文档内容
专题 11 离心率问题速解
【命题规律】
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
【核心考点目录】
核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
核心考点四：椭圆与双曲线的 通径体
核心考点五：椭圆与双曲线的 直角体
核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
核心考点七：双曲线的 底边等腰三角形
核心考点八：焦点到渐近线距离为b
核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
核心考点十一：渐近线平行线与面积问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y
轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点
重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（2021·全国·统考高考真题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，
离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
________________．
6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交
双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率
是_________．
7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线
与C无公共点”的e的一个值______________．
【方法技巧与总结】
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆
上的任意一点， ； 为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线
上的任一点， ．
3、利用角度长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上的动点，
若 ，则椭圆离心率 的取值范围为 ．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
【核心考点】
核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
【典型例题】例1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆 上一点 关于原点的对称点为点 ， 为
其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022春·辽宁葫芦岛·高二统考期中）已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，
点 是椭圆上的一个动点，若使得满足 是直角三角形的动点 恰好有6个，则该椭圆的离心率为（
）
A． B． C． D．
例3．（2022秋·安徽·高二校联考开学考试）若P是以 ， 为焦点的椭圆 上的一点，
且 ， ，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
【典型例题】
例4．（2022春·福建漳州·高二校联考期中）已知椭圆 （ ），椭圆的左、右焦点
分别为 ， ，P是椭圆C上的任意一点，且满足 ，则椭圆C的离心率e的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
例5．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为
，若C上存在一点P，使得 ，且 内切圆的半径大于 ，则C的离心率的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
例6．（2022春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考阶段练习）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，若存在点 为椭圆上一点，使得 ，则椭圆离心率 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
例7．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知椭圆 上一点A关于
原点的对称点为B，F为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆离心率e的最大
值为___________.
例8．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知椭圆 上一点A
关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆的离心率
e的取值范围是___________.
例9．（2022·高二单元测试）椭圆 上一点 关于原点的对称点为 ， 为其右焦点，
若 ，设 ，且 ，则该椭圆离心率的取值范围为________.
核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
【典型例题】
例10．（2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点
分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为
，则 等于_______．
例11．（2022春·山东青岛·高二统考期末）已知椭圆 和双曲线 有共同的焦点 ， ，P是它们的一
个交点，且 ，记椭圆 和双曲线 的离心率分别为 ， ，则 的最小值为
（ ）
A．24 B．37 C．49 D．52
例12．（2022春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ，P是它们的一个
交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
例13．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ，
， 是它们的一个交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则当 取最大值时，， 的值分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
例14．（2022·河南洛阳·校联考模拟预测）已知椭圆 ： 和双曲线 ：
有共同的焦点 ， ， 是它们在第一象限的交点，当 时， 与 的
离心率互为倒数，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
核心考点四：椭圆与双曲线的 通径体
【典型例题】
例15．（2022·广西南宁·南宁市第八中学校考一模） 已知椭圆 的左、右焦点分别为
，过 且与 轴垂直的直线交椭圆于 两点，直线 与椭圆的另一个交点为 ，若 ，
则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，过
直线与椭圆 交于 ， 两点，设线段 的中点 ，若 ，且 ，则椭圆 的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
例17．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点为 ， ，
过 且垂直于 轴的直线交 于 ， 两点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
例18．（2022春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）如图，已知A，B，C是双曲线 上的三
个点， 经过原点O， 经过右焦距F，若 且 ，则该双曲线的离心率等于_____．核心考点五：椭圆与双曲线的 直角体
【典型例题】
例19．（2022春·福建福州·高二福建省福州格致中学校考阶段练习）已知 ， 是双曲线
的左、右焦点，过 作斜率为 的直线 ， 分别交 轴和双曲线右支于点 ，
，且 ，则 的离心率为______.
例20．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、
，过 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交于A、B两点，A是 的中点，且 ，则双曲
线C的离心率 （ ）
A． B．2 C． D．
例21．（2022·天津·统考一模）设 分别是双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点，
过左焦点 作直线 与圆 切于点 ，与双曲线右支交于点 ，且满足 ，
，则双曲线的方程为( )
A． B． C． D．
例22．（2022·四川广元·统考三模）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的
直线交椭圆于 ， 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）A． B． C． D．
例23．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，已知 ， 为双曲线 ：
的左、右焦点，过点 ， 分别作直线 ， 交双曲线 于 ， ， ， 四点，使得
四边形 为平行四边形，且以 为直径的圆过 ， ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
【典型例题】
例24．（2022春·陕西西安·高二期末）设 ， 是椭圆 ： 的左、右焦点，过点
且倾斜角为60°的直线 与直线 相交于点 ，若 为等腰三角形，则椭圆 的离心率 的
值是（ ）
A． B． C． D．
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左焦点为 ，过 作一倾斜角为 的直线
交双曲线右支于 点，且满足 （ 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率 为（ ）
A． B． C． D．
例26．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知 是椭圆 的左､右焦点，点
为抛物线 准线上一点，若 是底角为 的等腰三角形，则椭圆的离心率为
（ ）
A． B． C． D．例27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左右焦点为 ，若椭圆C上恰
好有6个不同的点P，使得 为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
核心考点七：双曲线的 底边等腰三角形
【典型例题】
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，过点
作斜率为 的直线 与双曲线的左，右两支分别交于 ， 两点，以 为圆心的圆过 ， ，则双
曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
例29．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 作
斜率为 的直线 与双曲线 的左､右两支分别交于 两点，且 ，则双曲线 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．2
核心考点八：焦点到渐近线距离为b
【典型例题】
例30．（2022·全国·模拟预测）设 ， 分别是双曲线 ： 的左､右焦点， 为坐
标原点，过右焦点 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 .若 ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
例31．（2022·全国·高三专题练习）设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是坐
标原点．过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例32．（2022·全国·高三专题练习）设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是坐标原点．过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
例33．（多选题）（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）过双曲线 （ ， ）的右焦点
F引C的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若 ， ，则C的离心
率可以是（ ）
A． B． C． D．2
核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
【典型例题】
例34．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为
，过 作双曲线 的一条渐近线的垂线 ，垂足为 ，直线 与双曲线 的左支交于 点 ，且 恰
为线段 的中点，则双曲线 的离心率为 （ ）
A． B． C．2 D．
例35．（2022秋·安徽·高二校联考期中）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，以
为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 （异于坐标原点 ），若线段 交双曲线于点 ，且
则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左焦点为 ，过点 的直线
与两条渐近线的交点分别为 两点(点 位于点M与点N之间)，且 ，又过点 作
于P(点O为坐标原点)，且 ，则双曲线E的离心率 （ ）A． B． C． D．
例37．（2022·全国·统考模拟预测）设 是双曲线 的一个焦点，过 作双曲线的一
条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于 两点．若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．5
核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
【典型例题】
例38．（2022春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）已知 是双曲线
的右焦点， 为坐标原点，过 的直线与 的两条渐近线的交点分别为 ，若
， ，则 的离心率为________.
例39．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知双曲线 ： 的左焦点为 ，过点
的直线与两条渐近线的交点分别为 ， 两点（点 位于点 与点 之间），且 ，又过点
作 于 （点 为坐标原点），且 ，则双曲线 的离心率 为__________.
例40．（2022春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）过双曲线 的左焦点
F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，过A，B分别作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别
为P，Q.若 ，则双曲线的离心率为___________.
例41．（2022·高二课时练习）过双曲线 的右焦点F引一条渐近线的垂线，垂足为点
A､在第二象限交另一条渐近线于点B，且 ，则双曲线的离心率的取值范围是
___________．
例42．（2022·全国·高三专题练习）双曲线 的左､右焦点分别为 、 ， 过
的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点（P在第二象限，Q在第一象限）
，则双曲线C的离心率为______．
例43．（2022春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）已知双曲线C： 的左、右焦
点分别为F，F，过F 的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 ， ，则C
1 2 1
的离心率为____________．
例44．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）已知 是双曲线 的左焦点，圆
与双曲线在第一象限的交点 ，若 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是___________.
例45．（2022·四川·统考模拟预测）设双曲线 的左，右焦点分别为 ，左，右顶
点分别为A，B，以 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，若 为等腰三角形，则
双曲线的离心率为_________．
例46．（2022秋·天津·高三专题练习）已知F（﹣c，0），F（c，0）分别为双曲线 1（a＞0，b
1 2
＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限交于点P，若tan∠PFF
1 2
，则该双曲线的离心率为_____．
例47．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，两条渐
近线分别为 ， .过点 且与 垂直的直线分别交 ， 于 ， 两点， 为坐标原点，若满足
，则该双曲线的离心率为______.
核心考点十一：渐近线平行线与面积问题
【典型例题】
例48．（2022春·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考阶段练习）已知双曲线 的
左、右焦点分别为 ，过双曲线C上任意一点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为
， 等于 展开式的常数项，则双曲线C的离心率为
A．3 B．3或 C． D． 或
例49．（2022春·贵州六盘水·高三校考期末）在平面直角坐标系 中，已知双曲线
，过双曲线的右焦点 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 、
，若四边形 为正方形，则双曲线 的离心率为__________.
例50．（2022秋·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线 的左顶点为 ，过 作双曲
线两条渐近线的垂线，垂足分别为 ， ，且 （ 为坐标原点），则此双曲线的离心率是
___.
例51．（2022·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）在平面直角坐标系 中，离心率为 的双曲线
的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线上一点，且 轴，过点 作双曲线
的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于 ， 两点，若四边形 的面积为 ，则 的面积为______.
例52．（2022春·全国·高二期中）已知双曲线 上一点 坐标为 为双
曲线 的右焦点，且 垂直于 轴.过点 分别作双曲线 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成
的图形面积等于 ，则该双曲线的离心率是________.
例53．（2022·浙江·校联考模拟预测）过双曲线 上一点 作直线 ，与双曲线的两条渐
近线分别交于 ，且 为线段 的中点，若 （ 为坐标原点）的面积为2，则双曲线的离心率
为______.
例54．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）过双曲线 上的任意一点 ，作双
曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点 ，若 ，则双曲线离心率的取值范围是
___________.
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦点为 ，点
，若双曲线的左支上存在一点 ，使得 ，则双曲线 的离心率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线 ，F为C的下焦点．O为坐
标原点， 是C的斜率大于0的渐近线，过F作斜率为 的直线l交 于点A，交x轴的正半轴于点B，若
，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆 的左、右焦点分别为
， ，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若 ，
，则椭圆C的离心率为（ ）A． B． C． D．
4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线
AC，BD，若直线AC与BD的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆 的左焦点为
F，A，B分别为C的左右顶点， 与y轴的一个交点为D，直线AD，BG的交点为
M，且 轴，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆 ： ，斜率
为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，与 轴， 轴分别交于 ， 两点，若 ，则椭圆 的
离心率 为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ，直线l过坐标原点并交椭圆于
两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线 交椭圆
于点B，若直线 恰好是以 为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．
8．（2022春·浙江金华·高三期末）设 为坐标原点， 为双曲线 的两个焦点，
为双曲线的两条渐近线， 垂直 于 的延长线交 于 ，若 ，则双曲线的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知 、 为双曲线 的左、右焦点， 为
双曲线的渐近线上一点，满足 ， （ 为坐标原点），则该双曲线的离心率是
（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆 的左､右焦点分别为 ，过
的直线与 交于 两点.若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线 右焦点为 ，过 且垂直于
x轴的直线与双曲线交于A，B两点，点 ，若 为锐角三角形，则下列说法正确的是
（ ）
A．双曲线过点
B．直线 与双曲线有两个公共点
C．双曲线的一条渐近线 的斜率小于
D．双曲线的离心率取值范围为
12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆 与椭圆 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆
的右顶点为椭圆 的中心，设椭圆 与椭圆 的长半轴长分别为 和 ，半焦距分别为 和 ，离心
率分别为 和 ，则以下结论中正确的是（ ）A． B．
C． D．
13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆 的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，
且AB⊥BF，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P是椭圆 与双曲
线 在第一象限的交点，且 共焦点 的离心率分别为
，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为2 D．
15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知 分别为双曲线 的左、右焦点，
过点 的直线与双曲线的右支交于 两点，记 的内切圆 的半径为 的内切圆 的半径为 ，若 ，则（ ）
A． 、 在直线 上 B．双曲线的离心率
C． 内切圆半径最小值是 D． 的取值范围是
16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知 ， 是双曲线 ：
的左、右焦点，过 作倾斜角为30°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P， ，下列判断
正确的是（ ）
A． B．
C． 的离心率等于 D． 的渐近线方程为
三、填空题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点
在双曲线 上，点 在直线 上，且满足 .若存在实数 使得
，则双曲线 的离心率为_____________
18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆 和双曲线 有共同的左、右焦点 ，M是它们的一个交点，
且 ，记 和 的离心率分别为 ，则 的最小值是___________.
19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥
运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，
内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切
线AC，BD，且两切线斜率之积等于 ，则椭圆的离心率为______．
20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 的左顶点为 ，
右焦点 ， 若直线 与该双曲线交于 两点， 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率
为__________21．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆 与双曲线 的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点 、
，P是 与 在第一象限的交点，当 时，双曲线 的离心率等于______.
22．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲
线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球
，球 的半径分别为4和2，球心距离 ，截面分别与球 ，球 相切于点 （ 是
截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.
