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专题29 圆锥曲线中的定点问题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．双曲线 ，过定点 的两条垂线分别交双曲线于 、 两点，直 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆 为椭圆 的右顶点，直线 交 于 两点，且 ，则 恒过除 点以
外的定点（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆 的上顶点为 为椭圆上异于A的两点，且 ，则直线 过定点
（ ）
A． B． C． D．
4．定义：若点 在椭圆 上，则以 为切点的切线方程为： .已
知椭圆 ，点 为直线 上一个动点，过点 作椭圆 的两条切线 ， ，
切点分别为 ， ，则直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 设直线 与抛物线 ( 为常数) 交于不同的两点 ， 且当
时， 抛物线 的焦点 到直线 的距离为 . 过点 的直线交抛物线于另一点 ， 且直线过点 ， 则直线 过点（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线l与抛物线 交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线 的斜率之积为 ，则
直线l恒过定点（ ）
A． B． C． D．
7．已知 为双曲线 右支上的一个动点， 为双曲线的右焦点，若在 轴的负半轴上存在定点
，使得 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8． 是抛物线C： 上一定点，A，B是C上异于P的两点，直线PA，PB的斜率 ，
满足 为常数， ，且直线AB的斜率存在，则直线AB过定点（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知双曲线 的两个顶点分别是 ，两个焦点分别是 ．P是双曲线上异于 的任意一点，则有（ ）
A． B．若 ，则
C．直线 的斜率之积等于 D．使得 为等腰三角形的点P有8个
10．已知 的左右顶点为 为 的上顶点， ，点 为直线 上的动点，
与 的另一个交点为 与 的另一个交点为 .则 的方程为（ ）直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 ： ， 为坐标原点，直线 交抛物线于 ， 两点，若 ，
则（ ）
A． B．直线 过定点
C． 的最小值为 D． 的最小值为2
12．已知 是抛物线 内一动点，直线 过点 且与抛物线 相交于 两点，则下列说法正
确的是（ ）
A． 时， 的最小值为
B． 的取值范围是
C．当点 是弦 的中点时，直线 的斜率为
D．当点 是弦 的中点时， 轴上存在一定点 ，都有
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．抛物线 上有三点 ， ， ，直线 和 的斜率之和为2，则直线 恒过定点的坐
标为 .
14．设 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点，且 在第一象限，若 为等腰三角形，则 的坐标为 ．
15．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角的正切值为 .若直线 （ 且
）与双曲线交于A，B两点，直线 ， 的斜率的倒数和为 ，则直线 恒经过的定点
为 .
16．双曲线 的左、右两支上各有一点A、B，点B在直线 上的射影是点 ，若直线AB过右
焦点，则直线 必定经过的定点的坐标为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设椭圆C： 的左、右顶点分别为A、B，且焦距为2．点P在椭圆上且异于A、B
两点．若直线PA与PB的斜率之积为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 作不与 轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为： ，过点M
作 垂直于直线 ，交 于点E．判断直线 是否过定点，并说明理由．
18．已知椭圆E的中心在原点，周长为8的 的顶点， 为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E
上，且边BC过E的右焦点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点 若直线 ， 与椭圆E的另一个交点
分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.19．已知椭圆 的左顶点 ，点 是椭圆 上关于原点对称的两个动点（点
不与点 重合）， 面积的最大值是2.
(1)求椭圆 的方程.
(2)若直线 与 轴分别相交于点 ，是否存在定点 ，总有 ？若存在，求出定点 的
坐标；若不存在，说明理由.
20．已知抛物线 ： ， 为坐标原点，过 作一条直线 ，与抛物线 相交于 ，
两点，若线段 的最小值是2．(1)求抛物线 的方程；
(2)当直线 与 轴垂直时，设 、 是抛物线 上异于 、 两点的两个不同的点，直线 、 相交于
点 ，直线 、 相交于点 ，证明：直线 恒过定点．
21．已知椭圆 的离心率为 ，长轴的左端点为 .
(1)求C的方程；
(2)过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线 ，分别相交于
D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.
22．已知过曲线 上一点 作椭圆 的切线 ，则切线 的方程为 .若
为椭圆 上的动点，过 作 的切线 交圆 于 ，过 分别作 的切线 ，直线 交于点 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)已知 为定直线 上一动点，过 的动直线 与轨迹 交于两个不同点 ，在线段 上取一点 ，
满足 ，试证明动点 的轨迹过定点.
