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重难点突破14 阿基米德三角形
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如图所示， 为抛物线 的弦， ， ，分别过 作的抛物线的切线交
于点 ，称 为阿基米德三角形，弦 为阿基米德三角形的底边．y
B
F
A
O x
P
1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
2、若阿基米德三角形的底边即弦 过抛物线内定点 ，则另一顶点 的轨迹为一条直线．
3、若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
4、底边长为 的阿基米德三角形的面积的最大值为 ．
5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为
．
6、点 的坐标为 ；
7、底边 所在的直线方程为
8、 的面积为 ．
9、若点 的坐标为 ，则底边 的直线方程为 ．
10、如图 1，若 为抛物线弧 上的动点，点 处的切线与 ， 分别交于点 C，D，则
.
11、若 为抛物线弧 上的动点，抛物线在点 处的切线与阿基米德三角形 的边 ， 分
别交于点C，D，则 ．
12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的 ．图1
题型一：定点问题
例1．（2023·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知点 ， ，动点 满足
．记点 的轨迹为曲线 ．
（1）求 的方程；
（2）设 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别是 ， ．证明：直线 过定点．
例2．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆 恒过定点 ，圆心 到直线
的距离为 ．
(1)求 点的轨迹 的方程；
(2)过直线 上的动点 作 的两条切线 ，切点分别为 ，证明：直线 恒过定点．
例3．（2023·全国·高二专题练习）已知平面曲线 满足：它上面任意一定到 的距离比到直线
的距离小1.
(1)求曲线 的方程；
(2) 为直线 上的动点，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，证明：直线 过定点；
(3)在（2）的条件下，以 为圆心的圆与直线 相切，且切点为线段 的中点，求四边形
的面积.变式1．（2023·陕西·校联考三模）已知直线l与抛物线 交于A，B两点，且 ，
，D为垂足，点D的坐标为 ．
(1)求C的方程；
(2)若点E是直线 上的动点，过点E作抛物线C的两条切线 ， ，其中P，Q为切点，试证明
直线 恒过一定点，并求出该定点的坐标．
变式2．（2023·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三
角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C： 给出如下三个条件：①焦点为 ；②准线
为 ；③与直线 相交所得弦长为2．
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；
(2)已知 是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交
点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请
说明理由．
变式3．（2023·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知抛物线 （a是常数）过
点 ，动点 ，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
(2)当 时，求直线AB的方程；
(3)证明：直线AB过定点．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知动点P在x轴及其上方，且点P到点 的距离比到x轴的距
离大1.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若点Q是直线 上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA､QB，其中A､B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标.
题型二：交点的轨迹问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线
的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设点 ， 为直线 上一动点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 ， 为切点，求直线
的方程，并证明直线 过定点 ；
(3)过（2）中的点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，过点 ， 分别作抛物线 的切线 ， ，求 ，
交点 满足的轨迹方程．
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 交抛物线 于 、
两点；椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，点 是它的一个顶点，且其离心率 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)经过 、 两点分别作抛物线 的切线 、 ，切线 与 相交于点 ．证明：点 定在直线 上；
(3)椭圆 上是否存在一点 ，经过点 作抛物线 的两条切线 、 、 为切点），使得直线
过点 ？若存在，求出切线 、 的方程；若不存在，试说明理由．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知动点 在 轴上方，且到定点 距离比到 轴的距离大 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，点 ， 分别异于原点 ，在曲线 的 ， 两点处
的切线分别为 ， ，且 与 交于点 ，求证： 在定直线上.变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知动点P与定点 的距离和它到定直线 的距离之比为
，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点 的直线与曲线C交于 两点， 分别为曲线C与x轴的两个交点，直线 交于点
N，求证:点N在定直线上．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知点 为抛物线 的焦点，点 、 在抛物线上，
且 、 、 三点共线.若圆 的直径为 .
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）过点 的直线 与抛物线交于点 ， ，分别过 、 两点作抛物线 的切线 ， ，证明直线 ，
的交点在定直线上，并求出该直线.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀
请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．
(1)圆 上点 处的切线方程为 ．理由如下： ．
(2)椭圆 上一点 处的切线方程为 ；
(3) 是椭圆 外一点，过点 作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则直线 的
方程是 ．这是因为在 ， 两点处，椭圆 的切线方程为 和 ．
两切线都过 点，所以得到了 和 ，由这两个“同构方程”得到了直线 的方程；(4)问题（3）中两切线 ， 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为 ，由
，得 ，化简得 ，得 ．
若 ，则由这个方程可知 点一定在一个圆上，这个圆的方程为 ．
（5）抛物线 上一点 处的切线方程为 ；
（6）抛物线 ，过焦点 的直线 与抛物线相交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的两条切
线 和 ，设 ， ，则直线 的方程为 ．直线 的方程为 ，设 和
相交于点 ．则①点 在以线段 为直径的圆上；②点 在抛物线 的准线上．
题型三：切线垂直问题
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的方程为 ，过点 作抛物线 的两条切线，切点
分别为 .
（1）若点 坐标为 ，求切线 的方程；
（2）若点 是抛物线 的准线上的任意一点，求证：切线 和 互相垂直.
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的方程为 ，点 是抛物线 的准线上的任意一点，
过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，点 是 的中点.
（1）求证：切线 和 互相垂直；
（2）求证：直线 与 轴平行；
（3）求 面积的最小值.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 的离
心率为 ，抛物线 的顶点为原点.
(1)求椭圆 和抛物线 的方程；
(2)设点 为抛物线 准线上的任意一点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 为切点.设直
线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 过
点 ，抛物线 的顶点为原点．
求椭圆 和抛物线 的方程；
设点P为抛物线 准线上的任意一点，过点P作抛物线 的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
设直线PA，PB的斜率分别为 ， ，求证： 为定值；
若直线AB交椭圆 于C，D两点， ， 分别是 ， 的面积，试问： 是否有最
小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．变式9．（2023·全国·高三专题练习）抛物级 的焦点 到直线 的距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线 交抛物线于 ， 两点，分别过 ， 两点作抛物线的两条切线，
两切线的交点为 ，求证： .
变式10．（2023·河南驻马店·校考模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上，
直线 ： 与 相离．若 到直线 的距离为 ，且 的最小值为 ．过 上两点 分
别作 的两条切线，若这两条切线的交点 恰好在直线 上．
（1）求 的方程；
（2）设线段 中点的纵坐标为 ，求证：当 取得最小值时， ．
题型四：面积问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的方程为 ，点 是抛物线上的一点，
且到抛物线焦点的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）点 为直线 上的动点，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ， ，求 面积的
最小值．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 上一点 到其焦点 的距离为 ．（1）求抛物线的方程；
（2）如图，过直线 上一点 作抛物线的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，且直线 与
轴交于点 ．设直线 ， 与 轴的交点分别为 ， ，求四边形 面积的最小值．
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点到原点的距离等于直线
的斜率.
（1）求抛物线C的方程及准线方程；
（2）点P是直线l上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，求 面积的最小值.
变式11．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线 上的点R的横坐标为1，焦点
为F，且 ，过点 作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，D为线段PA上的动点，过D
作抛物线的切线，切点为E（异于点A，B），且直线DE交线段PB于点H.(1)求抛物线C的方程；
(2)（i）求证： 为定值；
（ii）设 ， 的面积分别为 ，求 的最小值.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，
且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C 的轨迹方程；
（2）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q作曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．
变式13．（2023·河南开封·河南省兰考县第一高级中学校考模拟预测）已知点 ，平面上的动点S
到F的距离是S到直线 的距离的 倍，记点S的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过直线 上的动点 向曲线C作两条切线 ， ， 交x轴于M，交y轴于N， 交x轴
于T，交y轴于Q，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最小值．
题型五：外接圆问题例13．（2023·全国·高三专题练习）已知P是抛物线C： 的顶点，A，B是C上的两个动点，且
．
（1）试判断直线 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；
（2）设点M是 的外接圆圆心，求点M的轨迹方程．
例14．（2023·高二单元测试）已知点 是抛物线 的顶点， ， 是 上的两个动点，且
.
（1）判断点 是否在直线 上？说明理由；
（2）设点 是△ 的外接圆的圆心，点 到 轴的距离为 ，点 ，求 的最大值.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知点 是抛物线 的顶点， ， 是 上的两个动点，
且 .
（1）判断点 是否在直线 上？说明理由；
（2）设点 是△ 的外接圆的圆心，求点 的轨迹方程.
题型六：最值问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）如图已知 是直线 上的动点，过点 作抛物线 的
两条切线，切点分别为 ，与 轴分别交于 .（1）求证：直线 过定点，并求出该定点；
（2）设直线 与 轴相交于点 ，记 两点到直线 的距离分别为 ；求当 取最大值时
的面积.
例17．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）在直角坐标系 中，已知抛物线 ， 为直
线 上的动点，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，当 在 轴上时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)求点 到直线 距离的最大值.
例18．（2023·辽宁沈阳·校联考二模）从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线
的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一
性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线 ，从点 发出的平行于y轴的光线
照射到抛物线上的D点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点 ．
(1)求抛物线C的方程；(2)已知圆 ，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别
为A、B，求 的取值范围．
变式14．（2023·贵州·高三校联考阶段练习）已知抛物线 上的点 到其焦点 的距
离为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 在直线 ： 上，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，直线 与直线 交于
点 ，过抛物线 的焦点 作直线 的垂线交直线 于点 ，当 最小时，求 的值.
变式15．（2023·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）已知抛物线 ，点P为直线
上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则点 到直线AB的距离的最大
值为（ ）
A．1 B．4 C．5 D．
题型七：角度相等问题
例19．设抛物线 的焦点为F，动点P在直线 上运动，过P作抛物线C的两条切线
PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别是椭圆 的上、下焦点，直线 过点
且垂直于椭圆长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ，点 的轨迹为 .
(1)求轨迹 的方程；(2)若动点 在直线 上运动，且过点 作轨迹 的两条切线 、 ，切点为A、B，试猜想
与 的大小关系，并证明你的结论的正确性.
例21．（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 与抛物
线 交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线
于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
(1)求证：点P的纵坐标为定值；
(2)若F是抛物线C的焦点，证明： ．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，设抛物线C： 的焦点为F，动点P在直线l：
上运动，过P作抛物线C的两条切线 ， ，切点分别为A，B，求证： .
变式17．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛
物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，
过A，B两点分别作拋物线C的切线交于点P.（1）求证∶点P的纵坐标为定值；
（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB.
