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§2.1 函数的概念及其表示
考试要求 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根
据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，
并能简单应用．
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意
一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合
B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相
对应的y值叫做函数值，函数值的集合 { f ( x ) | x ∈ A } 叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这
种函数称为分段函数．
(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数
的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
微思考
1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有多少个交点？
提示 0个或1个．
2．函数定义中，非空数集A，B与函数的定义域、值域有什么关系？提示 函数的定义域即为集合A，值域为集合B的子集．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数．( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )
(3)y＝＋是一个函数．( × )
(4)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．( × )
题组二 教材改编
2．函数f(x)＝＋的定义域为________．
答案 [0,2)∪(2，＋∞)
解析 依题意
解得x≥0且x≠2，
∴原函数的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝则f(2)＝________.
答案 2
解析 f(2)＝f(1)＝21＝2.
4．函数f(x)＝x－在区间[2,4]上的值域为________．
答案
解析 f(x)＝x－在区间[2,4]上单调递增，
又f(2)＝，
f(4)＝，
故f(x)的值域为.
题组三 易错自纠
5．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象
是( )答案 C
解析 A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数
的定义可知选项C正确．
6．已知f()＝x＋－1，则f(x)＝________.
答案 x2＋x－1，x≥0
解析 令t＝，则t≥0，x＝t2，
∴f(t)＝t2＋t－1(t≥0)，
∴f(x)＝x2＋x－1，x≥0.
第 1 课时 函数的概念及其表示
题型一 函数的概念
1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是( )
答案 C
2．(多选)下列各组函数相等的是( )
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x
答案 AC3．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是
________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
答案 ③
解析 ③中，f：x→y＝x，x∈[0,4]时，y＝x∈ Q，故不满足函数的定义．
思维升华 (1)函数的定义要求第一个非空数集⊈A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有
且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A
中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
题型二 求函数的解析式
例1 求下列函数的解析式：
(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
解 (1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，
则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．
即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．
(2)(配凑法)∵f ＝x2＋＝2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，
可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以 x替代
g(x)，便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(4)方程思想：已知关于f(x)与f 或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等
式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
跟踪训练1 (1)若f ＝，则f(x)＝________.
答案 (x≠0且x≠1)
解析 f(x)＝＝(x≠0且x≠1)．
(2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程 f(x)＝0有两个相等实根，且 f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝
________.
答案 x2＋2x＋1
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，
∴2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋c，又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根．
∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)已知f(x)满足f(x)－2f ＝2x，则f(x)＝________.
答案 －－
解析 ∵f(x)－2f ＝2x，①
以代替①中的x，得f －2f(x)＝，②
①＋②×2得－3f(x)＝2x＋，
∴f(x)＝－－.
题型三 分段函数
命题点1 求分段函数的函数值
例2 已知f(x)＝则f ＋f 的值为( )
A. B．－ C．－1 D．1
答案 D
解析 f ＝f ＋1＝f ＋1＝cos ＋1＝，
f ＝cos＝cos ＝－，
∴f ＋f ＝－＝1.
命题点2 分段函数与方程、不等式问题
例3 (1)(2021·长春模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3答案 A
解析 ∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，
当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，
当a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，
综上有a＝－3.
(2)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为( )
A．(－∞，2] B．(－∞，0]∪(1,2]
C．[0,2] D．(－∞，0]∪[1,2]
答案 D
解析 ∵当x≥1时，log x≤1，∴1≤x≤2.
2
当x<1时，≤1，解得x≤0，
∴f(x)≤1的解集为(－∞，0]∪[1,2]．
思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路
①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，
切记要代入检验．
(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
跟踪训练2 (1)(2021·河北冀州一中模拟)设f(x)＝则f(f(－1))＝________，f(x)的最小值是
________．
答案 0 2－3
解析 ∵f(－1)＝2，
∴f(f(－1))＝f(2)＝2＋－3＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，
当且仅当x＝时取等号，f(x) ＝2－3，
min
当x<1时，f(x)＝x2＋1≥1，x＝0时取等号，
∴f(x) ＝1，
min
综上有f(x)的最小值为2－3.
(2)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f >1的x的取值范围是________．
答案
解析 当x>时，2x＋ >1恒成立，∴x>，
当01，
即2x＋x>恒成立，
∴01，解得－0时，每一个x对应2个y，图象②中x 对应2个y，所以
0
①②均不是函数图象；图象③④是函数图象．
2．已知函数f(x)＝则f(f(8))等于( )
A．－1 B．－ C. D．2
答案 C
解析 ∵f(8)＝1－log 8＝1－3＝－2，
2
∴f(f(8))＝f(－2)＝2－2＋1＝.
3．设函数f ＝x，则f(x)的表达式为( )
A.(x≠－1) B.(x≠－1)
C.(x≠－1) D.(x≠－1)
答案 C
解析 令t＝，则x＝，
∴f(t)＝，
即f(x)＝(x≠－1)．
4.如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，
点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(00，则|log a|＝，解得a＝ 或a＝ .
2
即a＝或a＝.故选ACD.
6．(多选)具有性质：f ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足
“倒负”变换的函数的是( )
A．y＝x－ B．y＝ln
C． D．f(x)＝
答案 AD
解析 对于A，f(x)＝x－，f ＝－x＝－f(x)，满足题意；
对于B，f(x)＝ln，则f ＝ln≠－f(x)，不满足；
对于C，f ＝ ＝ex－1，－f(x)＝ ≠f ，不满足；
对于D，f ＝
即f ＝
则f ＝－f(x)满足“倒负”变换，故选AD.
7．已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝________.
答案 lg 2解析 令x5＝2，则x＝ ，
∴f(2)＝ ＝lg 2.
8．已知函数f(x)＝若f(f(－1))＝3，则b＝______.
答案 3
解析 ∵f(－1)＝b－1，
∴f(b－1)＝3，
当b－1≥1即b≥2时，
2b－1－1＝3，解得b＝3，
当b－1<1即b<2时，b－1＋b＝3，解得b＝2(舍)，
综上有b＝3.
9．已知函数f(x)＝则满足f(a)>1的实数a的取值范围是________．
答案 (－2,0)∪(0，＋∞)
解析 因为f(a)>1，
①解得a>0，
②解得－20.
10．已知函数f(x)满足f ＋f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________，f ＝________.
答案
解析 令x＝2，可得f ＋f(－2)＝4，①
令x＝－，可得f(－2)－2f ＝－1，②
联立①②解得f(－2)＝，f ＝.
11．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求f ，f ，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值．
解 (1)∵>1，
∴f ＝－2×＋8＝5.
∵0<<1，
∴f ＝＋5＝.
∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)这个函数的图象如图．在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数f(x)＝x＋5的图象上截取01的部分．
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫
做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列
关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的
车速x(km/h)的关系图．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度．
解 (1)由题意及函数图象，
得
解得m＝，n＝0，
所以y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，
得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70 km/h.
13．设函数f(x)＝则满足f(x＋1)0，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 当a＝0时，显然不成立．
当a>0时，不等式a[ f(a)－f(－a)]>0等价于a2－2a>0，解得a>2.
当a<0时，不等式a[ f(a)－f(－a)]>0等价于－a2－2a<0，解得a<－2.
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
15．设f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝f(x)，f(x)＝其中a，b为正实数，e为自然对数
的底数，若f ＝f ，则的取值范围为________．
答案 (e，＋∞)
解析 因为f(x＋2)＝f(x)，
所以f ＝f ＝()2f ＝2eb，f ＝f ＝f ＝＝(a－1)，
因为f ＝f ，
所以(a－1)＝2eb，
所以a＝eb＋1，
因为b为正实数，
所以＝＝e＋∈(e，＋∞)，
故的取值范围为(e，＋∞)．
16．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f ，f(3)与f ；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f 有什么关系？证明你的发现；
(3)求f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 021)＋f 的值．
解 (1)由f(x)＝＝1－，
所以f(2)＝1－＝，f ＝1－＝.
f(3)＝1－＝，f ＝1－＝.
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f ＝1.
证明如下：f(x)＋f ＝＋＝＋＝1.(3)由(2)知f(x)＋f ＝1，
∴f(2)＋f ＝1，f(3)＋f ＝1，
f(4)＋f ＝1，…，f(2 021)＋f ＝1.
∴f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 021)＋f ＝2 020.
