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人教A版数学--高考解析几何复习专题七
知识点一 求抛物线的切线方程,由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数,
根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
典例1、已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点．
（1）过 作垂直于 轴的直线与抛物线 交于 两点， 的面积为 ．求抛物线
的标准方程；
（2）抛物线上有 两点，若 为正三角形，求 的边长．
随堂练习：已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上的动点， 为 在
动直线 上的投影，当 为等边三角形时，其面积为 .
（1）求抛物线 的方程；（2）设 为原点，过点 的直线 与 相切，且与椭圆
交于A， 两点，直线 与线段 交于点 ，试问：是否存在 ，使得
和 的面积相等恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.典例2、已知P为抛物线E： 上任意一点，过点P作 轴，垂足为O，
点 在抛物线上方（如图所示），且 的最小值为9．
（1）求E的方程；（2）若直线 与抛物线E相交于不同的两点A，B，线
段AB的垂直平分线交x轴于点N，且 为等边三角形，求m的值．
随堂练习：已知抛物线C： 上的点 到其焦点F的距离为2．
（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D在直线l： 上，过点D作抛物线C的两条
切线，切点分别为A，B，直线AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小时，求 的值．
典例3、如图，设 为 轴的正半轴上的任意一点， 为坐标原点.过点 作抛物线
的两条弦 和 ， ､ 在 轴的同侧.
（1）若 为抛物线 的焦点， ，直线 的斜率为 ，且直线 和 的
倾斜角互补，求 的值；
（2）若直线 ､ ､ ､ 分别与 轴相交于点 ､ ､ ､ ，求证：
.随堂练习：已知抛物线 ，点 为其焦点， 为 上的动点， 为 在动
直线 上的投影.当 为等边三角形时，其面积为 .
（1）求抛物线 的方程；（2）过 轴上一动点 作互相垂直的两条直线，与
抛物线 分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为 ， 的中点，求 面积的
最小值.知识点二 抛物线中的三角形或四边形面积问题,直线与抛物线交点相关问题
典例4、已知曲线M上的任意一点到点 的距离比它到直线 的距离小1．
（1）求曲线M的方程；
（2）设点 ．若过点 的直线与曲线M交于B，C两点，求 的面积的最小值．随堂练习：如图，已知直线与抛物线 交于A，B两点，且OA⊥OB，
OD⊥AB，交AB于点D，点D的坐标为(4,2).
（1）求p的值； （2）求△AOB的面积.
典例5、已知抛物线 ， 为坐标原点，过焦点 的直线 与抛物线 交于不同两
点 .
（1）记 和 的面积分别为 ，若 ，求直线 的方程；
（2）判断在 轴上是否存在点 ，使得四边形 为矩形，并说明理由.随堂练习：已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .
（1）设 与 轴的交点为 ，点 在 上，且在 轴上方，若 ，求直线 的方
程；
（2）过焦点 的直线与 相交于 、 两点，点 在 上，且 ， ，求
的面积.
典例6、如图，已知抛物线 ，直线l过点 与抛物线交于A、B两点，
且在A、B处的切线交于点P，过点P且垂直于x轴的直线 分别交抛物线C、直线l于M、N两点．直线l与曲线 交于C、D两点．
（1）求证：点N是 中点；（2）设 的面积分别为 ，求 的取值范
围．随堂练习：如图，点 是 轴左侧（不含 轴）一点，抛物线 上存在不
同的两点 ，且 的中点均在抛物线C上.
1、若 ，点A在第一象限，求此时点A的坐标；
2、设 中点为 ，求证：直线 轴；
3、若 是曲线 上的动点，求 面积的最大值.
【正确答案】 1、 ； 2、证明见解析； 3、人教A版数学--高考解析几何复习专题七答案
典例1、答案：（1） （2）
解：（1）由抛物线方程知： ， 为抛物线的通径，则 ，
，解得： ， 抛物线 的标准方程为：
.
（2） 为正三角形， ，由抛物线对称性可知： 轴，
设 ，则 ，解得： ， ，
， ，解得： ， ，即
的边长为 .
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）由题意得： ，由抛物线定义可知：此时 ，
过点F作FD⊥P Q于点D，由三线合一得：D为PQ中点，且 ，可得： 所以抛物线方程为
（2）由题意得：当M为AB中点时，满足题意，
设 ，由 得：直线 斜率为 ，则可设直线 ： ，
整理得： ，联立 得： ，
设 ， 则 ， 则 ， 由 得直线
OQ： ，
联立直线OQ与直线l得： ， 从而 ，可得： ，解
得： .
典例2、答案：（1） 1、 （2）2、
解：（1）抛物线E： 的焦点 ，准线方程为 ，
所以 ，故 ，
又因为 的最小值为9，所 的最小值为 ，当且仅当点C，P，F三点共线时， 取得最小值，
此时 ，解得 ， 故抛物线E的方程为
；
（2）联立 ，消去x得 ，
直线 与抛物线E相交于不同的两点A，B， ，得 ，
设 ， ，则有 ， ， 所以 ，
设线段AB的中点 ， 则 ， ，即 ，
直线MN的斜率 ，直线MN的方程为： ，
令 ，得 ，即 ， 所以 ，
，
又因为 为等边三角形，所以 ， 所以
，
解得 ，且满足 ， 故所求m的值为 ．
随堂练习：答案：（1） （2）解：（1）因为点 ，在抛物线C： 上，所以 ，抛物线的准线方
程为 ，
由抛物线的定义得： ，解得 ，即抛物线C的方程为 ；
（2）由题意可设 ， ， ， 因为 ，所以 ，即
，
故 ，整理得 ， 设点 ，同理可得 ，
则直线AB方程为： ， 令 得 ，即点 ，
因为直线NF与直线AB垂直， 所以直线NF方程为： ，
令 得 ，即点 ， ∴ ，
当且仅当 时， 时上式等号成立， 联立 ，得 ，
∴ ， ， ，
， ∴ ．
典例3、答案：（1） （2）证明见解析.解：（1）根据题意， 为抛物线 的焦点，则 ，
由于直线 的斜率为 ，故直线 的方程为 ，
所以联立方程 得 ， 设 ，则
，
因为直线 和 的倾斜角互补，所以 ， 因为 ，所以
，
所以 ，解得 . 所以 .
（2）设 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为
设 ， 直线 与抛物线联立得 ，
所以 ， ，同理，直线 与抛物线联立得
，
所以 ， ， 对于直线 ，由于
，
所以 ，所以直线 方程为 ，
故令 得 ，即同理得 ， ， ， 所以
，
， 所以
随堂练习：答案：（1） ； （2）16.
解：（1）抛物线 的焦点 ，准线 ，
为等边三角形，则有 ，而 为 在动直线 上的投影，则
，
由 ，解得 ，设 ，则点 ，
于是由 得： ，解得 ，
所以抛物线 的方程为： .
（2）显然直线AB，CD都不与坐标轴垂直，设直线AB方程为： ，则直线CD方
程为： ，
由 消去x并整理得： ，设 ，则 ，
于是得弦AB中点 ， ，同理得，
因此，直角 面积
，当且仅当 ，即 时取“=”，
所以 面积的最小值为16.
典例4、答案：（1） （2）
解：（1）由已知得，曲线M上的任意一点到点 的距离与它到直线 的距离相等，
所以曲线M的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线， 所以曲线M的方程
为
（2）设 ， 显然，过点 的直线 斜率不为0，设其方程为
联立 ，整理得
其中 ， 由韦达定理得： ，
，
所以 的面积当 时， 所以 的面积的最小值为
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）∵OD⊥AB， ∴ ，又 ， ∴ ，则直线AB的方程为
，
联立方程消y可得 ① 设A(x,x)，B(x,y)，∴
1 2 2 2
， ，
由 ， 又
，
将代入可得 ，且当 时方程①有解． ∴ .
（2）由 ， ∵ ， ∴
.
典例5、答案：（1） ； （2）不存在，理由见详解.
解：（1）设直线 方程为 ， 联立 ，消去 得
，得 ①， ②， 又因为 ，则 ③ 由①②③解得
，
即直线 的方程为 ，即
（2）假设存在点 ，使得四边形 为矩形， 则 互相平分
所以线段 的中点在 上，则 轴， 此时
则 不成立. 故在 轴上不存在点 ，使得四边形 为矩形
随堂练习：答案：（1） （2）32
解：（1）由 可得 的准线为直线 ，所以点
过点 作 的准线的垂线，垂足为 ，如图所示，则 ，
因为 ，所以 ，设直线 的倾斜角为 ，则 ，即
，
得直线 的斜率为1，所以直线 的方程为
（2） ，设 ， ， ，
若 轴，由 ，得 ， 、 为 、 ，
此时不满足 ，所以不满足题意.设直线 方程为 ，直线 的方程为 ，如图所示：
将 代入抛物线方程得 ，所以 ， ，
将 代入抛物线方程得 ，所以 ①，
直线 的斜率为 ，同理 的斜率为 ，
因为 ，所以 ， 所以 ，即
②，
由①②解得 ， ， 所以 或者 ，
当 时，直线 方程为 ， ， ，
因为 ， 满足 ，所以 ，
所以 ，所以 的面积为32，
同理可得当直线 方程为 时 的面积也为32. 所以 的面积
为32.典例6、答案：（1）证明见解析. （2）
解：（1）因为点 的直线l过与抛物线 交于A、B两点，
所以直线的斜率存在，可设 .
设 ，则 ，消去y可得： ，所以
.
对抛物线 可化为 ，求导得： ，
所以以 为切点的切线方程为 ，整理得： .
同理可求：以 为切点的切线方程为 .
两条切线方程联立解得： ， ，所以 .
过点P且垂直于x轴的直线 为： ，所以 . 所以 ，即点N是
中点.
设 . 因为点D到MN的距离为 ，所以 .
因为点B到MN的距离为 ，所以 .
所以 .
（2）由（1）可知：点N是 中点.同理可证：点N是 中点. 所以.
设 ，则 ，消去y可得： ，
所以 .所以 .
由（1）可知： ， ，所以 .
同理可求： ， .
所以
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 . 即 的取值范围为 .
随堂练习：答案：（1） ； （2）证明见解析； （3）
解：（1）设点 ，则 ，所以 中点坐标为 代入 ，得
，
所以 ，即 ；
（2）设 ，所以 中点 代入 ，得
，同理， .所以， 是方程 的两根，
由韦达定理： ，又 中点为 ，所以 ，所以 ，
即直线 轴；
（2）当 轴时，由对称性知， 在 轴上，则 ，
所以 化为 ， 即 ，所以
；
当 的斜率存在时， 方程为 ，即
，
所以 ，又由（2）知， ，则
，
所以 .
又点 到直线 的距离 ，
故 .又 ，得 ，故，
由 ， .综上， ，所以 的面积的最大
值为 .
