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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题31 圆锥曲线大题综合 （新高考通用）
1．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）已知 为抛物线 的弦，
点 在抛物线的准线 上.当 过抛物线焦点 且长度为 时， 中点 到 轴的距
离为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 为直角，求证：直线 过定点.
2．（2023·江苏泰州·统考一模）已知双曲线 的左顶点为 ，过
左焦点 的直线与 交于 两点.当 轴时， ， 的面积为3.
(1)求 的方程；
(2)证明：以 为直径的圆经过定点.
3．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ，
直线PA与直线PB的斜率之积为 ，记动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线 与曲线C交于M，N两点，直线MA，NB与y轴分别交于E，F
两点，若 ，求证：直线l过定点．
4．（2023秋·浙江·高三期末）已知点 是双曲线 上一
点，B与A关于原点对称，F是右焦点， ．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知圆心在y轴上的圆C经过点 ，与双曲线的右支交于点M，N，且直线
经过F，求圆C的方程．
5．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，点F关于直线 的对称点恰好在y轴上．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)直线 与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x
轴交于点C，若 ，求 的最大值．
6．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线 的右顶点为 ，
左焦点 到其渐近线 的距离为2，斜率为 的直线 交双曲线 于A，
B两点，且 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 交于P，Q两点，直线 ， 分别与直线 相
交于 ， 两点，试问：以线段 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的
坐标；若不过定点，请说明理由．
7．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）定义：一般地，当 且
时，我们把方程 表示的椭圆 称为椭圆 的
相似椭圆.
(1)如图，已知 为 上的动点，延长 至点 ，
使得 的垂直平分线与 交于点 ，记点 的轨迹为曲线 ，求 的方程；
(2)在条件（1）下，已知椭圆 是椭圆 的相似椭圆， 是椭圆 的左､右顶点.
点 是 上异于四个顶点的任意一点，当 （ 为曲线 的离心率）时，设直线
与椭圆 交于点 ，直线 与椭圆 交于点 ，求 的值.
8．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过坐标原点 作圆 的两条切线，
设切点为 ，直线 恰为抛物 的准线.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设点 是圆 上的动点，抛物线 上四点 满足： ，设
中点为 .
（i）求直线 的斜率；
（ii）设 面积为 ，求 的最大值.
9．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知 为抛物线 的焦点，
为坐标原点， 为 的准线 上的一点，直线 的斜率为 的面积为1．
(1)求 的方程；
(2)过点 作一条直线 ，交 于 两点，试问在 上是否存在定点 ，使得直线
与 的斜率之和等于直线 斜率的平方？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．
10．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，椭圆 的焦点分别为
为椭圆 上一点， 的面积最大值为 .(1)求椭圆 的方程；
(2)若 分别为椭圆 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线 交椭圆 于 （ 在上
方， 在下方，且均不与 点重合）两点，直线 的斜率分别为 ，且
，求 面积的最大值.
11．（2023·福建泉州·统考三模）已知椭圆 的左、右顶点分别为A，B．
直线l与C相切，且与圆 交于M，N两点，M在N的左侧．
(1)若 ，求l的斜率；
(2)记直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值．
12．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知 ， ， 三个点在椭
圆 ，椭圆外一点 满足 ， ，（ 为坐标原点）.
(1)求 的值；
(2)证明：直线 与 斜率之积为定值.
13．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知抛物线 ，过焦点 的直
线交抛物线 于 ， 两点，且 .
(1)求抛物线 的方程；(2)若点 ，直线 ， 分别交准线 于 ， 两点，证明：以线段 为直径
的圆过定点.
14．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E： 的焦距为
，且经过点 ．
(1)求椭圆E的标准方程：
(2)过椭圆E的左焦点 作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点
A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求 的最大值．
15．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知点 在椭圆
上， 的长轴长为 ，直线 与 交于 两点，
直线 的斜率之积为 .
(1)求证： 为定值；
(2)若直线 与 轴交于点 ，求 的值.
16．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）已知抛物线 的焦点也是离心率为
的椭圆 的一个焦点F．
(1)求抛物线与椭圆的标准方程；
(2)设过F的直线 交抛物线于A、B，交椭圆于C、D，且A在B左侧，C在D左侧，A
在C左侧．设 ， ， ．
①当 时，是否存在直线l，使得a，b，c成等差数列？若存在，求出直线l的方程；
若不存在，说明理由；②若存在直线 ，使得a，b，c成等差数列，求 的范围．
17．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知椭圆 的右焦点F
和抛物线 的焦点重合，且 和 的一个公共点是 ．
(1)求 和 的方程；
(2)过点F作直线l分别交椭圆于A，B，交抛物线 于P，Q，是否存在常数 ，使
为定值？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
18．（2023秋·江苏·高三统考期末）如图，已知椭圆 的左､右顶点分别为
，点 是椭圆上异于 的动点，过原点 平行于 的直线与椭圆交于点
的中点为点 ，直线 与椭圆交于点 ，点 在 轴的上方.
(1)当 时，求 ；
(2)求 的最大值.
19．（2023·浙江·校联考模拟预测）设双曲线 的右焦点为 ，F到
其中一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线 于点M，（i）求 的值；
（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明： .
20．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）在平面直角坐标系 中，已知椭圆
C： .
(1)设 是椭圆 上的一个动点，求 的取值范围；
(2)设与坐标轴不垂直的直线 交椭圆 于 两点，试问：是否存在满足条件的直线
，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线 的方程，若
不存在，请说明理由.
21．（2023春·浙江·高三开学考试）已知椭圆 的离心率为 ，
且经过点 ， 为椭圆C的左右焦点， 为平面内一个动点，其中
，记直线 与椭圆C在x轴上方的交点为 ，直线 与椭圆C在x轴
上方的交点为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)①若 ，证明： ；
②若 ，探究 之间关系．
22．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）如图，椭圆 的左右焦点分别为
， ，点 是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P， ， 的圆与y轴正
半轴交于点 ，经过点 且与x轴垂直的直线l与直线 交于点Q．(1)求证： ．
(2)试问：x轴上是否存在不同于点B的定点M，满足当直线 ， 的斜率存在时，
两斜率之积为定值？若存在定点M，求出点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理
由．
23．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的右
顶点为 ，直线 过点 ，当直线 与双曲线 有且仅有一个公共点时，点
到直线 的距离为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点，且 轴上存在一点 ，使得
恒成立，求 .
24．（2023·广东梅州·统考一模）已知动圆 经过定点 ，且与圆 ：
内切.
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程；
(2)设轨迹 与 轴从左到右的交点为点 ，点 为轨迹 上异于 的动点，设
交直线 于点 ，连结 交轨迹 于点 .直线 ､ 的斜率分别为 ､ .
（i）求证： 为定值；
（ii）证明直线 经过 轴上的定点，并求出该定点的坐标.25．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知双曲线E：
与直线l： 相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得
A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
26．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）已知双曲线 的左、右
焦点分别为 ，斜率为 的直线l与双曲线C交于 两点，点 在双
曲线C上，且 .
(1)求 的面积；
(2)若 （O为坐标原点），点 ，记直线 的斜率分别为 ，
问： 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
27．（2023秋·山东泰安·高三统考期末）已知椭圆E： 过
， 两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知 ，过 的直线l与E交于M，N两点，求证： ．
28．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线 的焦距为10，且经
过点 ．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线 上的动点，连接PA，
PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．
(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
29．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆C： 的上顶点为B，O为坐
标原点， 为椭圆C的长轴上的一点，若 ，且 OPB的面积为 ．
△
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与椭圆C交于M，N两
点，直线AM，AN的斜率分别为 ， ，且 ，求证：直线MN过定
点，并求出该定点坐标，求出 AMN面积的最大值．
△
30．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知椭圆 的离心率为
.且经过点 是椭圆 上的两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与 的斜率之积为 （ 为坐标原点），点 为射线 上一点，且
，若线段 与椭圆 交于点 ，设 .
（i）求 值；
（ii）求四边形 的面积.
