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重难点突破 01 切线与公切线
导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点
问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养．
解决曲线的切线问题，核心是切点坐标，因为切点处的导数就是切线的斜率，公切线
问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切
点横坐标的方程组，通过解方程组求解．
一．选择题（共10小题）
1 ． （ 2023• 长 沙 模 拟 ） 一 条 斜 率 为 1 的 直 线 分 别 与 曲 线 和 曲 线
相切于点 和点 ，则公切线段 的长为
A．2 B． C．1 D．
2．（2023•武昌区校级模拟）已知抛物线 和 ，若 和 有且
仅有两条公切线 和 ， 和 、 分别相切于 ， 点， 与 、 分别相切于 ，
两点，则线段 与
A．总是互相垂直 B．总是互相平分
C．总是互相垂直且平分 D．上述说法均不正确
3．（2023•徐汇区校级一模）若直线 是曲线 与 的
公切线，则
A． B．1 C． D．2022
4．（2023•道里区校级模拟）已知函数 ， ，若直线
为 和 的公切线，则 等于A． B． C． D．
5．（2023春•祁东县校级期中）若函数 与函数 有公切线，
则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
6．（2023•重庆模拟）在数学王国中有许多例如 ， 等美妙的常数，我们记常数 为
的零点，若曲线 与 存在公切线，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
7 ． （ 2023 春 • 湖 北 期 中 ） 若 直 线 是 曲 线 与 曲 线
的公切线，则
A．26 B．23 C．15 D．11
8．（2023•浙江模拟）已知两曲线 与 ，则下列结论正确的是
A．若两曲线只有一个交点，则这个交点的横坐标
B．若 ，则两曲线只有一条公切线
C．若 ，则两曲线有两条公切线，且两条公切线的斜率之积为
D．若 ， ， 分别是两曲线上的点，则 ， 两点距离的最小值为1
9．（2023•上饶二模）若曲线y＝lnx+1与曲线y＝x2+x+3a有公切线，则实数a的取值范围
（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023•保山模拟）若函数 与函数 的图象存在公切线，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
11．（2023春•重庆期中）已知直线 是曲线 与 的公切线，
则下列说法正确的是
A． B． C． D．
12．（2023•建华区校级三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为
这些曲线的公切线，已知直线 为曲线 和 的
公切线，则下列结论正确的是
A．曲线 的图象在 轴的上方
B．当 时，
C．若 ，则
D．当 时， 和 必存在斜率为 的公切线
三．填空题（共17小题）
13．（2022秋•启东市期末）已知直线 是曲线 与 的公切线，
则 ．
14．（2022秋•张家口期末）已知直线 是函数 与函数
的公切线，若 ， （1） 是直线 与函数 相切的切点，则 ．
15．（2023•鼓楼区校级模拟）写出曲线 与曲线 的公切线的一个方向
向量 ．16．（2023•惠安县模拟）已知直线 是曲线 与 的公切线，则直
线 与 轴的交点坐标为 ．
17．（2023•防城港模拟）若曲线 与 有一条斜率为 2 的公切线，则
．
18．（2023•广东模拟）曲线 与 的公共切线的条数为 ．
19．（2023春•重庆期末）已知直线 是函数 与函数 的
公切线，若 ， （1） 是直线 与函数 相切的切点，则 ．
20．（2023春•涪城区校级期中）若 与 两个函数的图象有一条
与直线 平行的公共切线，则 ．
21．（2023•浠水县校级三模）若曲线 与曲线 存在公切线，则 的取值
范围为 ．
22．（2023•厦门模拟）已知函数 ， ，若曲线 与曲线
存在公切线，则实数 的最大值为 ．
23．（2023春•广西期中）已知曲线 与 的公切线为 ，
则实数 ．
24．（2023•邯郸三模）若曲线 与圆 有三条公切线，则 的取值范围
是 ．
25．（2023春•靖江市校级月考）已知曲线 与曲线 存在公共切线，则实数
的取值范围为 ．
26．（2023春•香坊区校级月考）定义：若直线 与函数 ， 的图象都相切，则称直线 为函数 和 的公切线．若函数 和 有且
仅有一条公切线，则实数 的值为 ．
27．（2023•鼓楼区校级模拟）已知曲线 与曲线 有且只
有一条公切线，则 ．
28．（2023•蓬莱区三模）已知曲线 与 的两条公切线的夹角余弦值为 ，
则 ．
29．（2023•浙江开学）已知曲线 与 的两条公切线的夹角正切值为 ，则
．
四．解答题（共1小题）
30．（2023•郴州模拟）已知函数 ， ．
（1）若 ， 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若函数 和 有公切线，求实数 的取值范围．
