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专题 8.5 双曲线
目录
题型一： 双曲线的定义...................................................................................................................4
题型二： 双曲线的标准方程...........................................................................................................6
题型三： 双曲线的焦点三角形....................................................................................................10
题型四： 双曲线的渐近线.............................................................................................................11
题型五： 双曲线的离心率.............................................................................................................14
题型六： 直线与双曲线的位置关系............................................................................................25
知识点总结
知识点一、双曲线的定义
(1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小
1 2
于 | F F|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲
1 2
线的焦距．
(2)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程为 y ＝ ± x ，离心
率为e＝.
知识点二、双曲线的标准方程和简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
－＝1 －＝1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)图形
焦点 F ( － c , 0) ， F ( c , 0) F(0，－c)，F(0，c)
1 2 1 2
焦距 |FF|＝2c
1 2
a，b，c
c 2 ＝ a 2 ＋ b 2
的关系
范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
简单几 顶点 (－a,0)，(a,0) (0 ，－ a ) ， (0 ， a )
何性质 轴长 实轴长|AA|＝2a，虚轴长|BB|＝ 2 b
1 2 1 2
渐近线 y＝ ± x y＝ ± x
离心率 e＝，且 e∈ (1 ，＋∞ )
【常用结论与知识拓展】
1．与双曲线定义及标准方程相关结论
(1)在双曲线定义中，当 2a＝|FF|时，点的轨迹为以 F ，F 为端点的两条射线；当 2a>|
1 2 1 2
FF|时，轨迹不存在.
1 2
(2)在已知双曲线上一点与其中一个焦点的距离时，求该点到另一个焦点的距离时，不能简
单套用“||PF|－|PF||＝2a”求解，要先判断该点在双曲线的“哪一支”上，然后进行下一
1 2步运算．
(3)已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线
方程.
(4)双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，
当A·B＜0时为双曲线.
(5)直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直
线与双曲线相交，此时该公共点为“交点”，而不是相切；而当直线与双曲线相切时，直
线与双曲线仅有一个公共点，此时该公共点为“切点”，因此，当直线与双曲线只有一个
公共点时，要注意两种情况的可能性.
(6)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0).
2．与双曲线几何性质相关结论
(1)离心率e＝＝，离心率越大，双曲线“张口”越大、越开阔.
(2)焦点到渐近线的距离为“虚半轴长”.
(3)通径长为.
(4)P为双曲线上一点，则|OP|≥a，|PF|≥c－a，△PFF 的面积为S＝b2·＝(θ＝∠FPF).
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例题精讲
题型一：双曲线的定义
【要点讲解】以双曲线为背景的点的轨迹问题求解策略：借助题目给出的“几何特征”判
断平面内动点所满足的“几何条件”，根据双曲线定义进行对比研究，究竟是“双曲线”
还是“双曲线的一支”．
【例1】已知点 ， ，动点 满足条件 ．则动点 的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：由点 ， ，可得 ，
又由 ，可得 ，
根据双曲线的定义，可得点 的轨迹表示以 ， 为焦点的双曲线的右支，
且 ，可得 ，则 ，
所以点 的轨迹方程为 ．
故选： ．
【变式训练1】动点 与点 与点 满足 ，则点 的轨迹方程
为 ．
【解答】解：由 知，点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线下支，
得 ， ，
，
，
故动点 的轨迹方程是 ．
故答案为： ．
【变式训练2】与圆 及圆 都外切的圆的圆心在
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上【解答】解：圆 的圆心 坐标为 ，半径为2，
圆 可化为 ，圆心 坐标为 ，半径为1，
设所求圆的圆心 ，半径为 ，
由题意可知 ， ，
则 ，
故由双曲线的定义可知在，所求圆的圆心的轨迹为双曲线的一支．
故选： ．
【变式训练3】已知两定点 ， ，曲线 上的点 到 、 的距离之差的绝
对值是8，则曲线 的方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：据双曲线的定义知： 的轨迹是以 ，
为焦点，以实轴长为8的双曲线．
所以 ， ， ，
所以双曲线的方程为：
故选： ．
【变式训练4】已知圆 和圆 ，动圆 同时与圆 及
圆 外切，则动圆的圆心 的轨迹方程为 ．
【解答】解：由圆 和圆 ，得到 ，半径 ， ，半径 ，
设圆 的半径为 ，
圆 与 外切而又与 外切，
， ，
满足双曲线的定义，是双曲线的一支，且 ， ，
，
动圆圆心 的轨迹方程是 ．
故答案为： ．
【变式训练5】已知平面内两定点 ， ，下列条件中满足动点 的轨迹为双
曲线的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 两定点 ， ，
，
由双曲线定义得 ，
四个选项的平面内动点 的轨迹中，是双曲线的是 ．
故选： ．
题型二：双曲线的标准方程
【要点讲解】求双曲线的标准方程一般用待定系数法；当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，这样可以简化运算.
【例2】写出一个离心率为 且焦点在 轴上的双曲线的标准方程 （答案不
唯一） ．
【解答】解：因为双曲线的离心率 ，
所以 ，
即 ，
又 ，
所以 ，
解得 ，
不妨令 ，
所以离心率为 且焦点在 轴上的双曲线的标准方程为 （答案不唯一）；
故答案为： （答案不唯一）．
【变式训练1】已知双曲线 的离心率为 ，且该双曲线的焦点与椭圆
的焦点重合，则这个双曲线的方程是 ．
【解答】解：由题意得 ，解得 ， ， ，
则双曲线方程为 ．
故答案为： ．
【变式训练2】与椭圆 共焦点且过点 的双曲线的标准方程为A． B． C． D．
【解答】解：因为椭圆 的焦点坐标为 ，即 ，所以 ，
记 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以双曲线的标准方程为 ．
故选： ．
【变式训练3】设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为26，若曲线 上的点到
的两个焦点的距离的差的绝对值为8，则曲线 的标准方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意可知椭圆方程中的 ，
根据双曲线的定义可知曲线 为双曲线，其中半焦距为5，实轴长为8
虚轴长为2
双曲线方程为
故选： ．
【变式训练4】已知双曲线 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
【解答】解： 双曲线的方程是 ，
双曲线渐近线为 ．
又 离心率为 ，
，
，
由此可得双曲线渐近线为 ，即：
故答案为： ．
故选： ．
【例3】“ ”是“方程 表示的曲线是双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若曲线 表示双曲线，则 ，解得 或 ．
“ ”能推出“ 或 ”，满足充分性；
“ 或 ”不能推出“ ”，不满足必要性；
故“ ”是“曲线 表示双曲线”的充分不必要条件．
故选： ．
【变式训练1】已知等轴双曲线 经过点 ，则 的标准方程为
A． B． C． D．【解答】解：设双曲线的方程为 ，
代入点 ，得 ，
故所求双曲线的方程为 ，
其标准方程为 ．
故选： ．
【变式训练2】若离心率为 的双曲线与椭圆 的焦点相同，则双曲线的方程是
A． B． C． D．
【解答】解：由题知在椭圆中 ，
焦点坐标为 ， ，
双曲线中，焦点坐标为 ， ， ，
， ， ， ．
故双曲线的方程为 ．
故选： ．
【变式训练3】与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 的双曲线的方程为
A． B． C． D．
【解答】解：设所求双曲线为 ，把点 代入，得 ，
解得 ，
所示的双曲线方程为 ．
故选： ．
【变式训练4】与双曲线 共渐近线，且经过 点的双曲线的标准方程
是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，要求双曲线与双曲线 共渐近线，
设要求的双曲线为 ，
又由双曲线经过点 ，则 ，解可得 ，
则要求双曲线的标准方程为 ．
故选： ．
题型三：双曲线的焦点三角形
【要点讲解】根据双曲线的定义，设|PF|＝m，|PF|＝n，结合∠FPF ＝60°利用余弦定理
1 2 1 2
可得mn＝4b2，再根据等面积法求得内切圆半径的表达式，结合正弦定理可得外接圆半径
的表达式，进而列式求解离心率即可．
【例4】已知双曲线 的左右焦点分别是 ， ， 是双曲线 上一点，若
，则A．3 B．9 C．21 D．27
【解答】解：双曲线 ，可得 ， ， ，
， ，则 或 ，
又 ，故舍去， ．
故选： ．
【变式训练1】如图， ， 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线与
双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点，若点 为 的中点，且 ，则
A．4 B． C．6 D．9
【解答】解：因为点 为 的中点，所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ．
所以 ．故选： ．
题型四：双曲线的渐近线
【要点讲解】求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边
的常数等于0. 双曲线焦点到渐近线的距离为b，这个结论要熟记.
【例5】已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为 ，直线 与 相交于
， 两点，若线段 的中点为 ，则直线 的斜率为
A． B．1 C． D．2
【解答】解：因为双曲线的标准方程为 ，
所以它的一个焦点为 ，一条渐近线方程为 ，
所以焦点到渐近线的距离 ，
化简得 ，解得 ，
所以双曲线的标准方程为 ，
设 ， ， ， ，
所以 ①， ②，
① ②得 ，
化简得 ③，
因为线段 的中点为 ，所以 ， ，代入③，
整理得 ，显然 ， ，所以直线 的斜率 ．
故选： ．
【变式训练1】设双曲线 的左、右焦点为 、 ，渐近线方程为 ，过
直线 交双曲线左支于 、 两点，则 的最小值为
A．9 B．10 C．14 D．
【解答】解：根据题意可得 ， ，又 ， ，
，
当且仅当弦 为双曲线的通径（通径长为 ，即 垂直于 轴时，等号成立，
故 的最小值为9．
故选： ．
【变式训练2】若双曲线 的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知 ，即 ，
所以 ， ，又双曲线的焦点在 轴上，
则该双曲线的渐近线方程为 ．
故选： ．
【变式训练3】已知双曲线 的一条渐近线为 ，则双曲线 的焦距为
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：根据双曲线 的一条渐近线为 ，得 ，解
得 ，
则双曲线的方程为 ，
则 ，其焦距 ．
故选： ．
【变式训练4】若双曲线 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得 ，
，
又双曲线 的渐近线方程为 ，
双曲线的渐近线方程是 ，即 ．
故选： ．
题型五：双曲线的离心率
【要点讲解】求双曲线离心率或其范围的常用方法：①求a及b或c的值，由e＝＝＝1＋
求e；②列出含有a，b，c的齐次式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于
e的方程(或不等式)求解.【例6】如图， 、 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双
曲线的右左两支分别交于点 、 两点．若 为等边三角形，则双曲线的离心率为
A．4 B． C． D．
【解答】解：根据双曲线的定义，可得 ，
是等边三角形，即 ，
，即 ，
又 ，
，
△ 中， ， ， ，
，
即 ，解之得 ，
由此可得双曲线 的离心率 ．
故选： ．
【变式训练1】已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，点 ，为双曲线 在第一象限的右支上一点，以 为切点作双曲线 的切线交 轴于点 ，
若 ，且 ，则双曲线 的离心率为
A． B． C．2 D．
【解答】解：因为点 在第一象限，由 ，可得 ，
则 ，
点 ， 在双曲线上，则 ，即 ，
可得 ，
可得在点 ， 处的切线方程为 ，
令 ，解得 ，
又因为 ，则 ，
所以 ，
即点 ，
设双曲线 的半焦距为 ，则 ， ，因为 ，则 ，整理得 ，
则 ，
可得 ，
且点 为双曲线 在第一象限的右支上一点，则 ，
可得 ，
在△ 中，由余弦定理可得： ，
即 ，整理得 ，
所以双曲线 的离心率 ．
故选： ．
【变式训练2】如图， ， 分别是双曲线 的两个焦点，以坐标原
点 为圆心， 为半径的圆与该双曲线左支交于 ， 两点，若△ 是等边三角形，
则双曲线的离心率为A． B．2 C． D．
【解答】解：连结 ，则根据题意可得：
，且 ，
， ，
，
即 ，
．
故选： ．
【变式训练3】已知双曲线 ，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线 ，则 ， ，则 ，
该双曲线的离心率 ，
故选： ．【变式训练4】已知双曲线 的离心率为2，则其渐近线的倾斜角为
A． B． C． 或 D． 或
【解答】解：依题意离心率 ，则 ，
所以 （负值舍去），
又双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
即渐近线的斜率为 或 ，所以其渐近线的倾斜角为 或 ．
故选： ．
【变式训练5】双曲线 的右焦点为 ，过 作双曲线的一条渐近
线的垂线，垂足为 ，直线 与另一渐近线交于点 ，若 是 的中点，则双曲线
的离心率为
A． B．2 C． D．3
【解答】解：设 相对应的渐近线： ，由题意直线 的斜率为 ，
可得直线 的方程为： ，
联立 ，可得 ， ，
即 ，由中点坐标公式可得 ， ，
可得 为线段 的中垂线，可得 ，即 ，
整理可得： ，即 或 ，因为 ，
解得 ，即离心率为2．
故选： ．
【变式训练6】已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，椭圆 与
双曲线 的焦点相同， 与 在第一象限的交点为 ，若 的中点在双曲线 的渐近
线上，且 ，则椭圆的离心率是
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设 ， ，椭圆长半轴长为 ，短半轴长为 ，双曲线实
半轴长为 ，虚半轴长为 ，
由椭圆及双曲线定义可得 ，
即 ，
因为 ，且 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ，
又 到渐近线 的距离 ，
所以 ， ，又 ，
解得 ，①
因为 ，
所以 ，
即 ，
整理得 ，②
联立①②，解得 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练7】如图所示， ， 是双曲线 的左、右焦点， 的
右支上存在一点 满足 ， 与 的左支的交点 满足 ，则
双曲线 的离心率为A．3 B． C． D．
【解答】解：在 ，由正弦定理得： ①，
在△ 中，由正弦定理得： ②，
又 ，则 ，
得： ，
又 ，则 ，即 ，
设 ，由双曲线的定义得： ， ， ，
由 ，得 ， ，解得 ，
， ，
在△ 中，由勾股定理得： ， ，
整理得 ， 双曲线 的离心率 ．
故选： ．
【变式训练8】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在
上，且 ， 的面积为 为坐标原点），则双曲线 的离心率为
A． B． C． D．【解答】解：设 ， ，由双曲线的定义可得 ，
即 ，
由 ，可得 的面积为 ，即 ，
又 ，
则 ，
化为 ，即 ．
故选： ．
【变式训练9】已知 、 分别为双曲线 的左右焦点，双曲线上的
点 到原点的距离为 ，且 ，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．2
【解答】解：由题意可知 ， ，设 ， ，在△ 中，
根据正弦定理： ，
则 ，
在△ 中，根据正弦定理可得 ，
则 ，
由 ，则 ，由 ，则 ，解得 ，
由双曲线定义可知 ，解得 ， ，
在 中，根据余弦定理可得 ，
在 中，根据余弦定理可得 ，
由 ，则 ，
可得 ，整理可得 ，
由双曲线离心率可知 ，则可得 ，
由 ，解得 ．
故选： ．
【变式训练10】如图，已知 ， 是双曲线 的左、右焦点， ， 为双曲
线 上两点，满足 ，且 ，则双曲线 的离心率为A． B． C． D．
【解答】解：延长 与双曲线交于点 ，因为 ，根据对称性知 ，
设 ，则 ， ，可得 ，即 ，
所以 ，则 ， ，
即 ，可知 ，
在△ 中，由勾股定理得 ，即 ，解得
．
故选： ．
【变式训练11】已知点 ， 是双曲线 上关于原点对称的任意两点，点 在双曲线上（异于 ， 两点），若直线 ， 斜率之积为 ，则双曲线的
离心率为
A． B．2 C． D．3
【解答】解：设 ， ， ，
则 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，又 ，
．
故选： ．
【例7】已知直线 与双曲线 无公共交点，则 的离
心率的取值范围是
A． B． C． D．【解答】解：因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，
若直线 与双曲线 无交点，
此时 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，
所以双曲线 的离心率的取值范围为 ．
故选： ．
【变式训练1】已知圆 与双曲线 ，若在双
曲线 上存在一点 ，使得过点 所作的圆 的两条切线，切点为 、 ，且
，则双曲线 的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：连接 、 、 ，则 ， ，
由切线长定理可知， ，
又因为 ， ，所以， ，
所以， ，则 ，
设点 ，则 ，且 ，所以， ，
所以， ，故 ，
故选： ．
【变式训练2】已知双曲线 ，点 的坐标为 ，若 上的任意
一点 都满足 ，则 的离心率取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：设 ， ，
由 ，代入不等式 中，
整理得 恒成立，
则 ， 解 得，
又 ，则 ；
故选： ．
题型六：直线与双曲线的位置关系
【要点讲解】有关弦长、面积问题的解题策略：(1)弦长问题，通常利用“弦长公式”，借
助“韦达定理”进行求解；(2)面积问题多为“三角形或四边形的面积”，首先是图形的面
积怎么表示出来，是通过直接手段还是间接手段，其实质也是“弦长问题”．
【例8】已知直线 ，双曲线 ，则
A．直线 与双曲线 有且只有一个公共点
B．直线 与双曲线 的左支有两个公共点
C．直线 与双曲线 的右支有两个公共点
D．直线 与双曲线 的左右两支各有一个公共点
【解答】解：易知直线 经过定点 ，
且点 在双曲线 的右顶点 的右侧，
联立 ，
解得 或 ，
所以直线 与双曲线 的右支有两个公共点．
故选： ．【变式训练1】已知双曲线 的右焦点为 ，点 ，若直线 与 只有
一个交点，则
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线 的右焦点为 ，点 ，
双曲线的渐近线方程： ，
直线 与 只有一个交点，
可得 ，解得 ．
故选： ．
【变式训练2】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的
直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，若 为线段 的中点，且 ，则
的离心率为
A． B．2 C． D．3
【解答】解：由题意可知，过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，当两个交
点分别在第二和第三象限时不符合，
为线段 的中点，当交点在 轴上方或 轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一
种即可，如图．根据双曲线可得， ， ，两条渐近线方程 ，
， 为 的中点，
，
又 为线段 的中点，
垂直平分 ，
可设直线 为 ①，直线 为 ②，直线 为 ③，
由②③得，交点坐标 ，点 还在直线 上，
，可得 ， ，
所以双曲线 的离心率 ，
故选： ．
【变式训练3】已 知 双 曲 线 的 离 心 率 为 且 过 点 ， 直 线
与 的右支有两个不同的交点，则实数 的取值范围是
A． ， ， B．
C． D．【解答】解：离心率为 的双曲线是等轴双曲线，
所以可设双曲线 的方程是 ，
将点 的坐标代入得 ，
所以 的方程是 ，
将 代入上式并消去 整理得 ，
则 ，解得 或 ．
故选： ．
【例9】已知双曲线 的一条渐近线为 ，且双曲线 的虚轴长
为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）记 为坐标原点，过点 的直线 与双曲线 相交于不同的两点 、 ，若
的面积为 ，求直线 的方程．
【解答】解：（1）因为双曲线 的一条渐近线为 ，
所以 ，
又因为双曲线 的虚轴长为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以双曲线 的方程为 ．
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
此时直线 与双曲线 没有交点，不合题意，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
所以 且△ ，
所以 且 ，
设 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 ，
解得
所以直线 的方程为 ．
【变式训练1】已知双曲线 的离心率为 ，设 的右焦点为 ，右顶点为 ，虚轴下端点为 ，且 ．
（1）求 的方程；
（2）过坐标原点的直线 与 交于 ， 两点，与直线 交于点 ，且点 ， 都在
第一象限，若 的面积是 面积的2倍，求 的斜率．
【解答】解：（1）不妨设 的焦距为 ，
因为双曲线 的离心率为 ，
所以 ，①
又 ，②，
联立①②，可得 ．
因为 ，
解得 ， ，
所以 的方程为 ；
（2）不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ， ，
易知 ， ，
因为 的面积是 面积的2倍，
所以 ，
此时 ，
即 ．
因为直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
因为 ，
所以 ，
对等式两边同时平方得 ，
解得 或 ，
当 时， 与直线 平行，不符合题意；
当 时， ， ，符合题意．
故直线 的斜率为 ．
【变式训练2】已知双曲线 经过点 ，其中一条渐近线为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）一条过双曲线 的右焦点 且纵截距为 的直线 ，交双曲线 于 ， 两点，求
的值．
【解答】解：（1）由题意， ，解得 ， ．
双曲线 的方程为 ；
（2）由（1）得， ，则 ，又直线 的纵截距为 ， 直线 过 ，
可得直线 ，即 ．
联立 ，可得 ．
设 ， ， ， ，
则 ， ，
则 ．
．
