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专题20 抛物线中向量问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知 的顶点都在抛物线 上，且 的重心为抛物线的焦点F，则
（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 两点，点 为平面上任意一点， 为坐标
原点，则 （ ）
A． B． C．3 D．5
3．已知直线 与抛物线 交于 两点，与圆 交于 两点， 在 轴的
同侧，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知抛物线 的焦点为F，C的准线与对称轴交于D，过D的直线l与C交于A，B两点，且
，若FB为 的平分线，则 等于（ ）
A． B．8 C．10 D．
5．已知抛物线 的焦点为 ，动点 在 上，圆 的半径为1，过点 的直线与圆 相切于点
，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．在平面直角坐标系 中，若抛物线 的准线与圆 相切于点 ，直线 与抛物线 切于点 ，点 在圆 上，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知过抛物线 的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若D为线段AB的中点，连接OD并
延长交抛物线C于点M，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线 ，直线 交抛物线 于 两点， 是 的中点，过 作 轴的垂线交
抛物线 于点 ，且 ，若 ，则k为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．设F为抛物线C： 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线C的方程为 ，过C焦点F的直线与C交于M，N两点，直线MO与C的准线交于Q
点（其中O为坐标原点），P为C准线上的一个动点，下列选项正确的是（ ）
A．当直线MN垂直x轴时，弦MN的长度最短
B． 为定值
C．当PM与C的准线垂直时，必有D．至少存在两个点P，使得
11．已知点A是抛物线 上的动点， 为坐标原点， 为焦点， ，且
三点顺时针排列，则（ ）
A．当点 在 轴上时，
B．当点 在 轴上时，点A的坐标为
C．当点A与点 关于 轴对称时，
D．若 ，则点A与点 关于 轴对称
12．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线 ，
弦 过焦点 为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．
C．对于任意的点 ，必有向量 与向量 共线
D． 面积的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知抛物线 的焦点为F，过F的直线 与抛物线交于A，B两点，且 ，O为坐标原
点，则 的面积为 .
14．已知F是抛物线 的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若 ，
则15．已知抛物线C： 的焦点为F，准线为 ，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点， 与x轴
相交于点M，若 ， ，则 .
16．已知抛物线 与圆 ，过抛物线的焦点 作斜率为 的直线 与抛物线交于 两点，
与圆交于 两点（ 在 轴的同一侧），若 ，则 的值是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知 是抛物线 上一点，且M到C的焦点的距离为5.
(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；
(2)如图所示，过点 的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设 ， ，求
证： 是定值.
18．已知 ， 为椭圆C的左右焦点，且抛物线 的焦点为 ，M为椭圆的上顶点， 的面积为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 的直线l与椭圆C交于A，B两点，О为坐标原点，且 ，若椭圆C上存在一
点E，使得四边形OAED为平行四边形，求 的取值范围.
19．已知椭圆 ： 的离心率为 ，且其中一个焦点与抛物线 的焦点重合．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 ： 与椭圆 交于不同的A，B两点，且满足 （ 为坐标原点），求弦长
的值．
20．已知抛物线 ，点 在抛物线上，直线 交 于 ， 两点， 是线段 的中点，
过 作 轴的垂线交 于点 ．
(1)求点 到抛物线焦点的距离；
(2)是否存在实数 使 ，若存在，求 的值；若不存在，说明理由．21．已知抛物线 的焦点为 为 上一动点， 为圆 上一动点，
的最小值为 .
(1)求 的方程；
(2)直线 交 于 两点，交 轴的正半轴于点 ，点 与 关于原点 对称，且 ，求证
为定值.
22．已知直线 与抛物线 交于 两点，且 ．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
