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专题25 圆锥曲线与垂心问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知 是抛物线 上的两个点，O为坐标原点，若 且 的垂心恰是抛物
线的焦点，则直线 的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线 上有三点 ， ， ， 的垂心在 轴上， ， 两点的纵坐标分别为 ， ，
则点 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与抛物线 交于
点O，A，B，若 的垂心为 的焦点，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C ： － ＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C ：x2＝2py(p>0)交
1 2
于点O，A，B，若△OAB的垂心为C 的焦点，则C 的离心率为（ ）
2 1
A． B． C． D．
5．设抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上异于顶点的一点，且 在直线 上的射影为 ，
若 的垂心在抛物线 上，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．设双曲线 ： 的左顶点与右焦点分别为 ， ，以线段 为底边作一个等腰
，且 边上的高 .若 的垂心恰好在 的一条渐近线上，且 的离心率为 ，则下列判断正确的是（ ）
A．存在唯一的 ，且
B．存在两个不同的 ，且一个在区间 内，另一个在区间 内
C．存在唯一的 ，且
D．存在两个不同的 ，且一个在区间 内，另一个在区间 内
7．已知双曲线 的右焦点为 ，以坐标原点 为圆心、 为 半径作圆与双曲线
的渐近线在第一象限交于点 ，设 为 的垂心，恰有 ，则双曲线 的离心率 应满足（ ）
A． B．
C． D．
8．记椭圆 ： 的左右焦点为 ， ，过 的直线 交椭圆于 ， ， ， 处的切线交于点 ，
设 的垂心为 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知抛物线 的焦点为 ，点 ， ， 为抛物线上不与 重合的动点， 为坐标原点，
则下列说法中，正确的有（ ）
A．若 中点纵坐标为2，则 的斜率为2
B．若点 恰为 的垂心，则 的周长为C．若 与 的倾斜角互补，则 的斜率恒为
D．若 ，则 点纵坐标的取值范围是
10．设抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上异于顶点的一点，且 在准线上的射影为 ，则下列结
论正确的有（ ）
A．点 的中点在 轴上
B． 的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上
C．当 的垂心在抛物线上时，
D．当 的垂心在抛物线上时， 为等边三角形
11．双曲线 的虚轴长为2， 为其左右焦点， 是双曲线上的三点，过 作
的切线交其渐近线于 两点.已知 的内心 到 轴的距离为1.下列说法正确的是（ ）
A． 外心 的轨迹是一条直线
B．当 变化时， 外心的轨迹方程为
C．当 变化时，存在 使得 的垂心在 的渐近线上
D．若 分别是 中点，则 的外接圆过定点
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重
心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线 与 轴及双曲线
的两条渐近线的三个不同交点构成集合 ，且 恰为某三角形的外心，重心，垂
心所成集合.若 的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．若曲线 ： 上一点 ，是否存在直线 与抛物线 相交于两不同的点 ，使 的垂心为 ．则直线 的方程为 ．
14．已知抛物线方程为 ，直线 与抛物线交于A、B两点，抛物线的焦点F为 （O为坐标
原点）的垂心，则实数 的值为 ．
15．已知点 在椭圆C： 上， 过点 作直线交椭圆C于点 的垂心为 ，
若垂心 在y轴上．则实数 的取值范围是 ．
16．已知椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，若椭圆 的右
焦点 恰好为 的垂心，则直线 的方程为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为M，O为坐标原点，若 的面积为 ，且
椭圆的离心率为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F点恰为 的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存
在，说明理由．18．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C ：
1
，A，A 分别为椭圆C 的左，右顶点．椭圆C 以线段AA 为短轴且与椭圆C 为“相似椭圆”．
1 2 1 2 1 2 1
（1）求椭圆C 的方程；
2
（2）设P为椭圆C 上异于A，A 的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C 于点H．
2 1 2 1
求证：H为△PAA 的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)
1 2
19．如图，已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P
满足 PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时， .
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求证：点P在定直线上.20．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，且 的垂心
为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 （斜率为 ）交椭圆 于 ， 两点，在 轴上是否存在定点 ，使得射线
平分 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
21．已知双曲线 ： 的离心率为 ，直线 ： 与双曲线C仅有一个公共
点.
(1)求双曲线 的方程
(2)设双曲线 的左顶点为 ，直线 平行于 ，且交双曲线C于M，N两点，求证： 的垂心在双曲
线C上.22．已知抛物线 ： 过点 ， 为其焦点，过 且不垂直于 轴的直线 交抛物线
于 ， 两点，动点 满足 的垂心为原点 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）求证：动点 在定直线 上，并求 的最小值.
