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专题22 圆锥曲线与重心问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知 分别为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆E上一动点，G点是三角形 的重心，
则点G的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 是抛物线 上三个动点，且 的重心为抛物线的焦点 ，若 ， 两点均在 轴
上方，则 的斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知点 为双曲线 的虚轴的上顶点， 为双曲线的右焦点，存在斜率为 的直线交双
曲线于点 两点，且 的重心为点 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， 为椭圆上异于长轴端点的动点， ， 分别为
的重心和内心，则 （ ）
A． B． C．2 D．
5．椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，若存在直线 与椭圆交于不同两点 ，
重心为 ，直线 的斜率取值范围是（ ）
A． B． C． D．6．设双曲线 的右焦点为 ， ，若直线 与 的右支交于 两点，且
为 的重心，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知F为抛物线 的焦点，A，B，C为该抛物线上的三点，O为坐标原点， ，
， 面积分别为 ，若F为 的重心，且 ，则该抛物线的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
8．抛物线 的焦点为 ，点 、 、 在 上，且 的重心为 ，则 的取值范围
为
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．椭圆 的左、右焦点分别是 ， 是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），
的重心是 ， 的角平分线交x轴于点 （m，0），下列说法正确的有（ ）
A．G的轨迹是椭圆的一部分 B． 的长度范围是C． 取值范围是 D．
10．已知 为抛物线 上的三个点，焦点F是 的重心．记直线AB，AC，BC的斜
率分别为 ，则（ ）
A．线段BC的中点坐标为
B．直线BC的方程为
C．
D．
11．设双曲线 的右焦点为 ，若直线 与 的右支交于 两点，且
为 的重心，则（ ）
A． 的离心率的取值范围为
B． 的离心率的取值范围为
C．直线 斜率的取值范围为
D．直线 斜率的取值范围为
12．若双曲线 ， 分别为左、右焦点，设点 在双曲线上且在第一象限的动点，点 为
的内心，点 为 的重心，则下列说法正确的是（ ）A．双曲线 的离心率为
B．点 的运动轨迹为双曲线的一部分
C．若 ， ，则 .
D．存在点 ，使得
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知 的顶点 ， ，顶点A在抛物线 上运动，则 的重心G的轨迹方程
为 ．
14．已知抛物线 上三点 满足： 的重心是 ，则直线 的斜率之和
为 ．
15．已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象限上一点，设I，G分别
为 的内心和重心，若IG与y轴平行，则 ．
16．已知抛物线 ，过定点 的动直线 与抛物线 交于 两点， 是坐标平面内
的动点，且 的重心为坐标原点 .若 的最小值为1，则 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线 上的任意一点到 的距离比到x轴的距离大1．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点 的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，
求 重心G的轨迹方程．
18．已知曲线 在 轴上方，它上面的每一点到点 的距离减去到 轴的距离的差都是2.若点分别在该曲线 上，且点 在 轴右侧，点 在 轴左侧， 的重心 在 轴上，直线 交 轴于
点 且满足 ，直线 交 轴于点 .记 的面积分别为
(1)求曲线 方程；
(2)求 的取值范围.
19．已知 ， 为 的两个顶点， 为 的重心，边 ， 上的两条中线长度之和
为6.
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)若直线 与曲线 相交于点 、 ，若线段 的中点是 ，求直线 的方程；
(3)已知点 ， ， ，直线 与曲线 的另一个公共点为 ，直线 与 交于点
，求证：当点 变化时，点 恒在一条定直线上.
20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 的焦点为F，A，B为E上两点，且点A的纵
坐标为 ，F恰好是 的重心.
(1)求E的方程；
(2)若 ，P，Q为抛物线上相异的两个动点，且 ，求 的最小值.21．已知双曲线C： 的渐近线方程为 ，其左右焦点为 ， ，点D为双曲线
上一点，且 的重心G点坐标为 .
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)过x轴上一动点 作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为 （ 与B不重
合），连接 并延长交x轴于点Q，问 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说
明理由.
22．已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线 的焦点，过点F的直线交抛物线于
A，B两点，且 的重心G在曲线 上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)记曲线 与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形
DEMG面积的最小值.
