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7.1.1 两条直线相交 分层作业
基础训练
1．下列工具中，有对顶角的是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位
置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解．
【详解】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项C．
故选：C．
【点睛】本题考查了对顶角，解答本题的关键是熟练掌握对顶角的定义．
2．下列图形中， 和 一定相等的是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对顶角的性质来进行判断．
【详解】解：A. 和 不是对顶角， 和 不一定相等，本选项不符合题意；
和 互为补角， ，本选项不符合题意；
B.
和 不是对顶角， 和 的关系不确定，本选项不符合题意；
C.
和 是对顶角， ，本选项符合题意，
=D.
故选：D．
【点睛】本题考查的是对顶角和邻补角，掌握相关的性质定理是解题的关键．3．如图，直线 、 相交于点 ，且 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用邻补角的性质结合 ，求出 ，再利用对顶角相等即可求解．
【详解】解： 直线 、 相交于点 ，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查邻补角和对顶角，熟练掌握邻补角和对顶角的性质是解题的关键．
4．如图，直线 ， 相交， ，则 等于
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得 ， ，由此即可求解．
【详解】解： ， ，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了对顶角，邻补角，掌握对顶角，邻补角的计算是解题的关键．
5．如图，已知直线 ， 相交于点 ， 平分 ， ，则 的度数是A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据补角的定义求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，最后根据 进
行求解．
【详解】解： ，
，
平分 ，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的定义，对顶角的性质，补角的定义，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．
6．已知一个角是 ，则这个角的邻补角是 ．
【答案】47
【分析】根据互为邻补角的两个角的度数之和为180度进行求解即可．
【详解】解： 一个角是 ，
根据邻补角的定义得， ，
即这个角的邻补角是 ，
故答案为：47．
【点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角，关键是邻补角定义的熟练掌握．
7．如图1，要测量两堵围墙所形成的 的度数，但人不能进入围墙，如图2，小轩分别延长 至点
， 至点 ，则可得 ，小轩测量 的依据是 ．【答案】对顶角相等
【分析】根据对顶角相等进行求解即可．
【详解】解：由题意得，小轩测量 的依据是对顶角相等，
故答案为：对顶角相等．
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是关键．
8．如图所示，如果 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】先根据对顶角线段得到 ，再由邻补角互补即可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，邻补角的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
9．如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若 ，
，则光的传播方向改变了 度．
【答案】14
【分析】根据对顶角相等这一性质可解出此题．
【详解】解：设所改变的角为 ，
则 所得的角与 互为对顶角，
即 ，．
故填 ．
【点睛】此题考查的是对顶角的性质：对顶角相等．
10．如图，直线 与 相交于点 ， ，射线 平分 ，若 ，
则 的度数为 ．
【答案】
【分析】由 与 是对顶角，则 ，从而求出 ，故有
，最后根据角平分线的定义和角度和差即可求解．
【详解】解： 与 是对顶角，
，
，
，
，
，
射线 平分 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，邻补角性质，角度和差，熟练掌握知识点的应用是解
题的关键．
11．如图，直线 ， 相交于点 ， 平分 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．【答案】（1） =40°；
（2） =40°.
【分析】（1）根据角平分线定义和对顶角相等即可得到结论；
（2）由题意得 ，根据 ，得到 ，然后与
（1）的计算方法一样．
【详解】解：（1） ， 平分 ，
，
；
（2） ， ，
．
又 平分 ，
．
【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和
等于 是解题的关键．
12．如图，直线 和 相交于点 ， 把 分成两部分，且 ， 平分
．
（1）若 ，求 ．
（2）若 ，求 ．
【答案】（1） =153°；
（2） =25°.
【分析】（1）根据对顶角相等，可得 的度数，根据 ，可得 ，根据邻补
角，可得答案；
（2）根据角平分线的定义，可得 ，根据邻补角的关系，可得关于
的方程，求出 的度数，可得答案．【详解】解：（1）由对顶角相等，得 ，
由 把 分成两部分且 ，得 ，
由邻补角，得 ；
（2）由 平分 ，得 ．
由邻补角，得 ，即 ，
解得 ．
， ，
．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，（1）利用了对顶角相等，邻补角互补，（2）利用了角平分线的定
义，邻补角互补的性质，角的和差．
13 ． 如 图 ， 直 线 ， 相 交 于 点 ， 已 知 ， 将 分 成 两 个 角 ， 且
．
（1）求 的度数；
（2）若 平分 ，那么 平分 吗？若平分，请说明理由．
【答案】（1） =30°；
（2） 平分 .
【分析】（1）由对顶角相等得出 ，再根据 即可求出 的
度数；
（2）根据（1）中的结论先求出 的度数，再根据角平分线的定义求出 的度数，与 的
度数比较即可得出结论．
【详解】解：（1） ，
，
，
；
（2） 平分 ，理由：
由（1）知 ，，
平分 ，
，
，
，
平分 ．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．
能力提升
14．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰
勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是
A．等角的补角相等 B．同角的余角相等 C．等角的余角相等 D．同角的补角相等
【答案】D
【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可判断．
【详解】解：论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等．
故选：D．
【点睛】本题考查对顶角，邻补角，补角的性质，关键是掌握：补角的性质．
15．如图，直线 、 相交于点 ， 平分 ， 平分 ．若 ，
；
若 ， ．
【答案】 ；
.
【分析】（1）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，求出 和 的度数，再根据角的和差即
可得 的度数；
（2）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，先用 的等式表示 ，再根据角分线的定义，列出等式即可求得结果．
【详解】解： 和 是对顶角，
，
平分 ，
，
，
平分 ，
，
．
故答案为 ．
和 是对顶角，
，
平分 ，
，
平分 ，
，
．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线的定义，解题关键是观察图形分清楚哪两个角相等，哪些
角相加得180度．
16．如图，直线 和 相交于点 ， 把 分成两部分，且 ，（1）如图1，若 ，求 ；
（2）如图2，若 平分 ， ，求 ．
【答案】（1） =150°；
（2） =77°.
【分析】（1）根据 ， ，可求出 ， ，进而求出
；
（2）根据 平分 ， ，得出 ，再设未知数，利用平角列
方程求出 ，进而求出其它的各个角．
【详解】解：（1） ， ，
，
，
；
（2） 平分 ，
，
，
，
即： ，
设 ，则 ， ，
，
解得，【点睛】考查角平分线的意义，平角的意义，按比例分配等知识，恰当的转化是解决问题的关键．
拔高拓展
17．如图，直线 ， 相交于点 ， 平分 ．
【基础尝试】
（1）如图1，若 ，求 的度数；
【画图探究】
（2）作∠COF=90°，设 ，请你利用图2画出图形，探究 与 之间的关系，结果用
含 的代数式表示 ．
【拓展运用】
（3）在第（2）题中， 可能和 互补吗？请你作出判断并说明理由．
【答案】（1） =110°；
（2） 或 ．
（3） 可能和 互补．
【分析】（1）由补角的定义可求解 的度数，结合角平分线的定义可求 的度数，再利用平角
的定义可求解；
（2）可分两种情况：当 在 内部时，当 在 内部时，利用平角的定义及角平分线的定义
分别求解即可；（3）在∠AOC=90°，且 与 重合的时候， 可以和 互补．
【详解】解：（1） ， ，
，
平分 ，
，
，
；
（2） 或 ．
当 在 内部时，如图，
， ，
，
平分 ，
，
∵∠COF=90°，
，
当 在 内部时，如图，
， ，
，
平分 ，，
∵∠COF=90°，
，
综上所述： 或 ；
（3） 可能和 互补．
当∠AOC=90°，且 与 重合时， ，
平分 ，
，
即 ，
，
，
即 和 互补．
【点睛】本题主要考查垂线，角平分线的定义，余角和补角，角的计算，分类讨论是解题的关键．
