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专题 8.6 抛物线
目录
题型一： 抛物线的定义...................................................................................................................4
题型二： 抛物线的标准方程...........................................................................................................5
题型三： 抛物线的焦点弦...............................................................................................................7
题型四： 最值问题...........................................................................................................................8
题型五： 抛物线与直线方程...........................................................................................................9
题型六： 弦长、面积问题.............................................................................................................11
知识点总结
知识点一、抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
知识点二、抛物线标准方程和简单几何性质
标准 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
图形
开口 向右 向左 向上 向下
焦点
准线 x＝－ x ＝ y＝－ y ＝x≥0， x ≤0 ， y ≥0 ， y≤0，
范围
y∈R y∈R x∈R x∈R
简单
对称
几何 x轴 y轴
轴
性质
顶点 原点O(0,0)
离心率 e＝1
【常用结论与知识拓展】
1．抛物线焦点弦的性质
直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x，y)，B(x，y)两点，则有：
1 1 2 2
(1)通径的长为2p.
(2)焦点弦长：|AB|＝x＋x＋p(|AF|＝x＋，|BF|＝x＋).
1 2 1 2
(3)xx＝，yy＝－p2.
1 2 1 2
(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
(5)若α为弦AB的倾斜角，则|AF|＝，|BF|＝；|AB|＝.
(6)＋＝；以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
2．抛物线中的最值
P为抛物线y2＝2px(p>0)上的任一点，F为焦点，则有：|PF|≥；焦点弦AB以通径(2p)为最
小值；A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值.
3．抛物线的切线已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，经过焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，
分别过A，B作抛物线C的两条切线l，l，l∩l＝P.则有：(1)l⊥l；(2)P在定直线x＝－上；
1 2 1 2 1 2
(3)PF⊥AB．
4．抛物线中的焦点三角形
如右图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l：y＝kx－(其中k为直线l的斜率)交抛物
线于A，B两点，那么焦点三角形 OAB的面积可以表示为 S ＝(若抛物线方程为 x2＝
△OAB
2py(p>0)，直线l：y＝kx＋，则S ＝)．
△OAB
例题精讲
题型一：抛物线的定义
【要点讲解】以抛物线为背景的点的轨迹问题求解策略：借助题目给出的“几何特征”判
断平面内动点所满足的“几何条件”，根据抛物线定义即可得出结果．与抛物线上一点有
关的距离的最值问题，往往根据抛物线的定义，将到焦点的距离和到准线距离相互转化，
再根据“共线”的几何特征进行求解．
【例1】若点 到点 的距离比它到直线 的距离大1，则点 的轨迹方程为
A． B． C． D．
【变式训练1】已知点 为抛物线 上的点，且点 到抛物线 的焦点 的
距离为3，则 ．【变式训练2】动点 到点 的距离比它到直线 的距离大1，则动点 的
轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
【变式训练3】设抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线 与抛物线相交于 、
两点，若点 恰为线段 的中点，则 ．
【变式训练4】已知曲线 上的任意一点到定点 的距离与到定直线 的距离相等．
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）若曲线 上有两个定点 、 分别在其对称轴的上、下两侧，且 ， ，
求原点 到直线 的距离．
题型二：抛物线的标准方程
【要点讲解】求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口
方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
【例2】准线方程为 的抛物线的标准方程是
A． B． C． D．
【变式训练1】焦点坐标为 的抛物线的标准方程是
A． B． C． D．
【变式训练2】若抛物线 上一点 到其准线的距离为3，则抛物线的
标准方程为
A． B． C． D．
【变式训练3】以坐标轴为对称轴，焦点在直线 上的抛物线的标准方程为
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【例3】中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人
民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶 时，水面宽 ．若水面下降 ，
则水面宽度为A． B． C． D．12
【变式训练1】已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，且过点 ，则此抛物线的标
准方程为 ．
【变式训练2】过点 ，且顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线的标准方程为
．
【例4】经过点 焦点在 轴上的抛物线标准方程．
【变式训练1】分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点 的抛物线的标准方程．
【变式训练2】（1）求准线为 的抛物线标准方程；（2）求中心在原点，焦点在 轴上，渐近线为 ，且实轴长为2的双曲线标准方程．
题型三：抛物线的焦点弦
【要点讲解】在解决抛物线的焦点弦有关的问题时，要注意利用几何图形(特征“直角梯
形”)的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
【例5】若抛物线 的准线经过椭圆 的右焦点，则 的值为
A． B． C．1 D．2
【变式训练1】抛物线 的焦点到准线的距离为
A．4 B．2 C． D．
【变式训练2】已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点．若 ，
则点 的横坐标为
A．12 B．16 C．18 D．19
【例6】已知 为抛物线 上的动点，动点 满足到点 的距离与到点是 的焦点）的距离之比为 ，则 的最小值是
A． B． C． D．4
【变式训练1】设抛物线 的准线与 轴的交点为 ， 为坐标原点，经
过 、 两点的圆 与直线 相切，圆 与抛物线 的另一个交点为 ，若
，则
A．2或 B．2或4 C． 或 D．2或
【变式训练2】直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 ， 两点，线段
中点的纵坐标为1， 为坐标原点，则 到直线 的距离为
A． B． C． D．
【变式训练3】已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 交抛
物线于 ， 两点，若 ，则
A． B． C． D．题型四：最值问题
【例7】抛物线 上有一动点 ，其焦点为 ， ，则 的最小值
为 ．
【变式训练1】已知点 及抛物线 上一动点 ， ，则 的最小
值为 ．
【变式训练2】已知抛物线 的焦点为 ，动点 在 上，圆 的半径为1，过
点 的直线与圆 相切于点 ，则 的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练3】抛物线 的焦点到圆 上点的距离的最小值为
A．0 B．4 C．5 D．6
【变式训练4】已知抛物线 的焦点为 ，点 ，若点 为抛物线任意一点，当
取最小值时，点 的坐标为 ．
【变式训练5】已知 为抛物线 上的动点，点 在 轴上的射影为 ，点 的坐标
是 ，则 的最小值是
A．2 B． C． D．
【变式训练6】已知抛物线 上一点 ， ，点 ，则 的最小值是
A．10 B．8 C．5 D．4
题型五：抛物线与直线方程
【要点讲解】对于开口向上或向下的抛物线的切线问题，常常借助导数的几何意义写出切
线方程，则根据韦达定理等解决问题，常用的解题策略有“变量代换”，“同构法确定直
线”等．所谓“同构法确定直线”即若 A(x ，y)，B(x ，y)分别满足x －2y ＋2＝0，x －
1 1 2 2 1 1 2
2y＋2＝0，则直线AB的方程为x－2y＋2＝0.
2
【例8】已知点 ， 在抛物线 上且位于 轴的两侧， （其中 为坐标原
点），则直线 一定过点
A． B． ， C． D．
【变式训练1】已知抛物线 ，过点 的直线与 交于 ， 两点，线段 的
垂直平分线与 轴的交点为点 ，若 ，则 的面积为
A． B． C． D．
【变式训练2】已知抛物线 的焦点 与椭圆 的右焦点重合．
斜率为 的直线 经过点 ，且与 的交点为 ， ．若 ，则直线 的
斜率为A．1 B． C． D．
【变式训练3】过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，点 是原点，若
，则 的面积为
A． B． C． D．
【例9】已知抛物线 的焦点为 ，直线 过焦点 与 交于 ， 两点，以
为直径的圆与 轴交于 ， 两点，且 ，则直线 的方程为
A． B． C． D．
【变式训练1】已知抛物线 的焦点为 ，直线 过焦点 与 交于 、 两点，
以 为直径的圆与 轴交于 、 两点，且 ，则直线 的方程为
A． B． C． D．
【变式训练2】在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 若 抛 物 线 的 准 线 与 圆
相切于点 ，直线 与抛物线 切于点 ，直线 的方程为
A． B．
C． 或 D． 或题型六：弦长、面积问题
【要点讲解】解决直线与抛物线相交的弦长、面积问题，同直线与椭圆、双曲线位置关系
问题类似，要注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧. 另外，抛物线的几何
性质及导数工具等的应用往往能简化运算. 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否
过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x ＋x ＋p，若不过焦点，则
1 2
必须用一般弦长公式. 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
【例10】已知过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且当 的
斜率为1时， 恰为 中点．
（1）求 的值；
（2）当 经过抛物线 的焦点时，求 的面积．
【变式训练1】已知抛物线 的顶点为坐标原点，准线方程为 ．
（1）求 的方程；
（2）若直线 与 交于 ， 两点，求弦 的长．【变式训练2】已知抛物线 的焦点为 ， 为 上一动点， 为圆
上一动点， 的最小值为 ．
（1）求 的方程；
（2）直线 交 于 ， 两点，交 轴的正半轴于点 ，点 与 关于原点 对称，且
，求证 为定值．
【例11】已知点 是抛物线 上一点，直线 与抛物线 交于 ，
两点（位于对称轴异侧）， 为坐标原点）．（1）求抛物线 的方程；
（2）求证：直线 必过定点．
【变式训练1】已知抛物线 上的点 到其焦点 的距离为2．
（1）求 的方程及焦点 的坐标．
（2）过点 的直线 交抛物线于 ， 两点，且 的面积为8，求直线 的方程．
【变式训练2】抛物线 的焦点为 ，直线 过焦点 与抛物线 交于 ，
两点，当 垂直于 轴时 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）点 ，直线 ， 与抛物线 的交点分别为 ， ；探究直线 是否
过定点，如果过定点，求出该定点：如果不过定点，请说明理由．【例12】已知点 在抛物线 上， 、 为抛物线 上的两个动点，
不垂直于 轴， 为焦点，且 ．
（1）求 的值，并证明 的垂直平分线过定点；
（2）设（1）中的定点为 ，求 面积是否有最大值，若有，求出其最大值，若没有，
请说明理由．
