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19.3（第 1 课时）二次根式的加减（解析版）
目 录
类型一、同类二次根式..............................................................................................................................................1
类型二、二次根式的加减运算..................................................................................................................................6
类型三、分母有理化................................................................................................................................................13
类型四、比较二次根式的大小................................................................................................................................17
类型五、二次根式的应用........................................................................................................................................24
类型一、同类二次根式
1．下列二次根式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式性质及同类二次根式定义，熟记同类二次根式的定义是解决问题的关键．
先利用二次根式性质对各选项中的二次根式进行化简，再根据同类二次根式定义判断即可得到答案．
【详解】解：A、 不能与 合并，故不符合题意；
B、 不能与 合并，故不符合题意；
C、 能与 合并，故符合题意；
D、 不能与 合并，故不符合题意；
故选：C．
2．下列根式中，与 是同类二次根式的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次
根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答．
【详解】解：A、 ，与 不是同类二次根式；
B、 ，与 不是同类二次根式；
C、 ，与 不是同类二次根式；
D、 ，与 是同类二次根式．故选：D．
3．下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义．
同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与 的根号内的数是否一致．
【详解】解：A： ，根号内3，与 不是同类二次根式；
B： ，无根号，与 不是同类二次根式；
C： ，根号内2，与 不是同类二次根式；
D： ，根号内5，与 是同类二次根式；
故选：D．
4．下列二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式.
判断二次根式是否为同类，需化简为最简二次根式后，比较根号内的被开方数是否相同.
【详解】解：A. 与 根号内的被开方数不同，不是同类二次根式；
B. 与 根号内的被开方数相同，是同类二次根式；
C. 与 根号内的被开方数不同，不是同类二次根式；
D. 与 根号内的被开方数不同，不是同类二次根式；
故选：B.
5．下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相
同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此进行判断即可．【详解】解：A、 ，它与 不是同类二次根式，则A不符合题意，
B、 ，它与 是同类二次根式，则B符合题意，
C、 ，它与 不是同类二次根式，则C不符合题意，
D、 是最简二次根式，与 不是同类二次根式，则D不符合题意，
故选：B．
6．下列二次根式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，
就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的
概念判断即可．
【详解】解： 、 不能与 合并，不符合题意；
、 ，不能与 合并，不符合题意；
、 ，能与 合并，符合题意；
、 ，不能与 合并，不符合题意；
故选：C．
7．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，被开方数相同的两个二次根式叫做同类二
次根式，据此先化简对应选项中的二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
B、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
D、 与 是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
8．已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则a的值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相同，得到 ，求解即可．
【详解】解：∵ 与 是同类二次根式，∴ ，
解得 ．
∴a的值为3．
故选：B．
9．若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二
次根式的定义，被开方数必须相等，据此列出方程求解．
【详解】解： 与最简二次根式 是同类二次根式，
，
解得
故答案为： ．
10．已知最简二次根式 与 可以合并，则x的值是 ．
【答案】
4
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二
次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
由最简二次根式 与 可以合并可知二次根式 与 是同类二次根式，然后根据被开方数相同
列式求解即可．
【详解】∵最简二次根式 与 可以合并，
∴二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得 ．
故答案为：4．
11．已知 为最简二次根式，且能够与 合并，则 的值是 ．
【答案】
6
【分析】本题考查了同类二次根式及简二次根式，根据同类二次根式的定义即可作答．
【详解】解：∵ 能够与 合并，
∴ 与 是同类二次根式，
∵ 为最简二次根式，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
12．如果最简二次根式 与 是同类二次根式，则 .
【答案】5
【分析】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式是解题的关键；根据同类二次根式的定义，
被开方数必须相等，列出方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得 ，
∴当 时， ，符合最简二次根式的定义．
故答案为5．
13．若最简二次根式 与 可以合并，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类
二次根式；最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 可以合并，
∴ 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得 ，
当 时， ， ，二者均为最简二次根式，符合题意，
故 ；
故答案为： ．
14．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则m的值为 ．
【答案】
1
【分析】本题考查了同类二次根式的定义．
根据同类二次根式的定义，被开方数相同，列方程求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得 ．
故答案为：1．
15．已知最简二次根式 和 是同类二次根式，则 ．
【答案】
1
【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，理解最简二次根式和同类二次根式的概念是解题的关
键．先由被开方数相等列方程 ，然后验证被开方数非负且为最简二次根式．【详解】由同类二次根式的定义，得：
，
移项整理：
，
解得， ，
当 时， ， 不是最简二次根式，不符合题意，
当 时， ， ， 最简二次根式，符合题意，
故答案为： ．
类型二、二次根式的加减运算
16．下列各式中运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的运算．
根据运算法则逐一判断各选项即可．
【详解】解：选项A：∵ ，∴A错误；
选项B：∵ 和 不是同类二次根式，不能直接相加，∴B错误；
选项C：∵ ，∴C正确；
选项D：∵ ，∴D错误；
故选：C．
17．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，故该选项不正确，不符合题意；
D． ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
18．下列计算正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算是解题的关键．根据二次根式的运算法则运算
即可解答．
【详解】解：A. ，选项计算错误，故不符合题意；
B. ，选项计算错误，故不符合题意；
C. ，选项计算正确，故符合题意；
D. ，选项计算错误，故不符合题意；
故选：C．
19．矩形相邻两边长分别为 ， ，则它的周长是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据矩形周长公式，周长等于两倍的长加宽，先化简 为
，再计算周长，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：∵矩形相邻两边长分别为 ， ，且 ，
∴它的周长是 ，
故选：D．
20．已知 ， ，则化简 的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值．
【详解】解：由 ， ，可知 ，
则 ，
又∵ ，
∴ ．
故选：C．
21．下列运算中，正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查整式的运算和二次根式的运算，解决本题的关键熟记合并同类项、幂的乘方、二次根式
加减和完全平方公式.
【详解】A选项：根据合并同类项的法则可知 ，故A选项计算正确；
B选项：根据幂的乘方的法则可知 ，故B选项计算错误；
C选项：根据合并同类二次根式的法则可知 ，故C选项计算错误；
D选项：根据完全平方公式可知 ，故D选项计算错误．
故选：A．
22．下列二次根式运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的运算，包括加法、减法、除法和二次根式的性质．
根据二次根式的加法、减法、除法运算法则以及利用二次根式的性质一一判断即可．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意；
B、 ，原计算错误，不符合题意；
C、 ，原计算正确，符合题意；
D、 ，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
23．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先化为最简二次根式，再合并
同类二次根式即可．
【详解】解：原式=
．
故答案为： ．24．计算
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，通过合并同类项即可求解．
【详解】解： ．
故答案为： ．
25．在数轴上，点 表示 ，点 表示 ，则点 与点 之间的距离是 ．
【答案】
【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，二次根式的加减，绝对值化简等知识，根据“数轴上两点距
离公式，距离等于两点坐标差的绝对值”列算式，计算即可求解．
【详解】解： 与点 之间的距离为
故答案为：
26．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的减法，二次根式的性质，先通过二次根式性质化简，然后进行合并即可，
掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
27．化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的减法运算．先化简 ，再进行二次根式的减法即可．
【详解】解：
故答案为：
28．计算： ， ．
【答案】 3 0
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算、二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，掌握相
关运算法则是解题的关键．
第一空运用二次根式的乘法法则计算即可解答；第二空先运用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可．
【详解】解： ；
．
故答案为：3， 0．
29．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据二次根式的性质，当被开方数相同时，可以直接合并系数.
【详解】解： .
故答案为 ．
30．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的减法，二次根式的化简，首先化简 为 ，然后与 进行合并同类二
次根式即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
31．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算：
（1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式；
（2）先计算平方差，二次根式的除法，再进行加减运算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
32．计算：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解；
（2）根据乘法分配律展开，再进行二次根式的化简与计算即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
33．计算：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先化简二次根式，再计算加减即可．
【详解】解：
．
34．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，求一个数的立方根，解题的关键是掌握二次根式化简和运
算法则．
（1）先对二次根式的进行化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先进行二次根式的除法运算，求出一个数的立方根，然后再进行加减运算．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
35．定义两种新运算，规定： ， ，其中a、b为实数且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的解．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题考查新定义运算，二次根式的混合运算，解分式方程．
（1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可；
（2）根据新定义得到方程，进而求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
∵ ，
∴ ，
方程两边同乘 ，得 ，解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴ 的解是 ．
类型三、分母有理化
51．二次根式 的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理化因式的概念．
根据有理化因式的定义，将原式与选项式子相乘，若结果为有理式，则该选项为有理化因式，据此验证各
选项即可．
【详解】解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有
理化因式．
A、 ，仍含根式，此选项不符合题意；
B、 ，积仍含根式，此选项不符合题意；
C、 ，积为有理式，此选项符合题意；
D、 ，积仍含根式，此选项不符合题意．
故选：C．
52．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平方根、有理化分母和平方运算的基本概念．选项A通过有理化分母验证正确；选项B
错误因为负数没有实数平方根；选项C错误因为平方运算后结果应为 而非 ；选项D错误因为算术平方
根结果非负．
【详解】解：对于A：∵ ，
∴ A正确．
对于B：∵ 在实数范围内，负数没有平方根，∴ 无意义，B错误．
对于C：∵ ，
∴ C错误．
对于D：∵ 算术平方根非负，
∴ ，
∴ D错误．
故选：A．
53．下列各式中， 的有理化因式是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，
就说这两个非零代数式互为有理化因式．单项二次根式的有理化因式是它的同类二次根式；其他代数式的
有理化因式可用平方差公式来进行分步确定．
对于形如 的表达式，其有理化因式通常为 ，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意， ，为有理数，
∴ 的有理化因式是 ，
故选：D．
54． 的倒数是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查倒数的概念，熟练掌握倒数的概念为解题的关键．
求一个数的倒数，即计算其倒数，进行分母有理化，据此计算求解即可．
【详解】解： 倒数为 ，
分子、分母同乘 得：
则 的倒数为 ．
故选：A．
55．阅读下列解题过程：；
；
观察上面解题过程， 的值为（ ）
A． B． C． D．10+
【答案】B
【分析】本题考查阅读理解，掌握材料中分母有理化的方法是解决问题的关键．
根据材料中的分母有理化方法计算即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：B．
56．不等式 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分母有理化，严格遵循解不等式的基本步骤是解本题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．通过移项、合并同类项、系数化
为1，再根据二次根式分母有理化化简即可求出不等式的解集．
【详解】解： ，
，
，
由于 ，所以 ，除以负数时不等号方向改变，得：
，
即 ，
分子分母同乘 ，得：
，
故答案为： ．
57．不等式 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化．
先求解不等式，再分母有理化即可．
【详解】解： ，
，
，
，
∵
∴ ．
故答案为： ．
58．分母有理化： ．
【答案】 /
【分析】本题考查分母有理化，涉及平方差公式、二次根式性质等知识，熟记分母有理化的方法步骤是解
决问题的关键．通过分母有理化，将分子和分母同时乘以 ，利用平方差公式化简即可得到答案．
【详解】解： ，
故答案为： ．
59． 的倒数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查分母有理化，原式通过分母有理化进行化简即可．
【详解】解： 的倒数为 ，
故答案为： ．
60．先化简，再求值：已知 ，求 的值．
【答案】 ；
【分析】本题主要考查的是分母有理化，能够利用完全平方公式对所求代数式进行变形是解题的关键．
先对原式进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：
；
当 时，原式 ．
类型四、比较二次根式的大小
61．已知： ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为 ， ， ，再结
合 即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解： ， ， ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
62．已知 ， ， ，则 ，
， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式四则混合运算，利用二次根式的性质化简，比较二次根式的大小，解题关键是掌
握上述知识点并能运用求解．
通过简化每个表达式，得到a、b、c的具体数值，然后比较大小．
【详解】解：∵
设 ，
，
根号内：∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故选：C．
63．下列比较大小结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式大小的比较，熟练掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键．根据二次
根式的大小分别判断各个选项即可．
【详解】解：A选项中，
，
∴ ，
∴ ，
故A选项不符合题意；
B选项中， ，
∵ ，
∴ ，
故B选项不符合题意；
C选项中， ， ，
∵ ，
∴ ，
故C选项符合题意；
D选项中，
，，
∵ ，
∴ ．
故D选项不符合题意．
故选：C．
64．已知 ，那么 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的比较大小，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握倒数法比较大
小．
先对每个数的倒数进行分母有理化，再比较大小，根据倒数大的反而小，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
65．设 ， ， ，则a，b，c之间的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式大小的比较，先求出 ， ，
，然后根据 ，得出 ，即可得出答案．
【详解】解： ， ， ，
， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
66．下列各式正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查无理数的估算，不等式的性质，先对无理数进行估算，然后利用不等式的性质依次
判断即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，选项错误，不符合题意；
B、∵ ，
∴ ,
∴ ，选项错误，不符合题意；
C、 ，选项错误，不符合题意；
D、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，选项正确，符合题意；
故选：D．
67．已知： ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化，
先分别表示出 ，再比较分母即可.
【详解】解： ， ， ，
，
，
即 .
故选：D.
68．比较大小： （填“>”“<”或“=”）
【答案】>
【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理 ，根据 ，得 ，则，即可作答．
【详解】解：依题意， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故答案为：>．
69．比较大小： （填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比
较大小”是解题的关键．
通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系．
【详解】解：设 ， ．
∵ ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 均为正数，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
70．比较大小： ；（填“<”，“=”或“>”）．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的大小比较．
先比较平方的大小，再比较两数大小即可．
【详解】解：计算 ， ，
由于 ，且 和 均为正数，
因此 ．
故答案为： ．
71．比较大小： （填“>”“=”或“<”）．
【答案】
【分析】本题考查无理数大小比较，通过比较两个数的平方值来判断大小．【详解】解：∵ ， ，且 ，
∴ ，
故答案为： ．
72．比较大小： （填“＞”或“＜”）．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的
性质比较得出答案．
【详解】解： ， ，
，
．
．
故答案为： ．
73．比较大小： （填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查了比较二次根式的大小．
通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小．
【详解】解： ， ，由于 ，
所以 ．
故答案为： ．
74．在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较 和 的
大小，我们可以把a和b分别平方．
∵ ，
∴ 而 ，
∴ ．请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较 ， 的大小，c_______d；（填写>，<或者=）
(2)猜想 ， 之间的大小关系，并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键．
利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数．
【详解】（1） ， ，
， ，，
；
故答案是： ．
（2） ，理由如下：
， ，
，
，
，
，
，即 ，
， ，
．
75．已知： ，求证：
【答案】见解析
【分析】本题考查比较二次根式的大小关系，通过比较 与 的大小，即可得出结论．
【详解】证明：∵ ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
类型五、二次根式的应用
76．如图（单位： ），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为 ，最
大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查二次根式以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出 、 的值，
并灵活运用平方差公式进行计算．
先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出 、 ,再利用平方差公式
计算 ．
【详解】解：因为中间正方形纸片的面积为 ，
所以中间正方形的边长为 ，
由图可知，最大正方形的边长 ，
最小正方形的边长 ；
根据平方差公式 ，
将 代入，可得 ，
所以 ．
故选：D．
77．如图，从一个大正方形中裁去面积为 和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，利用二次根式的性质进行计算是解答本题的关键．
先利用二次根式的性质计算出两小正方形的边长，则可得到大正方形的边长，然后用大正方形的面积分别
减去两小正方形的面积得到留下部分的面积．
【详解】由条件可知两个阴影小正方形的边长是 ， ，
大正方形的边长是 ，
大正方形的面积是 ，
余下部分的面积=大正方形的面积-阴影部分的面积 ．
故选：A．
78．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的
三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 ．已知 的三边长 a，
b，c分别为 2， ，4，则 的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．
把 的值代入所给公式即可求解．
【详解】解：将 代入公式得，
．
故选：B．
79．如图，从一个大正方形中裁去面积分别为 和 的两个小正方形，剩余部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根在几何图形中的应用，二次根式的运算等知识，根据已知条件求得大正方
形的边长是解决问题的关键．
根据开方运算，可得阴影的边长，根据二次根式的乘法，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答
案．
【详解】解： 两个空白小正方形的面积是 、 ，
两个空白小正方形的边长是 、 ，
大正方形的边长是 ，
大正方形的面积是 ，
阴影部分的面积是 ．
故选：C．80．若一个长方形的长为 ，宽为 ，则这个长方形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式在长方形面积计算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二
次根式是解题的关键．根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，将长 和宽 相乘，利用二次根式
的乘法法则计算．
【详解】解：长方形的面积公式为 ，
所以 ．
计算过程：
，
，
因此 ．
故答案为： ．
81．一个长方形的面积为 ，其中一边长为 ，则另一边长为 （结果化为最简二次根式）．
【答案】
【分析】此题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值的方法是解题的关键．
根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，通过除法运算和分母有理化求解．
【详解】解：设另一边长为 ，由长方形面积公式得 ，
；
故答案为 ．
82．阅读与计算：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中给出了下面一个公式：如果一个三角
形的三边长分别为 ， ， ，记 ，那么三角形的面积 （海伦公
式）．若 中， ， ， ，请利用上述公式求出 的面积 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答．先求出 ，
， ， 的值，然后代入 化简即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴．
故答案为： ．
83．汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若
两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为 ，宽为 ，则圆形扇面的周长为
．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握对应图形面积公式及周长公式是解题的关键．先利用
长方形扇面的长和宽求出面积，设圆形扇面半径为 ，根据两种扇面的面积相等，求出半径 ，最后代入
圆的周长公式求解即可．
【详解】解：由题可得，
长方形扇面的面积 ，
设圆形扇面半径为 ，
因为两种扇面的面积相等，
根据圆的面积公式 ，
解得 （负值舍去），
因此圆形扇面的周长 ．
故答案为： ．
84．如图是一块长方形空地 ，计划在正方形 区域种植绿植，在正方形 区域种植花卉，
在长方形 区域设置体育健身器材．已知正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，
求长方形健身区域 的面积．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是正确求出正方形和长方形的边长以及掌握二次根式的
运算法则．
先求出正方形 ，正方形 的边长，即可得到矩形健身区域 的长和宽，即可求解面积．【详解】解：∵正方形 的面积为 ，正方形 的面积为
∴正方形 ，正方形 的边长分别为 ， ，
∴矩形健身区域 的宽 ，长 ，
∴矩形健身区域 的面积为 ．
85．如图，学校准备制作一块长方形宣传栏 ，用于展示校园文化．已知宣传栏的长 为 ，
宽 为 ．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为 、宽为
的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品．
(1)计算长方形宣传栏 的周长（结果化为最简二次根式）；
(2)求用于张贴学生作品的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的加减和乘法的实际应用，解题关键是正确列出算式．
（1）利用长方形的周长＝2（长+宽）即可求解；
（2）将大长方形面积减去阴影面积即可求解．
【详解】（1）解： （ ）．
答：长方形宣传栏 的周长为 ．
（2） （ ）．
答：用于张贴学生作品的面积为 ．
86．若 ，则 的值为（）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值等知识，由已知条件得出x满足方程 ，然
后利用该方程简化表达式 并求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴原式
．
故选：D．
1．若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查与二次根式有关的代入求值，先有理化分母化简得到 ，整理得
，最后代入已知条件计算得出结果。
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，
∴，
故答案为： ．
2．设 的整数部分为x，小数部分为y，则 的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了估算无理数的大小，化简得出 的整数部分为 ，小数部分为
，代入 计算即可求出值．
将 化简为 ，确定整数部分 和小数部分 ，再代入表达式计算
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ，
∴
，
故答案为：5．
3．已知 ， ，则代数式 的值是 ；
【答案】181
【分析】本题为二次根式的化简求值，考查了分母有理数，完全平方公式的变形，二次根式的混合运算等
知识，综合性强，难度较大．先化简 ， ，从而计算出 ， ，把
变形为 ，整体代入即可求解．
【详解】解： ，；
∴ ，
，
∴
．
4．若 ，则称x和y是关于3的平衡数．
(1) 与 是关于3的平衡数； 与 是关于3的平衡数；
(2)已知m为整数，若 ，请说明 与 是关于3的平衡数；
(3)已知 为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ．
【答案】(1) ；
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了实数的新定义以及二次根式的加减混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的
关键．
（1）根据若 ，则称x和y是关于3的平衡数，直接列式作答即可；
（2）先得 ，根据题意结果为 ，可求出 ，再结合“3的
平衡数”的定义进行分析，即可作答．
（3）先得 ，则 ，再根据 ，可
求出 ，即可作答．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∴3与 是关于3的平衡数；
∵ ，
∴ 与 是关于3的平衡数，
故答案为：0， ；（2）解：由题意得，
∴ 和 ，
解得 ，
∴
，
∴二者是关于3的平衡数；
（3）解：∵ 与 是关于3的平衡数，
∴
，
由题意得，
，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
解得 ，
∴
，
∴ ，
故答案为： ．1．例如： ．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或
者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论：
①若a是 的小数部分，则 的值为 ；
② ；
③已知 ， ，则 ；
④设实数m，n满足 ，则 ．其中说法正确的
个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了分母有理化．熟练掌握平方差公式，有理化因式，完全平方公式变形求值，二次根式
的混合运算，是解题的关键．判断四个结论的正确性，逐一分析每个结论的解题过程．
① 的小数部分 ．得 ，结论①正确．
②
，结论②错误．
③可得 ， ，得 ，结论③错误．
④由已知得 ，得 ，由
，得 ，得 ，得
．结论④正确．
【详解】解：①∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为1，
∴小数部分 ．∴ ．
∴①正确．
②∵
，
∴②错误．
③∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴③错误．
④：∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．∴ ．
∴④正确．
综上，正确结论为①和④，共2个．
选：B．
2．已知 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把 代入所求
式子进行化简求值是解题的关键．
先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
．
故选：C．
3．【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比
较大小也会取得很好的效果．例如，比较 和 的大小，我们可以把 和 分别平方．， ，则 ， ， ， ．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较 ， 的大小， （填写“ ”“ ”或“ ”）．
(2)猜想 和 之间的大小，并说明理由．
【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较
和 的大小，可以先将它们分子有理化如下：
， ， ， ．
(3)根据材料，请选择合适的方法比较 与 的大小，写出具体比较过程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了利用平方法和分子有理化比较实数的大小．
( )模仿题干中的“平方法”比较大小即可；
( )模仿题干中的“平方法”比较大小即可；
( )可利用分子有理化比较大小即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∵ ， ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ， ，
∵
∴ ，
即： ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）∵ ，，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
4．已知 ，求 的值．
小明是这样解答的：
解：因为 ，所以
所以 ，即 ，所以
所以 ．
请根据小明的解答过程，解决下列问题：
(1)化简： ________；
(2)比较大小： ________ （填“ ”，“ ”或“ ”）
(3)计算： ；
(4)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了分母有理化、比较二次根式的大小、求代数式的值，理解题意是解题的关键．
（1）根据分母有理化即可求解；
（2）利用二次根式的性质得到 ， ，再比较两者的大小即可
得出结论；
（3）根据分母有理化将每个式子化简，再利用裂项相消法进行求和即可；
（4）仿照题目的方法进行求解即可．
【详解】（1）解： ，故答案为： ；
（2）解： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；
（3）解： ，
∴
；
（4）解： ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
5．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
例1： ；
例2： ， ， ；
利用以上结论解答以下问题：
(1) _____；
(2)利用上面结论，求 的值．【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质、二次根式的乘法法则、平方差公式等知
识点，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关键．
（1）分子分母同时乘以 ，然后根据平方差进行计算即可；
（2）先根据例2化简，再进行计算即可．
【详解】（1）解： ．
故答案为： ．
（2）解：由例2可得： ，
．
6．已知x ，则 的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据分母有理化计算 ，
再对代数式降次计算，即可求解．
【详解】解：
，．
