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专题 1 圆锥曲线的方程与轨迹方程
一、考情分析
求圆锥曲线的方程,一般出现在圆锥曲线解答题的第（1）问,多用待定系数法,通过解方程确定待定系数,考
查频率非常高,也比较容易得分；求圆锥曲线的轨迹方程一般用定义法,有时可用到直接法、相关点法、交
轨法等,难度一般中等或中等以下.
二、解题秘籍
(一)用待定系数法求圆锥曲线的方程
1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根
据条件建立关于a,b的方程组．如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程
设为mx2＋ny2＝1(m>0,n>0,m≠n)的形式．
2.双曲线标准方程的形式,注意焦点F,F 的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点
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跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.确定方程的形式后,
然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的
位置,常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0),这样可以简化运算.
3. 如果已知双曲线的渐近线方程 ,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为－＝
λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．与双曲线－＝1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示－＝λ(λ≠0)．
4. 利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.
(2)求参数p的值.
(3)确定抛物线的标准方程.
【例1】（2023届山西省长治市高三上学期质量检测）已知点 在椭圆 ： （ ）
上,且点 到椭圆右顶点 的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若点 , 是椭圆 上不同的两点（均异于 ）且满足直线 与 斜率之积为 ．试判断直线 是
否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．【解析】（1）点 ,在椭圆 ： （ ）上代入得： ,
点 到椭圆右顶点 的距离为 ,则 ,
解得 , ,
故椭圆 的方程为 ．
（2）由题意,直线 的斜率存在,可设直线 的方程为 （ ）, , , ．
联立 得 ．
．
∴ , ,
∵直线 与直线 斜率之积为 ．
∴ ,
∴ ．
化简得 ,
∴ ,
化简得 ,解得 或 ．
当 时,直线 方程为 ,过定点 ．
代入判别式大于零中,解得 （ ）．
当 时,直线 的方程为 ,过定点 ,不符合题意．综上所述：直线 过定点 ．
【点评】利用待定系数法求椭圆的方程,一般需要两个独立的条件确定关于 的等式.
【例2】（2023届广东省开平市忠源纪念中学高三阶段性检测）已知双曲线 的离心
率为 ,点 在 上.
(1)求双曲线 的方程.
(2)设过点 的直线 与双曲线 交于 两点,问在 轴上是否存在定点 ,使得 为常数？若存
在,求出点 的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线 的离心率为 ,
所以 ,化简得 .
将点 的坐标代入 ,可得 ,
解得 ,
所以 的方程为 .
（2）设 ,直线 的方程为 ,联立方程组 消去 得（1-
,
由题可知 且 ,即 且 ,
所以 .设存在符合条件的定点 ,则 ,
所以 .
所以 ,
化简得 .
因为 为常数,所以 ,解得 .
此时该常数的值为 ,
所以,在 轴上存在点 ,使得 为常数,该常数为 .
【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准
方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值．注意用待定系数法确定双曲线的标准方
程要注意方程的个数要与未知数的个数相等.
【例3】（2023届甘肃省张掖市高三上学期诊断）已知抛物线 上的点 到其焦点F
的距离为 .
(1)求抛物线C的方程；
(2)点 在抛物线C上,过点 的直线l与抛物线C交于 , 两点,点H
与点A关于x轴对称,直线AH分别与直线OE,OB交于点M,N(O为坐标原点),求证： .
【解析】（1）由点 在抛物线上可得, ,解得 .
由抛物线的定义可得 ,整理得 ,解得 或 (舍去).
故抛物线C的方程为 .（2）由 在抛物线C上可得 ,解得 ,所以 ,
直线OE的方程为 ,
因为点 和点 关于 轴对称,所以 , 均不为0.
由题意知直线l的斜率存在且大于0,
设直线l的方程为 ,
联立 消去y,得 .
则 ,得 ,所以 , .
由直线OE的方程为 ,得 .
易知直线OB的方程为 ,故 .
要证 ,即证 ,
即证 ,即证 ,
即证 ,则 ,此等式显然成立,
所以 .
【点评】用待定系数法求抛物线的标准方程,只需要确定p的值,因此只需要由已知条件整理出一个关于p的
等式.
(二)直接法求曲线轨迹方程
1.直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性．通常将步骤
简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤,但最后的证明可以省略．
2.求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
3.对方程化简时,要保证前后方程解集相同,必要时可说明x,y的取值范围．
【例4】设动点 在直线 和 上的射影分别为点 和 ,已知 ,其中 为坐标原点.（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过直线 上的一点 作轨迹 的两条切线 和 ( , 为切点),求证：直线 经过定点.
【分析】（1）利用直接法求轨迹方程,设 ,把 坐标化,即可得到动点 的轨迹 的方
程；
（2）利用导数的几何意义,求得切线斜率,设 ,可得切线 、 的方程,联立可得切点 的
坐标为 ,又点 在直线 上,代入可得 ,再代入到直线 的方程即可得
解.
【解析】（1）设 ,则 ,
所以 ,
由条件可得 ,
整理可得点 的轨方程为 ；
（2）由（1）知, ,求导可得 ,
设 ,
则切线 的方程为 ,
即 ①,
同理可得切线 的方程为 ②,
联立①②,解得点 的坐标为 ,
因为点 在直线 上,
所以 ,即 ,又直线 的斜率 ,
所以直线 的方程为： ,
即 ,又 ,
代入可得 ,
所以直线 过定点 .
【点评】利用直接法求曲线的轨迹方程一般是根据题中的一个等量关系式,将其坐标化,即可得到曲线的轨
迹方程.
(三)定义法求曲线轨迹方程
1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求
出方程．
2.定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解．
3. 平面内与两个定点F,F 的距离之和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的
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焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a},|FF|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数：
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(1)若a>c,则集合P为椭圆；
(2)若a＝c,则集合P为线段；
(3)若a0,c>0.
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(1)当2a<|FF|时,P点的轨迹是双曲线；
1 2
(2)当2a＝|FF|时,P点的轨迹是以F,F 为端点的两条射线；
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(3)当2a>|FF|时,P点不存在．
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5. 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线
的焦点,直线l叫做抛物线的准线．
注意：
(1)定直线l不经过定点F.
(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
【例5】（2023届河北省示范性高中高三上学期调研）已知圆A： ,直线l（与x轴不重合）过点 交圆A于C、D两点,过点B作直线 的平行线交直线 于点E.
(1)证明 为定值,并求点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹方程为 ,直线l与曲线 交于M、N两点,线段 的垂直平分线交x轴于点P,是否存在实
常数入,使得 ,若存在,求出 的值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1） ,得 ,
当 时,如图1所示,
因为D,C都在圆A上
所以 ,即
又因为 ,所以 ,
所以 ,∴ ,
所以
当 时,如图2所示,同理可得,
因此 ,所以点E的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,
故 , ,即 , ,所以 ,
∴ 为定值2,且点E的轨迹方程为 .
（2）由题知,直线l的斜率不为0,设l： ,
联立 消去x得, ,
于是 ,
设 , ,则有 , ,
故 ,
所以线段 的中点为 ,
从而线段 的中垂线的方程为
令 得, ,∴
又
故 ,于是
即存在 使得 .
【点评】利用双曲线定义求轨迹方程,关键是利用题中条件,确定动点到两定点距离之差的绝对值为定值.【例6】已知一定点 ,及一定直线l： ,以动点M为圆心的圆M过点F,且与直线l相切．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设P在直线l上,直线PA,PB分别与曲线C相切于A,B,N为线段AB的中点．求证： ,且直
线AB恒过定点．
【解析】（1）动点M为圆心的圆M过点F,且与直线l相切,
动圆圆心到定点F（0,1）与定直线y=-1的距离相等,
∴动圆圆心的轨迹为抛物线,其中F（0,1）为焦点,y=-1为准线,
,∴动圆圆心轨迹方程为x2=4y．
（2）依题意可设 ,
又
故切线 的斜率为 ,
故切线
同理可得到切线
又 ,∴ 且 ,
故方程 有两根 ∴ ,
又 为线段 的中点,
又由 得到： 即
同理可得到 ,
故直线AB方程为： ,故直线过定点 .【点评】利用抛物线定义求轨迹方程关键是确定动点到一定点与定直线距离相等.
(四)相关点法求曲线轨迹方程
“相关点法”求轨迹方程的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x,y)；
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(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．
【例7】（2023届广东省揭阳市高三上学期调研）已知 ､ 是椭圆 ： 的左､右焦点,点
是椭圆上的动点．
(1)求 的重心 的轨迹方程；
(2)设点 是 的内切圆圆心,求证： ．
【解析】（1）连接 ,由三角形重心性质知 在 的三等分点处（靠近原点）
设 ,则有
又 ,所以 ,即
的重心 的轨迹方程为 ；
（2）根据对称性,不妨设点 在第一象限内,易知圆 的半径为等于 ,
利用等面积法有：
结合椭圆定义：有 ,解得
由 ､ 两点的坐标可知直线 的方程为
根据圆心 到直线 的距离等于半径,有
∴ ,∴
∴ ,又
化简得 ,即
∴ ,即
由已知得 , ,则
所以 ,即 ．
(五)交轨法求曲线轨迹方程
求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来
得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可
以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.
【例8】（2022届重庆市第八中学高三上学期月考）已知抛物线 ,过点 的直线交抛物线
于 两点,以 为切点分别作抛物线 的两条切线交于点 .
（1）若线段 的中点 的纵坐标为 ,求直线 的方程；
（2）求动点 的轨迹.
【分析】（1）联立直线与抛物线,根据韦达定理及中点求出k即可；
（2）写出圆的切线方程,根据P是交点可得 是方程 的两根,由（1）中代入化简即可求出.
【解析】（1）依题意有：直线 的斜率必存在,故可设直线 的方程为
由 可得： .
设 ,则有
于是： ,解得 ,
故直线 的方程为
（2）设 ,对于抛物线 ,
于是： 点处切线方程为 ,
点 在该切线上,故 ,即 .
同理： 点坐标也满足
于是： 是方程 的两根,
所以
又由（1）可知： ,
于是 ,消k得 ,于是 的轨迹方程为 ,点 的轨迹是一条直线.
【点评】求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法
三、跟踪检测
1．（2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月阶段测试）已知椭圆 ： （ ）的离心
率为 ．圆 （ 为坐标原点）在椭圆 的内部,半径为 ． , 分别为椭圆 和圆 上的动点,且 ,
两点的最小距离为 ．(1)求椭圆 的方程；
(2) , 是椭圆 上不同的两点,且直线 与以 为直径的圆的一个交点在圆 上．求证：以 为直径
的圆过定点．
2．（2023届山西省忻州市高三上学期联考）已知双曲线 的离心率是 ,点 是双曲
线 的一个焦点,且点 到双曲线 的一条渐近线的距离是2.
(1)求双曲线 的标准方程.
(2)设点 在直线 上,过点 作两条直线 ,直线 与双曲线 交于 两点,直线 与双曲线 交于
两点.若直线 与直线 的倾斜角互补,证明： .
3．（2023届广东省茂名市高三上学期9月大联考）如图,平面直角坐标系 中,点 为 轴上的一个动点,
动点 满足 ,又点 满足 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过曲线 上的点 （ ）的直线 与 , 轴的交点分别为 和 ,且 ,过原点 的
直线与 平行,且与曲线 交于 、 两点,求 面积的最大值.
4．（2023届湖南省永州市高三上学期适应性考试）点 在双曲线 上,离心率
.
(1)求双曲线 的方程；(2) 是双曲线 上的两个动点（异于点 ）, 分别表示直线 的斜率,满足 ,求证：直线
恒过一个定点,并求出该定点的坐标.
5．（2023届福建师范大学附属中学高三上学期月考）在平面直角坐标系 中, 设点 ,
点 与 两点的距离之和为 为一动点, 点 满足向量关系式： ．
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)设 与 轴交于点 ( 在 的左侧), 点 为 上一动点 (且不与 重合)． 设直线 轴与直线
分别交于点 ,取 ,连接 ,证明： 为 的角平分线．
6．（2023届云南省大理市辖区高三统一检测）已知 为椭圆C的左、右焦点,点 为其上一点,且
．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,点P关于坐标原点O的对称点R,试问 的面积是否存在最
大值？若存在,求出这个最大值；若不存在,请说明理由．
7．（2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试）已知抛物线 的焦点 到准线的距
离为2．
(1)求 的方程；
(2)已知 为坐标原点,点 在 上,点 满足 ,求直线 斜率的最大值．
8．（2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考）已知抛物线 ,O是坐
标原点,F是C的焦点,M是C上一点, , ．
(1)求抛物线C的标准方程；(2)设点 在C上,过Q作两条互相垂直的直线 ,分别交C于A,B两点（异于Q点）．证明：直
线 恒过定点．
9．（2023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期9月联考）已知椭圆
的离心率为 ,椭圆上一动点 与左､右焦点构成的三角形面积最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的左､右顶点分别为 ,直线 交椭圆 于 两点,记直线 的斜率为 ,直线 的斜率为
,已知 .
①求证：直线 恒过定点；
②设 和 的面积分别为 ,求 的最大值.
10．（2022届云南省红河州高三检测）在平面直角坐标系 中,点 是以原点 为圆心,半径为 的圆上
的一个动点.以原点 为圆心,半径为 的圆与线段 交于点 ,作 轴于点 ,作
于点 .
（1）令 ,若 , , ,求点 的坐标；
（2）若点 的轨迹为曲线 ,求曲线 的方程；
（3）设（2）中的曲线 与 轴的正半轴交于点 ,与 轴的正负半轴分别交于点 , ,若点 ､ 分别满
足 , ,证明直线 和 的交点 在曲线 上.
11.（2022届广东省六校高三上学期联考）在平面直角坐标系 中,已知圆 ： , ,动
圆 经过点 且与圆 相外切,记动圆的圆点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；（2）试问,在 轴上是否存在点 ,使得过点 的动直线 交 于 , 两点时,恒有 ？若存
在,求出点 的坐标；若不存在,请说明理由.
12.（2022届广东省高三上学期12月大联考）已知圆 的圆心为 ,点 是圆 上的动点,点
是抛物线 的焦点,点 在线段 上,且满足 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）不过原点的直线 与（1）中轨迹 交于 两点,若线段 的中点 在抛物线 上,求直线
的斜率 的取值范围.
