>0，
|1.406 5－1.437 5|＝0.031>0.01，则B错误．故选AC.
答案：AC
15．解析：f(1.875)＝1.341 8 ，f(1.812 5)＝0.579 35 ，
f(1.781 25)＝0.214 14 ,
由表格提供的数据以及以上计算的数据知：零点区间变化如下：
(1，2)，(1.5，2)，(1.75，2)，(1.75，1.875), (1.75，1.812 5)，(1.75，1.781
25)，(1.75，1.765 6)，(1.757 8，1.765 6) ，
1．765 6－1.757 8＝0.007 8<0.01 ，符合精度要求，所以一共等分了7次，近似解为
1.76.
答案：7 1.76
16．解析：∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，∴f(x)的零点x∈(2，3).
0
∵f()＝ln －1＝ln －ln e<0，∴f()f(3)<0，∴x∈(，3).
0
∵f()＝ln －＝ln －ln e>0，∴f()f()<0，∴x∈(，).
0
而|－|＝≤，∴(，)即为符合条件的一个区间．
课时作业 44
1．解析：设2015年该企业单位生产总值能耗为a，则2016年该企业单位生产总值能耗
为a(1－x)，
2017年该企业单位生产总值能耗为a(1－x)2，2018年该企业单位生产总值能耗为a(1
－x)3，
2019年该企业单位生产总值能耗为a(1－x)4，2020年该企业单位生产总值能耗为a(1
－x)5，
2021年该企业单位生产总值能耗为a(1－x)6，2022年该企业单位生产总值能耗为a(1
－x)7，
2023年该企业单位生产总值能耗为a(1－x)8，由题设可得a(1－x)8＝0.8a即(1－x)8＝
0.8.故选D.
答案：D
2．解析：由题得选项AC显然错误，指数不可能是x.
b＝×(0.49＋0.8＋1.2＋1.82)≈1.08，
1
b＝×(1.63＋1.50＋1.52)＝1.55，
2
如果选D, y＝0.49×1.55x－2008，2009年的数据量为0.49×1.55＝0.759 5，
如果选B, y＝0.49×1.08x－2008，2009年的数据量为0.49×1.08＝0.529 2，
由于0.759 5更接近0.8，故选D.
答案：D
3．解析：由题意得：I(t)＝＝0.8K，
即e－0.24(t－53)＝，
两边取对数得－0.24(t－53)＝ln ＝－ln 4≈－1.39，
即0.24(t－53)≈1.39，
解得t≈59，故选D.
答案：D
4．解析：由题知，该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog(x＋
2
1)，
当x＝1，y＝180代入y＝alog(x＋1)，得180＝alog(1＋1)，得a＝180，
2 2
所以y＝180·log(x＋1)，
2
所以当x＝15时，y＝180·log(15＋1)＝180·4＝720，
2
所以15年后它们发展到720只．故选D.
答案：D
5．解析：设投资总额为a元，甲先经历一次涨停，再经历一次跌停后的资金为：a(1＋
10%)(1－10%)＝0.99a元，
乙先经历一次跌停，再经历一次涨停后的资金为：a(1－10%)(1＋10%)＝0.99a元，故
选AD.
答案：AD
6．解析：当x＝0.1时，代入y＝5＋2lg x得：y＝5－2＝3，代入y＝5－lg 得：y＝5
－1＝4.
故选择函数模型②.A错误；B正确．
对于C：当y＝5时，由y＝5－lg 解得：x＝1，则小明视力的小数记录数据为1.0.故C
错误；
对于D：当y＝4.9时，由y＝5－lg 解得：x＝0.8，则小明视力的小数记录数据为0.8.
故D正确．故选BD.
答案：BD7．解析：当t＝0时，N＝N，若N＝，则2－＝2－2，所以－＝－2，t＝11 460.
0
答案：11 460
8．解析：由题得，点(1，3)和点(3，5)在函数y＝alog(x＋1)＋b上，代入得，解得a
2
＝2，b＝1，则函数为y＝2log(x＋1)＋1，所以预计经过15年时，此种生物总数y＝
2
2log(15＋1)＋1＝9亿元．
2
答案：9
9．解析：(1)将x＝5，v＝0代入函数v＝log－lg x，得：log－lg 5＝0，
0 3 0 3
因为lg 5≈0.70，所以log＝2lg 5≈1.40，所以＝31.40≈4.66，所以x＝466.所以候
3
鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位．
(2)设雄鸟每分钟的耗氧量为x，雌鸟每分钟耗氧量为x，由题意可得：
1 2
两式相减可得：＝log，所以log＝1，即＝3.
3 3
此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．
10．解析：(1)由题设，第1年研发资金为：300×(1＋10%)＝330万元；第2年研发资
金为：300×(1＋10%)2＝363万元；
∴第x年研发资金：y＝300·(1＋10%)x且定义域为[1，10].
(2)由(1)知：y＝300·(1＋10%)x>600，即(1.1)x>2，
∴x>log 2≈7.3>7，故从第8年即2028年开始，每年投入的研发资金数将超过600万
1.1
元．
11．解析：假设经过n天，“进步”后的值是“退步”后的值的10倍，
则可得(1＋1%)n＝10(1－1%)n，
所以()n＝10，所以n＝≈≈115，
即经过115天，“进步”后的值是“退步”后的值的10倍．故选C.
答案：C
12．解析：n＝－log 2＝log 2，因为电池容量不变，则有 10nt＝
0 0
\f(2,3 \f(3,2
15n×28，
0
即有t＝×28＝()n×28＝()log 2×28＝56，
0
\f(3,2
所以当放电电流I＝10 A时，放电时间为56 h．故选D.
答案：D
13．解析：设n(n∈N*)年后公司全年投入的研发资金为y，
则根据题意有y＝300(1＋0.1)n，
研发资金开始超过600万元，即y＝300(1＋0.1)n>600，解得n>≈7.341，
则n的最小值为8，
则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2022＋8＝2030年．故选D.
答案：D
14．解析：由题知θ＝f(t)＝10＋90e－kt，
A选项：若f(3)＝40 ℃，即40＝10＋90e－3k，所以e－3k＝，则f(6)＝10＋90e－6k＝10＋
90(e－3k)2＝10＋90×()2＝20 ℃，A正确；
B选项：若k＝，则10＋90·e－t＝55，则e－t＝，两边同时取对数得－t＝ln ＝－ln
2，所以t＝10ln 2≈7，所以红茶下降到55 ℃所需时间大约为7分钟，B错误；
C选项：5分钟后物体的温度是40 ℃，即10＋90·e－5k＝40，则e－5k＝，得－5k＝ln
＝－ln 3，所以k＝ln 3≈0.22，故C正确；D选项：f(t)为指数型函数，如图，可得红茶温度从80 ℃下降到60 ℃所需的时间(t
2
－t)比从60 ℃下降到40 ℃所需的时间(t－t)少，故D错误．
1 3 2
故选AC.
答案：AC
15．解析：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2022年开始增加的年份数，
由题意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×()n，400×()n>4 000，得()n>10，
两边取对数可得n(lg 3－lg 2)>1，∴n(0.477 1－0.301 0)>1，得0.176n>1，解得
n>5.682，∴从2022＋6＝2028年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨.
答案：2028
16．解析：(1)根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是y＝
a·bx(a>0，b>0且b≠1)，
由题意得，解得，
所以y＝1 500·()x.
(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，
依题意得，50 000(1－r)5＝50 000(1－10%)，解得1－r＝0.9，
设从2019年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y辆，
则有y＝50 000(1－r)x＝50 000(0.9)x，
设从2019年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，
则有1 500·()x>50 000(0.9)x，
化简得3·()x>100(0.9)x，
所以lg 3＋x(lg 3－lg 2)>2＋(2lg 3－1)，
解得x>≈8.09，
故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车．
课时作业 45
1．解析：由α与－α的终边关于x轴对称，
可知若α是第二象限角，则－α一定是第三象限角．故选C.
答案：C
2．解析：与α＝30°终边相同的角的集合为：{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}，令k
＝1，得α＝390°.故选A.
答案：A
3．解析：因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故与－460°角终边相同的角可以表示
成260°＋k·360°，k∈Z.故选C.
答案：C
4．解析：令k＝0，则45°≤α≤90°，故B选项符合．故选B.
答案：B
5．解析：对于A选项，－200°＝160°－360°，故－200°为第二象限角；对于B选
项，100°是第二象限角；对于C选项，220°是第三象限角；对于D选项，420°＝60°＋
360°，故420°为第一象限角．故选AB.
答案：AB
6．解析：A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；B中始边
相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；C中钝角是大于－100°的角，而－100°的角
是第三象限角，故C不正确；D中零角或负角小于180°，但其既不是钝角，也不是直角或
锐角，故D不正确．故选ACD.
答案：ACD
7．解析：顺时针旋转两圈半所得角的度数是－(2×360°＋180°)＝－900°，则逆时
针旋转两圈半所得角的度数为900°.
答案：－900° 900°8．解析：∵终边在第一象限的角的集合为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，
k∈Z}，终边在第三象限的角的集合为{α|180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°，
k∈Z}，故终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k·180°＜α＜90°＋k·180°，
k∈Z}．
答案：{α|k·180°＜α＜90°＋k·180°，k∈Z}
9．解析：(1)2 100°＝1 800°＋300°＝5×360°＋300°，
300°是第四象限角，因此2 100°是第四象限角；
(2)与α终边相同的角可表示为γ＝k·360°＋300°，k∈Z，
γ在区间[－1 800°，0°)上，则k＝－1，－2，－3，－4，－5，依次可求得γ＝－
60°，－420°，－780°，－1 140°，－1 500°.
10．解析：(1)角α终边所在区域如图所示．
(2)角β终边所在区域如图所示．
11．解析：设α是－390°角终边相同角，则α的集合表示为{α|α＝－390°＋
k·360°，k∈Z}，
当k＝2时，取得最小正角为330°.故选D.
答案：D
12．解析：因为α＝k·180°＋45°，k∈Z，所以当k＝2n＋1，n∈Z 时，α＝
2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象限；
当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z，其终边在第一象
限．
综上，α的终边在第一、三象限. 故选A.
答案：A
13．解析：易得y＝x的倾斜角为60°，当终边在第一象限时，α＝60°＋k·360°，
k∈Z；当终边在第三象限时，α＝240°＋k·360°，k∈Z.所以角α的集合为{α|α＝
k·180°＋60°，k∈Z}．故选B.
答案：B
14．解析：由题知，因为α是锐角，所以0°<α<90°，对于A：所以180°<180°＋
α<270°，故A选项正确；对于BC：0°<2α<180°，故B选项正确，C选项错误；对于D：
0°<<45°，故D选项正确；故选ABD.
答案：ABD
15．解析：因为与角β终边相同连同角β在内的角的集合为{θ|θ＝β＋k·360°
(k∈Z)}，
而角α与角β的终边相同，则α＝β＋k·360°(k∈Z)，即α－β＝k·360°
(k∈Z)，
所以α－β＝k·360°(k∈Z).
答案：k·360°(k∈Z)
16．解析：∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z).
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，
∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上．
∵45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)，
当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，
当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，
∴的终边位于第一或第三象限．
∵30°＋k·120°<<60°＋k·120°(k∈Z)，
当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°(n∈Z)；
∴的终边位于第一、第二或第四象限．
课时作业 46
1．解析：因为1°＝，所以200°＝π＝π.故选C.
答案：C
2．解析：因为<<2π，
所以角的终边落在第四象限．故选D.
答案：D
3．解析：因为－885°＝－1 080°＋195°，所以－885°＝－6π＋.故选B.
答案：B
4．解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的
终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋ (n∈Z)，此时α的终边和
π≤α≤π＋的终边一样．故选B.
答案：B
5．解析：2弧度角为第二象限角；＝3π＋与π＋的终边相同，为第三象限角；240°
＝180°＋60°为第三象限角；－＝－π－为第二象限角．故选BC.
答案：BC
6．解析：对于A选项，－＝－2π，－与的终边相同；对于B选项，＝＋，与的终边不
相同；对于C选项，＝＋2π，与的终边相同；对于D选项，＝＋，与的终边不相同．故选
AC.
答案：AC
7．解析：与角－560°终边相同的最小正角为－560°＝－360°×2＋160°，即.
答案：
8．解析：时间经过2小时，钟表的时针顺时针方向转过60° ，故时针转过的弧度数
为－.
答案：－
9．解析：(1)∵180°＝π，∴α＝－1 920°＝－12π＋，
∵－1 920°＝－12π＋，π<<，
∴将α写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式为－1 920°＝－12π＋，
它是第三象限的角．
(2)∵θ与α的终边相同，
∴令θ＝2kπ＋，k∈Z，
当k＝－1，k＝－2时满足题意，故θ＝－，－.
10．解析：(1)弧长CD＝×r＝×6＝2π米．
2
(2)花坛面积 S＝××r－××r＝××62－××32＝平方米．
11．解析：由角α的终边在y轴的负半轴上可知，α＝＋2kπ，k∈Z，故α＋＝＋2kπ＋＝＋2kπ，k∈Z，
而＝2π＋在第一象限内，故角α＋的终边在第一象限．故选A.
答案：A
12．解析：因为角α的终边与的终边重合，
所以α＝＋2kπ，k∈Z，所以＝＋kπ，k∈Z，
令k＝3n(n∈Z)，则＝＋2nπ(n∈Z)，此时的终边位于第二象限；
令k＝3n＋1(n∈Z)，则＝＋2nπ(n∈Z)，此时的终边位于第三象限；
令k＝3n＋2(n∈Z)，则＝＋2nπ(n∈Z)，此时的终边位于第四象限．
所以的终边不可能在第一象限．故选A.
答案：A
13．解析：设扇形的半径为r，弧长为L，
因此L＋2r＝αr＋2r＝l，
扇形的面积S＝Lr＝(l－2r)r＝－r2＋lr，
由二次函数性质可知，当r＝时，扇形面积取到最大值；
此时αr＝，α＝2.故选B.
答案：B
14．解析：1 s时，点A按逆时针方向运动1 rad，点B按逆时针方向运动2 rad，此时
∠BOA的弧度数为－1，故A不正确； s时，∠BOA的弧度数为＋－2×＝，故扇形AOB的弧长
为×1＝，故B正确； s时，∠BOA的弧度数为＋－2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12
＝，故C正确；设t s时，点A，点B在单位圆上第一次重合，则t＋＝2t，解得t＝(s)，
故D不正确．故选BC.
答案：BC
15．解析：
如图：圆心角∠AOB＝α，＝2(cm)，OA＝OB＝1(cm)，过点O作OC⊥AB，C为垂足，
所以＝α×1＝2(cm)，所以α＝2，
则∠AOC＝1，在Rt△AOC中，AC＝OA sin 1＝sin 1(cm)，
所以其圆心角所对的弦长为2sin 1(cm).
答案：2sin 1
16．解析：(1)设经过t min分针就与时针重合，n为两针一天内重合的次数．
因为分针旋转的角速度为＝(rad/min)，
时针旋转的角速度为＝(rad/min)，所以(－)t＝2πn，即t＝n.
(2)因为时针旋转一天所需的时间为24×60＝1 440(min)，
所以n≤1 440，于是n≤22，
故时针与分针一天内只重合22次．
课时作业 47
1．解析：角α的终边与单位圆的交点为P(－，－)，则cos α＝－.故选A.
答案：A
2．解析：cos α＝＝－.故选B.
答案：B
3．解析：因为角α的终边经过点P(－2，1)，
所以sin α＝＝.故选A.答案：A
4．解析：因为幂函数f(x)＝x和g(x)＝x－1图象的交点为(1，1)，
所以角θ的终边经过交点(1，1)，
所以tan θ＝＝1.故选A.
答案：A
5．解析：根据题意得以OQ为终边的一个角为， 设Q(x，y)，
根据三角函数的定义可得sin ＝y，cos ＝x，则y＝，x＝－，
所以Q(－，).故选C.
答案：C
6．解析：点P到坐标原点的距离r＝＝5，
所以sin α＝，cos α＝.故选BC.
答案：BC
7．解析：由题知，α＝，单位圆半径为1，
设角α＝与单位圆的交点坐标为(x，y)，
因为由三角函数定义知sin α＝＝y，cos α＝＝x，
所以y＝sin ＝－，x＝cos ＝－，
所以交点坐标为(－，－).
答案：(－，－)
8．解析：在α的终边选一点P(－1，1)，则|PO|＝，根据余弦的定义可知cos α＝－
＝－.
答案：－
9．解析：(1)假设x＝3，根据tan α＝＝－⇒y＝－1，则P点坐标为(3，－1).
(2)r2＝x2＋y2 r＝，sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝.
10．解析：(1)依题意得，由tan θ＝－x ＝－x x＝±1.
⇒
(2)由(1)可知x＝±1，
⇒ ⇒
当x＝1时，此时P(1，－1)，sin θ＋cos θ＝＋＝0，
当x＝－1时，此时P(－1，－1)，sin θ＋cos θ＝＋＝－，
综上所述：sin θ＋cos θ的值为0或－.
11．解析：因为tan α＝－＝－，
所以m＝6，
所以cos α＝＝－＝－.故选C.
答案：C
12．解析：因为sin θ＝－<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，
由三角函数的定义，得＝－，解得y＝－3(正值舍去).故选B.
答案：B
13．解析：因为角α的终边上一点坐标为(，－1)，
所以cos α＝＝，
且α的终边位于第四象限，
∴α＝－＋2kπ，k∈Z.
当k＝1时，角α取最小正值.故选C.
答案：C
14．解析：因点P(m，－2m)(m≠0)是角α终边上一点，则r＝|OP|＝＝|m|，
于是得tan α＝＝－2，A正确；
cos α＝，当m>0时，cos α＝，当m<0时，cos α＝－，B不正确；
因为tan α＝＜0，所以sin α cos α＜0，C正确，D不正确．故选AC.
答案：AC
15．解析：因为P(，)位于第一象限，
0
且tan ∠POx＝1，故∠POx＝，
0 0
所以∠POx＝＋×5＝，故sin ∠POx＝sin ＝，
所以点P的纵坐标y＝sin ∠POx＝.
答案：16．解析：在角α的终边上任取一个不同于原点的点P(x，2x)(x≠0)，
当x>0时，|OP|＝r＝＝x，所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，tan α＝＝2；
当x<0时，|OP|＝＝－x，所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－，tan α＝＝2.
综上所述：角α的正弦值、余弦值和正切值分别为，，2或－，－，2.
课时作业 48
1．解析：由题意θ为第三象限角，则sin θ<0，cos θ<0，tan θ>0，故A，B错误；
而sin θtan θ<0，故C错误；cos θsin θ>0，故D正确．故选D.
答案：D
2．解析：∵<2<π，<3<π，π<4<，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.故选B.
答案：B
3．解析：由题可得，，所以sin θ<0，cos θ<0，即角θ所在象限是第三象限．故
选C.
答案：C
4．解析：原式＝sin (6π＋)＋tan (2π＋)－cos (2π＋)＝sin ＋tan －cos
＝＋－＝.故选C.
答案：C
5．解析：对选项A，310°为第四象限角，所以sin 310°<0，故A错误；对选项B，－
60°为第四象限角，所以cos (－60°)>0，故B正确；
对选项C，4弧度为第三象限角，所以tan 4>0，故C正确；
对选项D，为第二象限角，所以cos <0，故D错误．故选BC.
答案：BC
6．解析：∵角α的终边过点(－3，－2)，
∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，
∴sin αtan α<0，cos αtan α<0，sin αcos α>0.故选AC.
答案：AC
7．解析：因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0，
又因为－105°是第三象限角，
所以cos (－105°)<0，
所以sin 285°cos (－105°)>0.
答案：>
8．解析：1 919°＝5×360°＋119°，119°是第二象限角，从而1 919°是第二象限
角，∴sin 1 919°>0，cos 1 919°<0，A在第四象限．
答案：四
9．解析：(1)sin ＋cos ＋cos (－5π)＋tan
＝sin π＋cos ＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.
(2)a2sin 810°－b2cos 900°＋2ab tan 1 125°
＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2ab tan 45°
＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
10．解析：(1)因为是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角，
所以cos <0，tan <0，sin >0，从而>0．
(2)因为＝2×2π＋是第一象限角，－＝－4×2π＋是第二象限角，＝4π－是第四象限
角，所以sin >0，cos (－)<0，tan <0.
所以sin ·cos (－)·tan >0.
11．解析：∵sin α·cos α<0，
∴α是第二或第四象限角；
当α是第二象限角时，cos α<0，sin α>0，满足cos α－sin α<0；
当α是第四象限角时，cos α>0，sin α<0，
则cos α－sin α>0，不合题意；
综上所述：α是第二象限角．故选B.
答案：B
12．解析：∵C 是 △ABC的一个内角，∴sin C>0，
又 cos A tan B sin C<0，
∴cos A tan B<0，∴A，B中有一角为钝角，
故 △ABC 为钝角三角形．故选C.
答案：C
13．解析：因为α是第三象限角，所以π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z，则是第二或第四象限角，
又＝－sin ，即sin <0，所以是第四象限角．故选D.
答案：D
14．解析：已知α是第一象限角，
由4kπ<2α<4kπ＋π(k∈Z)，2α角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上，sin
2α>0成立，A正确；cos 2α>0不一定成立，B错误；由kπ<<kπ＋(k∈Z)，角的终边在第
一象限或第三象限，cos >0不一定成立，C错误；tan >0成立， D正确．故选AD.
答案：AD
15．解析：∵cos α≤0，sin α>0，
∴角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，
∵α终边过(3a－9，a＋2)，
∴，∴－2<a≤3.
答案：(－2，3]
16．解析：(1)由sin α<0，知角α的终边在第三、四象限或在y轴的非正半轴上；
又tan α>0，所以角α的终边在第三象限，
故角α的集合为.
(2)由2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋<<kπ＋，k∈Z，
当k＝2m，m∈Z，角的终边在第二象限，此时sin >0，cos <0，tan <0，
所以sin ·cos ·tan 的符号为正；
当k＝2m＋1，m∈Z时，角的终边在第四象限，此时sin <0，cos >0，tan <0，
所以sin ·cos ·tan 的符号为正．
因此，sin ·cos ·tan 的符号为正．
课时作业 49
1．解析：由题意，cos α＝－＝－＝－.故选D.
答案：D
2．解析：由于cos α＝－，0<α<π，所以sin α＝＝，因此tanα＝＝－.故选A.
答案：A
3．解析：因为α为第二象限角，所以sin α>0
所以＝＝|sinα|＝sin α.故选A.
答案：A
4．解析：＝＝|sin 1－cos 1|，
因为<1<，所以|sin 1－cos 1|＝sin 1－cos 1.故选B.
答案：B
5．解析：∵sin α＝，且α为锐角，
∴cos α＝＝＝，故B正确；∴tanα＝＝＝，故A正确；
∴sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误；
∴sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误．故选AB.
答案：AB
6．解析：令f(x)＝＋＝＋，
当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，则f(x)＝3，
当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，则f(x)＝1，
当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，则f(x)＝－3，
当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，则f(x)＝－1.
故选BD.
答案：BD
7．解析：原式＝＋＝＝2.
答案：2
8．解析：sin4α－sin2α＋cos2α＝sin2α(sin2α－1)＋cos2α
＝－sin2αcos2α＋cos2α＝cos2α(1－sin2α)＝cos4α.
答案：cos4α
9．解析：(1)依题意cosα＝＝，
整理得7m2－18m－9＝0，解得m＝3或－，
因为α为第一象限角，则m>0，故m＝3，
∴tan α＝＝.
(2)由(1)知P(3，4)，则sin α＝，
则sin α(sin α＋cos α)＝(＋)＝.
10．解析：(1)＝
＝＝1.
(2)证明：sinα(1＋tan α)＋cos α(1＋)＝sin α(1＋)＋cos α(1＋)＝sin α＋＋
cos α＋＝sin α＋cos α＋＋＝sin α＋cos α＋－cos α＋－sin α＝＋.
所以原式成立．
11．解析：sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.故选B.
答案：B
12．解析：∵α是第二象限角，∴m≠0，
∵tanα＝＝m，
∴cos α＝，
又∵sin2α＋cos2α＝1，
即()2＋sin2α＝1，
又∵α是第二象限角，
∴sinα>0，cos α<0，tan α<0，即m<0，
∴sin α＝－，
故sin α＝－.故选D.
答案：D
13．解析：因为180°＋k·360°<θ<270°＋k·360°(k∈Z)，
所以90°＋k·180°<<135°＋k·180°(k∈Z)，
若k为奇数，可设k＝2n＋1(n∈Z)，则270°＋n·360°<<315°＋n·360°(k∈Z)，
此时为第四象限角；
若k为偶数，可设k＝2n(n∈Z)，则90°＋n·360°<<135°＋n·360°(k∈Z)，
此时为第二象限角．
因为 ＝－cos，则cos ≤0，故为第二象限角．故选B.
答案：B
14．解析：因为cos θ－sin θ＝1，所以cos θ＝sin θ＋1，
因为sin2θ＋cos2θ＝1，也即(sinθ＋1)2＋sin2θ＝1，解得：sinθ＝－1或sin θ
＝0，
因为θ∈(－，)，所以sin θ＝0，则θ＝0，所以cos θ＝1，tan θ＝0，cos θ＋sin θ＝1.故选ACD.
答案：ACD
15．解析：因为α为第一象限角，则cos α>0，0<sin α<1，
所以－＝－
＝－＝＝2tan α.
答案：2tan α
16．解析：假设存在实数m，使sin x＝，cos x＝，
因为x是第二象限角，
所以sin x＝>0，cos x＝<0，解得0<m<2，
又sin2x＋cos2x＝1，即()2＋()2＝1，
解得m＝，
符合0<m<2，故存在实数m＝满足题意．
课时作业 50
1．解析：由于cosα＝，且α为第四象限角，
所以sin α＝－＝－，
tanα＝＝－.故选D.
答案：D
2．解析：由于0<α<π，所以sin α>0 ，又sin αcos α＝>0，所以cos α>0，
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，故sin α＋cos α＝.故选A.
答案：A
3．解析：因为角α的终边经过点P(－m，2m)(m≠0)，
设x＝－m，y＝2m(m≠0)，
所以tan α＝＝＝－2，
所以＝＝＝＝.故选A.
答案：A
4．解析：由α∈(0，π)，将sin α＋cos α＝两边平方得2sin αcos α＝－1<0，
而sin α>0，∴cos α<0，故α为钝角．故选B.
答案：B
5．解析：依题意＝1，3sin α－cos α＝sin α＋3cos α，
sin α＝2cos α，所以tan α＝2，
将cos α＝sin α代入sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝1，sin2α＝，sinα＝±，
所以AC选项正确，BD选项错误．故选AC.
答案：AC
6．解析：sin θ＋cos θ＝，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝，
解得：sin θcos θ＝－<0，D正确；
故sin θ，cos θ异号，
因为θ∈(0，π)，所以θ∈(，π)，A正确；
因为sin θ＋cos θ＝
sin2θ＋cos2θ＝1，结合θ∈(，π)，得到sin θ>0，cos θ<0，
解得：sin θ＝，cos θ＝－，故tan θ＝－，BC错误．
故选AD.
答案：AD
7．解析：sin α＋cos α＝－⇒(sin α＋cos α)2＝⇒1＋2sin αcos α＝⇒sin
αcos α＝－.
答案：－
8．解析：(sin α－cos α)2＝
＝＝.答案：
9．解析：(1)∵角θ的终边经过点P(－，)，由三角函数的定义知，tan θ＝＝－.
(2)∵cos θ≠0，∴＝＝.
10．解析：(1)∵θ∈(π，)，所以sin θ<0，cos θ<0，
又sin4θ＋cos4θ＝，
所以(sin2θ＋cos2θ)2＝sin4θ＋cos4θ＋2sin2θcos2θ＝＋2sin2θcos2θ＝1，
所以sin2θcos2θ＝，所以|sinθcos θ|＝sin θcos θ＝.
(2)由(1)可知，sin θcos θ＝，
所以＝＝，
解得tanθ＝或tan θ＝.
又θ∈(π，)，所以tan θ>0，
所以tan θ＝或tan θ＝.
11．解析：由sin α－3cos α＝0，有sin α＝3cos α，
∴＝＝＝＝2.故选B.
答案：B
12．解析：已知sinα＋cos α＝，α∈(0，π)，
所以1＋2sin αcos α＝，即sin αcos α＝－，
所以α∈(，π)，所以sin α－cos α>0，
所以sin α－cos α＝＝.故选C.
答案：C
13．解析：因为tan θ＋＝＋＝＝＝6，所以sin θcos θ＝.
所以(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθcos θ＝1＋2×＝.
又θ∈(0，)，所以sin θ＋cos θ>0，
所以sin θ＋cos θ＝ ＝.故选A.
答案：A
14．解析：因为θ∈(0，π)，且满足sin θ·cos θ＝－<0，可得θ∈(，π)，所
以A正确，
因为sin2θ＋cos2θ＝1，
所以sin2θ＋cos2θ＋2sinθcos θ＝1－＝，
sin2θ＋cos2θ－2sinθcos θ＝1＋＝，
所以(sin θ＋cos θ)2＝，(sin θ－cos θ)2＝，
因为|sin θ|>|cos θ|，sin θ>0，cos θ<0，
所以sin θ＋cos θ＝，sin θ－cos θ＝，所以D正确，
所以解得sin θ＝，cos θ＝－，
所以tan θ＝＝－，所以B正确，C错误．故选ABD.
答案：ABD
15．解析：已知sin α＋cos α＝ ①，则(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α
＝，
sin αcos α＝－<0，
∵0<α<π，∴sin α>0，则cos α<0，sin α－cos α>0，
∴sin α－cos α＝＝＝＝②，
联立①②，得sin α＝，cos α＝－，∴tan α＝－.
答案：－
16．解析：(1)因为sin θ，cos θ是关于x的方程5x2＋x＋m＝0的两个根，
所以sin θ＋cos θ＝－，
所以＋＝＋
＝＋＝
＝sin θ＋cos θ＝－.
(2)由sin θ＋cos θ＝－，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，所以sin
θcos θ＝－，
∵－π<θ<0，∴sin θ<0，sin θcos θ＝－<0，∴cos θ>0，∴sin θ－cos θ<0，
由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
可得sin θ－cos θ＝－，
所以sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cos θ)(sin2θ＋cos2θ＋sinθcos θ)＝－×(1－)＝
－.
课时作业 51
1．解析：∵α＋β＝180°，∴α＝180°－β，
由cos α＝cos (180°－β)＝－cos β，故A错误，B正确；
由sin α＝sin ＝sin β，故C错误，D错误．故选B.
答案：B
2．解析：tan (－)＝tan (－π)＝tan ＝.故选A.
答案：A
3．解析：因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点
P(－，－)，
所以cos α＝－，因此cos (π－α)＝－cos α＝.故选B.
答案：B
4．解析：∵sin (π＋α)＝，α∈(π，)，
∴－sin α＝⇒sin α＝－，
cos α＝－＝－，tanα＝，
∴tan (3π－α)＝tan (－α)＝－tan α＝－.故选D.
答案：D
5．解析：由cos (π－α)＝－cos α＝－，即cos α＝，
又sin (－2π－α)＝－sin (2π＋α)＝－sin α，
而sin α＝±＝±，
所以sin(－2π－α)＝±.故选BC.
答案：BC
6．解析：对于A，若A＝B＝C＝，则sin A＋sin C＝≠sin B，A错误；对于B，sin (A
＋B)＝sin (π－C)＝sin C，B正确；对于C，cos (B＋C)＝cos (π－A)＝－cos A，C正
确；对于D，tan (A＋C)＝tan (π－B)＝－tan B，D正确．故选BCD.
答案：BCD
7．解析：sin2(π－θ)＋cos2(－θ)＝sin2θ＋cos2θ＝1.
答案：1
8．解析：原式＝sinα·(－sin α)＝－sin2α＝－.
答案：－
9．解析：(1)sin·cos ·tan ＝sin (π＋)·cos (3×2π＋)·tan (π－)＝－sin
·cos ·(－tan )＝－××(－)＝ .
(2)cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝cos ＋cos ＋cos (π－)＋cos (π－)＝cos ＋cos －
cos －cos ＝0.
10．解析：(1)＝＝1．
(2)原式＝＝－cosθ.
11．解析：＝＝＝3，∴－tan α－1＝－3tan α＋3，可得tan α＝2.故选B.
答案：B
12．解析：sin (＋x)＝sin ＝sin (－x)＝－.故选C.
答案：C
13．解析：＝＝
＝＝|sin 2－cos 2|，
又因为角2是第二象限角，所以sin 2>0，cos 2<0，所以|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.故选C.
答案：C
14．解析：对于A，当n＝2k，k∈Z时，sin (nπ＋)＝sin (2kπ＋)＝sin ＝sin (π
＋)＝－sin ，所以A错误，对于B, cos (2nπ＋)＝cos ＝sin ，所以B正确，对于C，
sin (2nπ＋)＝sin ，所以C正确，对于D, cos ＝cos (2nπ＋π－)＝cos (π－)＝－
cos ＝－sin ，所以D错误．故选BC.
答案：BC
15．解析：cos (－α)＝cos ＝－cos (＋α)＝－.
答案：－
16．解析：(1)f(α)＝＝＝－cos α.
(2)因为α为第四象限角且sin α＝－，所以cos α＝＝，所以f(α)＝－cosα＝－.
(3)因为α＝－π，f(α)＝－cos α，
所以f(α)＝f(－)＝－cos (－π)＝－cos (－5×2π－π)＝－cos ＝－.
课时作业 52
1．解析：∵cos (＋α)＝，cos (＋α)＝－sin α，可得－sin α＝，那么sin α＝
－.故选C.
答案：C
2．解析：根据题意sin α＝－，cos α＝－，所以cos (－α)＝－sin α＝.故选D.
答案：D
3．解析：∵cos (＋θ)＝－sin θ>0，
即sin θ<0，又sin (－θ)＝cos θ<0，
∴θ是第三象限角．故选C.
答案：C
4．解析：因为sin (α＋)＝，
所以cos (α＋)＝cos ＝－sin (＋α)＝－.故选B.
答案：B
5．解析：cos (－θ)＝cos θ，cos (π＋θ)＝－cos θ，sin (θ－)＝－cos θ，
sin (π－θ)＝－cos θ.故选BCD.
答案：BCD
6．解析：由已知sin x＝，x∈(0，)，
得cos x＝＝＝，
对于A：sin (π－x)＝sin x＝，A正确；
对于B：sin (x－π)＝－sin x＝－，B错误；
对于C：sin (－x)＝cos x＝，C正确；
对于D：sin (x－)＝cos x＝，D正确．故选ACD.
答案：ACD
7．解析：∵sin (＋α)＝sin (3π＋＋α)＝－sin (＋α)＝－cos α＝－，∴cos α
＝.
答案：
8．解析：由题意得：cos (θ＋)＝sin θ＝＝－.
答案：－
9．解析：(1)sin (－α)＝cos α＝－，因为α为第二象限角，
∴sin α＝＝.
(2)∵f(α)＝＝＝，
∴f(α)＝－＝.
10．解析：f(x)＝＝＝－cos x，
由f(θ)＝－f(－θ)得cos θ＝sin θ，tan θ＝3，所以＋10sin2θ＝＋＝－7＋9＝2.
11．解析：因为(－α)＋(＋α)＝，
所以＋α＝－(－α)，
因为cos(－α)＝，
所以sin (＋α)＝sin ＝cos (－α)＝.故选A.
答案：A
12．解析：因为cos (－α)＝，
所以sin (α＋)＝－sin (α＋)，
＝－sin [－(－α)]＝－cos (－α)＝－.故选D.
答案：D
13．解析：因为－270°<α<－90°，所以90°<－α<270°，
所以143°<53°－α<323°，
因为sin (53°－α)＝>0，所以143°<53°－α<180°，
所以cos (53°－α)＝－＝－＝－，
所以sin(37°＋α)＝cos [90°－(37°＋α)]＝cos (53°－α)＝－.故选D.
答案：D
14．解析：由<x<得－<－x<0，
则cos (－x)＝ ＝，
tan(－x)＝－.
sin (＋x)＝sin ＝cos (－x)＝，故A错误；
cos (＋x)＝cos [π－(－x)]＝－cos (－x)＝－，故B正确；
tan (x－)＝－tan (－x)＝，故C正确；
cos (－x)＝cos ＝－sin (－x)＝，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
15．解析：sin (＋α)＋cos (＋α)＝sin [－]＋cos [π－]＝cos (－α)－cos (－
α)＝0.
答案：0
16．解析：(1)cos (α－)＝cos ＝sin (－α)＝.
(2)∵－<α<，
∴－<－α<，∴<－α<π，
∴cos (－α)<0，cos (－α)＝－＝－＝－，
cos (＋α)＝cos ＝－cos (－α)＝.
课时作业 53
1．解析：因为sin (π－α)＝，所以sin α＝，
又α为锐角，所以cos α＝＝.故选C.
答案：C
2．解析：因为在△ABC中，cosB＝sin (90°－C)＝，也即cos B＝cos C＝，
因为B∈(0，π)，C∈(0，π)，所以B＝C＝，则△ABC为等边三角形．故选B.
答案：B
3．解析：角θ终边在直线y＝2x上，则角θ为第一象限角或者第三象限角， tan θ
＝2，
根据tan θ＝
sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＝±，cos (－θ)＝sin θ＝±.故选D.
答案：D
4．解析：∵sin (－110°)＝－sin 110°＝－sin (180°－70°)＝－sin 70°＝a，
∴sin 70°＝－a，
∴cos 70°＝＝，∴tan 70°＝＝－.故选B.
答案：B
5．解析：对于A，sin2(－x－1)＋cos2(x＋1)＝sin2(x＋1)＋cos2(x＋1)＝1，故A正确，
对于B，sin(－)＝sin (－＋2π)＝sin (－)＝－sin ()＝－1，故B错误，对于C，cos
(－5π)＝cos 5π＝cos π＝－1，故C错误，对于D，＝＝＝1，故D正确．故选AD.
答案：AD
6．解析：因为角α的终边过点P(－，－)，所以sin α＝－，cos α＝－，tan α
＝，故A错误，B正确；
对于C，sin (α－)＝－cos α＝，故C错误；
对于D，cos (α＋)·cos (π－α)＝sin α·(－cos α)＝－，故D正确．故选BD.
答案：BD
7．解析：在△ABC中，cos (B＋C)＝cos (π－A)＝，
所以cos A＝－，则sin A＝.
答案：
8．解析：因为函数f(x)＝tan x－k sin x＋2(k∈R)，
所以f()＝tan －k sin ＋2＝－1，
即tan －k sin ＝－3，
所以f(－)＝tan (－)－k sin (－)＋2
＝－tan ＋k sin ＋2＝5.
答案：5
9．解析：(1)因为α为第三象限角，且sin α＝－，
所以cos α＝－＝－；tanα＝＝.
(2)
＝＝，
由(1)得tan α＝，
所以＝＝－7.
10．解析：(1)由三角函数的定义可得sin α＝，
又因为α为第二象限角，则cos α＝－＝－，
所以sinα＋cos α＝，tan α＝＝－.
(2)由题知β＝α＋，则sin β＝sin (α＋)＝cos α
＝－，cos β＝cos (α＋)＝－sin α＝－，
则＝＝＝－4．
11．解析：由已知得sin α－cos α＝，两边平方得1－2sin αcos α＝，解得sin
αcos α＝，
则原式＝＝＝＝－．故选A.
答案：A
12．解析：在△ABC中，sin (＋A)＋sin (2π＋A)＝sin A＋cos A＝，
平方得1＋2sin A cos A＝，2sin A cos A＝－，
因为A为三角形的一个内角，所以sin A>0，cos A<0，
所以sin A－cos A>0，(sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A＝，
所以sin A－cos A＝，结合sin A＋cos A＝，可得sin A＝，cos A＝－，所以tan A
＝＝－.故选A.
答案：A
13．解析：若α＋β＝，则β＝－α，所以sin β＝sin (－α)＝cos α＝±，故选
项A符合条件；cos (π＋β)＝－cos (－α)＝－sin α＝－，故选项B不符合条件；tan
β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，∴sinβ＝±，故选项C不符合条件；
tan β＝，即sin β＝cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，
∴sin β＝±，故选项D不符合条件．故选A.
答案：A
14．解析：点Q的初始位置Q的坐标为(，－)，锐角∠QOx＝，
1 1
设t时刻两点重合，则5t－2t＝＋2kπ(k∈N)，即t＝＋(k∈N)，此时点Q(cos (－＋5t)，sin (－＋5t))，
即Q(cos (＋)，sin (＋))(k∈N)，
当k＝0时，Q(cos ，sin )，故A正确；
当k＝1时，Q(cos ，sin )，即Q(－cos ，－sin )，故B正确；
当k＝2时，Q(cos ，sin )，即Q(－cos ，sin )，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
15．解析：设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，
因为 sin21°＝cos289°，sin22°＝cos288°，sin23°＝cos287°，…，sin289°＝
cos21°，
所以S＝cos289°＋cos288°＋cos287°＋…＋cos21°，
两式相加得：2S＝1×89，
所以S＝44.5.
答案：44.5
16．解析：(1)f(α)＝＋cos α＝sin α＋cos α.
(2)因为f(α)＝，所以sin α＋cos α＝，
两边平方得(sin α＋cos α)2＝，所以sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝，
所以1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－，
所以＋＝＝＝－.
课时作业 54
1．解析：y＝3sin x五点作图法在内的五个关键点为(0，0)，(，3)，(π，0)，(，－
3)，(2π，0)，可知(，)不是关键点．故选A.
答案：A
2．解析：把y＝cos x的图象向上平移1个单位即可．故选D.
答案：D
3．解析：令sin x＝1 x＝＋2kπ，k∈Z，因为x∈[0，2π)，所以x＝ ，故只有一个
交点．故选B.
答案：B ⇒
4．解析：因为－2sin x≥0，
所以sin x≤，2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
故x的取值集合是.故选C.
答案：C
5．解析：y＝－cos x的最大值为1，即－cos x＝1，解得x＝π＋2kπ，k∈Z.因为要
与y轴最近，所以x＝π或x＝－π，即坐标为(π，1)或(－π，1).故选BD.
答案：BD
6．解析：在同一平面直角坐标系中画出y＝sin x和y＝ cos x的图象，在(0，2π)上，
当cos x＝sin x时，x＝或x＝，结合图象可知满足cos x>sin x的是(0，)和(，2π).
故选AC.
答案：AC
7．解析：设余弦函数为y＝cos x，
由函数过点(－，m)可得m＝cos (－)＝.
答案：8．解析：作出函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知原方程有两个实
数解．
答案：2
9．解析：列出函数图象上的五个关键点，如下表所示．
x 0 π π 2π
y＝1－sin x 1 0 1 2 1
画出函数图象，如图所示：
令y＝1，有1－sin x＝1，x∈[0，2π]，
解得：x＝0，x＝π，x＝2π，
1 2 3
令y＝2，有1－sin x＝2，x∈[0，2π]，
解得：x＝，
由图可知：当x∈{0}∪[π，2π]时，有 1≤y≤2.
10．解析：函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为或≤x≤.
11．解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝sin x与y＝lg x的图象，由图可以看出
两函数图象有3个交点，即sin x＝lg x有3个实数根．故选C.
答案：C
12．解析：由题意得16－x2≥0且sin x≥0，
由16－x2≥0，得－4≤x≤4，
由sin x≥0，得2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z，
所以－4≤x≤－π或0≤x≤π，
所以函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π].故选D.
答案：D
13．解析：因为y＝sin x＋1，列表：
x 0 π － －π
y 1 2 1 0 1
描点、连线，函数图象如图所示：因为a＝sin x＋1，且x∈[－π，π]的x的值只有一个，
所以y＝a与y＝sin x＋1在x∈[－π，π]上只有1个交点，
结合图象可知a＝0或a＝2.故选D.
答案：D
14.
解析：根据函数的解析式作出函数f(x)的图象如图所示，
对于选项A，当t<0或t≥2时，有0个交点，故A正确；对于选项B，当t＝0或≤t<2
时，有1个交点，故B正确；对于选项C，当t＝时，只有1个交点，故C错误；对于选项
D，当≤t<2时，只有1个交点，故D错误．故选AB.
答案：AB
15．解析：作出y＝cos x，x∈[－，π]与y＝的大致图象，如图所示．
由图象，可知≤<1，即－1<a≤0，故实数a的取值范围为(－1，0].
答案：(－1，0]
16．解析：f(x)＝sin x＋2|sin x|＝，
其图象如图所示．
若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，
根据图象，可得实数k的取值范围是(1，3).
课时作业 55
1．解析：根据公式T＝，y＝sin 的周期为T＝4π，故A错误；y＝sin 2x的周期为T
＝π，故B错误；y＝cos 的周期为T＝8π，故C错误；y＝cos (－4x)的周期为T＝，故D
正确．故选D.答案：D
2．解析：函数y＝4sin ＝4cos 2x，
所以其图象关于y轴对称．故选C.
答案：C
3．解析：函数y＝－x cos x的定义域为R, 设f(x)＝－x cos x.
因为f(－x)＝x cos (－x)＝x cos x＝－f(x)，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除选项A，C.
当x∈时，cos x>0，
所以f(x)＝－x cos x<0，故D正确．故选D.
答案：D
4．解析：由题意知：函数的最小正周期T＝＝4π；
∵4cos (－)＝4cos ，y＝4cos (x∈R)为偶函数，
所以y＝4cos (x∈R)是最小正周期为4π的偶函数．故选B.
答案：B
5．解析：四个选项中函数的定义域均为全体实数，满足关于原点对称，
对于A：f(x)＝2sin x，f(－x)＝2sin (－x)＝－2sin x＝－f(x)，
所以y＝2sin x为奇函数，故A错误；
对于B：g(x)＝cos 2x，g(－x)＝cos (－2x)＝cos 2x＝g(x)，
所以g(x)＝cos 2x为偶函数，故B正确；
对于C：h(x)＝x3sin x，h(－x)＝(－x)3sin (－x)＝－x3(－sin x)＝x3sin x＝h(x)，
所以h(x)＝x3sin x为偶函数，故C正确；
对于D：t(x)＝|sin x|cos x，t(－x)＝|sin (－x)|cos (－x)＝|－sin x|cos x＝|
sin x|cos x＝t(x)，
所以t(x)＝|sin x|cos x为偶函数，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
6．解析：f(x)＝cos 2(x＋)＝cos (2x＋)＝sin 2x，
故最小正周期为π，f(x)＝－f(－x)为奇函数．故选AD.
答案：AD
7．解析：由余弦函数性质知：y＝cos (kx)为偶函数且k为常数，
又最小正周期为3，则＝3，即k＝，
所以f(x)＝cos (x)满足要求．
答案：cos (x)(答案不唯一)
8．解析：函数f(x)＝x3cos x＋1的定义域为R，令g(x)＝x3cos x，x∈R，
则g(－x)＝(－x)3cos (－x)＝－x3cos x＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，
又f(2 023)＝g(2 023)＋1＝－2 022，所以g(2 023)＝－2 023，
所以f(－2 023)＝g(－2 023)＋1＝－g(2 023)＋1＝2 024.
答案：2 024
9．解析：(1)函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝cos (＋2x)cos (π＋x)＝(－sin 2x)(－cos x)＝sin 2x cos x，
故f(－x)＝sin (－2x)cos (－x)＝－sin 2x cos x＝－f(x)，
故函数f(x)为奇函数．
(2)函数的定义域为R，关于原点对称，
∵f(x)＝cos x－x3sin x，
∴f(－x)＝cos (－x)－(－x)3sin (－x)
＝cos x－x3sin x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
10．解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
又∵f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为π，
由于x∈[0，)时，f(x)＝2sin x，
∴f(－)＋f()＝f(－4π－)＋f(2π＋)
＝f(－)＋f()＝－f()＋f()＝－2sin ＋2sin ＝－.11．解析：因为x＝，x＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的最值点，
1 2
所以＝－＝，T＝π，ω＝＝2.故选A.
答案：A
12．解析：当φ＝时，y＝cos (x＋)＝－sin x为奇函数，故充分性成立；
当函数y＝cos (x＋φ)为奇函数，故φ＝＋kπ，k∈Z，故必要性不成立；
则“φ＝”是“函数y＝cos (x＋φ)为奇函数”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
13．解析：由题设T＝＝≤2，∴k≥4π，
又k∈Z，∴正整数k的最小值为13.故选D.
答案：D
14．解析：因为f(x)＝sin (ωx＋φ)，所以f(0)＝sin φ.因为0<φ<π，所以f(0)
＝sin φ>0≠0，所以f(x)不可能是奇函数，则A错误，C正确．
当φ＝时，f(x)＝sin (ωx＋)＝cos ωx是偶函数，则B正确，D错误．故选BC.
答案：BC
15．解析：因f(x＋2)＝－f(x)，x∈R，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，得f(x)周期
为4，
则f(2 023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)，
又x∈[－2，0)时，f(x)＝log(－x＋2)，
3
则f(－1)＝log3＝1.
3
答案：1
16．解析：(1)∵f(x)＝sin ax(a>0)，ω＝a，T＝12，
∴T＝＝12，∴a＝.
(2)由(1)可知a＝，∴f(x)＝sin x，
∴f(1)＝sin ＝，
f(2)＝sin (×2)＝sin ＝，
f(3)＝sin (×3)＝sin ＝1，
f(4)＝sin (×4)＝sin ＝，
f(5)＝sin (×5)＝，
f(6)＝sin (×6)＝sin π＝0，
f(7)＝sin (×7)＝－，
f(8)＝sin (×8)＝－，f(9)＝sin (×9)＝－1，
f(10)＝sin (×10)＝－，
f(11)＝sin (×11)＝－，
f(12)＝sin (×12)＝0.
∵f(x)＝sin x的最小正周期为12，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝0＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)
＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)
＝0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝＋＋1＋＋＋0＋(－)＝＋.
课时作业 56
1．解析：因为第一和第三象限对应不同的角的范围，所以选项AB的说法错误；
根据余弦函数的单调性，函数y＝cos x在区间[－π，0]上单调递增，在区间 [0，π]
单调递减．
所以选项C错误；
根据正弦函数的单调性，函数y＝sin x在区间[－，]上单调递增，选项D正确．故选
D.答案：D
2．解析：因为－1≤cos x≤1，所以－≤cos x－1≤－，
所以M＝－，m＝－，所以M＋m＝－2.故选D.
答案：D
3．解析：函数y＝－3sin x＋4的增区间，即y＝sin x的减区间，
为[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z.结合x∈[－π，π]，可得y＝sin x的减区间为[，π].
故选C.
答案：C
4．解析：由0≤x≤，∴0≤2x≤π，∴－≤2x－≤，
利用正弦函数的性质知f(x)∈[－，1].故选B.
答案：B
5．解析：对A，因为0<1<<，y＝sin x在(0，)单调递增，所以sin 1<sin ，故A正确；
对于B，sin ＝sin ，sin ＝sin >sin ，故B错误；
对C，因为<2<<π，y＝cos x在(，π)单调递减，所以cos <cos 2，故C错误；
对于D，cos (－70°)＝cos 70°＝sin 20°>sin 18°，故D正确．故选AD.
答案：AD
6．解析：对于A：因为f(x－π)＝cos (x－π)＝cos (π－x)＝－cos x，
且f(x)＝cos x在区间(0，)上单调递减，
所以f(x－π)在区间(0，)上单调递增，即选项A正确；
对于B：因为f(x＋π)＝cos (x＋π)＝－cos x，
且f(x)＝cos x在区间(0，)上单调递减，
所以f(x－π)在区间(0，)上单调递增，即选项B正确；
对于C：因为f(x－)＝cos (x－)＝cos (－x)＝sin x，
且y＝sin x在区间(0，)上单调递增，
所以f(x－)在区间(0，)上单调递增，即选项C正确；
对于D：因为f(x＋)＝cos (x＋)＝－sin x，
且y＝sin x在区间(0，)上单调递增，
所以f(x＋)在区间(0，)上单调递减，
即选项D错误．故选ABC.
答案：ABC
7．解析：依题可知， y＝3－sin ，
当 sin ＝1 ＝2kπ＋，k∈Z，即
x＝4kπ＋π，k∈Z 时， 函数取得最小值 3－1＝2；
⇒
综上所述， 函数y＝3－sin 取最小值时x的集合是{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
答案：{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}
8．解析：因为f(x)＝－cos 2x，令2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为[kπ，＋kπ]，k∈Z，
当k＝0时，则函数f(x)的一个单调递增区间为[0，].
答案：[0，](答案不唯一)
9．解析：(1)由余弦函数性质可得函数f(x)＝cos (2x＋)的最大值为1.
令f(x)＝cos (2x＋)＝1，则2x＋＝2kπ(k∈Z)，
∴x＝kπ－(k∈Z).
(2)∵函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，
令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，则－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).
∴f(x)的单调递减区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z).
10．解析：(1)函数f(x)＝2sin (x＋)＋a，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z得：2kπ＋
≤x≤2kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z).
(2)依题意，函数f(x)＝2sin (x＋)＋a的最大值2＋a＝1，解得a＝－1，f(x)＝2sin
(x＋)－1，
当x∈[0，]时，则x＋∈[，]，即有≤sin (x＋)≤1，于是得0≤2sin (x＋)－1≤1，所以函数f(x)的值域为[0，1].
11．解析：因为x∈[a，b]，所以3x∈[3a，3b].又因为f(x)的值域为[0，11]，所以
3b－3a＝，则b－a＝.故选C.
答案：C
12．解析：∵－1≤cos x≤1且cos x＝1－m有意义，
∴－1≤1－m≤1，∴0≤m≤2.故选B.
答案：B
13．解析：由题意可知函数在x＝时确定最大值，就是＝2kπ＋，k∈Z，所以ω＝6k
＋；只有k＝0时，ω＝满足选项．故选B.
答案：B
14．解析：因为x∈(－，)，ω>0故可得ωx∈(－ω，ω)，
又y＝sin x的单调增区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z，
故－ω≥2kπ－，ω≤2kπ＋，
解得ω≤－12k＋3且ω≤12k＋3，k∈Z
又ω>0，故k＝0，ω≤3.故选AB.
答案：AB
15．解析：因为函数y＝a sin x＋1的最大值是2，
所以a sin x的最大值为1，
当a>0时，sin x取最大值1时，a sin x取得最大值，则a＝1，
当a<0时，sin x取最小值－1时，a sin x取得最大值，则－a＝1，得a＝－1，综上a
＝±1.
答案：±1
16．解析：(1)∵函数f(x)＝sin (2ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<π)的最小正周期为，
∴ω＝＝，则f(x)＝sin (3x＋φ)，
又∵当x＝时，f(x)取到最大值，
∴3×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝2kπ－，k∈Z，
∵|φ|<π，∴φ＝－，则f(x)＝sin (3x－)，
令－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)∵x∈[，]，∴3x－∈[－，]，
∴sin (3x－)∈[－，1]，∴－a＋b≤g(x)≤a＋b，
∵函数g(x)＝af(x)＋b在区间[，]上的值域为[1，3]，
∴，解得a＝，b＝.
课时作业 57
1．解析：函数的最小正周期是T＝＝π，因此相邻两条对称轴之间的距离是＝.故选C.
答案：C
2．解析：对于函数y＝sin (2x＋)，令2x＋＝＋kπ，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，故函数的对称轴方程为x＝＋，k∈Z，
令k＝0，可知函数的一条对称轴为x＝.故选C.
答案：C
3．解析：f(x)＝sin (x＋)＝cos x，
由余弦函数的性质可知，
函数的最小正周期T＝＝2π，即A正确；
在区间(0，π)上单调递减，即B正确；
关于(＋kπ，0)(k∈Z)对称，即C错误；是偶函数，即D正确．故选C.
答案：C
4．解析：∵任意实数x都有f(＋x)＝f(－x)恒成立，
∴x＝是f(x)的一条对称轴，∴当x＝时，f(x)取得最大值3或最小值－3.故选D.
答案：D
5．解析：A：函数的定义域为R，且f(－x)＝2sin (－x)＝－2sin x＝－f(x)，为奇函
数，故A正确；
B：函数的最小正周期为T＝＝2π，故B正确；
C：－1≤sin x≤1，得f(x)＝2sin x的最大值为2，故C错误；
D：函数f(x)＝2sin x的单调增区间为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，
当k＝0时，[－＋2kπ，＋2kπ]＝[－，]，即函数在[0，]上单调递增，故D错误．故
选AB.
答案：AB
6．解析：f(x)＝2sin (2x－)＝2sin (2x－)＝－2cos 2x，
所以函数f(x)的最小正周期为＝π，故A正确；
当x∈[0，] 时，2x∈[0，π]，所以y＝cos 2x在区间[0，]上单调递减，
所以函数f(x)在区间[0，]上单调递增，故B正确；
因为f(－x)＝－2cos 2x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故C错误；
函数f(x)的图象关于y轴对称，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
7．解析：由2x－＝＋kπ(k∈Z)得对称轴的方程为x＝＋(k∈Z)，其中离坐标原点最近
时，k＝－1，即x＝－.
答案：x＝－
8．解析：y＝3－3sin x－2cos2x＝2sin2x－3sinx＋1＝2(sin x－)2－，所以当sin x
＝时，y ＝－.
min
答案：－
9．解析：(1)∵y＝f(x)图象的一个对称中心是(，0)，
∴cos (2×＋φ)＝0，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，
又∵0<φ<π，∴φ＝.
(2)由(1)得函数f(x)＝cos (2x＋)，
∴2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，
即kπ－≤x≤kπ－，k∈Z；
故y＝f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ－]，k∈Z.
10．解析：(1)若选条件①②时，则ω＝＝2 ，即：f(x)＝sin (2x＋φ) ，
又∵f(x) 关于(－，0) 对称，
∴f(－)＝0，即：2×(－)＋φ＝kπ ，k∈Z，解得：φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，)，∴φ＝，∴f(x)＝sin (2x＋)，
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
整理得：－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，
若选条件①③时，则ω＝＝2 ，即：f(x)＝sin (2x＋φ) ，
又∵f(x) 关于x＝ 对称，
∴f()＝±1，即：2×＋φ＝＋kπ ，k∈Z，解得：φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，)，∴φ＝，∴f(x)＝sin (2x＋)，
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
整理得：－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，
若选条件②③时，则
不能确定函数的最小正周期，无法确定ω ，所以无法确定函数解析式．
(2)若选条件①②或选条件①③时， f(x)＝sin (2x＋)，∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值为1，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值为－ .
11．解析：对于A，因为f(－)＝sin (－)＝－1为最小值，
所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，故A正确；
对于B，因为x∈[－，]，所以x－∈[－，－]，
所以函数y＝f(x)在[－，]上单调递增，故B正确；
对于C，因为f()＝sin ＝1，
所以点(，0)不是函数f(x)的对称中心，故C错误；
对于D，因为[－，π]，所以x－∈[－π，]，
所以f(x)∈[－1，]，故D正确．故选C.
答案：C
12．解析：因为函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，
所以sin (2×＋φ)＝0，则2×＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，故|φ|的
最小值为.故选B.
答案：B
13．解析：由题意结合余弦函数图象可得ω＋＝π，∴ω＝，
最小正周期T＝＝4π.故选D.
答案：D
14．解析：因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，可得φ＝kπ－，k∈Z，
又－<φ<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin (2x－).
对于A，当x∈[，]时，2x－∈[，]，由正弦函数性质知f(x)在上单调递减，故A正确；
对于B，f(x＋)＝sin [2(x＋)－]＝sin (2x＋)＝cos 2x是偶函数，故B正确；
对于C，当x＝，x＝时，f(x)＝f(x)＝，但x－x＝－不是π的整数倍，故C错误 ；
1 2 1 2 1 2
对于D，令f(x)＝sin (2x－)＝0，则2x－＝kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，
由0<＋<2π，解得－<k<4－，因为k∈Z，所以k＝0，1，2，3，因此f(x)在区间上有4
个零点，故D错误．故选AB.
答案：AB
15．解析：因为f(x)的最小正周期为π，
故f(x)可为三角函数，且ω＝＝2.
又因为f(x)是奇函数，
故f(x)＝sin 2x.
再观察到sin 2x在(，)上单调递减，
故f(x)可确定为f(x)＝sin 2x.
答案：sin 2x或其他合理答案
16．解析：(1)由题意可得：函数f(x)的最小正周期T＝＝π，
令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，
所以函数f(x)的对称中心为(＋，0)，k∈Z.
(2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(3)令f(x)－a＝3sin (2x－)－a＝0，则sin (2x－)＝，
原题意等价于方程sin (2x－)＝在x∈[，]上有解，
当x∈[，]时，2x－∈[0，]，故sin (2x－)∈[0，1]，
所以0≤≤1，解得0≤a≤3，
故实数a的取值范围为[0，3].课时作业 58
1．解析：由正切函数的定义域，令2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，所以函数
f(x)＝－2tan (2x＋)的定义域为{x}．故选D.
答案：D
2．解析：因为函数y＝tan x在(－，)单调递增，
且tan ＝，tan (－)＝－1，
则所求的函数的值域是(－1，).故选C.
答案：C
3．解析：f(x)＝tan 2x的最小正周期为T＝，
令2x≠kπ＋，k∈Z，∴x≠＋，k∈Z，
所以函数的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}关于原点对称．
又f(－x)＝tan (－2x)＝－tan 2x＝－f(x)，
所以函数是奇函数．故选C.
答案：C
4．解析：由题意，＝⇒ω＝2.故选B.
答案：B
5．解析：对于A，当x＝时，y＝tan (2×＋)＝tan ＝1，所以直线x＝与函数y＝tan
(2x＋)交于点(，1)；
对于B，由正切函数的图象可知直线y＝与函数y＝tan (2x＋)的图象相交；
对于C，当x＝时，y＝tan (2×＋)＝tan ＝－1，所以直线x＝与函数y＝tan (2x＋)
交于点(，－1)；
对于D，当x＝时，y＝tan (2×＋)＝tan 无意义，所以直线 x＝与函数y＝tan (2x
＋)的图象无交点．故选ABC.
答案：ABC
6．解析：对于A，因为0<<<，函数y＝tan x在(－，)上单调递增，所以tan >tan .故
A正确；
对于B, tan <0<tan .故B不正确；
对于 C，tan (－)＝tan (－＋2π)＝tan ，tan (－)＝tan (－＋2π)＝tan .又
0<<<，函数y＝tan x在(－，)上单调递增，所以tan <tan ，即tan (－)<tan (－).故C
不正确；
对于D，tan (－)＝tan (－＋4π)＝tan ，tan (－)＝tan (－＋3π)＝tan (－).
又－<－<<，函数y＝tan x在(－，)上单调递增，
所以tan >tan (－)，即tan (－)>tan (－).故D正确．故选AD.
答案：AD
7．解析：由题意，函数y＝tan ωx(ω>0)的最小正周期T＝＝2π，解得ω＝.
答案：
8．解析：设g(x)＝a tan 3x，则f(x)＝g(x)＋4，
因为g(－x)＝－a tan 3x＝－g(x)，所以g(x)＝a tan 3x为奇函数，
f(5)＝g(5)＋4＝6，所以g(5)＝2，则g(－5)＝－2，
所以f(－5)＝g(－5)＋4＝2.
答案：2
9．解析：由2x≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
即函数的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}，
值域为(－∞，＋∞)，最小正周期为T＝，对应图象如图所示．10．解析：由3x＋≠kπ＋，得x≠＋，k∈Z，
即函数的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}，
由y＝－2tan (3x＋)可知，函数的值域为R，函数的周期T＝，
∵函数的定义域关于原点不对称，
∴函数为非奇非偶函数，
由－＋kπ<3x＋<＋kπ，k∈Z，
得－＋<x<＋，k∈Z，此时函数y＝2tan (3x＋)在区间(－＋，＋)(k∈Z)上单调递增，
∴函数y＝－2tan (3x＋)在区间(－＋，＋)(k∈Z)上单调递减．
11．解析：|tan x|≥1等价于tan x≥1或tan x≤－1，
如图所示：
由正切函数图象知x∈[，)∪(，].故选B.
答案：B
12．解析：因为x∈[0，]，即0≤x≤，
又0<ω<1，所以0≤ωx≤<，所以f(x) ＝tan ＝tan ＝，
max
所以＝，ω＝.故选A.
答案：A
13．解析：由函数y＝tan ωx在(－，)上单调递减，可得ω<0，
由x∈(－，)，可得ωx∈(，－)，
则，所以－1≤ω<0.故选B.
答案：B
14．解析：画出函数f(x)＝|tan x|的图象，易得f(x)的周期为T＝kπ，k∈Z，且是
偶函数，定义域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}，故A，B，D正确；
点(，0)不是函数f(x)＝|tan x|的对称中心，C错误．
故选ABD.
答案：ABD
15．解析：因为x∈[－，]，所以tan x∈[－1，1]，
y＝－2tan2x＋3tanx－1＝－2(tan x－)2＋，
则当tan x＝时，f(x) ＝，
max
当tan x＝－1时，f(x) ＝－6，
min
所以函数f(x)的值域为[－6，].
答案：[－6，]16．解析：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，
即＝，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan (2x＋φ)，
因为函数y＝f(x)的图象关于点M(－，0)对称，
所以2×(－)＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan (2x＋).
令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得－＋kπ<2x<kπ＋，k∈Z，
即－＋<x<＋，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为(－＋，＋)，k∈Z，无单调递减区间．
(2)由(1)知，f(x)＝tan (2x＋).由－1≤tan (2x＋)≤，
得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，即－＋≤x≤＋，k∈Z，
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为{x|－＋≤x≤＋，k∈Z}．
课时作业 59
1．解析：sin 20°cos 10°＋sin 70°sin 10°＝cos 70°cos 10°＋sin 70°sin
10°＝cos (70°－10°)＝cos 60°＝.故选D.
答案：D
2．解析：由cos αcos β＝－sin αsin β，
得cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)＝，
选项A，α＝π，β＝π，cos (α－β)＝cos ＝cos ＝，所以不正确；
选项B，α＝，β＝，cos (α－β)＝cos ＝，所以正确；
选项C，α＝，β＝，cos (α－β)＝cos ＝，所以不正确；
选项D，α＝，β＝，cos (α－β)＝cos ≠，所以不正确．故选B.
答案：B
3．解析：因为在△ABC中，cos A＝，cos B＝－，则sin A＝，sin B＝，cos (A－B)＝
cos A cos B＋sin A sin B＝×＋×＝.故选B.
答案：B
4．解析：∵α为锐角，且cos α＝，∴sin α＝＝.∵β为第三象限角，且sinβ＝
－，∴cos β＝－＝－，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.故选
A.
答案：A
5．解析：依题意，r＝|OP|＝ ＝1，因此sin θ＝，cos θ＝－，又角α的终边绕原
点O逆时针旋转得到角θ，则α＝θ－，所以cos α＝cos (θ－)＝cos θcos ＋sin
θsin ＝－×＋×＝.故选B.
答案：B
6．解析：因为α∈[0，2π]，sin sin ＋cos cos ＝cos ＝cos α＝0，则α＝π或
α＝.故选CD.
答案：CD
7．解析：cos 20°cos (α＋20°)－sin 200°sin (α＋20°)
＝cos 20°cos (α＋20°)－sin (180°＋20°)sin (α＋20°)
＝cos 20°cos (α＋20°)＋sin 20°sin (α＋20°)
＝cos [(α＋20°)－20°]
＝cos α.
答案：cos α
8．解析：因为cos (θ＋)＝1，所以sin (θ＋)＝0，所以cos θ＝cos (θ＋－)＝
cos (θ＋)cos ＋sin (θ＋)sin ＝1×＋0×＝.
答案：
9．解析：由已知得sin α＝，从而cos α＝＝，
于是cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×(－)＋×＝－.10．解析：∵sin α＝，α∈(，π)，∴cos α＝－.
又cos β＝－，β∈(，π)，∴sin β＝.
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝.
11．解析：由cos αcos β＝－sin αsin β，可得cos αcos β＋sin αsin β
＝，即cos (α－β)＝，因为α∈(0，)，β∈(，π)，所以α－β∈(－π，0)，所以α
－β＝－.故选A.
答案：A
12．解析：因为sin α＋sin β＝，所以sin2α＋sin2β＋2sinαsin β＝ ①，
因为cos α＋cos β＝，所以cos2α＋cos2β＋2cosαcos β＝ ②，
①＋②得2＋2cos (α－β)＝1，
∴cos (α－β)＝－.故选A.
答案：A
13．解析：因为α∈(，π)，所以α＋∈(，).
又sin (α＋)＝，
所以cos (α＋)＝－＝－，
故cosα＝cos [(α＋)－]
＝cos (α＋)cos ＋sin (α＋)sin
＝－×＋×＝.故选A.
答案：A
14．解析：对于A，4个直角三角形的面积之和为9－4＝5，故每个直角三角形的面积
为，故A正确；
对于B、C，由题意可知大的正方形的边长为3，小正方形的边长为2，可得3sin β－
3cos β＝2，由于α，β互余，所以3sin β－3sin α＝2，故B错误，C正确；
对于D，3cos α－3sin α＝2 ①，3sin β－3cos β＝2 ②，且cos α＝sin β，
sin α＝cos β，4＝9cos αsin β＋9sin αcos β－9cos αcos β－9sin αsin β＝
9sin2β＋9cos2β－9cos(α－β)＝9－9cos (α－β)，故cos (α－β)＝，故D正确．故
选ACD.
答案：ACD
15．解析：因为α∈(，)，β∈(－，0)，
则<2α＋β<π，－<α＋2β<，<α－β<，
所以，cos (α＋2β)＝＝，
sin(2α＋β)＝＝，
所以，cos(α－β)＝cos [(2α＋β)－(α＋2β)]
＝cos (2α＋β)cos (α＋2β)＋sin (2α＋β)sin (α＋2β)
＝－×＋×＝，
因此，α－β＝.
答案：
16．解析：(1)由角α的终边过点P(－6，8)，
可得sin α＝，cos α＝－，
所以sin (α＋)＝cos α＝－.
(2)由cos (α＋β)＝，可得sin (α＋β)＝±，
由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin
(α＋β)sin α，
当sin (α＋β)＝时，cos β＝×＋×＝－，
当sin (α＋β)＝－时，cos β＝×＋×＝－，
所以cos β＝－或cos β＝－.课时作业 60
1．解析：cos 75°－sin 75°＝cos (45°＋30°)－sin (45°＋30°)＝cos 45°cos
30°－sin 45°sin 30°－(sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°)＝－sin 45°sin 30°
－cos 45°sin 30°＝－.故选A.
答案：A
2．解析：∵sin A sin B<cos A cos B，∴cos A cos B－sin A sin B>0，∴cos (A＋
B)>0，∵A，B，C为三角形的内角，∴ A＋B为锐角，∴ C为钝角．故选D.
答案：D
3．解析：由tan (－θ)＝＝－，解得：tan θ＝2.故选B.
答案：B
4．解析：由sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－，
得sin αcos β＝0.故选A.
答案：A
5．解析：对于 A 选项，sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin (180°－
22°)cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin 22°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin (22°＋
48°)＝sin 70°≠1，A错；
对于B选项，sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝sin 20°cos (90°＋20°)＋
cos (180°－20°)sin (90°－20°)＝－sin220°－cos220°＝－1，B错；
对于C选项，＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝，C对；
对于D选项，sin 74°cos 14°－cos 74°sin 14°＝sin (74°－14°)＝sin 60°
＝，D对．故选CD.
答案：CD
6．解析：cos α－sin α＝2(cos α－sin α)
＝2(sin cos α－cos sin α)＝2sin (－α)
＝2(cos cos α－sin sin α)＝2cos (＋α).故选BD.
答案：BD
7．解析：原式＝sin (30°－10°)＋sin (30°＋10°)＋sin 60°－cos 10°
＝sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°＋sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°＋
sin 60°－cos 10°
＝cos 10°＋sin 60°－cos 10°＝sin 60°＝.
答案：
8．解析：因为α＋β＝30°，得β＝30°－α，
代入sin2α＋sin2β＋sinαsin β
＝sin2α＋sin2(30°－α)＋sinαsin (30°－α)
＝sin2α＋(cosα－sin α)2＋sin α(cos α－sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sinαcos α＋sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
答案：
9．解析：(1)sinα＝，α为钝角，
∴cos α＝－＝－.
(2)由(1)得tanα＝＝－，
角β终边上的一点为(－3，4)，tan β＝－，
tan (α－β)＝＝＝.
10．解析：(1)因为α为锐角，且cos α＝，
所以sin α＝＝＝.
所以sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).
所以sin (α＋β)＝ ＝＝.所以cos (2α＋β)＝cos [(α＋β)＋α]
＝cos (α＋β)cos α－sin (α＋β)sin α
＝－×－×＝－.
11．解析：由题设可得tan β＝tan [(β－α)＋α]＝＝＝.故选A.
答案：A
12．解析：因为α∈(－，)，所以α＋∈(－，)，所以cos (α＋)＝ ＝＝；
sin α＝sin (α＋－)＝sin (α＋)cos －cos (α＋)sin ＝×－×＝.故选A.
答案：A
13．解析：由sin α＝，cos (α＋β)＝－，
得cos α＝±，sin (α＋β)＝±，
而sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α，
从而sin β＝1或sin β＝－，
当sin β＝1时，只有B符合；当sin β＝－时，四个选项均不符合．
答案：B
14．解析：因为sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝，
所以sin (α－β－α)＝⇒sin (－β)＝⇒sin β＝－，
所以当β在第三象限时，
有cos β＝－＝－＝－，
所以cos (β＋)＝cos βcos －sin βsin ＝－×＋×＝－；
当β在第四象限时，有cos β＝＝＝，
所以cos (β＋)＝cos βcos －sin βsin ＝×＋×＝.故选BD.
答案：BD
15．解析：∵m2＋n2＝(cos α＋cos β)2＋(sin α－sin β)2＝cos2α＋2cosαcos β
＋cos2β＋sin2α－2sinαsin β＋sin2β＝2＋2(cosαcos β－sin αsin β)＝2＋2cos
(α＋β)＝2，
∴cos (α＋β)＝0，∴sin2(α＋β)－cos(α＋β)＝1－cos2(α＋β)－cos(α＋β)
＝1.
答案：1
16．解析：(1)由角α的终边过点P(1，4)，
得sin α＝，cos α＝，
所以sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin
＝×＋×＝.
(2)由(1)知，sin α＝>，
则α∈(，)，有α＋∈(，)，
因为β∈(0，)，所以α＋β∈(，π)，
由(1)知，sin (α＋)＝，又sin (α＋β)＝，
所以sin (α＋β)＝sin (α＋)，
得α＋β＝α＋或α＋β＝π－(α＋)，
解得β＝或β＝－2α，
又2α∈(，π)，所以β＝－2α<0，舍去，
综上，β＝.
课时作业 61
1．解析：－sin2＝·(1－2sin2)＝·cos＝×＝.故选A.
答案：A
2．解析：由三角函数的定义可得tan α＝.
所以tan 2α＝＝＝－.故选B.
答案：B3．解析：由cos2α＝cos2α，得2cos2α－1＝cos2α，cos2α＝1，因为α∈(－，)，
所以cosα＝1.故选A.
答案：A
4．解析：因为sin (α－π)＝－sin (π－α)＝－sin α＝，所以sin α＝－，则
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.故选D.
答案：D
5．解析：A.2sin15°cos 15°＝sin 30°＝；
B．cos215°－sin215°＝cos30°＝；
C．1－2sin215°＝cos30°＝；
D．＝＝×tan30°＝×＝.故选BCD.
答案：BCD
6．解析：因为 sin2α＋cos2α＝，所以 sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝，解得
cosα＝±.又α∈(0，)，所以cos α＝，从而tan α＝，于是tan 2α＝＝－.故选AD.
答案：AD
7．解析：由于cosα＝，且α是第四象限的角，则sin α＝－＝－，所以sin2α＝
2sin αcos α＝2×(－)×＝－.
答案：－
8．解析：sin422.5°－cos422.5°＝(sin222.5°＋cos222.5°)×(sin222.5°－
cos222.5°)＝sin222.5°－cos222.5°＝－cos45°＝－.
答案：－
9．解析：1＋cos 2α＝2cos2α，<α<π，
故＝－cos α，
又1－cos α＝2sin2，<<，
故＝ ＝sin .
10．解析：(1)tan (π＋α)＝tan α＝.
∵tan α＝＝，∴cos α＝2sin α，
两边平方得cos2α＝4sin2α，
∴cos2α＝4(1－cos2α)，解得cos2α＝，
∴cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝.
(2)＝
＝＝－tan α＝－×＝.
11．解析：由sin α＋cos α＝平方得：sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，所以
sin2α＝－.故选D.
答案：D
12．解析：因为sin (－α)＝，所以cos (－2α)＝cos [2(－α)]＝1－2sin2(－α)
＝1－2×＝.故选A.
答案：A
13．解析：由题意，cos2θ＝＝＝－.故选A.
答案：A
14．解析：对于A，＝ ＝ ＝，
对于B，＝＝＝tan α，
对于C，＝＝＝，
对于D，＝＝＝tan α.故选BD.
答案：BD
15．解析：＝
＝＝(cos α－sin α)＝，
所以cos α－sin α＝，则(cos α－sin α)2＝，
即1－sin 2α＝，所以sin 2α＝.
答案：
16．解析：(1)f(α)＝＝
＝＝－cos α.(2)由(1)得f(α＋)＝－cos (α＋)＝－，
∴cos (α＋)＝，∴cos (2α＋)＝2cos2(α＋)－1＝2×－1＝－.
课时作业 62
1．解析：sin－cos ＝(cos sin －sin cos )＝sin (－)＝－sin ＝－.故选A.
答案：A
2．解析：由于cos ＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以cos <0.
所以cos ＝－ .故选B.
答案：B
3．解析：∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin (ωx－)，∴f(x)的最小正周期T＝＝π，
解得：ω＝±2.故选C.
答案：C
4．解析：－sin x＋cos x＝2(－sin x＋cos x)
＝2sin (x＋)＝A sin (x－β)，∴－β＝＋2kπ，
∵β∈(0，2π)，∴β＝.故选C.
答案：C
5．解析：由2sin α＝1＋cos α，得2×2sin cos ＝1＋2cos2－1，整理，得2sincos
＝cos2，所以cos＝0或2sin ＝cos ，当cos ＝0时，角终边落在y轴上，所以tan 不存在，
当2sin ＝cos 时，tan ＝.故选AD.
答案：AD
6．解析：因为f(x)＝2sin x cos x－2cos2x＝sin2x－cos 2x－1＝2sin (2x－)－1，
所以y＝f(x＋φ)＝2sin (2x＋2φ－)－1，又函数y＝f(x＋φ)为偶函数，所以2φ－＝
kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以φ的值可以是，.故选BC.
答案：BC
7．解析：若sin θ＝，<θ<3π，∴∈(，)，cos θ＝－＝－，那么sin＝－ ＝－．
答案：－
8．解析：设顶角为α，底角为β，则α＋2β＝π，cos α＝，
又∵cos α＝1－2sin2，∈(0，)，
∴sin＝ ＝ ＝，
∴cos β＝cos ＝sin ＝.
答案：
9．解析：＝
＝＝
＝sin αcos α＝sin 2α.
10．解析：(1)∵f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，x∈R，
∴T＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)在区间[0，]上，2x＋∈[，]，
∴sin (2x＋)∈[－，1]，
∴f(x)＝2sin (2x＋)∈[－，2]，
∴f(x)的最大值为2，f(x)的最小值为－.
11．解析：sin θ＋cos (θ＋)＝sin θ＋cos θ－sin θ＝sin θ＋cos θ＝sin
(θ＋)＝1.故选A.
答案：A
12．解析：因为α为第一象限角，则 2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，所以kπ<<kπ＋，
k∈Z，
故为第一或第三象限角．且tan α＝，则cos α＝.
当为第一象限角时，sin ＝ ＝；
当为第三象限角时，sin ＝－ ＝－.故选C.答案：C
13．解析：由题知OB＝5，∠AOB＝θ，OA⊥AB，所以，在△AOB中，OA＝5cos θ，AB＝
5sin θ，所以，其矩形木料的面积为y＝2OA×2AB＝4×25sin θcos θ＝100sin θcos
θ＝50sin 2θ.故选D.
答案：D
14．解析：因为f(x)＝cos 2x－2sin x cos x＝2cos (2x＋)，
对A，由f(x)＝2cos (2x＋)可得函数的最大值为2，故A对；
对B，f＝2cos (2×＋)＝2cos ≠±2，故B错；
对C，f＝2cos (2×＋)＝2cos ＝0，故C对；
对D，x∈[－，] 2x＋∈[0，π]，y＝2cos t在t∈[0，π]上单调递减，故f(x)在区
间[－，]上单调递减，D错．故选AC.
答案：AC ⇒
15．解析：sin α－cos α＝2(sin α－cos α)＝2sin (α－)＝m，因为－1≤sin
(α－)≤1，所以－2≤2sin (α－)≤2，所以－2≤m≤2，则m的取值范围为[－2，2].
答案：[－2，2]
16．解析：
(1)分别过P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则四边形QEDP为矩形．
由扇形半径为1 m，得PD＝sin θ，OD＝cos θ.
在Rt△OEQ中，OE＝QE＝PD，
MN＝QP＝ED＝OD－OE＝cos θ－sin θ，
S＝MN·PD＝(cos θ－sin θ)sin θ
＝sin θcos θ－sin2θ
＝sin2θ＋cos 2θ－，θ∈(0，).
(2)由(1)得S＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin (2θ＋)－.
∵θ∈(0，)，∴2θ＋∈(，)，
∴sin (2θ＋)∈(，1]，
当θ＝时，S ＝ m2.
max
课时作业 63
1．解析：
＝
＝
＝
＝
＝＝＝.故选A.
答案：A
2．解析：因为cos (＋θ)＝，所以cos cos θ－sin sin θ＝，即cos θ－sin θ
＝，
两边同时平方，由平方关系可得1－2sin θcos θ＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝1－＝－.故选D.
答案：D
3．解析：a＝cos 10°－sin 10°＝cos (60°＋10°)＝cos 70°＝sin 20°，
b＝＝＝2sin12°cos 12°＝sin 24°，c＝ ＝
＝＝cos 20°－sin 20°
＝cos (45°＋20°)＝cos 65°＝sin 25°，
由于y＝sin x在x∈(0，)单调递增，故sin 20°<sin 24°<sin 25°，故a<b<c.故选
A.
答案：A
4．解析：由＝＝＝，解得tan α＝2，tan 2α＝＝＝－.故选D.
答案：D
5．解析：由题意得tanα＝＝2，A错误；
又α是第三象限角，sinα<0，所以由解得sin α＝－，cos α＝－，B正确；
sin 2α＝2sin αcos α＝，C正确；
tan (α－)＝＝，D错误．故选BC.
答案：BC
6．解析：∵θ的终边在第二象限，∴2kπ＋<θ<2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋<<kπ＋，
k∈Z，＝
＝＝，
故当2kπ＋<<2kπ＋，k∈Z时，
sin －cos >0，＝＝－1，
当2kπ＋<<2kπ＋，k∈Z时，
sin －cos <0，＝＝1.故选AB.
答案：AB
7．解析：已知tan α、tan β是方程x2－3x＋10＝0的两根，
所以有⇒α、β∈(0，) α＋β∈(0，π)，
tan (α＋β)＝＝＝－，
⇒
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
答案：
8．解析：因为cos (α＋)＝－，则sin (2α－)＝sin [2(α＋)－]＝－cos [2(α
＋)]＝1－2cos2(α＋)＝1－＝－.
答案：－
9．解析：(1)依题意，cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝，
因为α∈(0，)，解得：sinα＝，cos α＝，
故cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.
(2)因为sin (α－β)＝－，且α，β∈(0，)，
故α－β∈(－，0)，则cos (α－β)＝＝，
故sinβ＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)
＝×－×(－)＝.
10．解析：(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin (2x＋)，故最小正周期T＝＝π，
对称轴满足：2x＋＝＋kπ，k∈Z，
故对称轴为x＝＋，k∈Z.
(2)由(1)可知f(x)＝2sin (2x＋)，
x∈[－，]，则2x＋∈[－，]，sin (2x＋)∈[－，1]，故f(x)∈[－，2].
故函数f(x)的值域为[－，2].
11．解析：由于α，β都是锐角，则－<α－<，0<α＋β<π，
因为sin (α－)＝>0，cos (α＋β)＝－<0，
所以0<α－<，<α＋β<π，
所以cos (α－)＝，sin (α＋β)＝，
所以cos (β＋)＝cos [(α＋β)－(α－)]
＝cos (α＋β)cos (α－)＋sin (α＋β)sin (α－)
＝－×＋×＝.故选B.
答案：B
12．解析：因为cos θ－sin θ＝－，所以(cos θ－sin θ)2＝cos2θ＋sin2θ－2sinθcos θ＝1－sin 2θ＝，所以sin
2θ＝－.
因为θ∈(，π)，所以2θ∈(，2π)，
所以cos 2θ＝＝.
则＝＝＝－.
故选A.
答案：A
13．解析：由已知y＝sin 2x＋a cos 2x＝(sin 2x＋cos 2x)，
令sin θ＝，cos θ＝，
则y＝(cos θsin 2x＋sin θcos 2x)＝sin (2x＋θ).
因为图象关于直线x＝对称，所以2×＋θ＝＋kπ，k∈Z，
所以θ＝＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，有sin θ＝cos θ＝>0，可得a＝1；
当k为奇数时，有sin θ＝cos θ＝－<0，又cos θ＝>0，此时a无解．
综上所述，a＝1.故选C.
答案：C
14．解析：对于 A，cos 40°(1＋tan 10°)＝cos 40°(1＋)＝cos 40°·＝cos
40°·＝＝＝＝＝1，A正确；
对于B，(－)＝·＝＝＝2，B错误；
对于C，sin 140°(－tan 190°)＝sin 140°(－)＝sin 140°·＝sin 140°·＝sin
140°·＝＝＝＝＝1，C正确；
对于 D，4sin 18°·sin 54°＝4sin (90°－72°)·sin (90°－36°)＝4cos
72°·cos 36°＝＝＝＝＝＝1，D正确．故选ACD.
答案：ACD
15．解析：由题得f(x)＋f(60°－x)＝＋
＝＝
＝＝
＝＝，
所以f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)
＝{[f(1°)＋f(59°)]＋[f(2°)＋f(58°)]＋…＋[f(59°)＋f(1°)]}
＝[＋＋…＋]＝.
答案：
16．解析：(1)f(α)＝＋(sin2α－cos2α)
＝－(cos2α－sin2α)
＝－cos 2α＝sin 2α－cos 2α
＝2sin (2α－).
所以f＝2sin (－2×－)＝2sin ＝1.
(2)由(1)及题设得：2sin (2α－)＝，所以sin (2α－)＝.
因为α∈(0，)，所以2α－∈(－，)，
所以cos (2α－)＝
＝＝，
所以sin 2α＝sin [(2α－)＋]
＝sin (2α－)cos ＋cos (2α－)sin
＝×＋×＝.
课时作业 64
1．解析：由题意，为得到函数y＝sin (2x＋)＝sin [2(x＋)]的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点向左平移个单位长度即可．故选C.
答案：C
2．解析：因为y＝sin (3x－)＝sin 3(x－)，所以只需把函数y＝sin (3x－)的图象向
左平移个单位长度，就可以得到函数y＝sin 3x的图象．故选A.
答案：A
3．解析：将函数y＝3sin (x＋)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
得到y＝3sin (x＋)的图象，故A错误；
将函数y＝3sin (x＋)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝
3sin (2x＋)的图象，故B错误；
将函数y＝3sin 2x图象上所有点向左平移个单位得到y＝3sin (2x＋)图象，故C错误；
将函数y＝3sin 2x图象上所有点向左平移个单位得到y＝3sin (2x＋)的图象，故D正
确．故选D.
答案：D
4．解析：先将f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝
cos (x－)的图象，再向左平移个单位长度，则g(x)＝cos (x－＋)＝sin x．故选A.
答案：A
5．解析：先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图
象向左平移个单位长度，所以A选项错误，B选项正确．
先平移后伸缩时：向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的
(纵坐标不变)，所以C选项正确，D选项错误．故选BC.
答案：BC
6．解析：y＝sin (2x＋)＝sin [2(x＋)]向右平移个单位长度，得y＝sin 2x，再将横
坐标扩大2倍得到y＝sin x，故A正确，B错误；y＝sin (2x＋)横坐标扩大2倍，得到y＝
sin (x＋)，再向右平移个单位长度得到y＝sin x，故C正确，D错误．故选AC.
答案：AC
7．解析：由题知y＝sin x的图象向左平移个单位，可得y＝sin (x＋)，再将图象向
上平移2个单位可得：y＝sin (x＋)＋2.
答案：y＝sin (x＋)＋2
8．解析：将函数y＝sin (2x－)图象上每一个点的横坐标变为原来2倍，纵坐标不变，
所得图象的函数解析式为y＝sin (2x×－)＝sin (x－).
答案：y＝sin (x－)
9．解析：(1)由f(x)的最小正周期为π，即＝π，得ω＝2，
由f(＋x)＝f(－x)，得函数f(x)的图象关于x＝对称，
则2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
得φ＝kπ－，k∈Z，
而|φ|<，则有k＝0，φ＝－，
所以f(x)的解析式是f(x)＝sin (2x－).
(2)选方案①：y＝sin x→y＝sin (x＋φ)→y＝f(x)，
将y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝sin (x－)的图象，
然后将所得函数图象纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y＝sin (2x－)的图象．
选方案②：y＝sin x→y＝sin ωx→y＝f(x)，
将y＝sin x的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y＝sin 2x的图象，
然后将所得函数图象向右平移个单位得到，即y＝sin (2x－)的图象．
10．解析：由题意得g(x)＝sin [ω(x＋)＋φ]＝sin (ωx＋ω＋φ)，则ω＝2，得
ω＝4，
所以×4＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝－，故f(x)＝sin (4x－).
11．解析：因为y＝cos (3x－)＝sin [＋(3x－)]＝sin 3(x＋)，所以只需将y＝sin
3x的图象上的所有点向左平移个单位长度即可得到函数y＝cos (3x－)的图象．故选C.
答案：C
12．解析：因为cos (x－)＝sin (＋x－)＝sin (x＋)，把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变可得曲线y＝sin (x＋)，再把得
1
到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线y＝sin (x－＋)，即y＝sin (x＋)，A错；
把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变可得曲线y＝sin (x＋)，再把得
1
到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线y＝sin (x＋)，B对；
把C上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变可得曲线y＝sin (4x＋)，再把得到的
1
曲线向右平移个单位长度，得到曲线y＝sin 4x，C错；
把C上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变可得曲线y＝sin (4x＋)，再把得到的
1
曲线向右平移个单位长度，得到曲线y＝sin (4x－)，D错．故选B.
答案：B
13．解析：由已知可得sin (x＋φ)＝cos x＝sin (x＋)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ
＝π＋4kπ(k∈Z).∵φ>0，∴φ的最小值是π.故选C.
答案：C
14．解析：A选项，将y＝cos x＝sin (x＋)的图象上各点的横坐标缩小为原来的得y
＝sin (2x＋)，再向右平移个单位长度得y＝sin [2(x－)＋]＝sin (2x－)，A选项正确．
B选项，将y＝sin x的图象上各点的横坐标缩小为原来的得y＝sin 2x，再向右平移个
单位长度得y＝sin [2(x－)]＝sin (2x－)，B选项正确．
C选项，将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得y＝sin (x－)，再将各点的横坐标
缩小为原来的得y＝sin (2x－)，C选项正确．
D选项，将y＝cos x＝sin (x＋)的图象向左平移个单位长度得y＝sin (x＋＋)＝sin
(x＋)，再将各点的横坐标缩小为原来的得y＝sin (2x＋)＝sin (2x－＋π)＝－sin (2x
－)，D选项错误．故选ABC.
答案：ABC
15．解析：将函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω∈R且ω≠0)的图象上所有点的横坐标变为
原来的2倍，纵坐标保持不变，所得图象的函数为y＝sin (x＋)，
所以g(x)＝cos (x＋φ)(0<φ<π)与y＝sin (x＋)＝cos (－x－)为同一函数，
故－＝1，φ＝－，即ω＝－2，φ＝，
所以tan (ω＋φ)＝tan (－＋)＝tan ＝－tan ＝－.
答案：－
16．解析：将f(x)的图象向右平移个单位长度，
所得曲线对应的函数为y＝f(x－)＝4sin (2x－)，再将所得图象上所有点的横坐标伸
长为原来的2倍，纵坐标缩小为原来的，所得曲线对应的函数为y＝2sin (x－)，即g(x)＝
2sin (x－).
由[g(x)]2＋(1－m)g(x)－m＝0得[g(x)＋1][g(x)－m]＝0，即g(x)＝－1或g(x)＝m.
作出g(x)在[0，π]上的大致图象如图所示：
易知方程g(x)＝－1在[0，π]上仅有一个实根．
要使原方程在[0，π]上仅有3个实根，则须方程g(x)＝m在[0，π]上有2个实根，
即直线y＝m与曲线y＝g(x)在[0，π]上有2个公共点，结合图象可知须1≤m<2.即m
的取值范围是[1，2).
课时作业 65
1．解析：因为对称中心与对称轴水平的最近距离为T，由题意得T＝，所以T＝π.
答案：B2．解析：因为y＝f(x)＝sin (2x＋)，∴f(0)＝－，所以排除B、D；由2kπ－≤2x＋
≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－
≤x≤kπ＋，k∈Z，所以可知函数f(x)在[，]上单调递增，在[0，]上单调递减，所以排除
A.故选C.
答案：C
3．解析：由题可知|A|＝2，＝－＝，
因为T＝，由选项可知A＝2，ω＝3，
所以此时函数为y＝2sin (3x＋φ)，
又因为该函数过点(，2)，
所以有2＝2sin (3×＋φ)，解得φ＝＋2kπ，
由题可知该函数解析式为y＝2sin (3x＋).故选B.
答案：B
4．解析：根据图象可得：A＝1，＝－＝，则T＝＝π，即ω＝2，A正确；
∵f(x)＝sin (2x＋φ)的图象过点(，1)，则f＝sin (＋φ)＝1.又∵φ∈(－，)，则＋
φ∈(－，)，∴＋φ＝，即φ＝，B正确；
∴f(x)＝sin (2x＋)，则f＝sin (2×＋)＝sin ＝sin ＝1为最大值，∴f(x)的图象关
于直线x＝对称，C正确；
f(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝f(x－)＝sin [2(x－)＋]＝sin (2x－)不是奇
函数，不关于原点对称，D错误．故选D.
答案：D
5．解析：将函数f(x)＝sin (2x－)的图象向左平移φ个单位长度后得到y＝sin (2x
＋2φ－)的图象，该图象关于原点对称，所以2φ－＝kπ，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以
φ的值可以是，.故选AD.
答案：AD
6．解析：选项A，T＝＝π，故函数f(x)的最小正周期为π，选项A正确；
选项B，函数f(x)＝2sin (2x－)＝2sin [2(x－)]，其图象由y＝2sin 2x向右平移个
单位而得到，选项B错误；
选项C，函数f(x)＝2sin (2x－)＝2cos [(2x－)－]＝2cos (2x－)，故选项C正确；
选项D，令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，故函数图象的对称中心为(＋，0)，
k∈Z，令k＝－1，为(－，0)，故图象关于点(－，0)对称，选项D正确．故选ACD.
答案：ACD
7．解析：由图可知＝－＝，因为ω>0，所以T＝＝π，解得ω＝2，因为函数y＝sin
(2x＋φ)(ω>0，|φ|<)的图象过点(，1)，所以sin (2×＋φ)＝1，又|φ|<，所以φ＝
－.
答案：－
8．解析：由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又－π<φ<0，所
以φ＝－π.
答案：－π
9．解析：(1)由图可得A＝2，周期为T＝2(－)＝π＝，所以|ω|＝2，
因为ω>0，所以ω＝2；
根据图象可得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z；解得φ＝＋2kπ，
因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin (2x＋).
(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，
解得对称轴方程为：x＝＋，k∈Z；
综上所述，单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z；对称轴方程为：x＝＋，k∈Z.
10．解析：(1)由f(0)＝－得f(x)＝3sin φ＝－⇒sin φ＝－，
由|φ|<得φ＝－，又f(x)的图象关于x＝对称，
所以f＝3sin (－)＝±3 －＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝2＋3k，k∈Z，
当k＝0时，ω取到最小的正数2，此时f(x)＝3sin (2x－).
⇒(2)f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)＝f(x－)＝3sin (2x－－)＝－3cos 2x，
当x∈[，]时，2x∈[，]，cos 2x∈[－1，]，
所以－3cos 2x∈[－，3]，
故g(x)在[，]上的值域为[－，3].
11．解析：由题图：A＝2，且＝＋＝，则T＝＝π，可得ω＝2，
则f(x)＝2sin (2x＋φ)，且f＝2sin (＋φ)＝2，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨令φ＝－，
则f(x)＝2sin (2x－)，故f＝2sin (－)＝2sin ＝.故选C.
答案：C
12．解析：因为P(，0)是f(x)的图象的一个对称中心，所以ω＋＝kπ，则ω＝8k－
2，k∈Z，故ω可取6，14，22，30，…又f(x)＝sin (ωx＋)在区间(－，0)内单调递增，
故－＋2kπ≤－ω＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－3－24k≤ω≤9－24k，k∈Z，则当ω＝6，满
足，其他均不满足，此时函数f(x)＝sin (6x＋).故选A.
答案：A
13．解析：由已知y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，其沿x轴向左平移φ个单位后
得，
y＝2sin [2(x＋φ)＋]＝2sin (2x＋2φ＋)，
因为y＝2sin (2x＋2φ＋)为偶函数，
∴2φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，
当k＝0时，|φ|有最小值，且为.故选A.
答案：A
14．解析：因为函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx＝2·(sin ωx＋cos ωx)＝2sin (ωx
＋)(其中ω>0)，根据函数f(x)＝2sin (ωx＋)一个周期内的图象，可得A为图象的最高点，
B，C为图象与x轴的交点，且△ABC 为正三角形，可得2＝·|BC|＝·，解得ω＝，所以
f(x)＝2sin (·x＋)，故它的最小正周期为T＝＝8，所以A不正确；
由x∈(3，4)，可得x＋∈(，)，可得f(x)单调递减，所以B正确；
由三角函数的性质，可得f(x)的值域为[－2，2]，所以C正确；
将f(x)图象上的点向右平移个单位后，得到y＝2sin (x－＋)＝2sin x，此时函数不是
偶函数，所以图象不关于y轴对称，所以D错误．故选BC.
答案：BC
15．解析：因为函数f(x)＝6sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为偶函数，
所以φ＝＋kπ，k∈Z，又φ∈(0，π)，
所以φ＝.
点A(x，6)，B(x，－6)是函数f(x)图象上的两点，|x－x|的最小值为3，
1 2 1 2
则f(x)的最小正周期为6，
则ω＝＝，
故f(x)＝6sin (x＋)＝6cos ，
故f(2)＝6cos ＝－3.
答案：－3
16．解析：(1)由表格根据五点作图的规律，
可得＋＝x－，y＝－，A＝，T＝－＝4π，得x＝，ω＝＝，
1 2 1
∴×＋φ＝0，得φ＝，
综上：x＝，y＝－，f(x)＝sin (x＋).
1 2
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位得y＝sin [(x－)＋]＝sin x，
再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得g(x)＝sin x.
(3)由|g(x)－m|<2得－2＋m<g(x)<2＋m，
若|g(x)－m|<2在[，]上恒成立，
则，
又当x∈[，]时，g(x)＝sin x∈[，]，
∴，得－2<m<2＋.课时作业 66
1．解析：当t＝时，s＝5sin (2×＋)＝5sin ＝－5，s＝10cos (2×)＝－5，所以s
1 2 1
＝s.故选C.
2
答案：C
2．解析：由图象可得，ω>0，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π.故选D.
答案：D
3．解析：由题知，∠AOB＝×2π＝，过O作AB的垂线，则AB＝2×5×sin ＝10sin .
故选D.
答案：D
4．解析：由题意可知，t＝0时，y＝－，对于B，t＝0时，y＝－，可排除；对于C，t
＝0时，y＝－，可排除；对于D，t＝0时，y＝－，但是不符合“按逆时针方向以角速度1
rad/s做圆周运动”，可排除．故选A.
答案：A
5．解析：由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，所以A错，D正确；
该质点的振幅为5，所以B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，
即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确．综上，
BCD正确．
答案：BCD
6．解析：对于A选项，血压p(t)的最小正周期为＝12，A错；
对于B选项，下午3点时，即t＝9，可得p(9)＝116＋22sin (＋)＝116－22cos ＝
105，B对；
对于C选项，因为p(t) ＝116＋22＝138<140，p(t) ＝116－22＝94≥90，所以，当
max min
天小王有高血压，C对；
对于D选项，当天小王的收缩压与舒张压之差为p(t) －p(t) ＝138－94＝44，D对．
max min
故选BCD.
答案：BCD
7．解析：由图象知最小值为2，故－3＋k＝2，所以k＝5，故最大值为3＋k＝3＋5＝
8.
答案：8
8．解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，
所以y＝23＋5cos [(x－6)]，
当x＝10时，y＝23＋5cos (×4)＝20.5.
答案：20.5
9．解析：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.
(2)由图象可知，8～14时的图象是y＝A sin (ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝.
∴y＝10sin (x＋φ)＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin (x＋)＋40，x∈[8，14].
10．解析：(1)以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为x轴，过圆心且垂直于地
面的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.
以x轴非负半轴为始边，OP为终边的角为－；
1
点P时刻t所转过的圆心角为：t＝t.
若t时刻时蚂蚁爬到圆环P点处，那么以x轴非负半轴为始边，
OP为终边的角为t－，
则P点纵坐标为4sin (t－)，
所以h(t)＝4sin (t－)＋6.
(2)令h(t)＝4sin (t－)＋6≥8，
即sin (t－)≥，所以＋2kπ≤t－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋8k≤t≤4＋8k，k∈Z，
所以在一周范围内，P距离地面超过8 m持续时间为：(4＋8k)－(＋8k)＝分钟．
11．解析：由图中数据可知体力的周期为T＝23，情绪的周期为T＝28，智力的周期为
1 2
T＝33.从同学甲出生到今日的天数为5 860，故对于体力，有5 860＝23×254＋18，处于
3
低潮期，疲倦乏力；对于情绪，有5 860＝28×209＋8，处于高潮期，心情愉快；对于智力，
有5 860＝33×177＋19，处于低潮期，反应迟钝；故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反
应迟钝．故选D.
答案：D
12．解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋
π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15] [3π，5π].故选C.
答案：C
13．解析：由题设，水车的角速度为/s＝/s， ⊆
又水车的半径为4 m，中心O到水面的距离2 m，
设经过t(单位：s)后水筒A距离水面的高度为f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋2，(ω>0，|
φ|<)，
由题意可知A＝4，ω＝，
由于t＝0时，水筒A在A处，即f(0)＝4sin φ＋2＝0，
0
即sin φ＝－，由于|φ|<，故取φ＝－，
故t(单位：s)后水筒A距离水面的高度可表示为f(t)＝4sin (－)＋2，
∴f(130)＝4sin (－)＋2＝4(m)，故选B.
答案：B
14．解析：依题意A>0，ω>0，0<φ<π，根据图象可知⇒，f(x)＝10sin (ωx＋φ)＋
20，根据图象可知＝14－6＝8，T＝16，ω＝＝＝，B选项错误．
f(x)＝10sin (x＋φ)＋20，f(6)＝10sin (＋φ)＋20＝10，sin (＋φ)＝－1，
0<φ<π，<＋φ<，＋φ＝⇒φ＝，A选项正确．
f(x)＝10sin (x＋)＋20.f(x＋8)＝10sin [(x＋8)＋]＋20＝10sin (x＋＋π)＋20＝－
10sin (x＋)＋20，所以f(x)＋f(x＋8)＝40，C选项正确．
g(x)＝f(x＋m)＝10sin [(x＋m)＋]＋20＝10sin (x＋m＋)＋20是偶函数，m＋＝kπ
＋，k∈Z，m＝8k－2，k∈Z，所以当k＝0时，|m|的最小值为2，D选项正确．故选ACD.
答案：ACD
15．解析：设从最低处登上摩天轮后逆时针匀速转动的时间为t分钟，因为每转一圈需
要12分钟，则匀速转动t分钟所转动的角为t，
则距离地面的距离为f(t)＝40.5－40cos t＝－40cos t＋40.5(t≥0)米，
由f(t)＝60.5，得－40cos t＋40.5＝60.5，得cos t＝－，得t＝2kπ＋(k∈Z)或t＝
2kπ＋(k∈Z)，即t＝12k＋4(k∈Z)或t＝12k＋8(k∈Z)，
故第1次距离地面60.5米时所用时间为4分钟，第2次距离地面60.5米时所用时间为
8分钟，第3次距离地面60.5米时所用时间为16分钟，第4次距离地面60.5米时所用时间
为20分钟．
答案：20
16．解析：(1)根据①，可知这个函数的周期是12；由②，可知y －y ＝400，故该
max min
函数的振幅为200；由③，可知函数在[1，7]上是增函数，且1月份入住客栈的游客约为300人，则7月份
入住客栈的游客约为700人，根据上述分析可得＝12，故ω＝，
由得A＝200，B＝500，当x＝1时，300＝200sin (＋φ)＋500，
即sin (＋φ)＝－1，得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，
由|φ|<π，得φ＝－.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为：
y＝200sin (x－)＋500(x＝1，2，…，12).
(2)由题意可知，200sin (x－)＋500≥600，
化简得sin (x－)≥，
即2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k＋5≤x≤12k＋9，k∈Z，
因为x∈N ，且1≤x≤12，所以x＝5，6，7，8，9，
＋
所以客栈在5，6，7，8，9月份要至少准备600份食物．
第一章 单元素养水平监测
1．解析：因为B＝{x∈N|0≤x<4}＝{0，1，2，3}，
又A＝{x|－1<x<2}，
所以A∩B＝{0，1}．故选C.
答案：C
2．解析：根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得：“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的
否定为∃x∈R，x3－x2＋1>0.故选B.
答案：B
3．解析：由已知可得，集合M的所有可能为：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，
{2，3}，{1，2，3}．
所以，所有可能的集合M的个数是8.故选B.
答案：B
4．解析：由|x|<2解得－2<x<2，
所以由x<2推不出|x|<2，故充分性不成立，
由|x|<2推得出x<2，故必要性成立，
所以“x<2”是“|x|<2”的必要不充分条件．故选A.
答案：A
5．解析：∵B A，
∴4＝m2或5m－6＝m2，解得m＝2或m＝－2或m＝3，
⊆
将求出的m值代入集合A、B验证，知m＝2时，不符合集合的互异性，
故m＝－2或3.故选C.
答案：C
6．解析：根据题意，阴影部分为集合M的外部与集合N集合P交集内部的公共部分，
即(
∁U
M)∩(N∩P).故选C.
答案：C
7．解析：根据题意，－<x<3的一个必要不充分条件即－<x<3为所求结果的真子集，根
据选项可得－<x<3是－1<x<6的真子集，通过－<x<3，可推出－1<x<6，通过－1<x<6不可
推出－<x<3，故－1<x<6是－<x<3的一个必要不充分条件．故选C.
答案：C
8．解析：因为命题p：“存在2≤x≤3，3x－a>0”为假命题，
则命题¬p：“任意2≤x≤3，3x－a≤0”为真命题，
所以a≥3x对任意2≤x≤3恒成立，
所以a≥(3x) ＝9，所以a的最小值为9.故选D.
max
答案：D9．解析：∵B A，∴B∪A＝A，故A正确．
∵集合A＝{x∈N|x<4}＝{0，1，2，3}，
⊆
∵B A，∴集合A∩B可能是{1，2，3}，故B正确；
∵－1∉A，∴集合A∩B不可能是{－1，1}，故C错误；
⊆
∵0∈A，∴0可能属于集合B，故D错误．故选AB.
答案：AB
10．解析：A：由a>b＋1>b，而a>b不一定有a>b＋1，即“a>b＋1”是“a>b”的充分不
必要条件，正确；
B：“∃x∈R，1<y≤2”的否定是“∀x∈R，y≤1或y>2”，正确；
C：由x≥2且y≥2，则x2＋y2≥4，而x2＋y2≥4存在x＝0，y＝3满足要求，即“x≥2
且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，错误；
D：“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，为真命题，正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：求使得－2<x<1或x>3成立的充分不必要条件，
故“选项”为条件p，“－2<x<1或x>3”为结论q，
∵p 是q的充分不必要条件，设p：“x∈A”，q：“x∈B”，A是B的真子集．故选
ABC.
答案：ABC
12．解析：A：显然a＝－2，b＝2时，a－b＝－4∉M，故不为闭集合；
B：由任意两个整数相减或相加都是整数，所以整数集是闭集合；
C：若a＝2k，b＝2(k＋n)且k，n∈Z，故a＋b＝2(2k＋n)∈M，a－b＝－2n∈M，故为
闭集合；
D：若A
1
＝{x|x＝2k，k∈Z}，A
2
＝{x|x＝3k，k∈Z}，显然有 2＋3＝5∉A
1
∪A
2
，故
A∪A不为闭集合．故选AD.
1 2
答案：AD
13．解析：因为命题“∀x>0，2x＋1≥0”是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即为∃x>0，2x＋1<0.
答案：∃x>0，2x＋1<0
14．解析：因为A＝{1，a2}，B＝{a，－1}，A∪B＝{－1，a，1}，所以a＝a2，
解得a＝0或a＝1(舍去，不满足集合元素的互异性).
答案：0
15．解析：由题意可得Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.
答案：a≤1
16．解析：(1)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{2，3，6}，所以∁U N＝{1，4，5}，
所以∁U N表示的6位字符串为100110.
(2)因为集合A∪B表示的字符串为011011，所以A∪B＝{2，3，5，6}，又B＝{5，6}，
所以集合A可能为{2，3}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，3，5，6}，即满足条件的集合
B的个数为4.
答案：(1)100110 (2)4
17．解析：(1)集合A＝{x|0<x<10，x为偶数} ＝{2，4，6，8}，集合B＝{2，3，6，
8}，
所以A∪B＝{2，3，4，6，8}．
(2)因为A∩B＝{2，6，8}，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
所以∁U (A∩B)＝{1，3，4，5，7，9}．
18．解析：(1)是存在量词命题，用符号表示为“∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0”，是
假命题．
(2)是全称量词命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假
命题．
(3)是存在量词命题，用符号表示为“∃x∈R，＝2”，是假命题．
19．解析：∵集合A＝{2，m2＋1，m2－m}，
B＝{0，7，m2－m－5，2－m}，且5∈A，∴m2＋1＝5或m2－m＝5(舍)，
解得m＝±2，
当m＝2时，A＝{2，5，2}，不成立；
当m＝－2时，A＝{2，5，6}，B＝{0，1，4，7}，成立．
∴集合B＝{0，1，4，7}．
∴A∩B＝∅，A∪B＝{0，1，2，4，5，6，7}．
20．解析：(1)∵A∩B＝{1}，
∴1∈A且1∈B，
∴，解得p＝－4，q＝－2，
(2)根据(1)可得：方程x2－4x＋3＝0的所有解组成的集合A，方程x2＋x－2＝0的所有
解组成的集合B，
x2－4x＋3＝0解得x＝1或3，则集合A＝{1，3}，
x2＋x－2＝0解得x＝1或－2，则集合B＝{1，－2}，
则集合A∪B＝{－2，1，3}．
21．解析：(1)a＝4，故B＝{x|－5≤x≤3}，A∪B＝{x|－5≤x≤7}，
∁R
(A∪B)＝{x|x<－5或x>7}．
(2)“x∈A”是“x∈B”的充分条件，故A B，故，
解得a≥6.
⊆
22．解析：(1)当a＝3时，A＝{x|2≤x≤7}，而B＝{x|－2≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|2≤x≤4}，则∁R (A∩B)＝{x|x<2或x>4}．
(2)选①：
因为A∪B＝B，所以A B，
当A＝∅时，则a－1>2a＋1，即a<－2，满足A B，则a<－2；
⊆
当A≠ ∅时，a≥－2，由A B得，解得－1≤a≤；
⊆
综上：a<－2或－1≤a≤.
⊆
选②：
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
当A＝∅时，则a－1>2a＋1，即a<－2，满足题意，则a<－2；
当A≠ ∅时，a≥－2，则，且不能同时取等号，解得－1≤a≤；
综上：a<－2或－1≤a≤；
选③：
因为A∩B＝∅，
所以当A＝∅时，则a－1>2a＋1，即a<－2，满足A∩B＝∅，则a<－2；
当A≠ ∅时，a≥－2，由A∩B＝∅得2a＋1<－2或a－1>4，解得a<－或a>5，
又a≥－2，所以－2≤a<－或a>5；
综上：a<－或a>5.
第二章 单元素养水平监测
1．解析：因为a＋b>0，b<0，
所以0<－b<a，0>b>－a，
所以由不等式的性质得，a>－b>b>－a.故选C.
答案：C
2．解析：y－y＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
1 2
所以y>y.故选C.
1 2
答案：C
3．解析：原不等式即为(x－2)(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故原不等式的解集为{x|
≤x≤2}．故选B.答案：B
4．解析：因为x>0，y>0，且2x＋3y＝12，
所以xy＝·(2x)·(3y)≤()2＝6，
当且仅当2x＝3y，即x＝3，y＝2时，等号成立，
即xy的最大值为6.故选B.
答案：B
5．解析：由于不等式x2－ax＋b<0的解集是{x|1<x<7}，
所以.故选D.
答案：D
6．解析：不等式x2＋(2a－1)x＋1≥0恒成立，
则Δ＝(2a－1)2－4≤0，解得－≤a≤.故选C.
答案：C
7．解析：一元二次方程(x－m)(x－)＝0的两个根为m，，
因为0<m<1，所以m－＝<0 m<，
因此不等式(x－m)(x－)<0的解集是{x|m<x<}．故选D.
答案：D ⇒
8．解析：由已知Δ＝(a＋b＋4)2－64＝0，又a>0，b>0，∴a＋b＋4＝8，a＋b＝4，
＋＝(a＋b)＝≥×(2＋2)＝1，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以＋的最小值是1，
不等式＋≥t2－2t－2恒成立，则t2－2t－2≤1，t2－2t－3≤0，解得－1≤t≤3.故选
A.
答案：A
9．解析：因为c<0，所以c2>0 ，又a>b，故ac2>bc2，A正确；
由于a>b，c<0，则<，故B错误；
由于a>b，c<0，则a＋c>b＋c，故C错误；
取a＝2，b＝1，c＝－3 满足a>b，c<0，但a<b－c，D错误，
故选BCD.
答案：BCD
10．解析：当a＝1，b＝3时，<2，＋>1，所以BD选项错误．
a2＋b2≥＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，A正确．
0<ab≤()2＝4，≥，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，C正确．故选AC.
答案：AC
11．解析：对于A，因为x>1 x－1>0，
所以x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，
⇒
当且仅当x－1＝⇒x＝2时取等号，故A正确．
对于B，因为0<x<10 10－x>0，
所以≤＝5，
⇒
当且仅当x＝10－x x＝5时取等号，故B正确．
对于C，＝＝＋≥2，
当且仅当＝，即x2＝ ⇒ －3时，等号不成立，
令t＝≥2，则y＝t＋在[2，＋∞)上单调递增，
所以t＝2时取得最小值为，故选项C错误；
对于D，当x>0时，2－3x－＝2－(3x＋)≤2－2＝2－4，
当且仅当3x＝，即x＝时等号成立，所以最大值为2－4，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
12．解析：A＝{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
因为B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，A∪B＝R，A∩B＝{x|3<x≤4}，
所以－1和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a>0，A错误；
所以－1＋4＝－，－1×4＝，所以b＝－3a，c＝－4a，
对于B，bc－(6a－3)＝12a2－6a＋3＝12(a－)2＋>0，所以bc>6a－3，所以B正确，
对于CD，不等式ax2－bx＋c>0，可化为ax2＋3ax－4a>0，因为a>0，所以不等式可化为
x2＋3x－4>0，得(x－1)(x＋4)>0，解得x<－4或x>1，所以原不等式的解集为{x|x<－4或x>1}，所以C正确，D错误．故选BC.
答案：BC
13．解析：≤0 －<x≤4，
即不等式≤0的解集是.
答案：{x|－<x⇔⇒≤4}
14．解析：由题意知：x2－2ax＋a≥0 在 R 上恒成立，∴Δ＝4a2－4a≤0，解得：
0≤a≤1，
即实数a的取值范围为0≤a≤1.
答案：{a|0≤a≤1}
15．解析：x2－4x－2－a≥0，a≤x2－4x－2＝(x－2)2－6，
(4－2)2－6＝－2，所以当1≤x≤4时，(x－2)2－6的最大值为－2，
所以a≤－2.
答案：a≤－2
16．解析：设建x层，x>5，
则平均综合费用：
＝600(x＋)＋3 000≥600×2＋3 000
＝33 000元，
当且仅当x＝，x＝25时等号成立．
所以为了使该楼房每平米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，
公司应把楼层建成25层，该楼房每平方米的平均综合费用最低为33 000元．
答案：25 33 0000
17．解析：(1)(x＋1)(x2＋＋1)－(x＋)(x2＋x＋1)
＝x3＋x2＋x＋1－(x3＋x2＋x＋)＝>0，
所以(x＋1)(x2＋＋1)>(x＋)(x2＋x＋1).
(2)证明：因为a>b，ab>0，所以>0，所以a×>b×，
所以>，即<.
18．解析：(1)方法一 ＋＝＋＝＋＝＋＋≥2＋＝.
当＝即a＝b＝时取等号，所以(＋) ＝.
min
方法二 ＋＝＋＝＋－2＝(＋)(2a＋b)－2＝(5＋＋)－2≥－2＝，
当＝即a＝b＝时取等号，所以(＋) ＝.
min
(2)因为2a＋b＝2，所以2a＋(b＋1)＝3，
所以＋＝(＋)[2a＋(b＋1)]
＝(4＋＋)≥(4＋2)＝，
当＝即a＝，b＝时取等号，
所以(＋) ＝.
min
19．证明：(1)因为(3a3＋2b3)－(3a2b＋2ab2)＝(3a3－3a2b)＋(2b3－2ab2)＝3a2(a－b)
＋2b2(b－a)＝(a－b)(3a2－2b2)，
而a≥b>0，所以a－b≥0，a2≥b2，所以3a2－2b2≥3b2－2b2＝b2>0，
故(a－b)(3a2－2b2)≥0，即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，当且仅当a＝b时取等号．
(2)因为＋＋为对称轮换，所以≤，≤，≤，
三式相加可得：＋＋≤a＋b＋c＝1，当且仅当a＝b＝c时取等号，即原不等式得证．
20．解析：(1)由题意得>10，整理得v2－89v＋1 600<0，
即(v－25)(v－64)<0.解得25<v<64.
所以如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，
则汽车的平均速度应大于25 km/h且小于64 km/h.
(2)由题意得y＝≤＝，
当且仅当v＝，即v＝40时取等号，所以y ＝≈11.1(千辆/时).
max
故当v＝40 km/h时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．
21．解析：(1)因为y>0的解集为{x|b<x<2}(b<2)，且y＝ax2＋3x－2，
所以a<0，且b，2为方程ax2＋3x－2＝0的两根，所以2＋b＝－，2b＝－，所以a＝－1，b＝1.
(2)由(1)可得，不等式y≥2＋m可化为－x2＋3x－2≥2＋m，所以m≤－x2＋3x－4，
因为对于任意的－1≤x≤2，不等式y≥2＋m恒成立，
所以对于任意的－1≤x≤2，不等式m≤－x2＋3x－4恒成立，
即m≤(－x2＋3x－4) ，其中－1≤x≤2，
min
因为－x2＋3x－4＝－(x－)2－，其中－1≤x≤2，
所以当x＝－1时，y＝－x2＋3x－4取最小值，最小值为－8，
故实数m的取值范围为m≤－8.
22．解析：(1)由得
由两式相加得－2≤2a－b≤4.
由两式相乘得≤≤4，所以≤ ≤2.
(2)①当m＝0时，f(x)＝2－x，由2－x<0解得x>2；
②当m>0时，f(x)＝(mx－1)(x－2)＝m(x－)(x－2)，对应方程两根为x＝，x＝2.
1 2
(ⅰ)当＝2即m＝时，不等式化为(x－2)2<0，无解．
(ⅱ)当<2即m>时，由(x－)(x－2)<0解得<x<2.
(ⅲ)当>2即0<m<时，由(x－)(x－2)<0解得2<x<.
综上，当m＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；
当0<m<时，不等式的解集为{x|2<x<}；
当m＝时，不等式的解集为∅；
当m>时，不等式的解集为{x|<x<2}．
第三章 单元素养水平监测
1．解析：要使函数有意义，则，
解得x≥且x≠2，
所以定义域为[，2)∪(2，＋∞).故选C.
答案：C
2．解析：由题意可知[4.8]－[－3.5]＝4－(－4)＝8.故选D.
答案：D
3．解析：设幂函数解析式为f(x)＝xα，
因为幂函数f(x)的图象过点(2，8)，
∴f(2)＝2α＝8，解得α＝3，
则f(x)＝x3，
∴f(x)是奇函数，在R上单调递增．故选C.
答案：C
4．解析：设y＝f(x)＝，
易知定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，因此排除选项B、C.
当x≥0时，f(x)＝≥0，
当x<0时，f(x)＝<0，因此排除选项D.故选A.
答案：A
5．解析：y＝x2－2|x|＋1＝，
作出其图象如图所示：由图象可知，函数的增区间为(－1，0)和(1，＋∞).
故选B.
答案：B
6．解析：由函数为偶函数，在(0，＋∞)单调递减，
则f(－3)＝f(3)，f(－4)＝f(4)，f(4)<f(3)<f(2)，所以f(－4)<f(－3)<f(2).故选
D.
答案：D
7．解析：当顾客的购物总金额超过400元不超过800元时，
享受折扣优惠的金额最多为400×5%＝20元，
故该顾客购物总金额一定超过了800元，设为x元(x>800) ，
则400×5%＋(x－800)×15%＝65 ，解得x＝1 100(元)，
则此顾客实际所付金额为1 100－65＝1 035元．故选C.
答案：C
8．解析：由题意得f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)
＝f(1)＝0，
因为f(x2－3x＋3)≥0，
所以－1≤x2－3x＋3≤1，解得1≤x≤2，
所以不等式f(x2－3x＋3)≥0的解集是[1，2].故选A.
答案：A
9．解析：对选项A：y＝2x是奇函数，错误；对选项B：y＝f(x)＝x2＋1，f(－x)＝(－
x)2＋1＝f(x)，函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，正确；
对选项C：y＝g(x)＝|x|，g(－x)＝|－x|＝|x|＝g(x)，函数为偶函数，当x∈(0，＋
∞)时，g(x)＝x单调递增，正确；
对选项D：y＝h(x)＝|－x|，h(1)＝0，h()＝，h(1)<h()，在(0，＋∞)不是单调递增，
错误．故选BC.
答案：BC
10．解析：对A, ∵f(x)＝x2＋2x－3与g(s)＝s2＋2s－3定义域都为R，且对应法则一
样，∴f(x)＝x2＋2x－3与g(s)＝s2＋2s－3为同一函数；
对B，由－x3≥0得：x≤0，∴f(x)＝的定义域为{x|x≤0}，且f(x)＝＝＝＝－x，同理：
g(x)＝x的定义域为{x|x≤0}，两函数的定义域一样，对应法则不一样，∴f(x)＝与g(x)＝
x不是同一函数；
对C，f(x)＝与g(x)＝的定义域都为{x|x≠0}，且＝，两函数的定义域一样和对应法则
一样，∴f(x)＝与g(x)＝是同一函数；
对D，f(x)＝与g(x)定义域和对应法则都相同，为同一函数．故选ACD.
答案：ACD
11．解析：对A，f(x)是奇函数，故图象关于原点对称，将f(x)的图象向右平移1个单
位得f(x－1)的图象，故f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，故A正确；
对B，若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是一个周期为2
的周期函数，不能说明其图象关于直线x＝1对称，故B错误；
对C，若函数f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(x)的图象关于y轴对称，故为
偶函数，故C正确；
对D，由f(x＋1)＋f(x－1)＝2得f(1)＋f(－1)＝2，f(2)＋f(0)＝2，f(3)＋f(1)＝
2，f(4)＋f(2)＝2，…，f(x)的图象不关于(1，1)对称，故D错误. 故选AC.
答案：AC
12．解析：对于A，f(x)＝＝＝－1＋，由于≠0，所以f(x)≠－1，所以|f(x)|∈[0，
＋∞)，故不存在正数M，使得|f(x)|≤M成立．
对于B，令u＝1－x2，则u∈[0，1]，f(x)＝，所以f(x)∈[0，1]，故存在正数1，使
得|f(x)|≤1成立．
对于C，令u＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，则f(x)＝，易得u≥1.所以0<y≤＝5，即
f(x)∈(0，5]，故存在正数5，使得|f(x)|≤5成立．
对于 D，令t＝，则t∈[0，2]，|x|＝4－t2，则f(x)＝－t2＋t＋4＝－(t－)2＋(t∈[0，2])，易得2≤f(x)≤，所以|f(x)|∈[2，]，故存在正数，使得|f(x)|≤成立．故
选BCD.
答案：BCD
13．解析：令＋1＝t(t≥1) x＝(t－1)2(t≥1)，
于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1) f(x)＝x2－2x(x≥1).
答案：x2－2x(x≥1) ⇒
14．解析：依题意可得f(2)＝3，f(8)＝－⇒3，
又f(x)是奇函数，所以2f(－8)＋f(－2)＝－2f(8)－f(2)＝3.
答案：3
15．解析：由题意，
0≤x<300时，y＝300x－x2－100x－10 000＝－(x－200)2＋10 000，
∴x＝200时，y ＝10 000；
max
x≥300时，y＝45 000－100x－10 000＝35 000－100x≤5 000，
∴x＝200天时，总利润最大为10 000元．
答案：200
16．解析：(1)m＝1时，f(x)＝，由f(x)－3>0得⇒⇒x无解，或⇒x>2.
故所求解集为(2，＋∞)；
(2)f(x)是定义在R上的增函数等价于g(x)＝－x2＋3mx，x≤1单调递增，h(x)＝xm＋
1，x>1单调递增，且g(1)≤h(1)，
则有⇒≤m≤1，故实数m的取值范围为[，1].
答案：(1)(2，＋∞) (2)[，1]
17．解析：(1)设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2＋2x，∴f(x)＝－x2－2x，
∴f(x)＝.
(2)图象如图所示：
由图可知f(x)的单调区间有(－∞，－1)，(－1，1)，(1，＋∞)，
单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1).
18．解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴f(x)在[－4，2]上单凋递减，在[2，6]上单调递增，
∴f(x) ＝f(2)＝－1，f(x) ＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.
min max
(2)f(x)＝x2＋2ax＋3＝(x＋a)2＋3－a2，
∴要使f(x)在[－4，6]上为单调函数，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6.
∴实数a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞).
19．解析：(1)证明：∀x
1
，x
2
∈(0，2]，且x
1
<x
2
，
则f(x)－f(x)＝－
1 2
＝(x－x)＋(－)＝(x－x)＋
1 2 1 2
＝(x－x)(1－)＝(x－x).
1 2 1 2
因为0<x<x≤2，所以xx<4，则(x－x)>0，即f(x)>f(x)，
1 2 1 2 1 2 1 2所以f(x)在区间(0，2]上单调递减．
(2)由(1)可知，f(x)在[a，1]上单调递减且0<a<1，
所以f(1)＝5＝b，f(a)＝＝，
解得a＝或a＝12(舍去)，
所以a＝，b＝5.
20．解析：(1)因为函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
即＝－，可得b＝0，则f(x)＝，
所以f()＝＝a＝，则a＝1，因此，f(x)＝.
(2)证明：函数f(x)在(－1，1)上是增函数，证明如下：
任取x、x∈(－1，1)且x<x，则f(x)－f(x)＝－＝
1 2 1 2 1 2
＝＝，
因为－1<x<x<1，则x－x<0，－1<xx<1，故f(x)－f(x)<0，即f(x)<f(x).
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
因此，函数f(x)在(－1，1)上是增函数．
21．解析：(1)当0<x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，
当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360，
∴W＝.
(2)①当0<x≤40时，W＝－6x2＋384x－40＝－6(x－32)2＋6 104，
∴当x＝32时，W ＝W(32)＝6 104，
max
②当x>40时，
W＝－－16x＋7 360＝－(＋16x)＋7 360≤－2＋7 360＝5 760，
当且仅当＝16x，即x＝50时，等号成立，
即当x＝50时，W ＝5 760<6 104，
max
综上所述，当x＝32时，W取得最大值为6 104万美元，
即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6
104万美元．
22．解析：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝2f(0)＋2，即f(0)＝－2.
令x＝1，y＝－1，得f(0)＝f(1)＋f(－1)＋2，即f(－1)＝f(0)－f(1)－2＝2.
(2)函数f(x)是减函数，证明如下：
x，x∈R，当x<x时，x－x>0，则f(x－x)<－2，
1 2 1 2 2 1 2 1
f(x)＝f[x＋(x－x)]＝f(x)＋f(x－x)＋2<f(x)，即f(x)>f(x)，
2 1 2 1 1 2 1 1 1 2
∀
所以函数f(x)是减函数．
(3)f(－1)＝2，所以f(x2)>f(x＋)＋f(－1)＋2，即f(x2)>f(x＋)，
因为函数f(x)是减函数，不等式可化为x2<x＋，
所以x2－x－<0，解得－<x<，不等式的解集为(－，).
第四章 单元素养水平监测
1．解析：由题意得，解得1≤x<4，
所以函数的定义域为{x|1≤x<4}．故选D.
答案：D
2．解析：由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，
数据散点图和对数函数v＝logt的图象类似，所以选项D最能反映t，v之间的函数关
2
系．故选D.
答案：D3．解析：由题意知ab<0,
a ＋b ＝a＋b＝a＋b＝a＋b，
由于ab<0，故＝－，则原式＝0.故选B.
答案：B
4．解析：因为f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1>0，f(2)<0，
所以f(x)的零点所在区间为(1，2).故选A.
答案：A
5．解析：∵0<0.32<0.30＝1，30.3>30＝1，
∴0<c<1<b，
∵log 2<log 1＝0，∴a<0，
0.3 0.3
∴a<c<b.故选A.
答案：A
6．解析：由已知得f(x)的定义域为R且是奇函数，
∴f(0)＝a＋＝a＋1＝0，
解得a＝－1，
检验：当a＝－1时，f(x)＝－1＋＝，
f(－x)＝＝＝－f(x)，
故a＝－1.故选B.
答案：B
7．解析：函数f(x)＝log(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，可以排除选
2
项B、C；
由f(－x)＝log(|－x|－1)＝log(|x|－1)＝f(x)，
2 2
可知函数f(x)为偶函数，其图象应关于y轴对称，可以排除选项D.故选A.
答案：A
8．解析：根据题中所给函数模型，代入有关数据，以2022年的数量为初始值，
所以有x(10)＝
≈＝≈77，
所以预计2032年底该水域的鱼类数量约为77万条．
故选C.
答案：C
9．解析：因为f(1)＝13－2×1＋1＝0，所以x＝1是f(x)的一个零点，A不正确；
因为f(－2)＝(－2)3－2×(－2)＋1＝－3<0，f(－1)＝(－1)3－2×(－1)＋1＝2>0，
所以f(x)在区间(－2，－1)内存在零点，B正确；
令f(x)＝0，得x3－x2＋x2－2x＋1＝(x－1)(x2＋x－1)＝0，
因为方程x2＋x－1＝0的判别式Δ>0，且1不是x2＋x－1＝0的根，
所以f(x)有3个零点，C正确；
由零点的定义可知D不正确．故选BC.
答案：BC
10．解析：由题设a>b>0，则<，A错误；3a－b>30＝1，D正确；
由()a<()b<()b，B正确；由于a－b与1的大小未知，C错误．故选BD.
答案：BD
11．解析：A：图①中A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，正确；
B：图①中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，正确；
C：图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，错误；
D：图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，正确．
故选ABD.
答案：ABD
12．解析：对于A，当a＝0时，函数f(x)＝，当x≤0时，f(x)＝()x为减函数，当x>0
时，f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(0，1)，故A正确；
对于B，当x≤a时，f(x)＝()x为减函数，所以不论a为何值，当x趋近于负无穷时，
f(x)趋近于正无穷，即f(x)没有最大值；当x>a时，f(x)＝－x2＋2x＋1的图象是开口向下的抛物线的一部分，所以不论a为何值，当x趋近于正无穷时，f(x)趋近于负无穷，即f(x)
没有最小值；故B正确；
对于C，当x≤a时，函数f(x)＝()x的图象与x轴没有交点，
当x>a时，由－x2＋2x＋1＝0得x＝1＋或x＝1－，所以当a≥1＋时，函数f(x)＝－x2
＋2x＋1＝0(x>1＋)的图象与x轴没有交点，故C不正确；
对于D，当a≥1＋时，函数f(x)＝()x在(－∞，a]上为减函数，函数f(x)＝－x2＋2x＋
1在(a，＋∞)上为减函数，且()a>0，－a2＋2a＋1＝－(a－1)2＋2≤0，()a>－a2＋2a＋1，
所以此时函数f(x)为R上的减函数，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
13．解析：由题知，将点(－1，5)代入f(x)＝()ax中有：
()－a＝5，解得：a＝1.
答案：1
14．解析：由分段函数可知，f()＝log＝－4，f(－4)＝3－4＝，即f(f())＝.
2
答案：
15．解析：当a>1时，f(x)在[0，1]单调递增，可得a＋1＝3，即a＝2；
当0<a<1时，f(x)在[0，1]单调递减，可得a＋1＝3，即a＝2，舍去；
所以y＝log(－x2＋2x＋3)即y＝log(－x2＋2x＋3)(－1<x<3)，
a 2
设t＝－x2＋2x＋3，(－1<x<3)，则y＝logt.
2
因为y＝logt在(0，＋∞)单调递增，
2
所以要求函数y＝log(－x2＋2x＋3)的单调递减区间，
a
只需求t＝－x2＋2x＋3(－1<x<3)的减区间．
而t＝－x2＋2x＋3(－1<x<3)的减区间为(1，3).
答案：(1，3)
16．解析：由题，当x≥0时，f(x)＝2x，当x<0时，y＝－x2－2x＋1为二次函数，对
称轴为x＝－1，且过(0，1)开口向下．故画出图象有
故函数f(x)有1个零点．
又y＝f(x)与y＝m有三个不同的交点则由图象有y＝－x2－2x＋1最大值为
＝2.故m∈(1，2).
答案：1 (1，2)
17．解析：(1)eln 3＋2lg ＋lg 15＋lg ＝3＋lg 2＋lg 15＋lg ＝3＋lg (2×15×)＝
4.
(2)80.25×＋(×)6＋π0＝20.75×20.25＋()6×()6＋1＝2＋8×9＋1＝75.
18．解析：(1)画出函数f(x)的图象，如图所示：
(2)由图象得：
f(x)的单调增区间是(－∞，0)，(0，＋∞)；无单调递减区间．
(3)若函数y＝f(x)－m有两个零点，
则y＝f(x)与y＝m有2个交点，结合图象得1<m≤2.
19．解析：(1)令x＝2，则f(2)＝log1＋2＝2，所以P的坐标为(2，2).
a(2)对直线y＝－x＋8，当x＝2时，y＝6，当x＝4时，y＝4.
当a>1时，f(x)在[2，4]上单调递增，则f(4)＝log3＋2<4，得a>.
a
当0<a<1时，f(x)在[2，4]上单调递减，f(2)＝2<4恒成立．
故a的取值范围为(0，1)∪(，＋∞).
20．解析：(1)因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，)，
所以a2＝，所以a＝，所以f(x)＝()x，
所以f(x)在[－1，1]上为减函数，
所以f(x)的最小值为f(1)＝，最大值为f(－1)＝2，
所以f(x)的值域为[，2].
(2)因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
所以f(x2－x)>1即为ax2－x>1，所以ax2－x>a0，
当a>1时，所以f(x)在区间R上单调递增，
则x2－x>0，解得x<0或x>1；
当0<a<1时，
所以f(x)在区间R上单调递减，
则得x2－x<0，解得0<x<1，
综上可得当a>1时，x的范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)；
当0<a<1时，x的范围是(0，1).
21．解析：(1)2030年即间隔年份为20年，
该地区的人口数量P＝
20
＝≈101.351，
该地区2030年的人口数量大约为101.351万．
(2)由表可知2020年的人口数量为92.076万，
又由(1)知2030年的人口数量大约为101.351万，
则有92.076×(1＋a)10＝101.351，即(1＋a)10＝，
解得a＝()－1≈0.010，
所以该地区2020年到2030年的年平均增长率a大约为0.010.
22．解析：(1)证明：因为a>b>0，
所以f(a)＋f(b)＝loga＋logb＝logab，f()＝log，
2 2 2 2
由基本不等式，当a≠b时，<，
即＝log<log，
2 2
即<f().
(2)(ⅰ)依题意得，当x>0时，g(x)＝log(x＋2)－1，
2
因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(0)＝0，代入上式成立，
即当x≥0时，g(x)＝log(x＋2)－1，
2
设x<0，则－x>0，所以g(x)＝－g(－x)＝1－log(2－x)，
2
所以g(x)＝；
(ⅱ)方程2g(x)－x＝0的根转化成曲线y＝g(x)与直线y＝x的交点的横坐标，
当x≥0时，y＝g(x)与y＝x交于点(0，0)和点(2，1)，
由(1)知y＝g(x)的图象总是向上凸的，所以除(2，1)外不会有其它交点，
同理，当x<0时，根据对称性，两个图象还有一个交点(－2，－1)，
所以方程2g(x)－x＝0有三个根－2，0，2.第五章 单元素养水平监测
1．解析：与角－420°终边相同的角为α＝－420°＋k·360°，k∈Z，
当k＝2时，α取最小正角，为－420°＋2×360°＝300°.故选C.
答案：C
2．解析：由三角函数的定义可得：
cos α＝＝，(x>0)，
解得x＝2.故选A.
答案：A
3．解析：设扇形的半径为r，圆心角为α，
则，解得r＝2，α＝.故选B.
答案：B
4．解析：y＝tan 2x的最小正周期为，故A错误；
y＝tan (x＋)为非奇非偶函数，故B错误；
y＝cos (2x＋)＝sin 2x，易知为奇函数，且最小正周期为＝π，故C正确；
y＝sin (2x＋)＝cos 2x为偶函数，故D错误．故选C.
答案：C
5．解析：a＝cos ＝cos (－2π)＝cos (－)＝cos ＝sin ，
b＝sin ＝sin (2π＋)＝sin ＝sin ，
因为y＝sin x在(0，)为增函数，所以sin <sin ，
又c＝tan ＝tan (6π＋)＝tan ＝，
所以b<a<1<c.故选C.
答案：C
6．解析：
＝
＝
＝＝3.故选C.
答案：C
7．解析：依题意有＝2×(－)＝π，得ω＝2，
又f()＝A sin (2×＋φ)＝0，所以2×＋φ＝kπ，k∈Z，且0<φ<，得φ＝，
又f(0)＝A sin ＝1，得A＝2，
所以f(x)＝2sin (2x＋)，
所以g(x)＝f(x＋)＝2sin [2(x＋)＋]＝2cos 2x.故选A.
答案：A
8．解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin (ωx＋)，
由ωx＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
取k＝0，得x＝，取k＝1，得x＝，
由<<，得1<ω<2，此时T＝>π，
由<<，得4<ω<8，此时T＝<π，不合题意，
依次当k取其它整数时，不合题意，所以ω的取值范围为(1，2).故选D.
答案：D
9．解析：对于A，因为锐角α∈(0，)，钝角α∈(，π)，因此钝角大于锐角，A正
1 2
确；
对于B，时间经过两个小时，时针转了－60°，B不正确；
对于C，当三角形的一个内角为时，该角不是第一象限角，也不是第二象限角，C不正
确；
对于D，因为α是第三象限角，即2kπ－π<α<2kπ－，k∈Z，则kπ－<<kπ－，
k∈Z，
当k为奇数时，是第二象限角，当k为偶数时，是第四象限角，D正确．故选AD.答案：AD
10．解析：sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，A正确；
2sin222.5°－1＝－cos45°＝－，B错误；
sin 26°cos 34°＋cos 26°sin 34°＝sin (26°＋34°)＝sin 60°＝，C正确；
＝tan (71°－26°)＝tan 45°＝1，D正确．故选ACD.
答案：ACD
11．解析：sin (＋α)＝sin [π＋(＋α)]＝－sin (＋α)，A错误；
sin (－α)＝sin [－(＋α)]＝cos (＋α)，B正确；
cos (－＋α)＝cos (－π＋＋α)＝－cos (＋α)，C错误；
cos (－α)＝cos [2π－(＋α)]＝cos (＋α)，D正确．
故选BD.
答案：BD
12．解析：因为f(x＋π)＝sin (x＋π)＋cos (x＋π)＋|sin (x＋π)－cos (x＋
π)|＝－sin x－cos x＋|sin x－cos x|≠f(x)，故A错误；
因为f(－x)＝－sin x＋cos x＋|－sin x－cos x|≠f(x)，故函数f(x)不是偶函数，
图象不关于y轴对称，故B正确；
当x∈[，]时，sin x≥cos x，则f(x)＝2sin x，
当x∈[，]时，sin x≤cos x，则f(x)＝2cos x，
而f(x)＝f(x＋2π)，故函数f(x)的最小正周期为2π；作出函数f(x)的大致图象如图
所示，
观察可知，C，D均正确．故选BCD.
答案：BCD
13．解析：由于cos (α－)＝－，所以α－＝2kπ＋或α－＝2kπ－，
1 2
所以α＝2kπ＋π或α＝2kπ－，其中k，k∈Z，
1 2 1 2
由于α∈[－3π，3π]，所以一个满足条件的α的值为π.
答案：π(答案不唯一)
14．解析：tan (α＋)＝2，
则tan (α＋)＝tan [(α＋)－]
＝＝＝.
答案：
15．解析：由tan α＝2tan β得，＝，则sin αcos β＝2cos αsin β ①，
由sin (α＋β)＝得，sin αcos β＋cos αsin β＝ ②，
联立①②解得，
∴sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝.
答案：
16．解析：根据条件可知g(x)＝sin [2(x－)＋]＝sin (2x－)，令2kπ－≤2x－≤2kπ
＋，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，令k＝0，1，得单调递增区间为[－，]，[，]，结合条
件可知，解得≤a≤.
答案：sin (2x－) [，]
17．解析：(1)由题知，角α的终边经过点P(2cos ，3sin )，即P(－1，3)，
所以sin α＝＝，
cos α＝＝－，
所以tan (π＋α)＝tan α＝＝＝－3.
综上：tan (π＋α)＝－3.
(2)由(1)得，sin α＝，cos α＝－，
所以原式2sin2α＋3sinαcos α－cos2α＝2()2－3××－(－)2
＝.
18．解析：(1)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋⇒kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z).
(2)由x∈[－，]，可得－≤2x＋≤，
从而sin(2x＋)∈[－，1]，所以2sin (2x＋)＋1∈[0，3].
所以f(x)的值域为[0，3].
19．解析：(1)f(x)＝2sin x cos x＋1－2sin2x，
＝sin2x＋cos 2x，
＝sin (2x＋)，
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，
所以f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
(2)由f(α)＝sin (2α＋)＝，
得sin (2α＋)＝，
因为α∈[，]，所以2α＋∈[，]，
则cos (2α＋)＝－，
所以cos 2α＝cos [(2α＋)－]，
＝cos (2α＋)cos ＋sin (2α＋)sin ，
＝－×＋×＝－.
20．解析：(1)f(x)＝2cos x(sin x cos ＋cos x sin )－1
＝2cos x sin x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos 2x＝sin (2x＋)，∴f(x) ＝，最小正周期
max
T＝π.
(2)∵f(x)＝sin (2x＋)≥1，∴sin (2x＋)≥，
∴2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴使f(x)≥1成立的x的取值集合为{x|kπ≤x≤kπ＋，k∈Z}．
21．解析：(1)因f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，则周期T＝＝2π，解
得ω＝1，
又f()＝2sin (＋φ)＝，即sin (＋φ)＝，而0<φ<，即<φ＋<，则φ＋＝，即φ
＝，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin (x＋).
(2)依题意，g(x)＝f(x)＝2sin (x＋)，
当0≤x≤π时，≤x＋≤，而函数y＝sin x在[，]上递增，在[，]上递减，
由≤x＋≤得0≤x≤，由≤x＋≤得≤x≤π，
因此，函数g(x)在[0，]上单调递增，函数值从增到2，在[，π]上单调递减，函数值
从2减到1，
又x＝是g(x)图象的一条对称轴，直线y＝m与函数y＝g(x)在[0，π]上的图象有两个
公共点，当且仅当≤m<2，如图，
于是得方程g(x)－m＝0在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解时，当且仅当≤m<2，
所以实数m的取值范围为≤m<2.
22．解析：(1)因为摩天轮转一圈的时间是28 min，即周期T＝28，所以角速度ω＝
＝，不妨以摩天轮在地面上的投影所在直线为x轴，过摩天轮的中心且垂直x轴的直线为y
轴建立直角坐标系，
又因为摩天轮离地面最近为128－114＝14(米)，摩天轮半径为114÷2＝57(米)，即摩
天轮中心离地面的距离71米，所以H(t)＝57sin (t－)＋71＝71－57cos (t).
(2)由(1)知甲出发t分钟后离地面的高度H(t)＝71－57cos (t)，
1
当t≥时，乙离地面的高度为H(t)＝71－57cos [(t－)]，
2
设两人的高度差第一次达到最大时的时间为t，
0
则h＝H(t)－H(t)＝57cos [(t－)]－57cos (t)
1 0 2 0 0 0
＝57cos (t－)－57cos (t)＝57[sin (t)－cos (t)]
0 0 0 0
＝57sin (t－)≤57，
0
当且仅当t－＝，即t＝时取等号，
0 0
所以t＝(min)时两人高度第一次达到最大，为57米．
0
期末 单元素养水平监测
1．解析：方法一 因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－
2}，故选C.
方法二 由于1∈/N，所以1∈/M∩N，排除A，B；由于2∈/N，所以2∈/M∩N，排除
D.故选C.
答案：C
2．解析：因为幂函数f(x)＝xα(α是常数)的图象经过点(2，4)，
所以2α＝4，解得α＝2，
所以f(x)＝x2，
所以f(－2)＝(－2)2＝4.故选A.
答案：A
3．解析：因为a＝50.7>50＝1，所以a>1；
因为<2<π，所以0<sin 2<1；
因为c＝log0.2<log1＝0，所以c<0.
6 6
所以a>b>c.故选A.
答案：A
4．解析：因为函数f(x)＝2x＋x－5的图象连续不断，
且f(－1)＝2－1－1－5＝－<0，f(0)＝1＋0－5＝－4<0，
f(1)＝2＋1－5＝－2<0，f(2)＝22＋2－5＝1>0，f(3)＝23＋3－5＝6>0，
所以函数f(x)的零点所在区间是(1，2).故选C.
答案：C
5．解析：由函数是(－∞，＋∞)上的减函数可得解得0<a≤2.故选D.
答案：D
6．解析：因为2a＋5b＝10≥2，所以ab≤，当且仅当a＝，b＝1时，等号成立．
所以ab的最大值为.故选D.
答案：D
7．解析：由于函数y＝lg (x＋1)的图象可由函数y＝lg x的图象左移一个单位而得到，
函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1，0)，
故函数y＝lg (x＋1)的图象与x轴的交点是(0，0)，即函数y＝|lg (x＋1)|的图象与x
轴的公共点是(0，0)，显然四个选项只有A选项满足．故选A.
答案：A
8．解析：由题意a－1＋2a＝0，a＝，f(x)的定义域[－，]，x∈[0，]时，f(x)递减，
又f(x)是偶函数，因此不等式f(x－1)>f(2x－3a)转化为f(|x－1|)>f(|2x－1|)，
|x－1|<|2x－1|≤，(x－1)2<(2x－1)2≤，解得<x≤.故选D.
答案：D9．解析：函数f(x)＝x2－mx＋1的对称轴为x＝，
若函数f(x)＝x2－mx＋1在区间[3，8]上单调，则≤3或≥8，解得m≤6或m≥16.故选
ACD.
答案：ACD
10．解析：对于A：根据象限角的范围，－为第二象限角，故A正确；
对于B：因为函数y＝sin x的最小正周期是2π，
所以函数f(x)＝|sin x|的最小正周期是π，故B正确；
对于C：若tan α＝3，则＝＝2，故C错误；
对于D：若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的半径为6，所以扇形的面积为S＝
·π·6＝3π，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝4x－x2，
当x<0，－x>0，故f(x)＝f(－x)＝[－4x－(－x)2]＝－4x－x2，
画出f(x)的图象如下：
A：两个单调递增区间中间要用和或逗号分开，故A错误；
B：f(－π)＝f(π)，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则f(－π)＝f(π)>f(5)，故B错
误；
C：当x≥0时，f(x)＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，f(x)最大值为4，又因为f(x)是偶函数，
故C正确；
D：f(x)>0的解集为(－4，0)∪(0，4)，故D错误．故选ABD.
答案：ABD
12．解析：函数f(x)的最小正周期为T＝＝2π，A对；
由－≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠2kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋，k∈Z}，B错；
由－＝(k∈Z)，解得x＝kπ＋(k∈Z)，所以，函数f(x)图象的对称中心为(kπ＋，0)
(k∈Z)，C对；
当0<x<π时，－<－<，故函数f(x)在区间(0，π)上单调递增，D对．
答案：ACD
13．解析：因为f(x)＝3sin (ωx＋)，
所以T＝＝π，解得ω＝±2.
答案：±2
14．解析：因为x－a≤0，即x≤a，由于“－1<x<1”是“x－a≤0”的充分不必要条件，
则－1<x<1 x≤a，但－1<x<1不能推出x≤a，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
15．解⇒析：由诱导公式可知cos (＋α)＝sin α＝.
答案：
16．解析：由题意得函数y＝要有意义，
需满足 ，即，解得<x≤1 ，
即函数y＝的定义域是(，1].
答案：(，1]
17．解析：(1)(2)－(－0.96)0－()＋()－2
＝()－1－()＋()－2
＝－1－＋＝.
(2)log27＋lg 25＋lg 4＋eln 2
3
＝log33＋lg (25×4)＋2
3＝3＋lg 100＋2＝3＋2＋2＝7.
18．解析：(1)因为α是第二象限角，则cos α＝－＝－，
所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝，tanα＝＝×(－)＝－.
(2)＝＝＝.
19．解析：(1)因为f(x)＝sin (2x＋)＋＋1，
令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，可得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
(2)当0≤x≤π时，则≤2x＋≤，
由≤2x＋≤，可得0≤x≤；由≤2x＋≤，可得≤x≤；
由≤2x＋≤，可得≤x≤π；
所以函数f(x)在[0，π]上的增区间为[0，]，[，π]，减区间为[，]，
因为≤2x＋≤，则sin (2x＋)∈[－1，1]，可得f(x)∈[，2＋]，
故函数f(x)在[0，π]上的最大值为2＋，最小值为.
20．解析：(1)当f(x)＝11，即4x－2x＋1＋3＝11时，(2x)2－2·2x－8＝0，
∴(2x－4)(2x＋2)＝0，
∵2x＋2>0，
∴2x－4＝0，2x＝4，故x＝2.
(2)令t＝2x，t∈[，2]，
∴原函数即可化为y＝t2－2t＋3＝(t－1)2＋2，
当t＝1，即x＝0时，函数的最小值f(x) ＝2，
min
当t＝2，即x＝1时，函数的最大值f(x) ＝3，
max
即函数的最大值和最小值分别为3和2.
21．解析：(1)根据题意，函数f(x)＝log(2＋3x)－log(2－3x)，
a a
则有，解可得－<x<，
即函数的定义域为(－，).
(2)根据题意，函数f(x)为奇函数，
证明如下：
函数f(x)的定义域为(－，)，定义域关于原点对称，
f(－x)＝log(2－3x)－log(2＋3x)＝－f(x)，
a a
则函数f(x)为奇函数．
(3)f(x)≥0即log(2＋3x)≥log(2－3x)，
a a
又由0<a<1，则函数y＝logx为减函数，
a
则有0<2＋3x≤2－3x，解可得－<x≤0，
即f(x)≥0的解集为(－，0].
22．解析：(1)函数y＝f(x)为奇函数，证明如下：
f(x)＝的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，
f(－x)＝＝＝＝－f(x)，
∴y＝f(x)为奇函数．
(2)证明：任取x，x∈R，且x<x，
1 2 1 2
f(x)＝＝＝1－，
∴f(x)－f(x)<0，即f(x)<f(x)，
1 2 1 2
∴函数y＝f(x)在R上是增函数．(3)∵y＝f(x)在R上是奇函数且是增函数，
所以f(1－t)＋f(1－t2)<0 f(1－t)<－f(1－t2)＝f(t2－1) 1－t<t2－1 t2＋t－
2>0 (t＋2)(t－1)>0，解得t>1或t<－2，
⇔ ⇔ ⇔
所以t的取值范围是t>1或t<－2.
⇔