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专题15 直线与抛物线的位置关系
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知抛物线 ，过点 的直线l与抛物线C交于A，B两点，若 ，则直线l的斜
率是（ ）
A． B．3 C． D．6
2．已知抛物线C的方程为 ，过点 和点 的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．过抛物线 上定点 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于另外两点 、
，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知抛物线 的焦点为F，直线l过点F且与C交于M，N两点，若 ，则 的面
积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点 为抛物线 ： 的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线 于A，B两点，
若 ，则 （ ）A． B．1 C． D．2
6．抛物线 上一点 到直线 距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点 和抛物线 ，过抛物线 的焦点有斜率存在且不为0的直线与 交于 ， 两
点.若 ，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线 ： 和圆 ： ，过 点作直线 与上述两曲线自左而右依次交于点 ，
， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．若直线 与抛物线 只有一个公共点，则实数k的值可以为（ ）
A． B．0 C．8 D．-8
10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与
C相交于 两点，则（ ）
A． B．
C． D． AOB的面积为
△
11．过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于 、 两点，它们的横坐标之和等于 ，则这样的
直线方程为（ ）A． B．
C． D．不存在
12．在平面直角坐标系 中，已知 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线上且位于
轴的两侧， ，则（ ）
A． B．直线 过点
C． 的面积最小值是 D． 与 面积之和的最小值是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知抛物线 的顶点为坐标原点，准线为 ，直线 与抛物线 交于 两点，若线段 的中
点为 ，则直线 的方程为 ．
14．已知抛物线 上的两个不同的点 ， 的横坐标恰好是方程 的根，则直线 的方
程为 ．
15．已知O为坐标原点，A，B为抛物线 上异于点O的两个动点，且 ．若点O
到直线AB的距离的最大值为8，则p的值为 ．
16．已知抛物线C： 的焦点为F，过F点倾斜角为 的直线与曲线C交于A、B两点（A在B的右
侧），则 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．点 为抛物线 上一点， 为其焦点，已知 ．
(1)求 与 的值；
(2)以 点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求 的面积．18．已知直线 上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且 ，记点P
的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程．
(2)设直线l与x轴交于点A，且 ．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论．
19．已知点 在抛物线 ： 上
(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 与抛物线 交于 ， 两点， ，且 （其中 为坐标原点），
求 的最小值
20．已知抛物线 上的点 到其焦点的距离为 ．(1)求 和 的值；
(2)若直线 交抛物线 于 、 两点，线段 的垂直平分线交抛物线 于 、 两点，求证：
、 、 、 四点共圆．
21．已知点A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的动点，过点M（－1，2）的直线AM与抛物线交于另一点B．
(1)当A的坐标为（－2，1）时，求点B的坐标；
(2)已知点P（0，2），若M为线段AB的中点，求 面积的最大值．
22．在平面直角坐标系 中，动点 到点 的距离比到直线 的距离小2．
(1)求 的轨迹的方程；
(2)设动点 的轨迹为曲线 ，过点 作斜率为 ， 的两条直线分别交 于M，N两点和P，Q两点，其
中 ．设线段 和 的中点分别为A，B，过点 作 ，垂足为 ．试问：是否存在定
点 ，使得线段 的长度为定值．若存在，求出点 的坐标及定值；若不存在，说明理由．
