文档内容
第 4 讲 抛物线
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：抛物线定义
突破二：抛物线标准方程
突破三：抛物线弦长
突破四：抛物线中点弦
突破五：抛物线上点到定点（定直线）最值
突破六：抛物线中定点，定值问题
突破七：抛物线中定直线问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、抛物线的定义
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （其中定点 不在定直线 上）的距离相等的点
的轨迹叫做抛物线，定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线．
（2）抛物线的数学表达式： ( 为点 到准线 的距离).
2、抛物线的简单几何性质
y 2 =2px （ y 2 =−2px （ x 2 =2py x 2 =−2py （
标准方程
） ） （ ） ）
图形
，
范围 ， ， ，
对称轴 轴 轴 轴 轴
p p p p
焦点坐标 F( ,0) F(− ,0) F(0, ) F(0,− )
2 2 2 2p p
p p
准线方程
x=− x= y=− y=
2 2 2 2
顶点坐标
离心率
通径长
3、直线与抛物线的位置关系
设直线 : ,抛物线:
y 2 =2px
（ ）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于 的方程
(1)若 ,当 时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当 时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当 时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若 ,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物
线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
4、直线和抛物线
（1）抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为 .
（2）抛物线的焦点弦
过抛物线
y 2 =2px
（ ）的焦点 的一条直线与它交于两点 ， ，则
① ， ；② ；③ .
说明：抛物线的焦半径公式如下：（ 为焦准距）
（1）焦点 在 轴正半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（2）焦点 在 轴负半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（3）焦点 在 轴正半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（4）焦点 在 轴负半轴，抛物线上任意一点 ，则 .
第二部分：重难点题型突破
突破一：抛物线定义
1．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知点 是抛物线 上的动点，点A的坐标为 ，则点 到点A的距离与到 轴的距离之和的最小值为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．
2．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线交 于
两点， 为弦 的中点， 为 上一点，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知抛物线 的焦点为
为该抛物线上一点，且 （点 为坐标原点），则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
4．（2022·广西·高二阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，点 在圆
上，则 的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
5．（2022·湖南·湘府中学高二阶段练习）设F为抛物线 的焦点，点M在C上，点N在准线l
上，满足 ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
6．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（理））已知抛物线C： 的焦点为F，点N是抛物线C的对
称轴与它的准线的交点，点M是抛物线上的任意一点，则 的最大值为_____________．
7．（2022·四川·树德中学高二期中（理））已知M为抛物线 上一点，过抛物线C的焦点F作直
线 的垂线，垂足为N，则 的最小值为______．
8．（2022·河南·郑州外国语学校高二期中）若点 满足方程 ，则点
P的轨迹是______.（填圆锥曲线的类型，填方程不给分）
突破二：抛物线标准方程
1．（2022·云南·玉溪市民族中学模拟预测（文））已知抛物线 的焦点为F，点M在抛物
线C的准线l上，线段 与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以
MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
3．（2022·全国·模拟预测（文））已知抛物线 的焦点为F，点M在抛物线上且
（0为坐标原点），过点M且与抛物线相切的直线与y轴相交于点N，若 ，则抛物线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京市第二十二中学高二期中）以 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的
抛物线方程是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
5．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线 的焦点是 ， 是 的准线
上一点，线段 与 交于点 ，与 轴交于点 ，且 ， （ 为原点），则 的方
程为___________.
6．（2022·全国·高二课时练习）设抛物线 的顶点在坐标原点，焦点 在坐标轴上，点 在抛物线 上，
，若以线段 为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线 的方程
为______．
7．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线 过点 ，则其准线方程为___________.
突破三：抛物线弦长
1．（2022·云南·玉溪市民族中学模拟预测（文））已知抛物线 的焦点为F，点M在抛物
线C的准线l上，线段 与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以
MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
3．（2022·全国·模拟预测（文））已知抛物线 的焦点为F，点M在抛物线上且
（0为坐标原点），过点M且与抛物线相切的直线与y轴相交于点N，若 ，则抛物线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京市第二十二中学高二期中）以 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的
抛物线方程是（ ）A． B． C． 或 D． 或
5．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线 的焦点是 ， 是 的准线
上一点，线段 与 交于点 ，与 轴交于点 ，且 ， （ 为原点），则 的方
程为___________.
6．（2022·全国·高二课时练习）设抛物线 的顶点在坐标原点，焦点 在坐标轴上，点 在抛物线 上，
，若以线段 为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线 的方程
为______．
7．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线 过点 ，则其准线方程为___________.
突破四：抛物线中点弦
1．（2022·全国·高三专题练习）已知A，B在抛物线 上，且线段AB的中点为M(1，1)，则|AB|＝
（ ）
A．4 B．5
C． D．
2．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））直线 与抛物线 交于 两点，且线
段 中点的横坐标为1，则 的值为（ ）
A． 或 B． C． D．
3．（2022·黑龙江·绥棱县第一中学高三阶段练习）斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与
圆（x-5）2+y2 =9相切于点M，且M为线段AB的中点，则k=（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·北京二中高三阶段练习）已知A，B是抛物线 上的两点，线段AB的中点为 ，
则直线AB的方程为__________．
5．（2022·河南·濮阳南乐一高高二阶段练习（文））直线AB过抛物线 的焦点F，且与抛物线交于
A、B两点，且线段AB的中点的横坐标是3，则直线AB的斜率是_____________.
6．（2022·河南省浚县第一中学高二阶段练习）已知抛物线 上的点 （点 位于
第四象限）到焦点F的距离为5.
(1)求p，m的值；
(2)过点 作直线l交抛物线C于A，B两点，且点 是线段 的中点，求直线l的方程.7．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知抛物线 的焦点为F，点 在抛
物线C上.
(1)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
(2)过点F的直线l交抛物线C于A、 两点，且线段AB的中点为 ，求直线l的方程及 .
8．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与C交于A，
B两点．
(1)若 的倾斜角为 且过点F，求 ；
(2)若线段AB的中点坐标为 ，求 的方程．
突破五：抛物线上点到定点（定直线）最值
1．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知点 是抛物线 上的动点，点A的坐标为 ，
则点 到点A的距离与到 轴的距离之和的最小值为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．
2．（2022·陕西·西安市第三中学高二期中）已知抛物线 ： 的焦点为 ，圆 ： ，
过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，与圆 交于 ， 两点，且点 ， 在同一象限，则
的最小值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 为抛物线 上的动点， 为直线 上的动点，
过点 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江西·南昌十五中高二阶段练习（理）） 的最小值为（ ）A． B． C． D．5
5．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知 是抛物线 上一点，则 的最小
值为______.
6．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期末（理））已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线
l：x＝－1，l：x＋y＋3＝0，则P到直线l，l 的距离之和的最小值为_______
1 2 1 2
7．（2022·全国·高二课时练习）过抛物线 焦点F作斜率分别为 、 的两条直线 、 ，其中
交抛物线C于A、B两点， 交抛物线C于D、E两点，若 ，则 的最小值为______．
8．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校三模（文））已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线上的
动点，且点 的坐标为 ，则 的最大值是_______.
9．（2022·河南·郑州市回民高级中学高二期中）已知P为抛物线 上任意一点，则点P到y轴的距离
与点P到直线 的距离之和的最小值为___________.
突破六：抛物线中定点，定值问题
1．（2022·全国·高三阶段练习）已知抛物线 的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C
的焦点F且与C交于A，B两点， 的面积的最小值为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点 的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，
都有 ，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．
2．（2022·上海长宁·一模）已知抛物线 的焦点为F，准线为l；
(1)若F为双曲线 的一个焦点，求双曲线C的离心率e；
(2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在 上，若 ，求直线EP的方程；
(3)经过点F且斜率为 的直线l'与 相交于A，B两点，O为坐标原点，直线 分别与l相交于
点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；3．（2022·广东广州·高二阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l与抛物线C
交于A，B两点，B在x轴的上方，且点B到F的距离为5，且B的纵坐标为 ．
(1)求抛物线C的标准方程与点B的坐标；
(2)设点M为抛物线C上异于A，B的点，直线MA与MB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线
的交点为H，求证： 为定值，并求出定值．
4．（2022·江苏·南京市中华中学高二阶段练习）已知抛物线C：x2＝4y，A，B是抛物线上异于原点的O的
两个动点．
(1)若M点坐标为（0，3），求AM的最小值：
(2)若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，问：是否存在定点R，使得RH为定值．若存在，求出R点坐标，若不存
在，说明理由．
突破七：抛物线中定直线问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 ，圆 ，直线
与抛物线 和圆 同时相切.
（1）求 和 的值；
（2）若点 的坐标为 ，过点 且斜率为 的直线 与抛物线 分别相交于 、 两点（点 在点
的右边），过点 的直线 与抛物线 分别相交于 、 两点，直线 与 不重合，直线 与直线相交于点 ，求证：点 在定直线上.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点
Ⅰ 求椭圆 的标准方程；
Ⅱ 已知抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，过点 的动直线与抛物线 相交于 ， 两个不
同的点，在线段 上取点 ，满足 ，证明：点 总在定直线上． A B
AB Q Q
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二阶段练习）抛物线 的焦点到准线的距离为
（ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·河北·涉县第一中学高三期中） 是抛物线 上一点， 是抛物线的焦点，
则 （ ）
A． B．3 C． D．4
3．（2022·湖北·高二阶段练习）已知抛物线 ，则抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏连云港·高二期末）已知点P在抛物线 上．若点P到抛物线焦点的距离为4，则点P
的坐标是（ ）
A． B． C． 或 D．
5．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）已知斜率为正数的直线 过抛物线 的焦点
，且与 的其中一个交点为 ，与 的准线交于点 ，若 ，则直线 的斜率为（ ）A． B． C． D．
6．（2022·上海虹口·一模）已知 是椭圆 与抛物线 的一个共同焦点，
与 相交于A，B两点，则线段AB的长等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·福建·厦门外国语学校石狮分校高二期中）已知点 是抛物线 上的动点，焦点为F，点
，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知点 是抛物线 上的动点，点A的坐标为 ，
则点 到点A的距离与到 轴的距离之和的最小值为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．
9．（2022·江西·南昌二中高二阶段练习）劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，
具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时
代步伐，特在校园的一角专门开辟了一块劳动基地——心远农场（如图1）．现某社团为农场节水计划设
计了如下喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图2所示．
现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，
以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·四川省岳池中学高三阶段练习（理））椭圆 与抛物线 的公共弦
过公共焦点，且 ，则椭圆离心率 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2022·江苏连云港·高二期末）下列结论判断正确的是（ ）
A．平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线B．方程 （ ， ， ）表示的曲线是椭圆
C．平面内到点 ， 距离之差等于 的点的轨迹是双曲线
D．双曲线 与 （ ， ）的离心率分别是 ， ，则
12．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）已知抛物线C： ，点F是抛物线C的焦点，点
P是抛物线C上的一点，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．若 ，则 PMF的面积为2
△
C． |的最大值为
D． PMF的周长的最小值为
三、△填空题
13．（2022·山东·枣庄市第三中学高二阶段练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线
反射之后沿对称轴方向射出.有抛物线 （如图）一条平行 轴的光线射向 上一点 点，
经过 的焦点 射向 上的点 ，再反射后沿平行 轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是9，则
的方程是__________.
14．（2022·贵州·镇远县文德民族中学校高三阶段练习（文））已知抛物线 的焦点为 ，
准线为 ，直线 交抛物线于 ， 两点，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，若等边 的
面积为 ，则 的面积为______.
四、解答题
15．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（理））已知椭圆 的左右焦点分别为 ，
抛物线 与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且 ．
(1)求椭圆的方程；(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD
的中点为N，证明：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
16．（2022·全国·高三阶段练习）已知抛物线 的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C
的焦点F且与C交于A，B两点， 的面积的最小值为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点 的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，
都有 ，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．
17．（2022·上海长宁·一模）已知抛物线 的焦点为F，准线为l；
(1)若F为双曲线 的一个焦点，求双曲线C的离心率e；
(2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在 上，若 ，求直线EP的方程；
(3)经过点F且斜率为 的直线l'与 相交于A，B两点，O为坐标原点，直线 分别与l相交于
点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；
