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微专题18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法
研究
【秒杀总结】
交点轨迹问题的常用技巧：
1、两直线方程相乘消元
2、两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元
3、定比点差法
4、同构
5、硬解坐标
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 过点 ，离心
率为 ，直线 交 轴于点 ，过点 作直线交双曲线 于 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 是线段 的中点，求直线 的方程；
(3)设 是直线 上关于 轴对称的两点，直线 与 的交点是否在一条直线上？请说
明你的理由.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到
直线 的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设点 ， 为直线 上一动点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 ，
为切点，求直线 的方程，并证明直线 过定点 ；
(3)过（2）中的点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，过点 ， 分别作抛物线 的切
线 ， ，求 ， 交点 满足的轨迹方程．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 为坐标原点）， 于 点．试
求点 的轨迹方程．
例4．（2023·全国·高三开学考试）椭圆 ： 的离心率为 ，且过点
.
(1)求椭圆 的方程；
(2) ， 分别为椭圆 的左､右焦点，动点A，B在椭圆上（不含长轴端点），且关于y轴
对称，P为椭圆上异于A，B的动点，直线PA与PB分别交y轴于M，N两点求证：直线
与 的交点在定圆上.
例5．（【全国市级联考】山西省晋中市2023届高三1月高考适应性调研考试数学（理）
试题）已知抛物线 ： （ ）的焦点是椭圆 ： （ ）
的右焦点，且两曲线有公共点
（1）求椭圆 的方程；
（2）椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，若过点 且斜率不为零的直线 与椭圆
交于 ， 两点，已知直线 与 相较于点 ，试判断点 是否在一定直线上？
若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
例6．（安徽省淮北市树人高级中学、萧县实验中学2022-2023学年高三上学期期中联考数
学试题）已知椭圆 ： 的左右顶点分别为 ， ，右焦点为 ，点 在椭圆上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点，已知直线 与 相交
于点 ，证明：点 在定直线上，并求出此定直线的方程．
例7．（【全国百强校】黑龙江省双鸭山市第一中学2022-2023学年高三4月月考数学
（理）试题）已知椭圆 的左、右焦点分别为F、F，离心率为 ，
1 2
且经过点 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线 与椭圆C相交于点M，N，椭圆C的左右顶点为 ,
直线 与 相交于点 ，证明点 在定直线上，并求出定直线的方程.
例8．（山西省晋城市2023届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知点 在椭圆
上， 为椭圆 的右焦点， 、 分别为椭圆 的左、右两个顶
点.若过点 且斜率不为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，且线段 、 的斜
率之积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知直线 与 相交于点 ，证明： 、 、 三点共线.
例9．（广东省东莞市2022-2023学年度第一学期期末教学质量检查高三数学试题）已知椭圆 的两个焦点分别是 ，点 在椭圆 上，且 ，
记椭圆 的左右顶点分别为 ，上顶点为 ， 的面积为2.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）不过点 的直线 与椭圆 相交于 两点，记直线 的斜率分
别为 ，且 ．试问：直线 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若
不是，请说明理由．
【过关测试】
1．（四川省2023届高三大数据精准教学第二次统一监测数学试题）在直角坐标系内，点
A，B的坐标分别为 ， ，P是坐标平面内的动点，且直线 ， 的斜率之积
等于 .设点P的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程；
（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点 且倾斜角不为0的直线 与轨迹
C相交于M，N两点，则直线 ， 的交点Q在一条定直线上.此结论是否正确？若正
确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.
2．（浙江省杭州第二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知圆
以及圆 .(1)求过点（1，2），并经过圆M与圆C的交点的圆的标准方程；
(2)设 ，过点D作斜率非0的直线 ，交圆M于P、Q两点.
（i）过点D作与直线l 垂直的直线l，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求
1 2
S的最大值；
（ii）设B(6，0)，过原点O的直线OP与BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若
是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
3．（江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）古希腊数学家
阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积．即椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长
与短半轴长的乘积．若椭圆 的中心为坐标原点，焦点 ， 均在x轴上，椭圆 的面积
为 ，且短轴长为 ．椭圆 与椭圆 有相同的离心率．
（1）求m的值与椭圆 的标准方程；
（2）过椭圆 的左顶点A作直线l，交椭圆 于另一点B，交椭圆 于P，Q两点（点P
在A，Q之间）．
①求 面积的最大值（O为坐标原点）；
②设PQ的中点为M，椭圆 的右顶点为C，直线OM与直线BC的交点为N，试探究点N
是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
4．（湖南省部分校教育联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底测试数学试题）设
是双曲线 的左､右两个焦点， 为坐标原点，若点 在双曲线的右支上，且 的面积为3.
(1)求双曲线 的渐近线方程；
(2)若双曲线 的两顶点分别为 ，过点 的直线 与双曲线 交于 ，
两点，试探究直线 与直线 的交点 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线
方程；若不在，请说明理由.
5．（上海市格致中学2023届高三上学期期中数学试题）椭圆 ： 的
焦点 ， 是等轴双曲线 ： 的顶点，若椭圆 与双曲线 的一个交点是P，
的周长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)点M是双曲线 上任意不同于其顶点的动点，设直线 、 的斜率分别为 ， ，
求证 ， 的乘积为定值；
(3)过点 任作一动直线l交椭圆 与A，B两点，记 ，若在直线AB
上取一点R，使得 ，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？
若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.
6．（黑龙江省齐齐哈尔市2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆
的离心率 ， 为椭圆的右焦点， 为椭圆上的动点， 的
最大值为3.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2） ， 分别为椭圆 的左、右顶点，过点 作直线交椭圆 于 ， 两点，直线
、 交于点 ，试探究点 是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若
不是，请说明理由.7．（湖北省云学新高考联盟学校2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）在平面
直角坐标系中，圆M是以 两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线
对称．
(1)求圆N的标准方程；
(2)设 ，过点C作直线 ，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上．
①过点C作与直线 垂直的直线 ，交圆N于 两点，记四边形 的面积为S，求S
的最大值；
②设直线 , 相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若
不是，说明理由．
8．（江苏省南京市第九中学2022-2023学年高三上学期期末模拟数学试题）在平面直角坐
标系中，圆M是以 ， 两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线 对
称.
(1)求圆N的标准方程；
(2)设 ， ，过点C作直线 ，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上.
（i）过点C作与直线 垂直的直线 ，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，
求S的最大值；
（ii）设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；
若不是，说明理由.
9．（【市级联考】江苏省盐城市2018~2019学年高三第二学期期末考试数学（文理合卷）
试题）如图，已知椭圆 与椭圆 的离心率相同．（1）求 的值；
（2）过椭圆 的左顶点 作直线 ，交椭圆 于另一点 ，交椭圆 于 两点（点
在 之间）．①求 面积的最大值（ 为坐标原点）；②设 的中点为 ，椭圆
的右顶点为 ，直线 与直线 的交点为 ，试探究点 是否在某一条定直线上运
动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
10．（四川省内江市2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理）试题）已知圆
．设 ，过点 作斜率非 的直线 ，交圆 于 、 两点．
(1)过点 作与直线 垂直的直线 ，交圆 于 两点，记四边形 的面积为 ，求
的最大值；
(2)设 ，过原点 的直线 与 相交于点 ，试讨论点 是否在定直线上，若是，
求出该直线方程；若不是，说明理由．
11．（一题打天下之椭圆与方程（39问））已知①如图，长为 ，宽为 的矩形 ，以 ､ 为焦点的椭圆 恰好过 两点，
②设圆 的圆心为 ，直线 过点 ，且与 轴不重合，直线 交圆
于 两点，过点 作 的平行线交 于 ，判断点 的轨迹是否为椭圆，若是，求出
椭圆方程，
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆 的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆 的标准方程，若 是椭圆 的左右顶点，过点 的动直线
交椭圆 与 两点，试探究直线 与 的交点是否在一定直线上，若在，请求出该
直线方程，若不在，请说明理由.
12．（【全国百强校】河北省邢台市育才中学2023届高三上学期第三次月考数学试题）已
知 分别是焦距为 的椭圆 的左、右顶点， 为椭圆 上非顶
点的点，直 线的斜率分别为 ，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 （与 轴不重合）过点 且与椭圆 交于 两点，直线 与 交于
点 ，试求 点的轨迹是否是垂直 轴的直线，若是，则求出 点的轨迹方程，若不是，请
说明理由.
13．（广东省新高考2023届高三下学期开学调研数学试题）已知 两点的坐标分别为
， ，直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ．
(1)求点 的轨迹方程；(2)过点 的直线 与点 的轨迹交于 ， 两点，试探究直线 与 的交点 是否
在某条定直线上，若是求出该定直线方程，若不是请说明理由．
14．（2021年全国高中名校名师原创预测卷数学（第四模拟））已知椭圆 ：
（ ）的离心率为 ，上、下顶点分别为 ， ，直线 经过点 且与椭
圆 交于 ， 两点，当 时，四边形 的面积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程．
（2）若直线 ， 交于点 ，试判断点 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；
若不是，请说明理由．
15．（江苏省南京师大附中2022-2023学年高三上学期期中数学试题）在平面直角坐标系
xoy中，已知椭圆C: =1(a> b>0 )的离心率为 ，以椭圆上的一点和长轴的两个端点
为顶点的三角形面积最大值为
（1）求a，b的值
（2）当过点P(6，0)的动直线1与椭圆C交于不同的点A，B时，在线段AB上取点Q，使
得 = ，问点Q是否总在某条定直线上?若是，求出该直线方程，若不是，
说明理由.
16．（福建省泉州第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）已知椭圆 ：
的左､右顶点分别为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程.(2)若过点 且斜率不为0的直线与椭圆 交于 ， 两点，已知直线 与 相
交于点 ，试判断点 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理
由.
17．（四川省成都市锦江区成都市盐道街中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）
已知椭圆 的左､右顶点分别为 ， ，左､右焦点分别为 ， ，
离心率为 ，点 ， 为线段 的中点.
（1）求椭圆 的方程.
（2）若过点 且斜率不为0的直线与椭圆 的交于 ， 两点，已知直线 与 相
交于点 ，试判断点 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理
由.
18．（江西省鹰潭市2023届高三第二次模拟考数学试题）已知椭圆 ：
离心率为 ，点 ， 分别为椭圆 的左、右顶点点 ， 分别为
椭圆 的左、右焦点.过点 任作一条不与 轴垂直的直线与椭圆 交于 ， 两点，
的周长为8.（1）求椭圆 的方程.
（2）若直线 ， 交于点 ，试判断点 是否存在某条定直线 上.若是，求出
的值；若不是，请说明理由.
19．（重庆市第十一中学校2023届高三上学期12月月考数学试题）已知椭圆 ：
，点 、 分别为椭圆 的左右顶点，点 、 分别为
椭圆 的左右焦点，过点 任作一条不与y轴垂直的直线与椭圆 交于 、 两点，
的周长为8.
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线 ， 交于点 ，试判断点 是否在某条定直线点 上，若是，求出
的值；若不是，请说明理由.
