专题2直线与圆锥曲线的位置关系（原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习_2023年高考数学大题系列

专题 2 直线与圆锥曲线的位置关系 一、考情分析 直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型,一是根据直线与圆锥曲线有两个交点,研究长度、面积、定点、定 值等问题,二是判断直线与圆锥曲线的公共点个数,三是直线与圆锥曲线相切问题,其中第一类问题是高考考 查频率最高的问题. 二、解题秘籍 (一)根据直线与圆锥曲线有两个交点研究圆锥曲线的性质 1.把直线l： 与椭圆C： 联立,当 时直线l与椭圆C有2个交点； 2. 直线l： 与双曲线C： 联立得 , 当 时直线l与双曲线C有2个交点；当 时直线l与双曲线C的左右支各有一个交点； 当 时直线l与双曲线C的右支有2个交点； 3.直线l： 与抛物线C： 联立,得 ,当 时直线l与 抛物线C有2个交点. 【例1】（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆 的离心率为 ,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为 时,直线l恰好经过D点. (1)求椭圆C的方程： (2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围. 【解析】（1）由题意知,离心率 ,所以 ,设 , 两式相减得 ,所以 ； 所以直线为 ,即 ,所以 ,椭圆方程为 ； （2）设直线为 ,由 得 , 则 , , , 所以 ,解得 , , 因为l不过D点,则 ,即 则 ,化简得 , 解得 , , 所以 或 . 【例2】（2023届广东省部分学校高三上学期联考）设直线 与双曲线 ： 的两条渐 近线分别交于 , 两点,且三角形 的面积为 . (1)求 的值； (2)已知直线 与 轴不垂直且斜率不为0, 与 交于两个不同的点 , , 关于 轴的对称点为 , 为 的右焦点,若 , , 三点共线,证明：直线 经过 轴上的一个定点. 【解析】（1）双曲线 ： 的渐近线方程为 , 不妨设 ,因为三角形 的面积为 ,所以 , 所以 ,又 ,所以 . （2）双曲线 的方程为 ： ,所以右焦点 的坐标为 , 若直线 与 轴交于点 ,故可设直线 的方程为 , 设 , ,则 , 联立 ,得 , 且 , 化简得 且 , 所以 , , 因为直线 的斜率存在,所以直线 的斜率也存在, 因为 , , 三点共线,所以 , 即 ,即 , 所以 , 因为 ,所以 , 所以 , 所以 ,化简得 ,所以 经过 轴上的定点 . 【例3】（2023届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知抛物线 ： ,直线 过点 . (1)若 与 有且只有一个公共点,求直线 的方程； (2)若 与 交于 , 两点,点 在线段 上,且 ,求点 的轨迹方程. 【解析】（1）当直线 斜率不存在时,其方程为 ,符合题意； 当直线 斜率存在时,设直线 的方程为 , 由 ,得 . 当 时,直线 符合题意； 当 时,令 ,解得 , ∴直线 的方程为 ,即 . 综上,直线 的方程为 ,或 ,或 . （2）设 , , ,不妨令 , ∵直线 与抛物线 有两个交点,∴ , ∴ ,且 , , . 由 ,得 ,∴ , ∴ ,∴ .∵ ,且 ,∴ ,且 , ∴点 的轨迹方程为 （ ,且 ）. (二)根据直线与圆锥曲线有一个公共点研究圆锥曲线的性质 1.直线与椭圆有一个公共点,则直线与椭圆相切,可把直线方程与椭圆方程联立,整理成关于x或y的一元二次 方程,由 求解； 2. 直线l： 与双曲线C： 联立得 , 当 或 时直线l与双曲线C有1个交点,即直线与双曲线相切或与渐近线平行时与 双曲线有1个公共点； 3.当直线l： 与抛物线C： 联立,得 ,当 或 时直线l与抛物线C有1个交点,即直线与抛物线相切或与抛物线准线垂直时直线与抛物线有1个公共点. 【例4】（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆 ： , , 是椭圆 的左、右焦点,点 在椭圆 上,点 在椭圆 外,且 ． (1)求椭圆 的方程； (2)若 ,点 为椭圆 上横坐标大于1的一点,过点 的直线 与椭圆有且仅有一个交点,并与直线 , 交于M,N两点, 为坐标原点,记 , 的面积分别为 , ,求 的最小值． 【解析】（1）因为点 在椭圆 上,所以 ,① 因为点 在椭圆 外,且 ,所以 ,即 ,② 由①②解得 , , 故椭圆 的方程为 ．（2）设点 , ,设直线 ： , 由椭圆性质以及点 的横坐标大于1可知, , 将直线 代入方程 并化简可得, , 即 , 因为直线 与椭圆有且仅有一个交点, 所以 ,即 ． 直线 的方程为： ；直线 的方程为 ： , 联立方程 得 ,同理得 , 所以 , 所以 , , 所以 , 令 ,则 , 当且仅当 ,即 时,不等式取等号, 故当 时, 取得最小值 ． 【例5】已知双曲线C： 的焦距为4,且过点 . (1)求双曲线方程； (2)若直线 与双曲线C有且只有一个公共点,求实数 的值.【解析】（1）由题意可知双曲线的焦点为 和 , 根据定义有 ． ,又 ,所以 , , ． 所求双曲线 的方程为 ． （2）因为双曲线 的方程为 ,所以渐近线方程为 ； 由 ,消去 整理得 ． ①当 即 时,此时直线 与双曲线的渐近线平行,此时直线与双曲线相交于一点,符合题意； ②当 即 时,由 ,解得 , 此时直线 双曲线相切于一个公共点,符合题意． 综上所述：符合题意的 的所有取值为 , ． 【例6】已知顶点在原点,焦点在 轴上的抛物线过点 ． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程； (3)过点 作直线交抛物线于A、B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程． 【解析】（1）因为顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点 , 所以抛物线的焦点在y轴正半轴,设其方程为 , 将点 代入可得 ,所以 , 所以抛物线的标准方程为 ,（2）当直线斜率不存在时,过点 的直线 与抛物线 有一个交点； 当直线斜率存在时,设直线斜率为 ,直线方程为 由 得 , 直线与抛物线只有一个交点,所以 , 解得 ,所以直线方程为 综上,过点 与抛物线 有且只有一个交点的直线方程为 和 ； （3）设点 ,直线 斜率为 点 在抛物线上,所以 所以 ,即 , 所以直线方程为 经检验,直线 符合题意. (三)判断直线与圆锥曲线公共点个数 判断直线l：Ax＋By＋C＝0与圆锥曲线C：F(x,y) ＝0公共点个数时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝ 0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y) ＝0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的 一元方程．消去y后得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0 直线与圆锥曲线C有2个公共点； Δ＝0 直线与圆锥曲线C有1个公共点；Δ<0 直线与圆锥曲线C没有公共点. ⇔ (2)当a＝0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则 ⇔ ⇔ 直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴重合或平行． 【例7】（2022届浙江省温州市乐清市高三下学期5月仿真）已知 分别是椭圆 的左、右焦点,点 在直线 的同侧,且点 到直线l的距离分别为 ．(1)若椭圆C的方程为 ,直线l的方程为 ,求 的值,并判断直线与椭圆C的公共点的 个数； (2)若直线l与椭圆C有两个公共点,试求 所需要满足的条件； 【解析】（1）椭圆C的方程为 ,则 . 又直线 ,所以 , 所以 . 联立 ,消去y可得： . 因为 ,所以直线 与椭圆C有1个公共点. （2）联立 ,消去y可得： . 因为直线l与椭圆C有两个公共点,所以 ,整理化简得： . 又 ,其中 ,所以 , , 所以 . 所以直线l与椭圆C有两个公共点,则 . 【例8】如图,F是抛物线 的焦点,Q是准线与x轴的交点,斜率为k的直线l经过点Q．(1)当k取不同数值时,求直线l与抛物线公共点的个数； (2)若直线l与抛物线相交于A、B两点,求证： 是定值． (3)在x轴上是否存在这样的定点M,对任意的过点Q的直线l与抛物线相交于A、B两点,均能使得 为定值,若有,找出满足条件的点M;若没有,请说明理由． 【解析】（1）抛物线 的焦点为 , , 设 ,代入 并化简得 ①． 当 ,直线 的方程为 ,与 的交点为原点 ,直线l与抛物线有 个公共点； 当 , , 若 ,即 ,直线l与抛物线有 个公共点； 若 ,即 时,直线l与抛物线有 个公共点； 若 ,即 或 ,直线l与抛物线没有公共点． （2）由于直线 与抛物线有两个交点,由（1）得 . 设交点 、 , 由①得 ,, 所以 为定值0． （3）若存在满足条件的点 ,使得 为定值． 则 仅当 ,即 时, 为定值 ． 三、跟踪检测 x2 y2 1．已知 , 分别是椭圆C:  1ab0 的左、右焦点,点 , 在直线 的同侧,且点 , F 1 F 2 a2 b2 F 1 F 2 l:ykxm F 1 F d d 2 1 2 到直线l的距离分别为 , . x2 y2 (1)若椭圆C的方程为  1,直线l的方程为 ,求 的值,并判断直线l与椭圆C的公共点 12 3 yx 15 d d 1 2 的个数； d d 1 2 (2)若直线l与椭圆C有两个公共点,试求 所需要满足的条件； (3)结合（1）和（2）,试写出一个能判断直线l与椭圆C有公共点的充要条件（不需要证明）. y2 4x P(2,1) y2 4x 2．已知抛物线的方程为 ,直线l绕点 旋转,讨论直线l与抛物线 的公共点个数,并回答下 列问题： （1）画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系,从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么 情况？y2 4x （2） 与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？ 3．（2023届四川、云南部分学校高三上学期9月联考）已知椭圆 的离心率为 , 其左右焦点分别为 ,点 是椭圆上任意一点,且满足 . (1)求椭圆 的方程； (2)过椭圆外一点 作椭圆的两条切线 ,满足 ,求动点 的轨迹方程. 4．（2023届甘肃省金昌市永昌县高三上学期模拟）已知椭圆 的左､右焦点分别为 是 上一动点, 的最大面积为 . (1)求 的方程； (2)若直线 与 交于 两点, 为 上两点,且 ,求四边形 面积的最大值. 5．设 为双曲线 的左､右顶点,直线 过右焦点 且与双曲线 的右支交于 两 点,当直线 垂直于 轴时, 为等腰直角三角形. (1)求双曲线 的离心率； (2)已知 ,若直线 分别交直线 于 两点,当直线 的倾斜角变化时,以 为直径的圆是否 过定点,若过定点求出定点的坐标；若不过定点,请说明理由. 6．（2023届安徽省部分校高三上学期开学摸底）已知 为坐标原点,椭圆 过点 ,记线 段 的中点为 ． (1)若直线 的斜率为 3 ,求直线 的斜率; (2)若四边形 为平行四边形,求 的取值范围． 7．（2023届浙江省A9协作体高三上学期联考）已知直线 与双曲线 交于 、 两个不同的点. (1)求 的取值范围； (2)若 为双曲线 的左顶点,点 在双曲线 的左支上,点 在双曲线 的右支上,且直线 、 分别与轴交于 、 两点,当 时,求 的值. 8．（2023届河南省驻马店市上蔡县高三上学期月考）已知椭圆C： （ ）的焦距为 , 且经过点 . (1)求椭圆C的方程; (2)过点 的直线交椭圆C于A、B两点,求 （O为原点）面积的最大值. 9．给定椭圆C： ,称圆心在原点O、半径是 的圆为椭圆C的“准圆”．已知 椭圆C的一个焦点为 ,其短轴的一个端点到点F的距离为 ． (1)求椭圆C及其“准圆”的方程； (2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B,D是椭圆C上的相异两点,且 轴,求 的 取值范围； (3)在椭圆C的“准圆”上任取一点 ,过点P作两条直线 , ,使得 , 与椭圆C都只有一个公共点,且 , 分别与椭圆的“准圆”交于M,N两点．证明：直线MN过原点O． x2 y2 10．设双曲线C：  1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别是F,F,渐近线分别为l,l,过F 作渐近线的 a2 b2 1 2 1 2 2 b2 垂线,垂足为P,且△OPF 的面积为 ． 1 4 (1)求双曲线C的离心率； (2)动直线l分别交直线l,l 于A,B两点（A,B分别在第一、四象限）,且△OAB的面积恒为8,是否存在总与直 1 2 线l有且只有一个公共点的双曲线C,若存在,求出双曲线C的方程；若不存在,说明理由． x2 y2 y2 x2 C :  1(a 0,b 0) C :  1(a b 0) 11．如图,O为坐标原点,双曲线 1 a2 b2 1 1 和椭圆 2 a 2 b2 2 2 均过点 1 1 2 22 3 P( ,1) 3 ,且以 C 的两个顶点和C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． 1 2 C,C 1 2 (1)求 的方程；    l l C A,B C |OAOB||AB| (2)是否存在直线 ,使得 与 1交于 两点,与 2只有一个公共点,且 ？证明你的结论． x2 y2 C:  1a0,b0 12．已知双曲线 a2 b2 的渐近线方程为y 3x,且双曲线C过点 2,3 . (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l:ykx3与双曲线C只有一个公共点,求实数k的值. 13．（2022届上海市上海师范大学附属中学高三下学期3月月考）已知O为坐标原点,双曲线 y2 x2 x2 y2  2 3 C :  1a 0,b 0 C :  1a b 0 T1,  1 a2 b2 1 1 和椭圆 2 a2 b2 2 2 均过点   3   且以C 的两个顶点和C 的 1 1 2 2 1 2 两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． C C (1)求 1, 2的方程；    (2)是否存在直线 l ,使得 l 与 C 1交于 A , B 两点,与 C 2只有一个公共点,且 |OAOB||AB| ？证明你的结论； C 2 Q C 2 l 1 C 2 M N M x S (3)椭圆 的右顶点为 ,过椭圆 右焦点的直线 与 交于 、 两点, 关于 轴的对称点为 ,直线 S 1 与 轴交于点 , , 的面积分别为 , ,问 是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说 SN x P △MOQ  MPQ S 1 S 2 S 2 明理由． x2 y2 14．曲线: a2  b2 1ab0 的右焦点分别为 F 1 1,0,F 2 1,0,短袖长为 2 3 ,点P   3,y 0  在曲线  上,Q l:x4 PF QF 1 1 直线 上,且 . （1）求曲线的标准方程； （2）试通过计算判断直线PQ与曲线公共点的个数.   Ax,y ,Bx ,y  FF OA•OBx x x （3）若点 1 1 2 2 在都在以线段 1 2为直径的圆上,且 1 2,试求 2的取值范围. 15．已知直线 l 1 :mxy2m20 , l 2 :xmy2m20 , l 1与 y 轴交于 A 点, l 2与 x 轴交于 B 点, l 1与 l 2交于 D 点,圆C是△ABD的外接圆． （1）判断△ABD的形状并求圆C面积的最小值； D E x2 2py C P △ PDE （2）若 , 是抛物线 与圆 的公共点,问：在抛物线上是否存在点 是使得 是等腰三角形？ 若存在,求点P的个数；若不存在,请说明理由．