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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 46 讲 直线与抛物线（精讲）
题型目录一览
①直线与抛物线的位置关系
②抛物线中的弦长问题
③抛物线中的中点弦问题
一、知识点梳理
1.直线与抛物线的位置关系
设直线 ，抛物线: ，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程
①若k≠0，当 >0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当 =0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当 <0时，直线与抛物线相离，无交点.
②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
2.抛物线的弦长
当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与抛物线C相交于
两个不同的点，则弦长 .
.
3.抛物线的中点弦
设交点坐标为 ， ，代入抛物线两式相减，可得 ，
设线段 的中点为 ，即 ，
.同理，对于抛物线 ，则有
4.抛物线的切线
过抛物线 上的点 的切线方程是 .
过抛物线 上的点 的切线方程是 .
【常用结论】
直线AB过抛物线 的焦点，交抛物线于A(x ，y)，B(x ，y)两点，
1 1 2 2
设α为AB的倾斜角
（1）yy＝－p2，xx＝
1 2 1 2
（2）（2）弦长AB＝
（3）|AB|＝x ＋x ＋p，x ＋x≥ ＝p，即当x ＝x 时，弦长最短为：（通径）
1 2 1 2 1 2
2p.
（4） ， ， ＋为定值.
（5）以AB为直径的圆与准线相切．
（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
二、题型分类精讲
题型 一 直线与抛物线的位置关系
策略方法
研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用
方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”
“点差法”以及定义的灵活应用．
【典例1】（单选题）在平面直角坐标系 中，抛物线 ， 为 轴正半轴上一点，线段
的垂直平分线 交 于 两点，若 ，则四边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线 的焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点若线段PF与
QF的长分别是p、q，则 为定值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知点 在抛物线 的准线上，过点
P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）抛物线 的焦点 ，点 在抛物线上，且 ，
的延长线交 轴于点 ，若 为线段FN的中点，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．6
4．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知抛物线 （ ）的焦点为F，点P是
抛物线准线上一动点，作线段 的垂直平分线 ，则直线 与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为（
）
A．{0} B．{1} C．{0,1} D．{1,2}
5．（2023秋·四川宜宾·高三四川省兴文第二中学校校考开学考试）已知抛物线 的焦点为F，过点P
（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率
分别为 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，若抛物线的准线与圆 相切于点 ，直线 与抛物线 切于点 ，直线 的方程为
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
7．（2023秋·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）抛物线 的焦点为 的准线与 轴交
于点 ，过点 斜率为 的直线与 交于点 （ 在 轴上方），则 （ ）
A． B．2 C．3 D．
8．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知直线 交抛物线 于 轴异侧两点 ，
过 向 作垂线，垂足为 ，若点 在以 为圆心，半径为3的圆上，则 （ ）
A．48 B．24 C．12 D．36
9．（2023·河北唐山·模拟预测）已知O为坐标原点，点 是抛物 的准线上一点，过点E
的直线l与抛物线C交于A，B两点，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知抛物线 ： 的准线为直线 ，直
线 与 交于 ， 两点（点 在 轴上方），与直线 交于点 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．11．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为F， ，M为
抛物线C上位于第一象限的一点，且点M的横坐标小于2，则 的面积（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值1 D．有最小值1
12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C： 的焦点为F， 为C上一动点，
曲线C在点M处的切线交y轴于N点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
13．（2023·河南·统考三模）已知抛物线 的准线为 ，焦点为F，过点F的直线与
抛物线交于 ， 两点，点P在l上的射影为 ，则下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设 ，则
D．过点 与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
14．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知点 是抛物线 的焦点， ，过 斜
率为1的直线交抛物线于M，N两点，且 ，若Q是抛物线上任意一点，且
，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．1
15．（2023·青海西宁·统考二模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德
三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率
之积为定值．设抛物线 ，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最
小值为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
16．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知点 ，抛物线 的焦点为F，过F的直线l交C
于P，Q两点，则（ ）
A． 的最大值为
B． 的面积最小值为2
C．当 取到最大值时，直线AP与C相切
D．当 取到最大值时，
17．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 是抛物线
上的两点， 为坐标原点，则（ ）
A．抛物线 的焦点坐标为
B．若 三点共线，则
C．若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为3
D．若 ，则
18．（2023·河北保定·统考二模）已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线 的准线与 轴的交点，
过点 的直线 与抛物线 交于不同的两点 ，则（ ）
A． B．存在一点 为 中点，使得
C．存在这样的直线 使 成立D．
19．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知抛物线 ，直线 交抛物线于 两点，分别过两点作抛物线的切线，两条切线相交于点 ，设 为弦 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． 平行于 轴
B．若直线 过抛物线的焦点 ，则点 一定在抛物线的准线上
C．若 ，则 面积的最大值为
D．
三、填空题
20．（2023·全国·高三专题练习）已知A，B为抛物线 上两点，以A，B为切点的抛物线的两条切线
交于点P，过点A，B的直线斜率为 ，若点P的横坐标为 ，则 .
21．（2023·福建龙岩·统考二模）已知抛物线 ，直线 过点 且与 相交于 ， 两点，
若 的平分线过点 ，则直线 的斜率为 ．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过直线
上一点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ．则 的取值范围为 ．
23．（2023·山东潍坊·三模）已知过点 的直线 与抛物线 交于 两点，过点 作抛物
线的切线 ，切点是 （在 轴的上方），直线 和 的倾斜角分别是 ，则 的取值范围
为 ．
24．（2023·河北沧州·校考三模）若 为抛物线 ： 在第二象限内一点，抛物线 的焦点
为 ，直线 的倾斜角为 ，抛物线在点 处的切线与 轴相交于点 .若 （ 为坐标原点），
则 的面积为 .
25．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知 是抛物线 ： 的焦点，点 ，过点 的直线与 交于 ， 两点， 是线段 的中点．若 ，则直线 的斜率 ．
26．（2023·浙江·模拟预测）已知抛物线 是抛物线上的点，直线 与抛物线 切于点 ，直线
且与抛物线交于点 （异于点 ），抛物线 在点 处的切线交 于 面积的最小值是
.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C： ，过点 的直线交C于A，B两点，
C在A，B两点处的切线交于点 ，且 ．若点M到直线AB的距离为 ，则 ．
四、解答题
28．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，圆
，过C上一点 作C的切线，该切线经过点 ．
(1)求C的方程；
(2)若与C相切的直线l，与E相交于P，Q两点，求 面积的最大值．
29．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）设抛物线方程为 ，过点 的直线 分别与抛物线相切
于 两点，且点 在 轴下方，点 在 轴上方.
(1)当点 的坐标为 时，求 ；
(2)点 在抛物线上，且在 轴下方，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，且 .若
的重心在 轴上，求 的最大值.（注： 表示三角形的面积）30．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）设抛物线 的焦点为 是坐标原点， ，过点
的直线与抛物线交于 两点，延长 分别交抛物线于 两点， 分别是 的中点.
(1)求直线 的斜率的取值范围；
(2)求 的最小值.
31．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线 ，过其焦点 作两
条相互垂直且不平行于 轴的直线，分别交抛物线 于点 和点 的中点分别为 .
(1)若直线 的斜率为2，求直线 的方程；
(2)求线段 的中点 的轨迹方程.
32．（2023·河南郑州·统考模拟预测）过点 ，斜率为 的直线l与抛物线 相切
于点N，且 .
(1)求抛物线C的方程；
(2)斜率为 的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线 ，使得点Q关于 的对称点
恒与P，N共线，若存在，求出 的方程，若不存在，说明理由.
33．（2023秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）已知 ,曲线 ，过点 的曲线
的所有弦中，最小弦长为 .
(1)求 的值；
(2)过点M的直线与曲线C 交于A、B两点，曲线C 在A、B两点处的两条切线交于点P，求点P的轨迹
1 1
C ；
2(3)在（2）的条件下，N是平面内的动点，动点Q是C 上与N距离最近的点，满足 的动点N的
2
轨迹为C ；并判断是否存在过M的直线l，使得l与C、l与C 的四个交点的横坐标成等差数列，说明理
3 1 3
由.
34．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形 ， ， ， 、 分别是 、 的中点，
以某动直线 为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点 都落在 上，记为 ，过点
作 ，与直线 交于点 ，设点 的轨迹是曲线 .
(1)建立恰当的直角坐标系，求曲线 的方程；
(2) 是 上一点， ，过点 的直线交曲线 于 、 两点， ，求实数 的取值范
围.
35．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）已知抛物线 ： （ ）上的一点 到准
线的距离为1．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若正方形 的三个顶点 、 、 在抛物线 上，求这种正方形面积的最小值．
36．（2023秋·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，点
是抛物线上一点，且 .
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l： ，点B是l与y轴的交点，过点A 作与l平行的直线 ，过点A的动直线 与
抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线 于点M，N，证明： ．37．（2023·甘肃·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，直线 交抛物
线 于 两点，当直线 过点 时，点 到 的准线的距离之和为 ，线段 的中点到 轴的距离
是4.
(1)求抛物线 的方程；
(2)当 时，设抛物线 在点 处的切线交于点 ，求证： .
题型二 抛物线中的弦长问题
策略方法
有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直
接使用公式|AB|＝x ＋x ＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
1 2
【典例1】（单选题）已知点 为抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线 于 两点，
为坐标原点，若 ，则 的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）过抛物线 的焦点 的直线 交 于 两点，
若直线 过点 ，且 ，则抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点 为抛物线 的焦点，过点
的直线交抛物线 于 两点， 为坐标原点，若 ，则 的面积为（ ）A．3 B． C． D．
3．（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线 与坐
标轴交于点 ，过点 的直线 与 及准线 依次相交于 ， ， 三点（点 在点 ， 之间），若
， ，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为F，过F且斜率大于零的
直线l与 及抛物线 ： 的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 为抛物线 的焦点， 为 上任意一点，且点 到
点 距离的最小值为 ．若直线过 交 于 ， 两点，且 ，则线段 中点的横坐标为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知抛物线 的焦点 与
的一个焦点重合，过焦点 的直线与 交于 ， 两不同点，抛物线 在 ， 两点处的切线
相交于点 ，且 的横坐标为4，则弦长 （ ）
A．16 B．26 C．14 D．24
7．（2023·河南·校联考模拟预测）过抛物线 的焦点 且斜率为 的直线交 于 、（其中 在 轴上方）两点，交 的准线于点 ，且 ， 为坐标原点，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知点 是抛物线 上的一点，若以抛物线
的焦点 为圆心，以 为半径的圆交抛物线的准线于 ， 两点， ，当 的面积为 时，
则 等于（ ）
A．2 B． C．4 D．
9．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设抛物线 的焦点为 ，准线为 .斜率为
的直线经过焦点 ，交抛物线 于点 ，交准线 于点 （ 在 轴的两侧）.若 ，则抛物线
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知过抛物线C： 的焦点 的直线与抛物线C
交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若 ，
为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．4
11．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知抛物线C： 的焦点 ，直线 与该抛物线交
于A，B两点（点A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D.若 ，
则点E到y轴的距离为（ ）A． B． C． D．
12．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 且与抛物线交于
， 两点，过点 作抛物线准线的垂线，垂足为 ， 的角平分线与抛物线的准线交于点 ，线
段 的中点为 .若 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
13．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C： ，则
（ ）
A．直线 与抛物线C相交所得弦长为
B．直线 与抛物线C交于M，N两点，则
C．过点 恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
D．抛物线C上的点到直线 的最短距离为
14．（2023秋·云南昆明·高三校考阶段练习）设抛物线C： 的焦点为F，准线l与x轴的交
点为D，A，B两点在C上，直线 依次经过点A，B，D，直线AF与C的另一个交点为E，则
下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023秋·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知抛物线 的顶点为 ，准线为 ，
焦点为 ，过 作直线 交抛物线于 两点（ 在 的左边），则（ ）A．
B．若直线 经过点 ，则
C．线段 的最小值为2
D．若 ，则直线 的斜率为
16．（2023秋·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考期中）已知抛物线C： 的焦点为F， ，
是抛物线上两点，下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为2
B．若 ，则线段MN的中点P到x轴的距离为6
C．若直线MN过点F，则
D．若 ，则 的最小值为8
三、填空题
17．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线
反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线 ，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线
的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 .
18．（2023秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）过原点的一条直线与圆
相切，交曲线 于点 ，若 ，则 的值为 ．
19．（2023·湖南·校联考二模）已知抛物线 ，过原点 且斜率为1的直线与 交于点
为 的焦点．若 ，则 的面积为 ．20．（2023·浙江·模拟预测）过抛物线 的焦点 的直线与 交于 两点，从点 分别向
准线 作垂线，垂足分别为 ，线段 的中点为 ，则弦 的长为 .
21．（2023秋·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直
线与抛物线交于A，B两点，则 的最小值是 .
22．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知抛物线 ，焦点为 ，准线与x轴的交
点为 ，过 点的直线与抛物线交于 、 两点，且满足 ，则 .
23．（2023·全国·长郡中学校联考二模）已知抛物线 ： 的准线为 ，过点 的直线交 于 ，
两点， 的中点为 ，分别过点 ， ， 作 的垂线，垂足依次为 ， ， ，则当 取最小值
时， .
24．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知抛物线 ，圆
与y轴相切，直线l过抛物线的焦点与抛物线交于A，D两点，与圆交于B，C两点（A，B
两点在x轴的同一侧），若 ， ，则弦长 的取值范围为 ．
四、解答题
25．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线 的准线方程
是 .(1)求抛物线的方程；
(2)设直线 与抛物线相交于 ， 两点，若 ，求实数k的值.
26．（2023·陕西安康·统考三模）已知 为抛物线 上一点．
(1)求抛物线 的准线方程；
(2)过点 的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线 与 的倾斜角互补，求 的值．
27．（2023春·江西·高三统考阶段练习）已知直线 与抛物线 交于 两点，
.
(1)求 ；
(2)设抛物线 的焦点为 ，过点 且与 垂直的直线与抛物线 交于 ，求四边形 的面积.
28．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
29．（2023·山东泰安·统考模拟预测）过点 的直线 与抛物线 交于点 （ 在
第一象限），当直线 的倾斜角为 时， ．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知 ，延长 交抛物线 于点 ，当 面积最小时，求点 的横坐标．30．（2023·全国·模拟预测）已知点 在抛物线 上，记 为坐标原点，
，以 为圆心， 为半径的圆与抛物线 的准线相切．
(1)求抛物线 的方程；
(2)记抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 与直线 垂直，交抛物线 于 ， 两点，求弦 的长．
31．（2023·陕西安康·统考三模）已知抛物线 的焦点为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线 与抛物线 交于 两点， 为抛物线 上的点，且 ， ，求
的面积.
32．（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）点 是抛物线 ： （ ）的焦点， 为坐标原点，
过点 作垂直于 轴的直线 ，与抛物线 相交于 ， 两点， ，抛物线 的准线与 轴交于点 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设 、 是抛物线 上异于 、 两点的两个不同的点，直线 、 相交于点 ，直线 、 相
交于点 ，证明： 、 、 三点共线．
33．（2023·陕西宝鸡·校考一模）设抛物线 ，直线 与C交于A，B两点，且
.
(1)求p；
(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值.
34．（2023·河南开封·统考三模）已知抛物线E： 的焦点为F，抛物线E上一点H的纵坐标为5，O为坐标原点， ．
(1)求抛物线E的方程；
(2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB所
在直线方程．
35．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）已知抛物线 的焦点为 ，过 作斜率为
的直线 与 交于 两点，当 时， .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设线段 的中垂线与 轴交于点 ，抛物线 在 两点处的切线相交于点 ，设 两点到直线 的
距离分别为 ，求 的值.
36．（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）已知拋物线 和圆 ．
(1)若抛物线 的准线与 轴相交于点 ， 是过 焦点 的弦，求 的最小值；
(2)已知 ， ， 是拋物线 上互异的三个点，且 点异于原点．若直线 ， 被圆 截得的弦长都为
2，且 ，求点 的坐标．
题型三 抛物线中的中点弦问题
策略方法
设交点坐标为 ， ，代入抛物线两式相减，可得
， . 设线段 的中点为 ，即 ，同理，对于抛物线 ，则有
【典例1】（单选题）直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝（
）
A．2或－2 B．2或－1
C．2 D．3
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C： ，过点 的直线l与抛物线C交于A，B两点，
若 ，则直线l的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
2．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线 于M，N两点，且MN的中
点为 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．3 D．
3．（2023秋·江西·高三校联考期末）如图，已知抛物线E： 的焦点为F，过F且斜率为1
的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C， 轴于点N.若四边形
的面积等于8，则E的方程为（ ）A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B
两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点， 为坐标
原点， 是线段 的中点， 是 的焦点， 的面积等于3，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于 、 两
点，线段 的中点为 ，则直线 的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知以F为焦点的抛物线 上的两点A，B（点A的横坐标大于点B
的横坐标），满足 （O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为 ，则实数 （ ）
A． B． C．3 D．4
8．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知抛物线 ，直线 与抛物线 交于 、 两点，线段
的中点为 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023春·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为锐角的直线 与 交于 、 两点，过线段 的中点 且垂直于 的直线与 的准线交于
点 ，若 ，则 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知斜率为 的直线 过抛物线 的焦点，
且与抛物线 交于 两点，抛物线 的准线上一点 满足 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
二、多选题
11．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知直线 与抛物线 交于
两点，若线段 的中点是 ，则（ ）
A． B．
C． D．点 在以 为直径的圆内
12．（2023春·山东滨州·高三校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 交抛物
线于 、 两点，则（ ）
A．抛物线 的准线方程为
B．线段 的中点在直线 上
C．若 ，则 的面积为
D．以线段 为直径的圆一定与 轴相切
13．（2023·全国·高三专题练习）已知 是抛物线 上两动点， 为抛物线 的焦点，则
（ ）
A．直线 过焦点 时， 最小值为4B．直线 过焦点 且倾斜角为 时（点 在第一象限），
C．若 中点 的横坐标为3，则 最大值为8
D．点 坐标 ，且直线 斜率之和为 与抛物线的另一交点为 ，则直线， 方程为：
14．（2023·浙江金华·模拟预测）已知 为抛物线 上的三个点，焦点F是 的重心．
记直线AB，AC，BC的斜率分别为 ，则（ ）
A．线段BC的中点坐标为
B．直线BC的方程为
C．
D．
三、填空题
15．（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为 ，过 作直线 交抛物线于 、
两点，若线段 的中点横坐标为2，则线段 的长为
16．（2023·安徽宿州·统考一模）若抛物线C： 存在以点 为中点的弦，请写出一个满足条件
的抛物线方程为 .
17．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）已知 为抛物线 上的两点， ，
若 ，则直线 的方程为 .
18．（2023春·四川成都·高三校联考阶段练习）抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，则 .
四、解答题
19．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线
上，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知直线 交抛物线 于 两点，且点 为线段 的中点，求直线 的方程．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与C交于A，B两点．
(1)若 的倾斜角为 且过点F，求 ；
(2)若线段AB的中点坐标为 ，求 的方程．
21．（2023·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，过点 的圆 与直线 相切．圆心 的轨迹
记为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)设 为曲线 上的两点，记 中点为 ，过 作 的垂线交 轴于 ．
①求 ；
②当 时，求 的最大值．
22．（2023·全国·高三专题练习）直线 与曲线 交于 ， 两点， 与 的中点 的
横坐标为2．
（1）求曲线 的方程；
（2）过 ， 两点作曲线 的切线，两切线交于点 ，直线 交曲线 于点 ，求证： 是线段 的中点．
23．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C： 的焦点为F，直线l： 与抛物线C交于
A，B两点.
(1)若 ，求 的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，直线 与y轴交于点P与
抛物线交于点Q，且
(1)求抛物线E的方程；
(2)过F的直线l抛物线E相交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与E相交于C，D两点，探究是否存
在直线l使A，B，C，D四点共圆？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： ，斜率为 的直线 与抛物线 交于 ， 两
点，且线段 的中点坐标为 ，其中 .直线 ： 与抛物线 交于 ， 两点.
（1）证明： ；
（2）若直线 与圆 ： 交于 ， 两点，证明： .
26．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线 ，过点 的直线l交抛物线于A，
B两点，交直线 ， 于点C，D，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.当l的斜率为2时，
AB中点的纵坐标为1.(1)求抛物线的标准方程；
(2)记△ 的外接圆面积为 ， 的外接圆面积为 ，求 的最大值.
27．（2023·广西玉林·统考三模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为 上的一
点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，且 ， ．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)已知 的三个顶点都在抛物线 上，顶点 ， 重心恰好是抛物线 的焦点 ，求
所在的直线方程．
28．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线 和点 ，点P到抛物线C的准
线的距离为6．(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点P作直线 交抛物线C于A，B两点，M为线段 的中点，点Q为抛物线C上的一点且始终满足
，过点Q作直线 交抛物线C于另一点D，N为线段 的中点，F为抛物线C的焦点，
记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最小值．
