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专题 05 解析几何
解析几何一般作为解答题21题或者是22题形式出现。一般作为压轴题或者是次压轴题出现，难度较大。
1 与原有关问题（蒙日圆，阿氏圆等）
2 面积问题
3 齐次化解决直线定点问题
4 一般的定值问题
5 非对称问题
6 探究性问题
7 切线问题与阿基米德三角形问题
8 极点极限与调和点列，蝴蝶模型问题
9 不联立问题
10 与其他知识点交叉问题
蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心
的圆上，该圆称为蒙日圆，其半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根，具体结论
及证明如下：
结论一：曲线 的两条互相垂直的切线的交点 的轨迹是圆： ．
结论二：双曲线 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆 ．
结论三：抛物线 的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．
题型一： 与原有关问题（蒙日圆，协同圆等）
例题1 已知椭圆 0)．称圆心在原点，半径为 的圆为椭圆 的“准圆”．若椭圆 的一个焦点为 ，其短轴上的一个端点到 的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程及其“准圆”方程．
(2)点 是椭圆 的“准圆”上的动点，过点 作椭圆的切线 交“准圆”于点 ．
①当点 为“准圆”与 轴正半轴的交点时，求直线 的方程并证明 ．
②求证：线段 的长为定值．
【 解 析 】 (1) 依 题 意 可 得 ， ∴ ， ∴ ．
．
(2)证明：①由(1)题可得 ，设切线方程为： ．联立 ，消去 可得
，整理可得 ．
∴ ，解得 ．
∴设直线PM： ，直线 ．∴ ，即 ．
②设 ，直线 ．
则 ，消去 可得 ．
即 ．
∴ ．整理得 ．
同理，设切线 的斜率为 ，则有 ．∴ ．∴ 在“准
圆”上．∴ ，∴ ．∴ 为“准圆”的直径．∴
为定值， ．1 ．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯 在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹
问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点 ， 距离之比为 且 的点 的轨迹为圆，此
圆称为阿波罗尼斯圆．
(1)已知两定点 ， ，若动点 满足 ，求点 的轨迹方程；
(2)已知 ， 是圆 上任意一点，在平面上是否存在点 ，使得 恒成立？
若存在，求出点 坐标；若不存在，说明理由；
(3)已知 是圆 上任意一点，在平面内求出两个定点 ， ，使得 恒成立．只需写出
两个定点 ， 的坐标，无需证明．
题型二：面积问题
1 ．已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线 与直线 垂直，A为垂足且位于第一象限，直线
与直线 垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形 （O为原点）的面积为8，动点M的轨迹
为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知 是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线 ， 的斜率之和为1，
，求 的面积.
【答案】(1) （ ）(2)
【详解】（1）设动点 ，由题意知M只能在直线 与直线 所夹的范围内活动.
， ，动点 在 右侧，有 ，同理有 ，
∵四边形 的面积为8，∴ ，即 ，
所以所求轨迹C方程为 （ ）.
（2）如图，设直线 的倾斜角为 ，斜率为k，直线 倾斜角为 ，则 斜率为 ，
， ， 在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，
则 或 ，同时 或 ，解得 或 .
，解得 或 （舍去）.
时，直线 的方程为 ，
联立 ，消y得： ，则 或 ，得 .
直线 的方程为 ，
联立 ，消y得： ，则 或 ，得 ，
，
点Q到直线 的距离 ，.
方法二： ，
，
，则 ，
.
1 已知椭圆 离心率为 ，经过 的左焦点 斜率为1的直线与 轴正半轴相交于
点 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)设M，N是 上异于 的两点，若 ，求 面积的最大值.
题型三：齐次化解决定值定点问题
1 已知椭圆C： （a>b>0），四点P （1,1），P （0,1），P （–1， ），P （1， ）中恰有
1 2 3 4
三点在椭圆C上.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P 点且与C相交于A，B两点.若直线P A与直线P B的斜率的和为–1，证明：l过定
2 2 2
点.
【答案】(1) .(2)证明见解析.解题方法一：试题解析：（1）由于 ， 两点关于y轴对称，故由题设知C经过 ， 两点.
又由 知，C不经过点P ，所以点P 在C上.
1 2
因此 ，解得 .
故C的方程为 .
（2）设直线P A与直线P B的斜率分别为k ，k ，
2 2 1 2
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知 ，且 ，可得A，B的坐标分别为（t， ），（t，
）.
则 ，得 ，不符合题设.
从而可设l： （ ）.将 代入 得
由题设可知
.
设A（x ，y ），B（x ，y ），则x +x = ，x x = .
1 1 2 2 1 2 1 2
而
.由题设 ，故 .
即 .
解得 .
当且仅当 时， ，欲使l： ，即 ，
所以l过定点（2， ）
解题方法二：齐次化处理：
下移1个单位
x2
E' : (y 1)2 1，A'B'：mxny 1
4
x2
y2 2y 0
4
x2 4y2 8y(mxny) 0
(8n4)y2 8mxy x2 0
8m
k k 1
1 2 8n4
8m 8n4
2m2n 1
mxny 1过(2,2)
上移1个单位(2,1)
1．已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
题型四：一般的定值定点问题1．已知 为双曲线 的左､右焦点， 的一条渐近线方程为 为 上一
点，且 ．
(1)求 的方程；
(2)设点 在坐标轴上，直线 与 交于异于 的 两点， 为 的中点，且 ，过 作
，垂足为 ，是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标以及 的长度；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)存在；点 ， 为定值
【详解】（1）由题意，
在双曲线 中，渐近线方程为 ，
由条件可知 ．根据双曲线的定义可知， ，
∴ ，则 ，∴ ．
（2）由题意及（1）得，
在 中， ，∴点 在双曲线 的左支上，
当点 在坐标轴上，则点 的坐标为 ，设 ，
当 的斜率存在时，设 的方程为 ，
联立 ，整理得 ，
，则 ，
，∵ 为 的中点，且 ，∴ ，则 ，
∴ ，
整理得 ，解得 或 ，验证均满足 ．
当 时，直线 的方程为 ，则直线 过点 ，不合题意，舍去；
当 时，直线 的方程为 ，则直线 过定点 ，符合题意．
当直线 的斜率不存在时，由 ，
可设直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，
所以直线 的方程为： ，
则直线 过定点 ．∵ ，
∴ 是以 为斜边的直角三角形，∴点 在以 为直径的圆上，则当 为该圆的圆心 时，
为该圆的半径，即 ，故存在点 ，使得 为定值 ．
1 已知双曲线 过点 ，且 与 的两个顶点连线的斜率之和为4．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 交于 ， 两点（异于点 ）．设直线 与 轴垂直且交直线 于点
，若线段 的中点为 ，证明：直线 的斜率为定值，并求该定值．
类型五 非对称问题1 已知椭圆 的长轴长为6，离心率为 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方
的两点，且 ，记直线AM，BN的斜率分别为 ，且 ,求直线 的方程.
（1） （2）
（1）由题意，可得 ， ， ，
联立解得 ， ， ， .
（2）如图，由（1）知 ，
方程为 ，直线 与椭圆的另一个交点为 ，∵ ，根据
对称性可得 ，联立 ，整理得 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
即 ，联立解得 ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴直线 的方程为 ，即 .1 已知椭圆 过点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．
类型六 探究性问题
1 ．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，点 在直线 上且不在 轴上，直线
与双曲线的交点分别为A，B，直线 与双曲线的交点分别为C，D．
(1)设直线 和 的斜率分别为 ， ，求 的值；
(2)问直线 l 上是否存在点 P，使得直线 OA，OB，OC，OD 的斜率 ， ， ， 满足
？若存在，求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：(1) (2)存在， 或
（1）设 ， ，则 ，
所以 ；
（2）假设直线l上存在点 ， ．
设 设 ，，
∴ ，
同理 ，由 ，得
得 或 ，当 时，由（1） 得 ， ， ，
，得 ，
当 时，由（1） 得 ， 或 ， ， ，
，得 ．
所以 或 ．
1 在直角坐标平面中， 的两个顶点的坐标分别为 ，两动点 满足
，向量 与 共线.
(1)求 的顶点 的轨迹方程；
(2)若过点 的直线与（1）的轨迹相交于 两点，求 的取值范围.
(3)若 为 点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数 ，使得
恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.类型七 切线问题与阿基米德三角形问题
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形．阿
基米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明 如下结论：
抛物线与阿基米德三角形定理：
抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成
的三角形面积的三分之二．
下面来逐一介绍阿基米德三角形的一些推论:
如图，已知 是抛物线 准线上任意一点，过 作抛物线的切线
、分 别交抛物线于 、 两点， 为 中点，则：
1.若 过焦点，则 的端点的两条切线的交点 在其准线上．
2.阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即 ．
3. 过抛物线的焦点
4.
5.阿基米德三角形面积的最小值为
1 如下图，设抛物线方程为 ，M为直线 上任意一点，过 引抛物线的切线，
切点分别为 ， ．
（Ⅰ）设线段 的中点为 ；
（ⅰ）求证： 平行于 轴；
（ⅱ）已知当 点的坐标为 时， ，求此时抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在点 ，使得点 关于直线 的对称点 在抛物线 上，其中，点 满足 （ 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 或 ；（Ⅱ）仅存在一点 适合题意.
【分析】
（Ⅰ）（ⅰ）设出 的坐标，利用导数求得切线 的方程，结合 是线段 的中点进
行化简，得到 两点的横坐标相等，由此证得 平行于 轴.
（ⅱ）利用 列方程，解方程求得 ，进而求得抛物线方程.
（Ⅱ）设出 点坐标，由 点坐标求得线段 中点的坐标，由直线 的方程和抛物线的方程，求得
点的坐标，由此进行分类讨论求得 点的坐标.
【详解】
（Ⅰ）（ⅰ）证明：由题意设 ， ， ， ， ．
由 得 ，则 ，所以 ， ．
因此直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ．
所以 ，① ．②
由①、②得 ，因此 ，即 ，也即 .所以 平
行于 轴．
（ⅱ）解：由（ⅰ）知，当 时，将其代入①、②并整理得：， ，所以 ， 是方程 的两根，
因此 ， ，又 ，
所以 ．
由弦长公式的 ．
又 ，所以 或 ，
因此所求抛物线方程为 或 ．
（Ⅱ）解：设 ，由题意得 ，
则 的中点坐标为 ，
设直线 的方程为 ，
由点 在直线 上，并注意到点 也在直线 上，
代入得 ．
若 在抛物线上，则 ，
因此 或 ．
即 或 ．（1）当 时，则 ，此时，点 适合题意．
（2）当 ，对于 ，此时 ， ，
又 ， ，所以 ，
即 ，矛盾．
对于 ，因为 ，此时直线 平行于 轴，
又 ，
所以直线 与直线 不垂直，与题设矛盾，
所以 时，不存在符合题意得 点．
综上所述，仅存在一点 适合题目
如图，设抛物线方程为 ， 为直线 上任意一点，过 引抛物线的切线，切点
分别为 ．（Ⅰ）求证： 三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当 点的坐标为 时， ．求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点 ，使得点 关于直线 的对称点 在抛物线 上，其中，点
满足 （ 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
y
B
A
x
O
M类型八 极点极限 调和点列 蝴蝶模型
1. 极点和极线的几何定义
如图, 为不在圆锥曲线 上的点, 过点 引两条割线依次交圆锥曲线于四点 , 连接 交于
, 连接 交于 , 我们称点 为直线 关于圆锥曲线 的极点, 称直线 为点 关于圆锥曲
线 的极线. 直线 交圆锥曲线 于 两点, 则 为圆锥曲线 的两条切线. 若 在圆锥曲线 上,
则过点 的切线即为极线.
(1) 自极三角形：极点 一一极线 ；极点 一一极线 极点 一一极线 ; 即 中, 三
个顶点和对边分别为一对极点和极线, 称 为“自极三角形”.
(2) 极点和极线的两种特殊情况
(1)当四边形变成三角形时：曲线上的点 对应的极线, 就是切线 ;
(2)当四边有一组对边平行时, 如：当 时, 和 的交点 落在无穷远处; 点 的极线
和点 的极线 满足:
2. 极点和极线的代数定义
对于定点 与非退化二次曲线 过点 作动直线与曲线 交于点 与
点 , 那么点 关于线段 的调和点 的轨迹是什么?可以证明: 点 在一条定直线 上，如下图. 我们称点 为直线
关于曲线 的极点; 相应地, 称直线 为点 关于曲线 的极线.
一般地, 对于圆锥曲线 设极点 , 则对应的极线为
【注】替换规则为:
(1) 椭圆 的三类极点极线
(1)若极点 在椭圆外, 过点 作橢圆的两条㘦线, 切点为 , 则极线为切点弦所在直线
(2)若极点 在椭圆上, 过点 作椭圆的切线 , 则极线为切线 ;
(3)若极点 在橢圆内, 过点 作椭圆的弦 , 分别过 作椭圆切线, 则切线交点轨迹为极
线
由此可得椭圆极线的几何作法:(2) 对于双曲线 , 极点 对应的极线为
(3) 对于拋物线 , 极点 对应的极线为 .
3. 极点和极线的性质
(1) 引理: 已知椭圆方程为 , 直线 的方程为 , 点 不与原点重合.
过点 作直线交椭圆于 两点, 点在直线 上，则“点 在直线 上"的充要条件是 调和分割
, 即 .
x2 y2
1 设椭圆 C: + =1(a>b>0) 过点 M(√2,1), 且左焦点为 F (−√2,1).
a2 b2 1
(1) 求敉圆 C 的方程; (2) 当过点 P(4,1) 的动直线 l 于椭圆 C 相交于两不同点 A,B 时, 在线段 AB
上取点 Q, 满足|⃗AP|⋅|⃗QB|=|⃗AQ|⋅|⃗PB|, 证明：点 Q 总在某定直线上.
x2 y2
【答案】 (1) + =1; (2) 见解析.
4 2
x2 y2
+ =1
4 2
【解析】（1）由题意得： ，解得 ，所求椭圆方程为 .
(2) 解法 1: 定比点差法
设点 Q、A、B 的坐标分别为 (x,y),(x ,y ),(x ,y )
1 1 2 2
|⃗AP| |⃗AQ|
由题设知 |⃗AP|,|⃗PB|,|⃗AQ|,|⃗QB| 均不为零, 记 λ= = , 则 λ>0 且 λ≠1
|⃗PB| |⃗QB|
又 A,P,B,Q 四点共线, 从而 ⃗AP=−λ⃗PB,⃗AQ=λ⃗QBx −λx y −λ y x +λx y +λ y
于是 4= 1 2,1= 1 2,x= 1 2,y= 1 2 ,
1−λ 1−λ 1+λ 1+λ
x2−λ2x2 y2−λ2y2
从而: 4x= 1 2⋯⋯⋯⋯ (1) y= 1 2……….. (2)
1−λ2 1−λ2
又点 A、B 在椭圆 C 上，即:
x2+2y2=4⋯⋯⋯⋯⋯
(3)
1 1
x2+2y2=4⋯⋯⋯⋯⋯
(4)
2 2
(1)+(2) ×2, 并结合(3)(4)得 4x+2y=4,
即点 Q(x,y) 总在定直线 2x+ y−2=0 上.
解法 2：构造同构式
设点 Q(x,y),A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
|⃗AP| |⃗AQ|
由题设知 |⃗AP|,|⃗PB|,|⃗AQ|,|⃗QB| 均不为零, 记 λ= = ,
|⃗PB| |⃗QB|
又 A,P,B,Q 四点共线, 可设 ⃗PA=−λ⃗AQ,⃗PB=λ⃗BQ(λ≠0,±1)
4−λx 4+λx
{x = {x =
1 1−λ 2 1+λ
于是 (1), (2)
1−λy 1+λy
y = y =
1 1−λ 2 1+λ
由于 A(x ,y ),B(x ,y ) 在椭圆 C 上, 将(1)(2)分别代入 C 的方程 x2+2y2=4,
1 1 2 2
整理得: (x2+2y2−4)λ2−4(2x+ y−2)λ+14=0 (3)
(x2+2y2−4)λ2+4(2x+ y−2)λ+14=0 (4)
(4)-(3)得: 8(2x+ y−2)λ=0,∵λ≠0,∴2x+ y−2=0,
即点 Q(x,y) 总在定直线 2x+ y−2=0 上.
解法 3：极点极线
AP AQ
由 |⃗AP|⋅|⃗QB|=|⃗AQ|⋅|⃗PB| 可得 = ,
PB QB
说明点 P,Q 关于桞圆调和共轭, 点 Q 在点 P 对应的极线上,
4⋅x 1⋅y
此极线方程为 + =1, 化简得 2x+ y−2=0.
4 2故点 Q 总在直线 2x+ y−2=0 上.
x2 y2
如图, 过直线 l:5x−7 y−70=0 上的点 P 作椭圆 + =1 的切线 PM 和 PN, 切点分别为
25 9
M,N, 连结 MN.
(1) 当点 P 在直线 l 上运动时, 证明：直线 MN 恒过定点 Q;
(2) 当 MN//l 时, 定点 Q 平分线段 MN.
蝴蝶定理（Butterfly Theorem）
，是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一.这个命题最早出现
在1815年,由W.G.霍纳提出证明.
【蝴蝶定理】M是⊙O中弦AB的中点,过点M的两条弦CD,EF,连接DE,CF交AB于P,Q两点,则 M是
线段PQ的中点.
问题中的图形酷似圆中翩翩起舞的蝴蝶,因此而被冠之“蝴蝶定理".
蝴蝶定理还可以推广到椭圆,甚至双曲线与抛物线中.x2 y2
例题 .如图,O为坐标原点,椭圆C: + =1(a>b>0)的焦距等于其长半轴长,M,N为椭圆C的上、下顶
a2 b2
点,且|MN|=2√3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P(0,1)作直线l交椭圆C于异于M,N的A,B两点,直线AM,BN交于点T.求证：点T的纵坐标为定
值3
类型九 不联立问题
1 已知点 在双曲线 上，直线 交 于 ， 两点，直线 ， 的斜率之
和为0．
（1）求 的斜率；
（2）若 ，求 的面积．
解析：（1）设 ，由点 都在双曲线 上，得
x2 x2 22
1y21,2y21 121
2 1 2 2 ， 2 ， 所 以 ， 结 合 斜 率 公 式 ， 相 减 后 变 形 ， 可 得 ：y1 x2 y1 x2
k1 1 k2 2
PAx22(y1)， QAx22(y1).因为直线 的斜率之和为 ，即
1 1 2 2
，所以，
y1 x2
1 2
由 得 . ②
x2 2(y1) 2(yyyy1)(xx2x2x4)
1 2 1212 1212
y1 x2
2 1
由 得 . ③
x2 2(y1) 2(yyyy1)(xx2x2x4)
2 1 1221 1221
yy
k 1 21
由②-③，得 ，从而 ，即 的斜率为 .
yyxx PQxx
1 2 2 1 1 2
1 已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
类型十 与其他知识点交叉问题
某电厂冷却塔的外形是由 双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最
小半径为 ，上口半径为 ，下口半径为 ，高为 ，选择适当的平面直角坐标系.(1)求此双曲线 的方程；
(2)定义：以（1）中求出的双曲线 的实轴为虚轴，以 的虚轴为实轴的双曲线 叫做 的共轭双曲线，
求双曲线 的方程；
(3)对于（2）中的双曲线 ､ 的离心率分别为 ､ ，写出 与 满足的一个关系式，并证明.
【答案】(1) (2) (3)
（1）以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为 轴，垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，
设双曲线的方程为 ，由题意知 ，所以 ，
， ，所以
， ，所以 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）以（1）中求出的双曲线 的实轴为虚轴，以 的虚轴为实轴的双曲线 为
.
（3） 与 满足的一个关系式为 ，证明如下，双曲线 的半焦距 ，
所以双曲线 的离心率为 ，
双曲线 的半焦距 ，
所以双曲线 的离心率为 ，
所以 ，
所以 与 满足的一个关系式为 .
1 在平面直角坐标系 中，对于直线 和点 、 ，记
，若 ，则称点 、 被直线 分隔，若曲线 与直线 没有公共点，且
曲线 上存在点 、 被直线 分隔，则称直线 为曲线 的一条分隔线．(1)判断点 是否被直线 分隔并证明；
(2)若直线 是曲线 的分隔线，求实数 的取值范围；
(3)动点 到点 的距离与到 轴的距离之积为 ，设点 的轨迹为曲线 ，求证：通过原点的直线中，
有且仅有一条直线是 的分隔线．1．（2022·北京海淀·校考模拟预测）椭圆C： 的右顶点为 ，离心率为
(1)求椭圆C的方程及短轴长；
(2)已知：过定点 作直线l交椭圆C于D，E两点，过E作AB的平行线交直线DB于点F，设EF中点
为G，直线BG与椭圆的另一点交点为M，若四边形BEMF为平行四边形，求G点坐标．
2．（2022·北京·统考模拟预测）如图所示，过原点O作两条互相垂直的线OA，OB分别交抛物线
于A，B两点，连接AB，交y轴于点P．
(1)求点P的坐标；
(2)证明：存在相异于点P的定点T，使得 恒成立，请求出点T的坐标，并求出 面
积的最小值．
3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过坐标原点 作圆 的两条切线，设切点为 ，直
线 恰为抛物 的准线.
(1)求抛物线 的标准方程；(2)设点 是圆 上的动点，抛物线 上四点 满足： ，设 中点为 .
（i）求直线 的斜率；
（ii）设 面积为 ，求 的最大值.
4．（2022·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 ． ， 为C上两点，且 ，
分别在第一、四象限．直线 与x正半轴交于 ，与y负半轴交于 ．
(1)若 ，求 横坐标的取值范围；
(2)记 的重心为G，直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ．若 ，证明：λ为
定值．
5．（2023河北·校联考三模）已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与
交于 两点，斜率为 的直线 与 相切于点 ，且 与 不垂直， 为 的中点.
（1）若 ，求 ；
（2）若直线 过 ，求 .
6．（2023·山东泰安·统考一模）已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ，
，离心率为 ， 是椭圆 上不同的两点，且点 在 轴上方， ，直线 ，
交于点 .已知当 轴时， .
(1)求椭圆 的方程；(2)求证：点 在以 ， 为焦点的定椭圆上.
.
7．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知双曲线 过点 ，且 与 的两
个顶点连线的斜率之和为4．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 交于 ， 两点（异于点 ）．设直线 与 轴垂直且交直线 于点
，若线段 的中点为 ，证明：直线 的斜率为定值，并求该定值．
8．（2023·重庆·统考二模）过抛物线 的焦点 作斜率分别为 的两条不同的直线 ，且
相交于点 ， ， 相交于点 ， ．以 ， 为直径的圆 ，圆 为圆心 的公共弦
所在的直线记为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求点 到直线 的距离的最小值．
9．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆C： 的短轴长为2，离心率为 ．点
，直线 ： ．
(1)证明：直线 与椭圆 相交于两点，且每一点与 的连线都是椭圆的切线；
(2)若过点 的直线与椭圆交于 两点，与直线 交于点 ，求证： ．一、解答题
1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
2．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于
M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两点，
直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
4．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
5．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
6．（2021·全国·统考高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q
两点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并
说明理由．
7．（2021·全国·统考高考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，
求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
8．（2021·全国·统考高考真题）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率
为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的
充要条件是 ．
9．（2020·全国·统考高考真题）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上
顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
10．（2020·山东·统考高考真题）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
11．（2022·北京·统考高考真题）已知椭圆： 的一个顶点为 ，焦距为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当 时，求k的值．
12．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点
在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．
