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专题19 抛物线中的定点、定值、定直线问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知点 ，过点 作直线l与抛物线 相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别
为 ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．无法确定
2．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上（异于顶点）， （点 为坐标原点），过
点 作直线 的垂线与 轴交于点 ，则 （ ）
A．6 B． C．4 D．
3．过抛物线 的焦点 的直线l交抛物线 于 两点，若点P关于x轴对称的点为M，则直线
QM的方程可能为
A． B．
C． D．
4．已知直线l与抛物线 交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线 的斜率之积为 ，则
直线l恒过定点（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线 的焦点为 ，过 且不与 轴垂直的直线与抛物线相交于 、 两点， 为 轴
上一点，满足 ，则 （ ）
A．为定值 B．为定值C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为
6．已知点 ，设不垂直于 轴的直线 与抛物线 交于不同的两点 、 ，若 轴是 的
角平分线，则直线 一定过点（ ）
A． B． C． D．
7．已知 、 、 是抛物线 上三个不同的点，且抛物线的焦点 是 的重心，若直线
、 、 的斜率存在且分别为 、 、 ，则 （ ）
A．3 B． C．1 D．0
8．已知抛物线的方程为 ，过其焦点F的直线交此抛物线于M．N两点，交y轴于点E，若
， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．如图，过点 作两条直线 和 ： （ ）分别交抛物线 于 ， 和 ，
（其中 ， 位于 轴上方），直线 ， 交于点 ．则下列说法正确的（ ）
A． ， 两点的纵坐标之积为
B．点 在定直线 上
C．点 与抛物线上各点的连线中， 最短
D．无论 旋转到什么位置，始终有10．已知抛物线 ，过其准线上的点 作 的两条切线，切点分别为A、B，下列说
法正确的是（ ）
A． B．当 时，
C．当 时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点
11．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 、 是 上异于点 的两点（ 为坐标原点）则下列
说法正确的是（ ）
A．若 、 、 三点共线，则 的最小值为
B．若 ，则 的面积为
C．若 ，则直线 过定点
D．若 ，过 的中点 作 于点 ，则 的最小值为
12．已知抛物线 ， 为 轴正半轴上一点，则（ ）
A．存在点 ，使得过点 任意作弦 ，总有 为定值
B．不存在点 ，使得过点 任意作弦 ，有 为定值
C．存在点 ，使得过点 任意作弦 ，总有 为定值
D．不存在点 ，使得过点 任意作弦 ，有 为定值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设A、B为抛物线 上的点，且 （O为原点），则直线 必过的定点坐标为．
14．已知抛物线 和直线 ，点 为直线 上的动点（不在 轴上），以点
为圆心且过原点 的圆与直线 交于 ， 两点，若直线 ， 与 的另一个交点分别为 ， ，记直
线 ， 的斜率分别为 ， ，则 ．
15．已知AB，CD是过抛物线 焦点F且互相垂直的两弦，则 的值为
.
16．经过抛物线 的焦点 的直线交此抛物线于 ， 两点，抛物线在 ， 两点处的切线相交
于点 ，则点 必定在直线 上．（写出此直线的方程）
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线 ， ， 是C上两个不同的点．
(1)求证：直线 与C相切；
(2)若O为坐标原点， ，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．
18．设抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且 ．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设 为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN
的斜率分别为 和 ．求证： 为定值．19．已知过点 的直线交抛物线 于A，B两点，且 （点O为坐标原点），M，
N，P是抛物线上横坐标不同的三点，直线MP过定点 ，直线NP过定点 .
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)证明：直线MN过定点.
20．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 且倾斜角为 的直线交抛物线于点
（M在第一象限）， ，垂足为 ，直线 交 轴于点 ，
(1)求 的值.
(2)若斜率不为0的直线 与抛物线 相切，切点为 ，平行于 的直线交抛物线 于 两点，且
，点 到直线 与到直线 的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理
由.
21．已知动圆 与圆 外切，与 轴相切，记圆心 的轨迹为曲线 ， ．
(1)求 的方程；
(2)若斜率为4的直线 交 于 、 两点，直线 、 分别交曲线 于另一点 、 ，证明：直
线 过定点．22．已知抛物线E： （p>0），过点 的两条直线l，l 分别交E于AB两点和C，D两点．当
1 2
l 的斜率为 时，
1
(1)求E的标准方程：
(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．
