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10.6 三定问题及最值（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现例题剖析
考点一 定点
【例1】（2022·河南模拟）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 ， ，
上下顶点分别为 ， ，四边形 的面积为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不过点 的直线l交椭圆于P，Q两点，直线 和直线 的斜率之和为2，证明：直线l恒过定
点．
【一隅三反】1．（2022·浙江模拟）如图，已知点A是抛物线 在第一象限上的点，F为抛物线的焦点，
且 垂直于x轴．过A作圆 的两条切线，与抛物线在第四象限分别交于
M，N两点，且直线 的斜率为4．
（1）求抛物线的方程及A点坐标；
（2）问：直线 是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．
2．（2022·西安模拟）已知抛物线 上的点 到其准线的距离为5．不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当 时，求证：直线AB过定点．
3．（2022·朝阳模拟）已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作斜率为 的直线 交椭圆 于另一点 ，过点 作斜率为 的直线 交椭圆
于另一点 ．若 ，求证：直线 经过定点．
考点二 定值【例2】（2022高三上·大理月考）已知椭圆 过点 ，离心率为 ，直线
与椭圆E交于A，B两点，过点B作 ，垂足为C点，直线AC与椭圆E的另一个交
点为D.
（1）求椭圆E的方程；
（2）试问 是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.
【一隅三反】
1．（2022高三上·大同开学考）已知椭圆 的右焦点为F，离心率 ，点F到
左顶点的距离为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知四边形 为椭圆的内接四边形，若边 过坐标原点，对角线交点为右焦点F，设
的斜率分别为 ，试分析 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.2．（2022·雅安模拟）已知椭圆 的右焦点为F，长轴长为4，离心率为 ．过点
的直线 与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值．
3．（2022·河南模拟）已知椭圆 的离心率为 为椭圆 上一点.
（1）求椭圆 的标准方程.
（2）若过点 且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 两点，记直线 的斜率分别为
，试问 是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.考点三 最值
【例3】（2022·陕西模拟）已知抛物线 上有一动点 ，过点 作抛物线
的切线 交 轴于点 ．
（1）判断线段 的中垂线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；
（2）过点 作 的垂线交抛物线 于另一点 ，求 的面积的最小值．
【一隅三反】
1．（2022·焦作模拟）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于点 ，
且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 作抛物线 的两条互相垂直的弦AB， ，设弦AB， 的中点分别为P，Q，求 的
最小值．2．（2022·嵊州模拟）已知直线 和直线 与抛物线 分别相交于A，B
两点（异于坐标原点O），与直线 分别相交于P，Q两点，且 ．
（1）求线段 的中点M的轨迹方程；
（2）求 面积的最小值．
